Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента"

Транскрипт

1 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что ab + bc + ca 0 Первый способ Из условия задачи следует, что (a + b + c) = 0 a + b + c + (ab + bc + ca) = 0 Так как a + b + c 0, то ab + bc + ca 0 Второй способ Из условия задачи следует, что с = (а + b), тогда ab + bc + ca = ab + c(a + b) = ab (а + b) = (a + ab + b ) 0, так как в скобках стоит неполный квадрат двучлена Следовательно, условие ab + bc + ca > 0 выполняться не может Дан треугольник со сторонами, 4 и 5 Построены три круга радиусами с центрами в вершинах треугольника Найдите суммарную площадь частей кругов, заключенных внутри треугольника Ответ: Решение Из условия задачи следует, что построенные круги не пересекаются Кроме того, высота данного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 >, значит, каждая часть круга, лежащая внутри треугольника, является 5 сектором радиуса, центральный угол которого совпадает с углом треугольника Так как сумма углов треугольника равна, то суммарная площадь этих секторов равна площади половины единичного круга, то есть равна Три трехзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд Может ли полученное девятизначное число быть простым? Ответ: нет, не может Решение Первый способ Так как данные простые числа составляют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде: а d, а, а + d Сумма цифр каждого из этих чисел дает тот же остаток при делении на, что и само число Значит, сумма цифр девятизначного числа дает тот же остаток при делении на, что и сумма данных чисел, которая равна а Таким образом, полученное число делится на, то есть оно не является простым Второй способ Заметим, что разность прогрессии должна быть кратна трем, иначе три члена прогрессии будут иметь разные остатки от деления на, то есть среди них будет число, кратное трем, которое не может быть простым Следовательно, данные числа имеют одинаковые остатки при делении на и такие же остатки при делении на имеют суммы их цифр, поэтому сумма цифр девятизначного числа кратна трем Таким образом, полученное число делится на, то есть оно не является простым Ситуация, описанная в условии, возможна: например, записаны числа 07, 7, 67 или 67, 97, 7 Отметим также, что доказанное утверждение справедливо для любой тройки простых чисел, не обязательно трехзначных Второй тур (5 минут; каждая задача 7 баллов) si 5x si x 6 Найдите, если si x si x 5 Ответ: 0,76 si 5x Решение ) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента si x ( si si 4si и cos 4cos cos ), а также формулы синуса суммы и

2 двойного аргумента: si 5x si x cosx cosx si x = ( 4si x)cosx + cosx(4cos x si x si x cosx) = ( 4si x)( si x) + 8cos 4 x 6cos x = 4si x 6si x + 8si 4 x + 8cos 4 x 6cos x = 4si x + 8si 4 x + 8( si x) = 4si x + 8si 4 x + 8 6si x + 8si 4 x = 6si 4 x 0si x + 5 ) Найдем значение si x: si x si x 4si x = 4si x; 4si x = 6 si x si x 5 si x = 9 0 ) Вычислим: 6si 4 x 0si 9 x + 5 = = = 9 5 = 0,76 В пункте ) фактически доказана формула: si5x = 6si 5 x 0si x + 5six В прямоугольном параллелепипеде АВСDA B C D АВ = ВС = а, AA = b Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD Найдите наибольшее значение площади проекции Ответ: a a b Решение Пусть плоскость проекции расположена так, как показано на рис Тогда проекция параллелепипеда совпадает с проекцией его диагонального сечения АВС D Так как площадь ортогональной проекции многоугольника не превосходит площади многоугольника, то площадь проекции будет наибольшей, если параллельна этому сечению В этом случае S S AB AD = a a b пр ABC' D' ' Если плоскость содержит внутренние точки Рис параллелепипеда, то его проекция совпадает с проекцией диагонального сечения A B CD Так как площади диагональных сечений равны, то ответ не изменится Этот же результат можно получить непосредственным вычислением Пусть MNFE проекция параллелепипеда (см рис ) Так как АВ CD, то АВ Аналогично, C D, значит, искомая проекция состоит из двух прямоугольников CDEF и CDMN, являющихся проекциями граней ABCD и CDD C соответственно Пусть составляет угол с плоскостью грани CDD C, тогда угол между ней и плоскостью грани АВСD равен 90 Тогда Sпр SСDD' C' cos S ABСD cos 90 abcos a si = a asi bcos Учитывая, что наибольшее значение выражения в скобках равно a b, получим ответ Натуральные числа,,, 99, 00 разбили на 50 множеств Всегда ли хотя бы в одном из множеств найдутся три числа, являющиеся длинами сторон какого-либо треугольника? Ответ: всегда Решение Рассмотрим все числа от 00 до 00 Для любых трех чисел из этого набора существует треугольник с такими длинами сторон Так как в рассмотренном наборе 0 число, то в каком-то из множеств разбиения окажутся хотя бы числа из этого набора (принцип Дирихле) Третий тур (0 минут; каждая задача 8 баллов) По положительным числам х и у вычисляют а = y и b = y + x После этого находят С наименьшее число из трех: x, a и b Какое наибольшее значение может принимать C? Ответ:

3 Решение Из условия задачи следует, что С x, С а и С b Так как b =, то С a x Кроме того, так как все числа положительные, то и Таким a x a C x C образом, С, то есть С С С Значение достигается, если x =, y =, так как в этом случае а = и b = Четырехугольник ABCD вписан в окружность, АС = а, BD = b, ABCD Найдите радиус окружности a b Рис Ответ: Решение Пусть R радиус окружности, BAD =, тогда, так как ABCD, то ÑDА = 90 (см рис ) По следствию из теоремы синусов BD = RsiBAD = Rsi; AC = Rsi ÑDА = Rcos Следовательно, BD + AC = 4R, значит, R = a b Отметим, что ответ не изменится, если концы хорд АВ и CD расположены на окружности в другом порядке, образуя четырехугольник АСBD с перпендикулярными диагоналями В турнире участвовало шахматистов: 4 из России и 7 зарубежных Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш очко, ничья 0,5 очка, поражение 0) По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина? Ответ: нет, не могло 0 Решение Количество партий, сыгранных в турнире, равно = 0 Очков было разыграно столько же, значит, как россияне, так и иностранцы в сумме набрали по 55 очков Лучший из российских шахматистов не мог набрать меньше, чем 4,5 очков (иначе, сумма очков, набранных россиянами, не больше, чем 4 +,5 + +,5 = 5 < 55) Пусть его опередили хотя бы трое иностранцев, тогда они набрали в сумме не меньше, чем 5 + 5,5 + 6 = 46,5 очков Значит, четыре остальных зарубежных шахматиста набрали в сумме не больше, чем 55 46,5 = 8,5 очков Но эти шахматисты 4 только во встречах между собой разыграли = очков, то есть сумма набранных ими очков не могла быть меньше, чем Полученное противоречие показывает, что хотя бы один из россиян стал призером турнира Четвертый тур (5 минут; каждая задача 9 баллов) 4 Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a, a,, a,, в которых a = и a m = a a m для любых натуральных и m Ответ: а = Решение Так как a < a и a натуральное число, то a = Докажем теперь методом математической индукции, что a ) База: a ) Шаг индукции: пусть a, тогда a a a a

