Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ» Чистопольский филиал «Восток» Кафедра ЕНД Методические указания по выполнению лабораторных работ по учебной дисциплине Прикладная математика Индекс по учебному плану: Б.В.ДВ.. Направление подготовки:.. Приборостроение Квалификация: Бакалавр Профиль подготовки: Приборостроение Вид профессиональной деятельности: проектно-конструкторская, производственнотехнологическая Разработчик: ст.пр. кафедры ЕНД И.Р. Мухаметзянов Чистополь 7 г.

2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы:. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью. и.. Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов. 4. Изменить /, / и снова решить задачу. Сделать выводы о: скорости сходимости рассматриваемых методов; влиянии точности на скорость сходимости; влиянии выбора начального приближения в методе простых итераций на скорость сходимости. 5. Подготовиться к устному опросу по теме работы. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание.. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения f ( ) e () на отрезке [, ].. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения () на указанном отрезке.. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы. Решение.. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (). Из графика функции f ( ) e на Рис. видно, что функция f () пересекает ось OX в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение () к виду e и построим два графика e и, имеющих более простой аналитический вид (Рис.). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим,

3 что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.,, e,8,6,4,, -, - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,4 -, -, -, -,4 -,6 Рис. -,8 Рис. Аналитический метод. Функция f () непрерывна на отрезке [,], имеет на концах отрезка разные знаки ( f ( ).6; f () ), а производная функции f () не меняет знак на отрезке ( f ( ) e [, ]). Следовательно, нелинейное уравнение () имеет на указанном отрезке единственный корень.. Метод простых итераций. Построим функцию ( ) cf ( ). Константа c выбирается из достаточного условия сходимости, a, b () Если производная f, a, b, то значение c выбирается из интервала c, если производная f, a, b, то из f интервала c. Так как для рассматриваемого примера f всюду f положительна на отрезке [,], то придавая переменной различные значения из интервала [,] и выбирая наименьший интервал c, f получим c. Выбираем произвольное значение c из этого интервала. Пусть c.. Тогда рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид: e, n,,,... n n n, n () Итерационный процесс () можно начать, задав произвольное начальное приближение,. Итерационный процесс () заканчивается при одновременном выполнении двух условий: n n и f n. (4) В этом случае значение n является приближенным значением корня

4 нелинейного уравнения () на отрезке,. Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида: f f (5) Заметим, что в точке условие (5) не выполняется, а в точке выполняется. Следовательно, в качестве начального приближения выбирается точка. Рабочая формула метода Ньютона f n n n, n,,,... для данного уравнения запишется так: f n n e n n n, n,,,... (6) n e Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям (4) метода простых итераций. Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е.. Рабочая формула f n модифицированного метода Ньютона n n, n,,,... для f данного примера запишется так: n e n n n, n,,,... (7) e Условия выхода итерационного процесса (7) аналогичны условиям (4) метода простых итераций. Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение.. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке.. Задать параметры метода: n,,,.. Вычислить очередное приближение (). Проверить условия окончания процесса: & f. 4. Обновить начальное приближение и n n. нет Рис. да 5. Распечатать приближенное значение корня. 6. Останов

5 Ниже в качестве примера приведены программы на языках программирования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций. Program Pr_ter; Uses Crt; var n:nteger;,,eps,d,,z,c:real; ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ begn clrscr; n:=;:=-;c:=-.;:=;eps:=.;d:=.; repeat :=+c*(ep()+); z:=; wrteln(n:,:9:5,:9:5,abs(-):9:5,abs(ep()+):9:5); :=; n:=n+; untl (abs(z-)<=eps) and (abs(ep()+)<=d); end. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ С #nclude <stdo.h> #nclude <math.h> man() { nt n=; float,,z,=-,c=-.,eps=.;d=.; =; clrscr(); do { =+c*(ep()+);z=; prntf( %d %.4f %.4f %.4f %.4f\n,n++,,,fabs(-), fabs(ep()+)); =; } whle(fabs(z-)>e fabs(ep()+)>d; getch(); }

