Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента"

Транскрипт

1 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что ab + bc + ca 0 Первый способ Из условия задачи следует, что (a + b + c) = 0 a + b + c + (ab + bc + ca) = 0 Так как a + b + c 0, то ab + bc + ca 0 Второй способ Из условия задачи следует, что с = (а + b), тогда ab + bc + ca = ab + c(a + b) = ab (а + b) = (a + ab + b ) 0, так как в скобках стоит неполный квадрат двучлена Следовательно, условие ab + bc + ca > 0 выполняться не может Дан треугольник со сторонами, 4 и 5 Построены три круга радиусами с центрами в вершинах треугольника Найдите суммарную площадь частей кругов, заключенных внутри треугольника Ответ: Решение Из условия задачи следует, что построенные круги не пересекаются Кроме того, высота данного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 >, значит, каждая часть круга, лежащая внутри треугольника, является 5 сектором радиуса, центральный угол которого совпадает с углом треугольника Так как сумма углов треугольника равна, то суммарная площадь этих секторов равна площади половины единичного круга, то есть равна Три трехзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд Может ли полученное девятизначное число быть простым? Ответ: нет, не может Решение Первый способ Так как данные простые числа составляют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде: а d, а, а + d Сумма цифр каждого из этих чисел дает тот же остаток при делении на, что и само число Значит, сумма цифр девятизначного числа дает тот же остаток при делении на, что и сумма данных чисел, которая равна а Таким образом, полученное число делится на, то есть оно не является простым Второй способ Заметим, что разность прогрессии должна быть кратна трем, иначе три члена прогрессии будут иметь разные остатки от деления на, то есть среди них будет число, кратное трем, которое не может быть простым Следовательно, данные числа имеют одинаковые остатки при делении на и такие же остатки при делении на имеют суммы их цифр, поэтому сумма цифр девятизначного числа кратна трем Таким образом, полученное число делится на, то есть оно не является простым Ситуация, описанная в условии, возможна: например, записаны числа 07, 7, 67 или 67, 97, 7 Отметим также, что доказанное утверждение справедливо для любой тройки простых чисел, не обязательно трехзначных Второй тур (5 минут; каждая задача 7 баллов) si 5x si x 6 Найдите, если si x si x 5 Ответ: 0,76 si 5x Решение ) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента si x ( si si 4si и cos 4cos cos ), а также формулы синуса суммы и

2 двойного аргумента: si 5x si x cosx cosx si x = ( 4si x)cosx + cosx(4cos x si x si x cosx) = ( 4si x)( si x) + 8cos 4 x 6cos x = 4si x 6si x + 8si 4 x + 8cos 4 x 6cos x = 4si x + 8si 4 x + 8( si x) = 4si x + 8si 4 x + 8 6si x + 8si 4 x = 6si 4 x 0si x + 5 ) Найдем значение si x: si x si x 4si x = 4si x; 4si x = 6 si x si x 5 si x = 9 0 ) Вычислим: 6si 4 x 0si 9 x + 5 = = = 9 5 = 0,76 В пункте ) фактически доказана формула: si5x = 6si 5 x 0si x + 5six В прямоугольном параллелепипеде АВСDA B C D АВ = ВС = а, AA = b Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD Найдите наибольшее значение площади проекции Ответ: a a b Решение Пусть плоскость проекции расположена так, как показано на рис Тогда проекция параллелепипеда совпадает с проекцией его диагонального сечения АВС D Так как площадь ортогональной проекции многоугольника не превосходит площади многоугольника, то площадь проекции будет наибольшей, если параллельна этому сечению В этом случае S S AB AD = a a b пр ABC' D' ' Если плоскость содержит внутренние точки Рис параллелепипеда, то его проекция совпадает с проекцией диагонального сечения A B CD Так как площади диагональных сечений равны, то ответ не изменится Этот же результат можно получить непосредственным вычислением Пусть MNFE проекция параллелепипеда (см рис ) Так как АВ CD, то АВ Аналогично, C D, значит, искомая проекция состоит из двух прямоугольников CDEF и CDMN, являющихся проекциями граней ABCD и CDD C соответственно Пусть составляет угол с плоскостью грани CDD C, тогда угол между ней и плоскостью грани АВСD равен 90 Тогда Sпр SСDD' C' cos S ABСD cos 90 abcos a si = a asi bcos Учитывая, что наибольшее значение выражения в скобках равно a b, получим ответ Натуральные числа,,, 99, 00 разбили на 50 множеств Всегда ли хотя бы в одном из множеств найдутся три числа, являющиеся длинами сторон какого-либо треугольника? Ответ: всегда Решение Рассмотрим все числа от 00 до 00 Для любых трех чисел из этого набора существует треугольник с такими длинами сторон Так как в рассмотренном наборе 0 число, то в каком-то из множеств разбиения окажутся хотя бы числа из этого набора (принцип Дирихле) Третий тур (0 минут; каждая задача 8 баллов) По положительным числам х и у вычисляют а = y и b = y + x После этого находят С наименьшее число из трех: x, a и b Какое наибольшее значение может принимать C? Ответ:

3 Решение Из условия задачи следует, что С x, С а и С b Так как b =, то С a x Кроме того, так как все числа положительные, то и Таким a x a C x C образом, С, то есть С С С Значение достигается, если x =, y =, так как в этом случае а = и b = Четырехугольник ABCD вписан в окружность, АС = а, BD = b, ABCD Найдите радиус окружности a b Рис Ответ: Решение Пусть R радиус окружности, BAD =, тогда, так как ABCD, то ÑDА = 90 (см рис ) По следствию из теоремы синусов BD = RsiBAD = Rsi; AC = Rsi ÑDА = Rcos Следовательно, BD + AC = 4R, значит, R = a b Отметим, что ответ не изменится, если концы хорд АВ и CD расположены на окружности в другом порядке, образуя четырехугольник АСBD с перпендикулярными диагоналями В турнире участвовало шахматистов: 4 из России и 7 зарубежных Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш очко, ничья 0,5 очка, поражение 0) По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина? Ответ: нет, не могло 0 Решение Количество партий, сыгранных в турнире, равно = 0 Очков было разыграно столько же, значит, как россияне, так и иностранцы в сумме набрали по 55 очков Лучший из российских шахматистов не мог набрать меньше, чем 4,5 очков (иначе, сумма очков, набранных россиянами, не больше, чем 4 +,5 + +,5 = 5 < 55) Пусть его опередили хотя бы трое иностранцев, тогда они набрали в сумме не меньше, чем 5 + 5,5 + 6 = 46,5 очков Значит, четыре остальных зарубежных шахматиста набрали в сумме не больше, чем 55 46,5 = 8,5 очков Но эти шахматисты 4 только во встречах между собой разыграли = очков, то есть сумма набранных ими очков не могла быть меньше, чем Полученное противоречие показывает, что хотя бы один из россиян стал призером турнира Четвертый тур (5 минут; каждая задача 9 баллов) 4 Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a, a,, a,, в которых a = и a m = a a m для любых натуральных и m Ответ: а = Решение Так как a < a и a натуральное число, то a = Докажем теперь методом математической индукции, что a ) База: a ) Шаг индукции: пусть a, тогда a a a a