4 Доказав, что a, заметим: между a и a находится ровно + = членов последовательности и столько же натуральных чисел Учитывая также, что искомая последовательность (а ) строго возрастающая, получим, что для любых натуральных должно выполняться равенство а = В этом случае a m = m = a a m для любых натуральных и m 4 Дан неравнобедренный остроугольный треугольник АВС Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники АВ С и ВА С с одинаковыми углами при их основаниях АС и ВС Перпендикуляр, проведенный из вершины С к отрезку А В пересекает серединный перпендикуляр к стороне АВ в точке С Найдите угол АС В Ответ: Решение Заметим, что АСВ + < = 80, поэтому А В пересекает стороны АС и ВС (см рис ) Пусть точка D симметрична вершине С относительно А В, тогда D лежит на отрезке СС Кроме того, А D = А B = А C В четырехугольнике А BDC: ВА С = 80, BDC = А BD + А CD = x, тогда x + 80 = 60, значит, x = 90 + Аналогично, ADC = 90 + Следовательно, ADC = ÂDC = 90, то есть DC биссектриса угла АDВ Тогда точка С пересечения биссектрисы треугольника АDВ и серединного перпендикуляра к стороне АВ лежит на окружности, описанной около этого треугольника Таким образом, АС В = 80 АDВ = Точку D можно получить иначе Рассмотрим окружности с центрами А и В и радиусами А С и В С соответственно Так как точка С принадлежит обеим окружностям, а СС перпендикуляр к их линии центров, то D вторая точка пересечения этих окружностей В этом случае BDC = 80 0,5BÀ C = 90 + (по теореме о вписанном и центральном углах) 4 Решите в целых числах уравнение (x y ) = 6y + Ответ: (; 0), (4; ), (4; 5) Решение Так как в правой части уравнения нечетное число, то x y = (x y)(x + y) 0, то есть x y 0 и x + y 0 Тогда (х + у) и (х у) Следовательно, (x y ) (x + y) и (x y ) (x y) Сложив два последних неравенства, получим: (x y ) (x + y) +(x y) = x + y Следовательно, (6y + ) (x + y ) x + y 6y x + (y 8) 65 Значит, 0 y 6 При этом, 6y + является полным квадратом, поэтому возможны только четыре значения y: 0,, 5, 4 Подставляя их в исходное уравнение, находим соответствующие целые значения x, если они существуют Пятый тур (5 минут; каждая задача 7 баллов) 5 Найдите все натуральные >, для которых многочлен x + x + делится нацело на многочлен x + x + Ответ: = +, N Решение Рассмотрим различные остатки от деления на : ) Если = + (N), то x + x + = x + x + x + x + = x(x ) + (x + x + ) делится на x + x +, так как x делится на x, а x делится на x + x + ) Если = + (N), то x + x + = x + x + x + = x (x делится на x + x +, так как x + Рис ) + (x + ) не делится на x + x +, а x + не делится на x + x 4

5 ) Если = (N), то x + x + = (x x ) + (x + ) не делится на x + x +, так как делится на x + x +, а x + не делится на x + x + Школьники, уже знакомые с комплексными числами, могли действовать подругому: найти комплексные корни трехчлена x + x +, а затем, подставив их в многочлен x + x +, потребовать, чтобы его значение равнялось нулю 5 Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4? Рис 4а Ответ: да, существует Решение Первый способ Пусть АВ = диаметр окружности, С произвольная точка на окружности, тогда угол АСВ прямой (см рис 4а) Проведем диаметр CD и отразим отрезок ВС относительно него Тогда в непрямоугольном треугольнике АСВ получим, что AC + B C = AC + BC = АВ = 4, что и требовалось Эту же идею решения можно реализовать, получив конкретный числовой пример Пусть АС =, тогда ВС =, AB C = ABC = 0 Тогда из треугольника АСВ по теореме синусов: B' C AC, то есть sicab = Учитывая, что этот угол тупой, si CAB' si AB' C получим: CAB = 0, тогда AСB = 0 и AB = AC = Тем самым, для решения задачи достаточно предъявить равнобедренный треугольник с боковой стороной и углом при вершине 0, вписанный в данную окружность Рис 4б Второй способ Впишем в данную окружность с диаметром AD = трапецию АВСD Так как трапеция вписанная, то она равнобокая Проведем диагональ АС, тогда ACD = 90 (см рис 4б) Тупоугольный треугольник АВС искомый, так как AC + ÀÂ = АС + CD = AD = 4 И эту идею можно «конкретизировать», если выбрать точки В и С так, чтобы AB = BC = CD =, то есть, чтобы трапеция являлась «половиной» правильного вписанного шестиугольника Тогда треугольник АВС искомый, так как ABC = 0, АС = 5 Прямоугольный параллелепипед размером m разбит на единичные кубики Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)? mm Ответ: 8 Решение На трех ребрах данного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, образовалось m +, + и + точка разбиения соответственно (включая концы) Далее можно рассуждать по-разному Первый способ Каждый параллелепипед однозначно определяется тремя ребрами, исходящими из одной вершины Количество возможных различных ребер по каждому из измерений равно количеству способов выбрать две точки из имеющихся, то есть оно m! mm равно C m ; C! m и C соответственно! Выбор ребра по каждому из измерений происходит независимо, поэтому искомое mm mm количество параллелепипедов равно = 8 Второй способ Всего после разбиения в пространстве образуется (m + )( + )( + ) точек, которые могут стать вершинами параллелепипедов Заметим, что любые две точки, не лежащие в плоскости, параллельной одной из граней данного параллелепипеда, могут стать концами диагонали ровно одного из искомых параллелепипедов Для каждой точки разбиения существует m точек, которые могут 5