6 Решение: в результате решения нелинейного уравнения () на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении с точностью. и. получены следующие результаты: методом простых итераций 7. 56; методом Ньютона ; модифицированным методом Ньютона ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке ).. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке.. Записать итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона. 4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: n f n n n n n 5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Сделать выводы о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ варианта Нелинейное уравнение Отрезок. e.5;.5. e ;.6. 4 e ; 4. e.5;.5 5. e.;.5 6. sn.4.5;.5 7. sn.4.5; cos.6 ;.5 9. cos.5.;.8. cos.5.5;.9. cos.5.;.5. e sn 5.5; 4.8. e sn ;.69

7 4. e sn.5.9;.5 5. e sn.5 ; 9.5 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы:. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью.. 4. Изменить / и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций. 5. Подготовиться к устному опросу по теме работы. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание.. Аналитически решить СНУ вида: f, 5 ; () f, 6.. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы () при начальном приближении,,. (). Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс. Решение.. Аналитическим решением СНУ () являются точки ; и ;.. Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы () необходимо вначале привести ее к виду:, (), Для этого умножим первое уравнение системы () на неизвестную постоянную, второе - на, затем сложим их и добавим в обе части уравнения. Получим первое уравнение преобразуемой системы

8 f, f, 5 6, где, 5 6 (4). Далее, умножим первое уравнение системы () на неизвестную постоянную, второе - на, затем сложим их и добавим в обе части уравнения. Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид: f, f, 5 6, где, 5 6. (5) Неизвестные постоянные,,, определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса: и. Запишем эти условия более подробно: f f f f f f f f Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными,,, : f f ; f f ; (6) f f ; f f. Для решения системы (6) необходимо вычислить частные производные f f f f,,, : f f f f,,. Тогда СЛАУ (6) запишется так: ; ; ;.

9 Решением этой системы являются следующие значения:,,,. Тогда рабочие формулы (4), (5) для решения СНУ () примут вид: 5 6, 5 6. Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так: k k k k k k k 5 6, k k k k k k k k k 5 k k 6, k,,,... k k k k После несложных преобразований данные формулы примут вид: k k k k 5 6, k k k k k k 5 6, k,,,... k k f f f f Заметим, что если частные производные,,, мало изменяются в окрестности начального приближения (), то: f f f f,,. ; ; Тогда СЛАУ (6) запишется так: ; ; ;. Решением этой системы являются точки,,. Тогда рабочие формулы (4), (5) МПИ для решения СНУ () примут вид: 5 6, 5 6. Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так: k k k k k k 5 6, (7) k k k k k k 5 6, k,,,...

10 Итерационный процесс (7) можно начать, задав начальное приближение (). Процесс (7) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: k k и k k. В этом случае значения k и k являются приближенным значением одного из решений СНУ ().. Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде k k k k W f, (8) k где W необходимо: f,, f fn,, fn k k n n,, f f. Найти матрицу частных производных W, f f.. Найти определитель этой матрицы: det W,.. Определить обратную матрицу: T W, det W,. Проведя несложные преобразования получим рабочую формулу метода Ньютона (8) в виде: k k k k 5 6, k k k n k k k 5 6, k,,... k k. Блок-схема МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке. Решение: в результате решения СНУ () при начальном приближении () методом простых итераций с точностью. получено решение,.;., а методом Ньютона,.;..,

11 . Задать параметры метода:,, k,.. Вычислить очередное приближение k k, по формулам (7). k k k k. Проверить условия окончания процесса: &. 4. Обновить начальное приближение k k, k k и k k. нет Рис. да 5. Распечатать приближенное значение k решения k,. 6. Останов ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Определить аналитическое(ие) решение(я) исходной системы нелинейных уравнений.. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска одного из решений системы нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона.. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: k k k k k k k k k 4. Провести вычислительные эксперименты. 5. Сделать выводы о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ варианта Система нелинейных уравнений Начальное приближение. 4 ; 5,. 4 ;,. 5 ;,