4 Доказав, что a, заметим: между a и a находится ровно + = членов последовательности и столько же натуральных чисел Учитывая также, что искомая последовательность (а ) строго возрастающая, получим, что для любых натуральных должно выполняться равенство а = В этом случае a m = m = a a m для любых натуральных и m 4 Дан неравнобедренный остроугольный треугольник АВС Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники АВ С и ВА С с одинаковыми углами при их основаниях АС и ВС Перпендикуляр, проведенный из вершины С к отрезку А В пересекает серединный перпендикуляр к стороне АВ в точке С Найдите угол АС В Ответ: Решение Заметим, что АСВ + < = 80, поэтому А В пересекает стороны АС и ВС (см рис ) Пусть точка D симметрична вершине С относительно А В, тогда D лежит на отрезке СС Кроме того, А D = А B = А C В четырехугольнике А BDC: ВА С = 80, BDC = А BD + А CD = x, тогда x + 80 = 60, значит, x = 90 + Аналогично, ADC = 90 + Следовательно, ADC = ÂDC = 90, то есть DC биссектриса угла АDВ Тогда точка С пересечения биссектрисы треугольника АDВ и серединного перпендикуляра к стороне АВ лежит на окружности, описанной около этого треугольника Таким образом, АС В = 80 АDВ = Точку D можно получить иначе Рассмотрим окружности с центрами А и В и радиусами А С и В С соответственно Так как точка С принадлежит обеим окружностям, а СС перпендикуляр к их линии центров, то D вторая точка пересечения этих окружностей В этом случае BDC = 80 0,5BÀ C = 90 + (по теореме о вписанном и центральном углах) 4 Решите в целых числах уравнение (x y ) = 6y + Ответ: (; 0), (4; ), (4; 5) Решение Так как в правой части уравнения нечетное число, то x y = (x y)(x + y) 0, то есть x y 0 и x + y 0 Тогда (х + у) и (х у) Следовательно, (x y ) (x + y) и (x y ) (x y) Сложив два последних неравенства, получим: (x y ) (x + y) +(x y) = x + y Следовательно, (6y + ) (x + y ) x + y 6y x + (y 8) 65 Значит, 0 y 6 При этом, 6y + является полным квадратом, поэтому возможны только четыре значения y: 0,, 5, 4 Подставляя их в исходное уравнение, находим соответствующие целые значения x, если они существуют Пятый тур (5 минут; каждая задача 7 баллов) 5 Найдите все натуральные >, для которых многочлен x + x + делится нацело на многочлен x + x + Ответ: = +, N Решение Рассмотрим различные остатки от деления на : ) Если = + (N), то x + x + = x + x + x + x + = x(x ) + (x + x + ) делится на x + x +, так как x делится на x, а x делится на x + x + ) Если = + (N), то x + x + = x + x + x + = x (x делится на x + x +, так как x + Рис ) + (x + ) не делится на x + x +, а x + не делится на x + x 4

5 ) Если = (N), то x + x + = (x x ) + (x + ) не делится на x + x +, так как делится на x + x +, а x + не делится на x + x + Школьники, уже знакомые с комплексными числами, могли действовать подругому: найти комплексные корни трехчлена x + x +, а затем, подставив их в многочлен x + x +, потребовать, чтобы его значение равнялось нулю 5 Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4? Рис 4а Ответ: да, существует Решение Первый способ Пусть АВ = диаметр окружности, С произвольная точка на окружности, тогда угол АСВ прямой (см рис 4а) Проведем диаметр CD и отразим отрезок ВС относительно него Тогда в непрямоугольном треугольнике АСВ получим, что AC + B C = AC + BC = АВ = 4, что и требовалось Эту же идею решения можно реализовать, получив конкретный числовой пример Пусть АС =, тогда ВС =, AB C = ABC = 0 Тогда из треугольника АСВ по теореме синусов: B' C AC, то есть sicab = Учитывая, что этот угол тупой, si CAB' si AB' C получим: CAB = 0, тогда AСB = 0 и AB = AC = Тем самым, для решения задачи достаточно предъявить равнобедренный треугольник с боковой стороной и углом при вершине 0, вписанный в данную окружность Рис 4б Второй способ Впишем в данную окружность с диаметром AD = трапецию АВСD Так как трапеция вписанная, то она равнобокая Проведем диагональ АС, тогда ACD = 90 (см рис 4б) Тупоугольный треугольник АВС искомый, так как AC + ÀÂ = АС + CD = AD = 4 И эту идею можно «конкретизировать», если выбрать точки В и С так, чтобы AB = BC = CD =, то есть, чтобы трапеция являлась «половиной» правильного вписанного шестиугольника Тогда треугольник АВС искомый, так как ABC = 0, АС = 5 Прямоугольный параллелепипед размером m разбит на единичные кубики Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)? mm Ответ: 8 Решение На трех ребрах данного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, образовалось m +, + и + точка разбиения соответственно (включая концы) Далее можно рассуждать по-разному Первый способ Каждый параллелепипед однозначно определяется тремя ребрами, исходящими из одной вершины Количество возможных различных ребер по каждому из измерений равно количеству способов выбрать две точки из имеющихся, то есть оно m! mm равно C m ; C! m и C соответственно! Выбор ребра по каждому из измерений происходит независимо, поэтому искомое mm mm количество параллелепипедов равно = 8 Второй способ Всего после разбиения в пространстве образуется (m + )( + )( + ) точек, которые могут стать вершинами параллелепипедов Заметим, что любые две точки, не лежащие в плоскости, параллельной одной из граней данного параллелепипеда, могут стать концами диагонали ровно одного из искомых параллелепипедов Для каждой точки разбиения существует m точек, которые могут 5