6 стать вторым концом такой диагонали, поэтому количество диагоналей равно mm Но в каждом параллелепипеде 4 диагонали, поэтому искомое mm количество параллелепипедов в 4 раза меньше, то есть оно равно 8 Отметим, что можно провести аналогичные рассуждения, введя декартову систему координат в пространстве 6

11 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2.

11 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2. 11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Решите неравенство: x + y 2 + 1. Ответ: (1; 0). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2. Так как x y 2 1 0, то x y 2 +

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равна 011. Сколько корней имеет уравнение ax + bx + 4c = 0? Ответ:

Подробнее

Первый способ. Из данного неравенства следует, что b a c

Первый способ. Из данного неравенства следует, что b a c 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача баллов)... Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение a + b + c = 0 имеет два корня? Ответ: да, верно. Первый способ. Из данного неравенства следует,

Подробнее

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Ответ: n (n + 1) (n + 2)

Ответ: n (n + 1) (n + 2) 9 класс. 1. (5 баллов) Числа a, b, c удовлетворяют условиям a < b < 0, c > 0. Какие из следующих неравенств 1) a 6 > b 6, 2) a + c > b, 3) a c < b c, 4) ac > bc, 5) ab > ac, 6) a + c b c при данных условиях

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью

Подробнее

(2n + 1) = (2m) 2

(2n + 1) = (2m) 2 Районная олимпиада по математике г. Хабаровск, 001 год 9 КЛАСС Задача 1. Пусть n (n 3) различных точек расположены на плоскости так, что любые три из них лежат на одной прямой. Доказать, что все они лежат

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

. Возведя в квадрат обе части неравенства. 2, получим требуемое неравенство. Рис. 1

. Возведя в квадрат обе части неравенства. 2, получим требуемое неравенство. Рис. 1 9 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Прямые у = k + b, у = k + b и у = b + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты? Ответ: (1; 0). Из уравнения первой

Подробнее

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число 4 4 Задача 1 3 5 :1 4 а) 6 б) 3 4 в) 1 6 г) 3 8 Задача Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? в записи354 67 чтобы полученное число при а) б) 3 в) 5 г) 7 Задача 3 Число a на

Подробнее

11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов)

11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов) 11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов) 1.1. Решите в целых числах неравенство: x 3 cos x. Ответ: 0, 1. Решение. Так как 3 cosx 5, то x 5. Следовательно, целые решения неравенства могут

Подробнее

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AC. 27235.

Подробнее

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные.

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные. Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные. Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Теорема косинусов. Следствие 2. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а. cos. Примеры решения задач.

Теорема косинусов. Следствие 2. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а. cos. Примеры решения задач. Теорема косинусов. Теорема косинусов. Если стороны треугольника АВС равны соответственно а, b и с, а противолежащие им углы, и (рис. 1), то выполняются следующие равенства: a b b c c a bccos ca cos c a

Подробнее

Решение задач очного тура девятой олимпиады Эйлера

Решение задач очного тура девятой олимпиады Эйлера Решение задач очного тура девятой олимпиады Эйлера 1. Рассматриваются все решения системы x yz 1, x y z x, x y z. Найдите все значения, которые может принимать x. Ответ: 1; 1; 1. Решение 1. Так как x y

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

AC 6, cos A. Найдите BH.

AC 6, cos A. Найдите BH. Прототипы задания 6 1. Задание 6 ( 26097) 16. Задание 6 ( 20001) В треугольнике ABC угол C равен 90, sin A 0, 6, 21 AC 4. Найдите AB. В треугольнике ABC AC BC 12, sin B. 5 2. Задание 6 ( 29580) Найдите

Подробнее

БИЛЕТ 9. . Это равенство на ОДЗ равносильно следующему:

БИЛЕТ 9. . Это равенство на ОДЗ равносильно следующему: Физтех 017. Билеты 9 1. Решение БИЛЕТ 9 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. sin. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. cos x cos x

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. sin. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. cos x cos x Математика. класс. Вариант МА06 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение 0. cos x π sin x б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку а) Преобразуем уравнение:

Подробнее

cos Центр О(x; y) данной окружности является пересечением серединных перпендикуляров к хордам АВ и CD. Уравнения этих перпендикуляров: x и

cos Центр О(x; y) данной окружности является пересечением серединных перпендикуляров к хордам АВ и CD. Уравнения этих перпендикуляров: x и 11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). sin 1.1. Для каких значений выполняется неравенство: cos? Ответ: для всех действительных значений. Первый способ. Оба слагаемых в левой части положительны.

Подробнее

ID_346 1/8 neznaika.pro

ID_346 1/8 neznaika.pro Вариант 4 Математика Профильный уровень Часть Ответом на задания должно быть целое число или десятичная дробь. Выпускники 9 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из трёх роз каждому учителю

Подробнее

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов 1. В треугольнике угол равен 90, sin A = 7 25. Найдите. 2. В треугольнике угол равен 90, sin A = 17 17. Найдите.

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

Тест 140. Правильный многоугольник. Признак

Тест 140. Правильный многоугольник. Признак Тест 132. Многоугольник. Существование Существуют два треугольника, объединением которых являются: 1. треугольники двух видов: равносторонний и равнобедренный, но не равносторонний; 2. квадрат; 3. шестиугольник;

Подробнее

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. Известно, что значения выражений a и c находится в интервале ( 0,9; 0,8). В каком интервале лежат значения выражения a c? Ответ: в интервале 8 9 ;.

Подробнее

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 2. На клетчатой бумаге с клетками

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Теорема Пифагора

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Теорема Пифагора И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): 8 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Вася сложил четвертую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете. Сможет ли Петя однозначно определить Васино

Подробнее

Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура второй олимпиады Эйлера Коэффициенты квадратного уравнения + + 6c = a c + + = удовлетворяют условию ; a Докажите что это уравнение имеет корень на промежутке ( ) Решение Предположим

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

Подробнее

Объединенная межвузовская математическая олимпиада Общие критерии оценивания

Объединенная межвузовская математическая олимпиада Общие критерии оценивания Объединенная межвузовская математическая олимпиада 000 Общие критерии оценивания По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания): задача решена

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий)

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (4 курс) (120 заданий) 1. Доказательство 1. Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

Подробнее

Задания, ответы и критерии оценивания 1. Решение. Критерии проверки 2. Ответ. Решение. Критерии проверки

Задания, ответы и критерии оценивания 1. Решение. Критерии проверки 2. Ответ. Решение. Критерии проверки ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 016 017 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) Точка O центр квадрата ABCD. Найдите какие-нибудь семь попарно

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов).

11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Найдите ближайшее целое число к числу x, если x =. 5 5 Ответ:. Решение. Преобразуем: x 5 5 9 3 3 Так как, < 6

Подробнее

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

Подробнее

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль "ГЕОМЕТРИЯ")

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль ГЕОМЕТРИЯ) ОГЭ 2015 (задание 13, модуль "ГЕОМЕТРИЯ") 169915 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Тест 201. Круг. Свойство

Тест 201. Круг. Свойство Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

Подробнее

математике класс 1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27. 2) Найдем число, 75% которого равны 27: 36.

математике класс 1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27. 2) Найдем число, 75% которого равны 27: 36. Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по 606 математике 6 класс Что больше: 5% от числа 40 или число, 75% которого равны 7 Решение 405 00 ) Найдем 5% от числа 40: 36 ; 700

Подробнее

Прототипы задания В6-2 (2013)

Прототипы задания В6-2 (2013) Прототипы задания В6-2 (2013) ( 27742) Один острый угол прямоугольного треугольника на больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. ( 27743) В треугольнике ABC угол A равен, внешний

Подробнее

или x 2012 Это равенство выполняется при x 2011

или x 2012 Это равенство выполняется при x 2011 8 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Решите уравнение: (x + 00)(x + 0)(x + 0) = (x + 0)(x + 0)(x + 03). Ответ: 0; 0. Перенесем слагаемые в одну часть и разложим на множители получившееся

Подробнее

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса.

Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Центр Образования 1434 г.москвы, Физико-математический класс Список ключевых определений, утверждений и фактов курса планиметрии 9 физико-математического класса. Учитель математики Друца Алексей Валерьевич

Подробнее

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач Дистанционный этап олимпиады Физтех-011 11 класс. Решения задач 1. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

Подробнее

7 класс Первый тур ( 10 минут; каждая задача 6 баллов Второй тур ( 15 минут; каждая задача 7 баллов

7 класс Первый тур ( 10 минут; каждая задача 6 баллов Второй тур ( 15 минут; каждая задача 7 баллов класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Графики функций у = kx + b и у = bx + k пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения. Ответ: x =. Первый способ. Искомая абсцисса является решением

Подробнее

Ответ: (2; 0,5; 2,5). Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и подставим в него значение 4z из уравнения. Получим: x 2 4y 2

Ответ: (2; 0,5; 2,5). Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и подставим в него значение 4z из уравнения. Получим: x 2 4y 2 11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). x y z, 1.1. Решите систему:. x 4y 5 4z Ответ: (; 0,5;,5). Решение. Умножим обе части неравенства на 4 и подставим в него значение 4z из уравнения.

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Основные понятия

ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Основные понятия ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Программа вступительного испытания по математике для поступающих на бюджетную форму обучения Основные понятия

Подробнее

Соотношения между внутренними и внешними углами треугольника

Соотношения между внутренними и внешними углами треугольника ТЕМА 2. ТРЕУГОЛЬНИК Определение Треугольником называется многоугольник с тремя углами (и тремя сторонами). То есть, соединив три точки, не лежащие на одной прямой, тремя отрезками, получим геометрическую

Подробнее

Подготовила ученица 9 класса МОУ Яринской ООШ Куранова Маргарита. Руководитель: Быстрова И. А.

Подготовила ученица 9 класса МОУ Яринской ООШ Куранова Маргарита. Руководитель: Быстрова И. А. Подготовила ученица 9 класса МОУ Яринской ООШ Куранова Маргарита. Руководитель: Быстрова И. А. Окружность множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние от заданной точки (центра). Круг

Подробнее

Районная олимпиада по математике учебный год. Условия задач

Районная олимпиада по математике учебный год. Условия задач 9 класс Районная олимпиада Районная олимпиада по математике 2015 2016 учебный год Условия задач 8 класс Задача 1. Найдите наименьшее натуральное n, обладающее следующим свойством: все цифры в десятичной

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 00 год 9 КЛАСС Задача 1. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника.

Подробнее

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех»

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» 1. Укажите номера верных утверждений. Г.9.1.1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести

Подробнее

Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ. (учебник Макарычев) класс 8.2. Алгебра. Алгебраические дроби.

Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ. (учебник Макарычев) класс 8.2. Алгебра. Алгебраические дроби. 1. Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ (учебник Макарычев) класс 8. Алгебра. Алгебраические дроби. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1 1 14. 15. 1. Множество натуральных и целых чисел.

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Набережные Челны «Гимназия 76» Оценочные материалы по предмету Математика.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Набережные Челны «Гимназия 76» Оценочные материалы по предмету Математика. Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Набережные Челны «Гимназия 76» Оценочные материалы по предмету Математика 9 класс Контрольная работа 1 по теме «Квадратный трехчлен» 1.Разложите

Подробнее

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач Дистанционный этап олимпиады Физтех-0 9 класс. Решения задач. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь

Подробнее

Второй способ. t. переменных p и q. Пусть р q, тогда, так как p и q простые числа, то или 1 1

Второй способ. t. переменных p и q. Пусть р q, тогда, так как p и q простые числа, то или 1 1 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Решите уравнение: х 6 + х 4 + х =. Ответ:. Пусть х = t 0, тогда уравнение примет вид: t + t + t =. Далее возможны различные способы решения. Первый

Подробнее

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 04-05 ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Время, отводимое на решение задач: 5-8 классы 60 минут 9- классы 90 минут Министерством

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач»

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» 1. Применение геометрических преобразований При введении вспомогательных фигур часто используются

Подробнее

Y. Найдите координаты точки А. Ответ: А(0; 2). Решение. Так как графиком является прямая, то 2. a 1.

Y. Найдите координаты точки А. Ответ: А(0; 2). Решение. Так как графиком является прямая, то 2. a 1. 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... На рисунке изображен график функции Y у ( а )( х ) ( а )( х ). Найдите координаты точки А. Ответ: А(0; ). Решение. Так как графиком является прямая,

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Параллелограмм. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите стороны параллелограмма. и 4. Найдите

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах. МНОГОУГОЛЬНИКИ 1. Задание 9 132779. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Задание 9 132781. В выпуклом четырехугольнике ABCD,,,. Найдите

Подробнее

Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2015 Введение Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит около четырехсот

Подробнее

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Прототипы (456) заданий В-04 ЧАСТЬ 2 Задание B4 ( 27473) В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. Задание B4 ( 27474) В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите. Задание B4 ( 27742) Один острый угол прямоугольного

Подробнее

BC 3, sin A. Найдите AH. BC 8, sin A 0, 5. Найдите BH. BC 3, AC 3, Прототипы заданий B года 13. Прототип задания B8 ( 27284)

BC 3, sin A. Найдите AH. BC 8, sin A 0, 5. Найдите BH. BC 3, AC 3, Прототипы заданий B года 13. Прототип задания B8 ( 27284) 1. Прототип задания B8 ( 0) В треугольнике ABC угол C равен 90, sin A 0, 1. Найдите cosb.. Прототип задания B8 ( 5) 1 AB = 13, tga. Найдите AH. 5 3. Прототип задания B8 ( ) AB 13, tga 5. Найдите BH. 4.

Подробнее

2. Вписанные и описанные четырехугольники

2. Вписанные и описанные четырехугольники 005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II).. Вписанные и описанные четырехугольники Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Подробнее

Решение. x 2 y y 0 y(x 2 y

Решение. x 2 y y 0 y(x 2 y 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: x y y 0. Ответ: см. рис.. Решение. x y y 0 y(x y 0, y 0, ) 0 или.

Подробнее

Дима хочет провести как можно больше хорд, а Марат старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Дима? Ответ:154.

Дима хочет провести как можно больше хорд, а Марат старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Дима? Ответ:154. 2 тур 9 класс 1. Некоторые из 20 больших коробок содержат по 8 средних, а некоторые из средних коробок содержат по 8 маленьких. Сколько всего коробок, если пустых 97 штук? Ответ: Общее число коробок равно101.

Подробнее

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии.

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии. Мастер-класс «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1. Октябрь 2017. Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27.

1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27. по математике 6.11.016 г 6 класс 1. Что больше: 15% от числа 40 или число, 75% которого равны 7.. Чтобы пронумеровать страницы научной работы потребовалось 3389 цифр. Сколько страниц в этой работе? 3.

Подробнее

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее среднее образование, для получения среднего специального или высшего образования І ступени, 2015 год УТВЕРЖДЕНО

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B5 ( 27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 ( 27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 ( 27547) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

Метод ключевых задач

Метод ключевых задач Метод ключевых задач Задачи, в которых фигурируют середины отрезков Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пример. В четырехугольнике = = 90. Точки и

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия Интерактивный комплект 2. Параллельность и перпендикулярность 2.3. Теорема о трех перпендикулярах Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ. Пособие для подготовки к ГИА. Задачи на выбор верных утверждений

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ. Пособие для подготовки к ГИА. Задачи на выбор верных утверждений В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Пособие для подготовки к ГИА Задачи на выбор верных утверждений 2015 1 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ГИА по математике.

Подробнее

( 1) > 1, но уравнение x x 1

( 1) > 1, но уравнение x x 1 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно, что b c > a и а 0. Обязательно ли уравнение ax + bx + c = 0 имеет два корня? Ответ: нет, не обязательно. Решение. Например, a = 1,

Подробнее

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ. Планиметрия

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ. Планиметрия МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск 003 . ТРЕУГОЛЬНИКИ.. Прямоугольный треугольник... Метрические соотношения b катеты с гипотенуза h высота AH = c BH =.... Площадь b S =. b ) +

Подробнее