12 4. 8 ; 4, 5. ; 4, 6. ;, 7. ; 5, 8. ; 5, 9. ;,. ;,. 4 ; 6,. ;,. 6 ; 7, 4. ; 7, 5. 8 ; 7, ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Содержание работы:. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ.. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью

13 ЭВМ указанными методами.. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью.. Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. 4. Изменить / и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций. 5. Решить СЛАУ с точностью ѐ и /, выбрав другие начальные приближения для неизвестных системы. Сделать вывод о том, как выбор начального приближения влияет на скорость сходимости рассматриваемых методов. 6. Подготовиться к устному опросу по теме работы. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание.. Аналитически решить СЛАУ вида: 8 5 z ; 6 z 7; () 4z 9.. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы ().. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы. Решение.. Аналитическим решением системы являются значения: ; ; z.. Метод простых итераций. Из системы () видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов. Заметим, что если указанные условия не выполняются, то путем элементарных преобразований систему необходимо к этому виду привести. Разделив каждое уравнение системы () на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец (,..., n ) в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида: k 5 k k z ; k 7 k k z ; () 6 6 k 9 k z k, k,,,

14 Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных () () () 7 9 членов преобразованной системы,, z,,. Процесс () заканчивается при одновременном выполнении трех условий: k k, k k, k k z z. В этом случае значения k k k,, z являются приближенными значениями решения СЛАУ (). Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное k -е приближение сразу же используется для получения k -го приближения последующих координат (Рис.). k k k k k n Рис. Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так: k 5 k k z ; k 7 k k z ; 6 6 k 9 k k z, k,,, () Условия выхода итерационного процесса () и выбор начального приближения аналогичны МПИ.

15 . Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке.. Задать параметры метода:,, z,., k.. Вычислить очередное приближение по формулам () или () k k k,, z.. Проверить условия: k k k k k k & & z z. нет 4. Обновить начальное приближение: k k k k k k,, z z, k k. Рис. да 5. Распечатать приближенное k k k значение корня,, z. 6. Останов Решение: в результате решения СЛАУ () методом простых итераций с точностью. получено решение 9 9 9,, z.;.9999;., методом Зейделя с той же точностью 6, 6, ;.9999;.9999 z. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Определить аналитическое решение исходной СЛАУ.. Если исходная СЛАУ не является системой с преобладающими диагональными коэффициентами, то путем элементарных преобразований привести ее к этому виду.. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска решения СЛАУ методом простых итераций и методом Зейделя. 4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя приведенный на рисунке алгоритм методов. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: k k k k k k k k k k k k k z z z z 5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Сделать выводы о проделанной работе.

16 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ вариант а Система линейных алгебраических уравнений z 4; 4 z ; 4z. z 4; 5 z 7; z. z ; 5 z 5; z. 5 z ; 6 8 z ; z 9. 5z ; 6 z 6; 5z. 5z ; 5 7 z 7; 5z 5. z ; 4 z 4; 6z. варианта Система линейных алгебраических уравнений z.z.; z ;. z.; z ; 8.5.5z. 5z 5;.6 z ; z z.4;.5.8 z.8; z. 6.z.; 8 5.5z.5; 6z 6. 4 z ; z ; 5 z z.5; 5 5 z 4.75; 8 z.

17 8 5 5 z ; z ;.5 z. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6-7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. Цель работы: научиться строить интерполяционные и аппроксимационные многочлены по заданной системе точек с помощью ЭВМ. Содержание работы:. Изучить принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, I и II интерполяционных формул Ньютона и аппроксимационного полинома.. На конкретном примере усвоить порядок построения указанных полиномов с помощью ЭВМ.. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов второго порядка для системы из трех равноотстоящих узловых точек. 4. Сделать вывод о точности построения полиномов. 5. Подготовиться к устному опросу по теме работы. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание.. Составить таблицу значений экспериментальной функции sn с точностью. для равноотстоящей системы из трех узловых точек h,, на отрезке ; из области допустимых значений функции, где h. 4. По сформированной системе точек построить интерполяционную формулу Лагранжа, I и II интерполяционные формулы Ньютона и аппроксимационный полином второго порядка.. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек. Решение.