6 стать вторым концом такой диагонали, поэтому количество диагоналей равно mm Но в каждом параллелепипеде 4 диагонали, поэтому искомое mm количество параллелепипедов в 4 раза меньше, то есть оно равно 8 Отметим, что можно провести аналогичные рассуждения, введя декартову систему координат в пространстве 6

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число

а) 6 Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? чтобы полученное число при в) 5 б) 3 г) 7 больше числа b. Во сколько раз число 4 4 Задача 1 3 5 :1 4 а) 6 б) 3 4 в) 1 6 г) 3 8 Задача Какую цифру нужно вставить вместо делении на 9 в остатке давало 3? в записи354 67 чтобы полученное число при а) б) 3 в) 5 г) 7 Задача 3 Число a на

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AC. 27235.

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. sin. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. cos x cos x

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. sin. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. cos x cos x Математика. класс. Вариант МА06 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение 0. cos x π sin x б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку а) Преобразуем уравнение:

Подробнее

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. Известно, что значения выражений a и c находится в интервале ( 0,9; 0,8). В каком интервале лежат значения выражения a c? Ответ: в интервале 8 9 ;.

Подробнее

ID_346 1/8 neznaika.pro

ID_346 1/8 neznaika.pro Вариант 4 Математика Профильный уровень Часть Ответом на задания должно быть целое число или десятичная дробь. Выпускники 9 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из трёх роз каждому учителю

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов) Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): 8 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Вася сложил четвертую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете. Сможет ли Петя однозначно определить Васино

Подробнее

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов 1. В треугольнике угол равен 90, sin A = 7 25. Найдите. 2. В треугольнике угол равен 90, sin A = 17 17. Найдите.

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 04-05 ШКОЛЬНЫЙ ТУР РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Время, отводимое на решение задач: 5-8 классы 60 минут 9- классы 90 минут Министерством

Подробнее

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач

Дистанционный этап олимпиады Физтех класс. Решения задач Дистанционный этап олимпиады Физтех-0 9 класс. Решения задач. Находясь в гостях у Кролика, Винни-Пух за первый час съел 40% всего запаса меда Кролика, а Пятачок и Кролик вместе за это же время съели лишь

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ. (учебник Макарычев) класс 8.2. Алгебра. Алгебраические дроби.

Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ. (учебник Макарычев) класс 8.2. Алгебра. Алгебраические дроби. 1. Банк заданий для подготовки к итоговой аттестации по МАТЕМАТИКЕ (учебник Макарычев) класс 8. Алгебра. Алгебраические дроби. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1 1 14. 15. 1. Множество натуральных и целых чисел.

Подробнее

Минская городская интернет-олимпиада по математике среди 8-9 классов 2016 год. Решения задач очного тура (15 октября) 8 класс

Минская городская интернет-олимпиада по математике среди 8-9 классов 2016 год. Решения задач очного тура (15 октября) 8 класс Минская городская интернет-олимпиада по математике среди 8-9 классов 016 год Решения задач очного тура (15 октября) 8 класс 1. В квадрате 5 5 проведены разрезы по некоторым сторонам квадратов 1 1. Могло

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. сторона основания равна 11, а боковое ребро AA. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1 B1C 1D 1 C Математика. класс. Вариант МА-5 (без производной) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение = cos x. 5π б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; π. а)

Подробнее

Решение. x 2 y y 0 y(x 2 y

Решение. x 2 y y 0 y(x 2 y 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: x y y 0. Ответ: см. рис.. Решение. x y y 0 y(x y 0, y 0, ) 0 или.

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

Вариант Найдите значение выражения Решение. Вынесем общий множитель за скобки: О т ве т : 4.

Вариант Найдите значение выражения Решение. Вынесем общий множитель за скобки: О т ве т : 4. Вариант 3143401 1. Найдите значение выражения Вынесем общий множитель за скобки: О т ве т : 3. 2. На координатной прямой точками отмечены числа Какому числу соответствует точка B? 1) 2) 3) 0,42 4) 0,45,

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах. МНОГОУГОЛЬНИКИ 1. Задание 9 132779. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Задание 9 132781. В выпуклом четырехугольнике ABCD,,,. Найдите

Подробнее

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Прототипы (456) заданий В-04 ЧАСТЬ 2 Задание B4 ( 27473) В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. Задание B4 ( 27474) В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите. Задание B4 ( 27742) Один острый угол прямоугольного

Подробнее

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен БИЛЕТ 1 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение f(x). Ответ.