18 . Таблица значений функции sn с точностью. для равноотстоящей системы из трех узловых точек отрезке ;, где h, имеет вид: h,, на. Интерполяционный полином Лагранжа. Замечание. Так как данный полином строится для произвольной системы узловых точек, то запишем этот полином для равноотстоящих узловых точек: L a a a, где коэффициенты a,, вычисляются так:.5 a.9; (.54.47)(.54.57).866 a.59 ; (.47.54)(.47.57) a.84. (.57.54)(.57.47) Тогда искомый многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид: L ).9( )( ).59( )( ).84( )( ), ( где ;. I интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде: t t N t t. Здесь величины, называются табличными разностями первого и второго порядков соответственно, t. h II интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде: t' t' N t' t'.! Здесь величины и вводятся аналогично случаю, рассмотренному выше, t '. h При построении аппроксимационного многочлена методом

19 наименьших квадратов необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена второго порядка P ( ) a a a. Согласно алгоритму метода наименьших квадратов, для построения многочлена второй степени необходимо вычислить следующие суммы:.4;.88; 5.68;.66;.79;.544, ; и решить систему линейных алгебраических уравнений -го порядка вида ( m ) a a a ; a a a ; () 4 a a a относительно неизвестных коэффициентов a, a, a. В данном случае система () будет выглядеть так a.4a.88a.66;.4a.88a 5.68a.79; ().88a 5.68a 7.66a.544. Для ее решения можно воспользоваться любым известным методом, например, методом Крамера. Для этого необходимо вычислить четыре определителя системы () вида: ; ; ; Значения искомых коэффициентов вычисляются по формулам: a.98; a.64; a.4. Искомый многочлен второго порядка будет иметь вид: P ( ) Для проверки правильности построения полиномов необходимо провести программно процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при, с одинаковым шагом табулирования. Графики этих функций представлены на рисунке. Из графика видно,

20 что искомые полиномы на отрезке практически совпадают с экспериментальной функцией и проходят через узловые точки. Замечание. Аппроксимационный полином в общем случае не проходит через узловые точки и для системы из трех узловых точек может давать погрешность, превышающую погрешность построения остальных полиномов.,,8,6,4,,5,68,84,,5,,47 Рис.. sn() L() N(t) N(t') P() ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов:.. Сформировать таблицу значений экспериментальной функции f с точностью. для равноотстоящей системы из трех узловых точек h,, a; b из области допустимых b a значений функции, где h... Вычислить значения коэффициентов интерполяционной формулы Лагранжа a,, и записать непосредственно полином... Вычислить значения табличных разностей первого и второго порядков, необходимых для построения I и II интерполяционных формул Ньютона и записать непосредственно полиномы..4. Для построения аппроксимационного полинома второго порядка вычислить необходимые суммы, сформировать СЛАУ -го порядка, решить ее любым известным методом и записать непосредственно полином..5. Осуществить процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при, с одинаковым шагом табулирования. Печать результатов табулирования должна осуществляться на каждом шаге в виде следующей таблицы: f L L f N на отрезке f N N f N P f P

21 . Провести вычислительные эксперименты.. Построить графики всех приведенных в таблице функций. 4. Сделать выводы о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ f f варианта варианта 9 5tg 7 e sn 7.5e 7tg cos.e cos e.sn e e sn 8 5.4cose 8 8 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Цель работы: научиться решать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) методами Эйлера и Рунге-Кутта с помощью ЭВМ. Содержание работы:. Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для приближенного решения ОДУ.. На конкретном примере усвоить порядок решения ОДУ указанными методами с помощью ЭВМ.. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс приближенного решения ОДУ указанными методами. 4. Сделать вывод о точности используемых методов. 5. Подготовиться к устному опросу по теме работы.