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия Интерактивный комплект 2. Параллельность и перпендикулярность 2.3. Теорема о трех перпендикулярах Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры

Подробнее

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика Финальный тур 000 7 класс 7 На контрольной в 7 а было мальчиков на три человека больше, чем девочек По результатам контрольной оказалось, что

Подробнее

10 x 9. Ответ: 5. Так как левая часть уравнения принимает только положительные значения, то x > Так как на (4; + ) функция f x 2 x 16

10 x 9. Ответ: 5. Так как левая часть уравнения принимает только положительные значения, то x > Так как на (4; + ) функция f x 2 x 16 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Решите уравнение: x 6 0 x 9. x Ответ: 5. Так как левая часть уравнения принимает только положительные значения, то x >. 0 Так как на (; +) функция

Подробнее

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением

3. Сфера и многоугольники. В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением . Сфера и многоугольники В прямоугольной системе координат сфера с центром в точке С (x 0, y 0, z 0 ) и радиусом R задается уравнением ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. 0 0 0 R Задача. SABCD правильная четырехугольная

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Аффинные преобразования.

Аффинные преобразования. Аффинные преобразования. Методологический паспорт. Тема: Аффинные преобразования плоскости. Проблема: Изучение понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике.

Подробнее

Математика. 11 класс. Вариант МА Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Математика. 11 класс. Вариант МА Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. класс. Вариант МА0609 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение log (sin ) log (sin ) 0. cos б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π ;π. а)

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт: стр. 1

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт:  стр. 1 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 10 класс, 1 тур учебного года. 1. Какое из чисел больше. 2 или

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 10 класс, 1 тур учебного года. 1. Какое из чисел больше. 2 или МГТУ им НЭБаумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 10 класс, 1 тур 01-01 учебного года 1 Какое из чисел больше или? Найти множество значений параметра a, при которых дискриминант уравнения ax + x +

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

Подробнее

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость.

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость. Лекция 3. Методы изображений 27 2. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E 3 некоторую плоскость σ и какой-нибудь ненулевой вектор p r, непараллельный этой плоскости. Пусть A -произвольная

Подробнее

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( )

. Значит, одно из чисел делится на 101. Рассмотрим два случая.. Первый множитель делится ( ) ( ) ( ) Физтех 0, 0 класс, решения билета Известно, что sin x = cos y sin y, cos x = sin y cos y Найдите sin y 7 Ответ sin y = 0 Решение Возводя оба равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем = 0 sin

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

Вступительный тест по математике в 10 физ-мат, мат-эк и мат-инф классы СУНЦ УрФУ 2014 год. Решения и ответы. Вариант 1. Часть B

Вступительный тест по математике в 10 физ-мат, мат-эк и мат-инф классы СУНЦ УрФУ 2014 год. Решения и ответы. Вариант 1. Часть B Вступительный тест по математике в 10 физ-мат, мат-эк и мат-инф классы СУНЦ УрФУ 014 год Решения и ответы Вариант 1 Часть B B1. Найдите область определения функции x +1 x 9. Решение: Функция определена,

Подробнее

XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников. 9 класс

XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников. 9 класс 9 класс Первый день 9.. Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных

Подробнее

ББК я72 М52 ISBN

ББК я72 М52 ISBN ББК 22.151я72 М52 Мерзляк А.Г. М52 Геометрия : 9 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и др. М. : Вентана-Граф,

Подробнее

ID_7510 1/9 neznaika.pro

ID_7510 1/9 neznaika.pro 1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Муниципальное автономное образовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Составил: учитель математики Барда Мария

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов

Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов Олимпиада школьников СПбГУ по математике. Заключительный этап. 2015/2016 учебный год. Задания для 6-9 классов (Правильное и полное решение каждой задачи оценивается в 20 баллов) Олимпиада школьников СПбГУ

Подробнее

tgbac. В8 ЕГЭ В ABC C = 90 0, CH высота, AB = 13, tga 5. Найдите BH. 12,5 3 В ABC C = 90 0, AB = 13, tga. Найдите высоту CH.

tgbac. В8 ЕГЭ В ABC C = 90 0, CH высота, AB = 13, tga 5. Найдите BH. 12,5 3 В ABC C = 90 0, AB = 13, tga. Найдите высоту CH. В-8. ПРОТОТИПЫ Задание ответ В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите AH., В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите, В ABC C = 90 0, AB =, tga. Найдите высоту CH., В ABC C = 90 0, CH высота,

Подробнее

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1 Физтех 0, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x =

Подробнее

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым Параллелепипед Термин «параллелепипедальное тело» встречается впервые у Евклида и означает дословно «параллеле» - плоскостное тело. Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Подробнее

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы Вписанные углы, четырехугольники, окружности Вписанные углы 1. Две окружности пересекаются в точках A и B. Продолжения хорд AC и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках E и F. Докажите,

Подробнее

Количество набранных баллов

Количество набранных баллов Варианты заданий для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах Задания для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах академического уровня

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

Сириус, класс «группа В» 3-4 сентября

Сириус, класс «группа В» 3-4 сентября Вписанные углы Определение. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным, а градусная мера дуги, высекаемой им, равна его градусной мере. Определение. Угол с вершиной на окружности называется

Подробнее

Решения заданий День 2

Решения заданий День 2 II Кавказская математическая олимпиада Решения заданий День Д. К. Мамий Д. А. Белов В. А. Брагин Л. А. Емельянов П. А. Кожевников С. И. Токарев 13 18 марта 017 г. г. Майкоп Республика Адыгея II Кавказская

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ID_348 1/9 neznaika.pro

ID_348 1/9 neznaika.pro Вариант 6 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 1 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Астры стоят рублей

Подробнее

8. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. 9. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя

8. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. 9. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя Итоговая контрольная работа за курс 8 1 вариант Часть 1 Модуль «Алгебра» класса, 2017г Модуль «Геометрия» 7. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60. Найдите радиус

Подробнее

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1

Физтех 2015, 10 класс, решения билета 1 Физтех 05, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k +, 5 x = + k, x = + k Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x = + k, k

Подробнее

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 1.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)»

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для абитуриентов, поступающих в вуз

Подробнее

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Математика. 0 класс. Вариант МА00409 (Профильный уровень) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 5 а) Решите уравнение sin x + sin x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Решите относительно x уравнение x( x ab) a b. Решение. Ясно, что x a b корень данного уравнения. Разделив многочлен x abx

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

Подробнее

Ответы (8 класс) v 2 t 2

Ответы (8 класс) v 2 t 2 Ответы (4класс) 1. Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства. Расставь порядок выполнения действий: а) (7 7+ 7): 7 = 12 е)

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном,

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны

соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны Южная математическая смена 1-4 ноября 016 ДЕНЬ ЧЕТЫРНАДЦАТЫЙ 1 ноября 016 1. а) Длины сторон AB, BC и AC треугольника ABC равны c, a и b соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны

Подробнее

Элементы сферической геометрии

Элементы сферической геометрии Дополнения к семинару 6 Элементы сферической геометрии Упражнение 6.1. Опишите все тройки точек сферы, являющиеся вершинами некоторых сферических треугольников. Сколько различных сферических треугольников

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

иант 1. Вариант 2. BCD параллелограмм, 1. ABCD параллелограмм, векторам.

иант 1. Вариант 2. BCD параллелограмм, 1. ABCD параллелограмм, векторам. трольная работа 1. Векторы. Контрольная работа 1. Векторы. иант 1. BCD параллелограмм, 1. ABCD параллелограмм, дите разложение вектора по неколлинеарным Найдите разложение вектора по неколлинеарным торам.

Подробнее

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г.

Заключительный этап академического соревнования. Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 2015 г. Заключительный этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» в 05 г Вариант Одновременно из пункта A в пункт B отправляется автомобиль

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Вариант 1 1 81 1. а) Решите уравнение ( ) cos sin = 9. π π;.. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 0, а боковое ребро SA равно 7. Точки M и N середины рёбер SA и SB соответственно.

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

ID_346 1/7 neznaika.pro

ID_346 1/7 neznaika.pro Вариант 4 Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 12 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 Выпускники 9 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из трёх роз каждому

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

CQ CB = CP CA = 4CP 2 = (2CP ) 2 = CM 2.

CQ CB = CP CA = 4CP 2 = (2CP ) 2 = CM 2. LXXVII Московская математическая олимпиада Решения задач 10 класса версия от 11.03.2014 Задача 1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + c принимает в точках 1 и c a значения разных знаков. Докажите, что

Подробнее

Олимпиада школьников СПбГУ по математике Задания заключительного этапа 2014/2015 учебный год Задания для 6-9 классов

Олимпиада школьников СПбГУ по математике Задания заключительного этапа 2014/2015 учебный год Задания для 6-9 классов Олимпиада школьников СПбГУ по математике Задания заключительного этапа 2014/2015 учебный год Задания для 6-9 классов (Правильное и полное решение каждой задачи оценивается в 20 баллов) Первый вариант 1.

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

, то Т.к. S 10 = 1 +

, то Т.к. S 10 = 1 + 96. a) а 0; d ; a 99. Т.к. a a + ( )d, то 99 0 +. Тогда 90; a + a 90 0 + 99 S90 90 90 09 90. б) а 00; d ; a 999. Т.к. a a + ( )d, то 999 00 +. Т.е. 900; a + a 900 00 + 999 S900 900 900 099 0 90. 97. )

Подробнее

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B B3 - B,8 B B6 B7 87 B8, B9 B 6 B - B МИОО, 9 г. Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B - B3 B B 69 B6 B7 B8

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

Решение ВАРИАНТ 6401 = 0,8.

Решение ВАРИАНТ 6401 = 0,8. Решение ВАРИАНТ 6401 1. Найдите значение выражения. Решение. 9 9 9 8 10 : 8 10 9 0,8. Ответ: 0,8 2. На координатной прямой отмечена точка A. Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Приложение 26 к приказу 853-1 от 27 сентября 2016 г. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) в МАИ в 2017 году 1 В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40

. (8 баллов) 3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a35 2, a40 Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант 7 Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг

Подробнее

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4.

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4. 9 класс 5). Найдите все решения системы уравнений xy x + y =, x y + xy =. Заметим, что x y + xy = xyx + y). Введем замену xy = a, x + y = b. Тогда получаем a b =, b a = ab, b a =, b a =, b = + a, ab =

Подробнее

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13?

. (8 баллов) 3. Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов арифметической прогрессии a n, если a17 52, a30. 13? Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень г Вариант Двое рабочих одновременно приступили к изготовлению одинаковых

Подробнее

8 КЛАСС, МАТЕМАТИКА УЧ.ГОД МОДУЛЬ 2 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ»

8 КЛАСС, МАТЕМАТИКА УЧ.ГОД МОДУЛЬ 2 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ» 8 КЛАСС, МАТЕМАТИКА 2017-2018 УЧ.ГОД МОДУЛЬ 2 «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. ПЛОЩАДИ» Четырехугольники Многоугольники. Параллелограмм. Трапеция. Прямоугольник, ромб и квадрат В тесте проверяются теоретическая и практическая

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Корянов АГ, г Брянск akoyanov@mailu Прокофьев АА, г Москва aapokof@yandexu СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

Физико-математическое отделение. Москва. Апрель 2017 года. Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс Вариант 1

Физико-математическое отделение. Москва. Апрель 2017 года. Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс Вариант 1 Физико-математическое отделение. Москва. Апрель 2017 года. 1. Петя пошел в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода, он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя отвел

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Программа по математике для поступающих в высшие учебные заведения І уровня аккредитации составлена на основании государственной программы по математике, содержит два раздела. В первом

Подробнее

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085.

Решение. Самая нижняя точка графика соответствует отметке Ответ: 8085. 1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 января составляли 121 куб. м воды, а 1 февраля 131 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за январь,

Подробнее

ID_344 1/9 neznaika.pro

ID_344 1/9 neznaika.pro Вариант Математика Профильный уровень Часть 1 Ответом на задания 1 1 должно быть целое число или десятичная дробь. 1 В школе есть пятиместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно

Подробнее

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%?

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%? . Âû èñëèòü: ( 9 5 + 7 ) 5 + ( 3 + 7 6 ) 5. àñòü. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà %? 5. 3. Îïðåäåëèòü èñëî n ëåíîâ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè, åñëè

Подробнее

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года.

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года. Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В трапеции стороны и параллельны,

Подробнее