22 ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание.. Аналитически решить задачу Коши вида: d f, 4, () d. (). Записать рабочие формулы метода Эйлера и метода Рунге-Кутта 4 порядка точности для численного решения системы () при начальном условии () на отрезке,,.8 n. (). Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные процессы. Решение.. ОДУ () является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его аналитическим решением являются интегральные кривые вида 5 5 начального условия () и равна c e 5, c ce, где постоянная c определяется из. Таким образом, решением задачи 5 5 Коши ()-() является интегральная кривая e e.. Для построения рабочих формул методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка точности разделим отрезок () на n равных частей и сформируем систему равноотстоящих точек h,, n, где,.8 n, n.8 шаг интегрирования h. n n Рабочая формула метода Эйлера в общем случае имеет вид: hf,,, n. Для поставленной задачи данная формула запишется так: Эйлер Эйлер 4 Эйлер h,, n (4) Для вычислений по методу Рунге-Кутта 4 порядка необходимо предварительно вычислить 4 коэффициента: k hf,, h k k hf,, h k k hf,, k4 hf h, k, а рабочая формула имеет вид: 5

23 k k k k4,, n. (5) 6 Для рассматриваемого примера коэффициенты запишутся так: 4 Рунге Кутт k h, k k h h h h 4 4 Рунге Кутт Рунге Кутт 4 Рунге Кутт h k. k,. (6) k, k4 h Итерационные процессы, заданные формулами (4), (5) и (6), можно начать, задав начальное условие (). Процессы заканчиваются при достижении конца отрезка (). В этом случае построенные интегральные кривые, являются приближенными решениями задачи Коши ()-() на отрезке () рассматриваемыми методами.. Блок-схема построения приближенного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта приведена на рисунке. Решение: результаты решения сформулированной задачи в виде графиков приведены на рисунке.. Задать параметры метода: n n,, o,, n, h. n. Вычислить h и очередное приближение по формулам (4) (или (5)-(6)).. Проверить условие окончания процесса: n. нет 4. Распечатать приближенное значение., да 6. Останов 5. Обновить начальное приближение, и. Рис.

24 7 7 = Рунге-Кутт() = Эйлер() =() 7 7 -,,,,4,5,6,7,8 Рис. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. Аналитически решить задачу Коши ()-().. Записать рабочие формулы методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка для приближенного решения сформулированной задачи на отрезке ().. Используя блок-схему (Рис.), составить программу на любом языке программирования, реализующую метод Эйлера и метод Рунге-Кутта для задачи Коши. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: Эйлер Эйлер Рунге Кутт Рунге Кутт 4. Провести вычисления при h h/. 5. Построить графики точного решения и двух приближенных (методы Эйлера и Рунге-Кутта). 6. Сделать выводы о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ варианта Задача Коши Отрезок. d, d,. d, d,. d, d, 4. d, d, 5. d, d, 6. d, d,

25 d d d, d d, d d, d d, d d,. d d sn, d d cos, d d, d 7. cos, ,,,,,,,,,.


«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании.

«Численные методы» КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Направление Прикладная информатика Профиль Прикладная информатика в образовании. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра информатики и методики

Подробнее

Стандартные численные методы решения задач с использованием пакета MathCad (электронное издание)

Стандартные численные методы решения задач с использованием пакета MathCad (электронное издание) НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН) А.П. Воробьева Стандартные численные методы решения задач с использованием пакета MathCad (электронное издание) Лабораторный

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

Подробнее

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1

Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по разделу 1 1. Оценочные средства текущего контроля. Вопросы, выносимые на опрос (для дискуссии) по Введению -Назовите виды погрешности. - Как рассчитывается абсолютная погрешность? - Как рассчитывается относительная

Подробнее

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине

Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А. Комплект оценочных средств (контролирующих материалов) по дисциплине Приложение А-1. Тесты текущего контроля СТО БТИ АлтГТУ 15.62.2.0008-2014 Вопросы к модулям (разделам) курса «Вычислительная

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Информатика» семестр 3 НОВОСИБИРСК 008 Министерство науки и образования РФ Новосибирский технологический институт Московского государственного

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

Прикладная математика

Прикладная математика Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ)

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» (НГТУ) Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. Часть 2.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. Часть 2. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Численные

Подробнее

Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика

Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа 1. Теория погрешностей и машинная aрифметика Задания на лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная математика» Лабораторная работа. Теория погрешностей и машинная aрифметика Теоретический материал к данной теме содержится в [, глава ]. Варианты

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

Примеры заданий контрольной работы (допуск к экзамену)

Примеры заданий контрольной работы (допуск к экзамену) Примеры заданий контрольной работы допуск к экзамену Для допуска к экзамену необходимо сдать задачу графики на компьютере и письменную контрольную работу на несданные в семестре темы по численным методам:.

Подробнее

Задачи 1,2. вар x y z F1(x,y,z) F2(x,y,z)

Задачи 1,2. вар x y z F1(x,y,z) F2(x,y,z) Задачи,. Вычислить значение функции F(,,) и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления. Ответ записать с учетом погрешности.

Подробнее

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике

2 Тестовые задания Тест предназначен для проверки общей подготовки студента по вычислительной математике Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Расчетные задания Варианты

Подробнее

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013)

Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билеты по курсу «Введение в численные методы» (2 ой поток) (2013) Билет 1. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Билет 2. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки.

Подробнее

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Владимирский авиамеханический колледж» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине ЧИСЛЕННЫЕ

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.

Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. Министерство образования и науки РФ Алтайский государственный университет Рубцовский институт (филиал) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Учебное пособие Барнаул Рубцовск Барнаул Издательство Алтайского государственного

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.. Решение задачи Коши... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши для одного дифференциального

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных

1 Численные методы решения обыкновенных дифференциальных Введение Пособие посвящено изложению численных методов решения двухточечных задач, которые встречаются во всех областях науки и техники. Для таких задач граничные условия задаются в двух точках, а дифференциальные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1.

( ) ( ) Контрольная работа по численным методам с решением. f (2) f ''(2) = > 0, значит, метод Ньютона сходится. x x ε = 2 1. Контрольная работа по численным методам с решением Задание На отрезке [;] методом Ньютона найти корень уравнения + = с точностью, График функции Условие сходимости метода Ньютона: f f ''(, ( > где = начальное

Подробнее

Этап 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этап 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений стр. Этап Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Дано: + - + = - - 5 + = -5 5 - + - = - 0 + - + = а) Найти решение системы методом простых итераций (точность счёта ε = 0. 0) Алгоритм решения

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1.

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1. Лабораторная работа Решение уравнений средствами Mthcd Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений

Подробнее

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ]

Лекция МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [ ] Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

Подробнее

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. Метод интерполяции многочленом Лагранжа. = j = 0,1,2,...,n, при i j

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. Метод интерполяции многочленом Лагранжа. = j = 0,1,2,...,n, при i j (С ИиКП РХТУ февраль г. Калинкин Владимир Николаевич ПРИБЛИЖЕНИЕ УНКЦИИ Для заданных на отрезке значениях независимой переменной и соответствующих им значениях зависимой переменной, (,,,,, определить аналитическую

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ

Подробнее

Интерполяция сеточных функций

Интерполяция сеточных функций стр. Интерполяция - изменение (лат.) Аппроксимация - приближение (лат.) Интерполяция сеточных функций Дана сеточная функция, заданная таблицей: Лекция = f () Будем считать данную функцию f () и некоторую

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ Интерполяция Интерполяция способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений Пусть в ходе эксперимента при изменении

Подробнее

Методические указания к лабораторным занятиям и самостоятельной работе по дисциплине «Численные методы»

Методические указания к лабораторным занятиям и самостоятельной работе по дисциплине «Численные методы» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Подробнее

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика.

Численные методы решения прикладных задач. Учебно-методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Информатика. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y 3 Интерполирование функций полиномом Лагранжа Цель: формирование навыков интерполирования таблично заданных функций полиномом Лагранжа; оценка погрешности полинома Лагранжа Краткие теоретические сведения

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши

ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши ЛЕКЦИЯ (последняя) Численные методы решения задачи Коши Численные методы позволяют найти только частное решение ДУ (СДУ) в виде сеточной функции. Несмотря на этот недостаток, эти методы применимы к очень

Подробнее

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

Вычислительная математика

Вычислительная математика Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Вычислительная математика Методические указания и контрольные работы УХТА 6 УДК.6 7. ББК. я 7

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Численные методы ИМОЯК, Электроэнергетика и электротехника, уч.год Билет 1

Численные методы ИМОЯК, Электроэнергетика и электротехника, уч.год Билет 1 202-203 учгод Билет 5 Найти корень трансцендентного уравнения cos()+ 2 +,5=0 на [-; 0] с помощью различных методов (метод, метод, метод ) Точность eps=0,00 Результаты представить в виде таблицы 6 Решить

Подробнее

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Занятие 11 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( = 0, (* где f ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА»

Подробнее

Составители: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина. УДК

Составители: Т.В. Моругина, О.И. Чайкина. УДК ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.Алексеева ПРАКТИКУМ ПО

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x

3 1 на отрезке 3;3. на отрезке 4. Проверить найденное решение с помощью надстройки MS Excel Поиск решения (1 балл). y x x ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА К ЗАЧЁТУ ПО ИНФОРМАТИКЕ С РЕШЕНИЕМ (ДЛЯ ЗАЧЁТА MIN БАЛЛОВ!) СамГТУ ИТФ 5/6 Задание Построить график функции y на отрезке ; с шагом h, (,5 балла) С точностью, найти корень нелинейного уравнения

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации 1. Общая информация о дисциплине 1.1. Название дисциплины: Математические методы в электротехнике и электроэнергетике 1.2.1. Трудоёмкость дисциплины

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ Введение Весьма часто ученым и инженерам приходиться сталкиваться с таблично заданными функциями. Такого типа функции возникают при работе с экспериментальными, статистическими

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ УДК 596(075) ББК В9я7- Ч67 Издательство ТГТУ Р е ц е н з е н т ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ТГТУ ДОКТОР ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК СМ ДЗЮБА

Подробнее

Численные методы и моделирование на ЭВМ

Численные методы и моделирование на ЭВМ Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. Численные методы и моделирование на ЭВМ Методические указания к выполнению

Подробнее

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1.

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1. Задание: Вариант #1 x 11x + 36x 36 = 0 Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 04-06 Иванов И.И. Вариант 1 Этап 5. Тема: Методы решения алгебраических

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Министерство образования и науки Российской Федерации Рыбинская государственная авиационная технологическая академия имени П.А. Соловьева Кафедра МПО ЭВС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УТВЕРЖДАЮ Декан факультета РЭИ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет автоматики и вычислительной техники

Подробнее

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы. 1 1. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Его общее и частное решение, частный и общий интеграл. Запись уравнения в нормальной форме. 2. Задача Коши для дифференциального уравнения

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Алексеева О.А. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Челябинск УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексеева О.А. Численные методы: практикум. Челябинск: НОУВПО РБИУ,. 77 с. Рассматриваются наиболее распространенные методы численного

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Вычислительная математика

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Вычислительная математика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем

Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра автоматических и мехатронных систем ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ Практикум Часть Составитель:

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Лабораторная работа 7 ( часа) Численное решение задачи Коши для одного дифференциального уравнения Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 1. Цели и задачи дисциплины 1.1 Цель дисциплины Дисциплина «Вычислительные методы на ЭВМ» согласно государственному образовательному стандарту 220200.62 «Автоматизация и управление» относится к естественнонаучным

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве [ ] точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее