Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения"

Транскрипт

1 Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения. Измерение физических величин Измерением называется сравнение данной физической величины с величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Согласно новому стандарту, измерением называется совокупность действий, целью которых является определение измеряемой величины. Результат измерения величина, полученная путем измерения, вместе с единицей измерения. Результат измерения должен содержать также информацию о погрешности измерения. Для простоты будем далее понимать под погрешностью измерения параметр, характеризующий разброс случайной величины результата измерения. Результат измерения можно получить прямым или косвенным измерением физической величины. При прямых измерениях результат находят по положению указателя (стрелки) на шкале измерительного инструмента или непосредственно считывают число со шкалы прибора (при цифровом измерении). При косвенных измерениях результат находят путем вычислений (с помощью математической зависимости), проводимых с величинами, полученными при прямых измерениях.. Погрешности измерения (ошибки измерения) Термины «ошибка измерения» и «погрешность измерения» являются синонимами; однако термину «погрешность измерения» следует отдавать предпочтение. Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) измерения называется разность между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины X: α = x - X. Истинное значение это теоретическая величина, которую можно найти только при абсолютно совершенном измерении (в реальности такое измерение неосуществимо). Относительной погрешностью (или относительной ошибкой) измерения называют отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины: α δ =. X Поскольку истинное значение измеряемой величины X неизвестно, то вместо погрешностей измерения говорят об оценках погрешности измерений. Измерение тем точнее, чем меньше относительная погрешность полученного результата измерения. Относительная погрешность обычно выражается в процентах.

2 На практике абсолютную и относительную погрешность обычно использовать невозможно, поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно. Поэтому погрешности измерения можно только оценить. Отклонением называется разность между результатом измерения и действительным значением x l измеряемой величины. Действительным значением измеряемой величины называется получаемая путем измерений величина, настолько близкая к истинному значению, что ее можно использовать вместо истинного значения. В ее качестве может использоваться, например, арифметическое среднее. Разность между результатом измерения и истинным значением называется случайной погрешностью измерения. Постоянное или изменяющееся по некоторому закону среднее отклонение результата измерения от истинного значения называется систематической погрешностью измерения. Отклонение, получаемое в практических измерениях, отличается от теоретической погрешности измерения тем, что отклонение находится как разность результата измерения и известного действительного значения измеряемой величины, тогда как погрешность определяется как разность результата измерения и неизвестного истинного значения. Отклонение является оценкой погрешности, оно обозначается буквой e (от английского слова error). Отклонение выражается формулой e = x - x l. Аналогично систематическим и случайным погрешностям, существуют систематические и случайные отклонения. Полное отклонение есть алгебраическая сумма систематического и случайного отклонений. В физическом практикуме встречаются случаи, где действительное значение неизвестно, соответственно невозможно оценить отклонения. В этом случае можно оценить только неопределенность результатов измерения. Если действительное значение известно, мы можем получить как неопределенность результатов измерения (на основе опытных данных), так и отклонение.. Виды погрешностей измерения Случайными называются погрешности, величина и знак которых при повторных измерениях изменяются случайным образом. Согласно стандарту, случайная погрешность это результат данного измерения минус среднее от арифметического бесконечного числа повторных измерений той же величины. Поскольку на практике можно провести только конечное число измерений, то можно найти лишь оценку случайной погрешности случайное отклонение (представляющее собой разность конкретного результата измерения и среднего арифметического проведенной серии измерений).

3 На появление случайных погрешностей влияет множество причин. Устранить их невозможно, случайные погрешности можно только уменьшить, применив более совершенную аппаратуру, более точные измерительные методы и улучшив условия измерений. Систематическими называются погрешности, величина которых при повторных измерениях остается неизменной или изменяется по определенному закону. Согласно стандарту, систематическая погрешность разность арифметического среднего от бесконечного числа повторных измерений и истинного значения измеряемой величины. На практике оценкой систематической погрешности является систематическое отклонение разность арифметического среднего от серии повторных измерений и действительного значения. Систематические погрешности влияют на результат измерения в одном определенном направлении, уменьшая или увеличивая результат измерения. Поэтому, повторяя измерение, систематическую погрешность обнаружить труднее, чем случайную. Систематическая погрешность может быть обусловлена неисправностью измерительного прибора, неправильным методом измерения, неопытностью экспериментатора и т. п. Систематические погрешности подразделяются на три группы:. Известные, или контролируемые, систематические погрешности, происхождение которых известно и величина которых может быть определена с достаточной точностью (сдвинутая шкала, поправки на температуру для металлической рулетки, и т. д.). Эти погрешности следует учитывать в качестве поправок к результатам измерений прежде, чем проводится дальнейшая обработка результатов.. Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. Обычно это погрешность измерительного прибора, которая определяется классом его точности. Класс точности определяет максимальное значение погрешности. Истинная величина погрешности и ее знак при конкретных измерениях неизвестны. Согласно старой терминологии, эти погрешности представляют собой сумму разрешенной ошибки инструмента (предельной ошибки), разрешенной основной ошибки (проявляется у данного инструмента в самых благоприятных, т. н. нормальных, условиях), и разрешенной дополнительной ошибки (возникает при изменении условий изменения). Если измерения проводятся при нормальных условиях (часто происходит именно так), то разрешенная ошибка инструмента состоит только из разрешенной предельной ошибки. Согласно новой терминологии, последняя представляет собой предельное значение отклонения показаний прибора при

if ($this->show_pages_images && $page_num < DocShare_Docs::PAGES_IMAGES_LIMIT) { if (! $this->doc['images_node_id']) { continue; } // $snip = Library::get_smart_snippet($text, DocShare_Docs::CHARS_LIMIT_PAGE_IMAGE_TITLE); $snips = Library::get_text_chunks($text, 4); ?>

4 нормальных условиях. Распределение измерительных приборов по классам точности происходит согласно разрешенной предельной ошибке.. Погрешности, о существовании которых мы не догадываемся крупные неконтролируемые систематические погрешности. Грубой ошибкой называются значительные отклонения результата измерений от прочих результатов, вызванные небрежностью, невнимательностью, краткосрочным сторонним воздействием и т. п. 4. Неопределенность измерения Исходя из международного стандарта и стандарта Эстонской Республики, качество каждого измерения следует оценивать в рамках концепции неопределённости. Согласно этой концепции, целью измерения является достоверная оценка параметров распределения вероятности, характеризующих измеряемую величину. Под этими параметрами чаще всего подразумевают среднее значение и стандартное отклонение. Упрощенно можно сказать, что неопределённость измерений означает неуверенность в точности результатов измерения. Нужно уметь оценивать меру этой неуверенности. Для численной оценки неопределённости измерения следует ответить на два основных вопроса: а) в каких конкретно пределах вокруг результата измерения может находиться истинное значение измеряемой величины и б) с какой вероятностью оно в эти пределы попадает. На эти вопросы можно ответить, исходя из теории вероятности и математической статистики. При этом как результат измерения, так и измеряемая величина рассматриваются как случайные величины. Случайная величина может быть охарактеризована как множеством результатов измерения, так и их вероятностным распределением. Это распределение даёт возможность оценить разброс случайной величины интервал, в который с той или иной вероятностью могут попасть значения случайной величины. Неопределенность измерения является параметром, характеризующим разброс вероятностного распределения результата измерения. Согласно теории вероятности, разброс определяется дисперсией. Положителный квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением. Стандартное отклонение, кратная стандартному отклонению величина или полуширина доверительного интервала (определенного с заданной вероятностью) обычно и являются параметрами, характеризующими разброс результата измерения (и измеряемой величины) и выражающими неопределенность измерения. Значения (или промежуток значений) этих параметров можно численно оценить с помощью статистических методов. Оценка стандартного отклонения случайной величины, найденной на основе выборки, называется 4

5 эмпирическим стандартным отклонением. В практике измерений используется экспериментальное стандартное отклонение эмпирическое стандартное отклонение, найденное по набору измерений. Экспериментальное стандартное отклонение может служить конкретной численной оценкой неопределенности измерения. При рассмотрении неопределенности измерения нужно различать неопределенности двух различных типов. Первая обусловлена преимущественно природой самого измеряемого объекта; она оценивается с помощью высокоточных измерений. Это неопределенность измерения в очень узком смысле, исходящая из характеристик измеряемого объекта. Согласно новому стандарту, неопределенность измерения определяется достаточно узко: «неопределенность измерения связанный с результатом измерения параметр, который характеризует распределение вероятности значений, обоснованно присваеваемых измеряемой величине». Следуя этому определению, измерения должны осуществляться почти с идеальной точностью, так, чтобы распределение вероятности результатов измерения было возможно близко к распределению вероятности измеряемой величины, и чтобы параметр, характеризующий разброс результатов, соответствовал действительному разбросу значений измеряемой величины (был бы наилучшей оценкой этого разброса). Второе понимание неопределенности имеет более широкое значение: это общая неопределенность результата измерения, порождаемая многими различными причинами, в том числе и самим измеряемым объектом. Эта неопределенность характеризует измеряемый объект с меньшей степенью достоверности (с меньшей точностью), чем неопределенность в узком ее понимании, поскольку при совместном влиянии многих причин полный разброс результатов измерения оказывается более значительным. Разумеется, неопределенность измерений, воспринимаемая как в более широком, так и в более узком смысле, характеризует распределение значений измеряемой физической величины (при условии, что измерения выполнены правильно). Различие состоит в той степени, насколько распределение результатов измерения близко к распределению измеряемой величины. В случае обычных технических измерений мы понимаем неопределенность измерений в более широком смысле, поскольку точность здесь не является наивысшей. Именно подобные измерения выполняются в физическом практикуме, и поэтому неопределенность измерений рассматривается в более широком плане как общая неопределенность измерений, т. е. как параметр, характеризующий разброс вероятностного распределения результатов измерения. Разброс порождается как измеряемым объектом, так и измерительными инструментами, методом измерения, процедурой измерения и условиями измерения, а также вкладом всех прочих факторов, в том числе и самим измеряющим. Но и в этом случае результат опыта является достаточно хорошей оценкой значения измеряемой величины. Достигаемая точность достаточна для 5

6 физического практикума. В физическом практикуме при численной оценке неопределенности мы ограничиваемся, с целью упрощения, лишь наиболее значительными факторами, приводящими к разбросу результатов измерения. Неопределенность измерения в вышеназванном более узком значении доминирует тогда, когда измерение осуществляется наилучшими средствами и методами. В физическом практикуме это условие не соблюдается, поэтому мы понимаем неопределенность измерений в более широком значении. 5. Виды неопределенности измерений Неопределенность измерений можно оценить двумя разными способами. Это методы оценки типов A и B. Неопределенность измерений, найденную методом типа A, называют неопределенностью типа A, а неопределенность, найденную с помощью метода типа B, называют неопределенностью типа B. В случае неопределенности типа A источником информации служат результаты актуальных повторных измерений. Методом оценки типа A является статистический анализ актуальной серии измерений (повторных измерений). Примером неопределенности типа A является экспериментальное стандартное отклонение. В случае неопределенности типа B исходная информация получается из других источников (не из актуальных повторных измерений), и в этом случае неопределенность оценивается иначе, чем в случае типа A. Это значит, что методы оценки типа B не связаны со статистическим анализом актуальной серии повторных измерений. Методом оценки типа B является обработка информации, полученной иными методами и иным образом. Неопределенность типа B мы можем оценивать, исходя из опыта, теоретически или иным путем, исходя из предполагаемого распределения вероятностей. Примером неопределенности типа B является оценка неопределенности в форме стандартного отклонения, сделанная на основе предельной погрешности, указанной в паспорте инструмента, при этом предполагается некоторое распределение вероятности отклонения показаний. Следует подчеркнуть, что оба метода оценки основаны на распределении вероятностей, и что компоненты неопределенности, полученные в обоих методах, находятся как параметры этого распределения (например, оценки стандартного отклонения). Таким образом, в обоих случаях эти компоненты имеют общую статистически-вероятностную (то есть случайную) природу, хотя их оценка осуществляется разными способами. Помимо вышеназванного подразделения на два больших типа, неопределенность измерений подразделяется также согласно оцениваемому параметру вероятностного 6

7 распределения. На этой основе неопределенность измерения подразделяется на стандартную неопределенность и расширенную неопределенность: а) если оцениваемым параметром является стандартное отклонение, то мы имеем дело со стандартной неопределенностью; б) если оцениваемым параметром является известное кратное стандратного отклонения или полуширина доверительного параметра (заданная с большим порогом вероятности), то мы имеем дело с расширенной неопределенностью. В последнем случае обязательно следует указать, какому доверительному порогу она соответствует. Доверительный интервал представляет собой промежуток вокруг результата измерения, установленный с конкретным доверительным порогом. Большая доля вероятностного распределения измеряемой величины достоверно попадает в этот интервал. Каждый фактор или обстоятельство, влияющее на измерения, увеличивает неопределенность. Исходя из множественности источников неопределенности, неопределенность может обладать множеством составляющих. Если все эти составляющие найдены в виде стандартной неопределенности, то их совместное действие характеризует полная неопределенность, называемая суммарной стандартной неопределенностью. Умножая последнюю на соответствующий множитель (расширяя доверительный интервал), можно получить суммарную неопределенность в форме расширенной неопределенности, или суммарную расширенную неопределенность. Любой из вышеназванных видов неопределенности может быть только типа A, только типа B, а также комбинацией этих двух типов. Для тех, кто интересуется деталями, предлагаем несколько выдержек из Стандарта Эстонской Республики 756:998. В тексте мы ссылаемся на него как на новый стандарт. Согласно ему, типы неопределенностей определяются следующим образом: «Стандатная неопределенность это неопределенность, выраженная в форме стандартного отклонения результатов измерения». «Расширенная неопределенность это параметр, который задает вокруг результата измерения интервал, предположительно содержащий большую часть распределения значений, обоснованно присваеваемых измеряемой величине». Это означает, что в доверительном интервале, ограниченном расширенной неопределенностью, с большой вероятностью находится большая часть вероятностного распределения действительного значения измеряемой величины. «Суммарная неопределенность это стандартная неопределенность результата измерения, которая получена из оценки неопределенности значений нескольких величин, и она равна положительному квадратному корню из суммы, в которую в качестве слагаемых 7

8 входят дисперсии или ковариации этих оценок, взвешенные в соответствии с тем, как результат измерения изменяется в зависимости от изменения значений этих величин». Таким образом, согласно новому стандарту суммарная неопределенность определена как стандартная неопределенность. Ковариации следует вычислять в том случае, если составляющие неопределенности оказываются зависимыми друг от друга случайными величинами. В случае косвенных измерений в качестве весовых коэффициентов выступают значения соответствующих частных производных, называемые коэффициентами чувствительности. Доверительный порог определенной таким образом суммарной неопределенности в общем случае неизвестен. Для нахождения, на основе этой суммарной неопределенности, расширенной неопределенности с подходящим доверительным порогом следует в первую очередь установить или обоснованно предположить вероятностное распределение случайной величины, охарактеризованной суммарной неопределенностью. Теоретически она представляет собой совместное распределение вероятностных распределений случайных величин, характеризующих отдельные составляющие неопределенности. Если вероятностное распределение суммарной неопределенности найдено, или если существует большая уверенность в предполагаемом вероятностном распределении, то можно расширить доверительный интервал суммарной неопределенности с помощью соответствующего множителя, и таким образом найти, с подходящей вероятностью, расширенную неопределенность. Следует подчеркнуть, что величина множителя зависит от характера вероятностного распределения. Согласно новому стандарту, этим множителем является «число, на которое умножается суммарная неопределенность, чтобы получить расширенную неопределенность». Часто предполагается, что вероятностное распределение, характеризующее суммарную неопределенность, достаточно близко к нормальному распределению. В таком случае в качестве коэффициента можно использовать коэффициент Стьюдента. Однако предположение о нормальном распределении всегда требует серьезного обоснования. В физическом практикуме доверительный уровень расширенной вероятности выходной величины, основанной на нескольких входных величинах, находят упрощенно. Прежде всего все компоненты неопределенности сводятся к одному общему доверительному порогу, то есть находятся все составляющие расширенной неопределенности, и затем производится их суммирование согласно правилу суммирования дисперсий. Полученный результат, доверительный порог суммарной расширенной неопределенности, считается равным доверительному порогу составляющих неопределенностей. 8

9 Далее мы будем исходить из того, что каждая погрешность, конкретная оценка которой неизвестна, является источником неопределенности измерений. В случае, если оценка погрешности известна достаточно точно, мы можем практически исключить ее с помощью соответствующей поправки. 6. Оценка неопределенности 6.. Нахождение неопределенности типа A Неопределенности типа A находятся анализом результатов, полученных многократным повторением измерений, проведенных в неизменных условиях. Если в после -кратных измерений одной и той же величины x найдено арифметическое среднее всех результатов x i x = x i, то стандартной неопределенностью A-типа A ( x) является экспериментальное стандартное отклонение арифметического среднего: ( xi x) A ( x) =. ( ) Если случайные отклонения измерений (отклонения от арифметического среднего) имеют нормальное распределение, то расширенную неопределенность типа A, а именно U A (x) = k A (x), можно найти следующим образом: U A ( x) = t ( xi x) ν, β, () ( ) где множителем k является коэффициент Стьюдента t ν,β, значения которого приведены в следующей таблице. Таблица. Некоторые значения коэффициента t ν,β. β ν 0,5 0,68 0,95 0,975 0,997,0,8,7,7 5,8 0,8, 4, 4, 9, 0,77,,, 9, 4 0,74,,8,8 6,6 5 0,7,,6,6 5,5 6 0,7,,5,4 4,9 7 0,7,,4,4 4,5 8 0,7,., 4, 9 0,70,., 4, 0 0,70,,, 4,0 0 0,69,0,,,4 0,67,0,96,0,0 9

10 Индекс ν соответствует числу независимых отклонений (степеней свободы), в формуле () ν = Нахождение неопределенности типа B Метод оценки типа B состоит в оценке компонентов неопределенности измерений, причем актуальные повторные измерения не производятся. Эта оценка основана на сторонней информации, причем часто априори исходят из предположения, что соответствующая величина подчиняется некоторому вероятностному распределению. В физическом практикуме информацию, необходимую для нахождения этой неопределенности, получают из паспорта измерительного инструмента, из на стенде соответствующей таблицы расположенной на стенде, из процедуры измерения, из опыта или из разумных предположений. Стандартнаую неопределенность типа B, проистекающую из разрешенной предельной ошибки измерительного инструмента (верхнего предела отклонений показаний) и соответствующую σ =, можно найти по следующей формуле (предполагающей нормальное распределение погрешности инструмента и ее соответствие σ): B ( x) m x p =. Соответствующая расширенная неопределенность типа B с доверительной вероятностью β имеет вид: U B ( x) m x p = t, β, () где x p разрешенная предельная ошибка инструмента, t,β коэффициент Стьюдента (см. в таблице ). Стандартная неопределенность типа B, проистекающая из погрешности считывания (из отклонения, возникающего при округлении показания) выражается, в предположении однородного распределения погрешности считывания, следующим образом: ( x) B l = и соответствующая расширенная неопределенность типа B может быть найдена как l U B ( x) = β l, () l 0

11 где β доверительная вероятность и l половина шкалы того значения, которое оценивалость при измерении. Таким образом, l представляет собой наибольшее значение отклонения, вызванного округлением. Неопределенность типа B, проистекающая из погрешности считывания, не вычисляется, если производятся повторные измерения одной и той же величины и вычисляется неопределенность типа A. В этом случае погрешность считывания попадает в число случайных отклонений, охватываемых неопределенностью типа A. 6.. Нахождение суммарной неопределенности 6... Нахождение суммарной неопределенности при прямых повторных измерениях При прямых повторных измерениях суммарная стандартная неопределенность находится следующим образом: ( x) = ( x) + ( x). (4) c A Если повторные измерения отсутствуют (неопределенность типа A не вычисляется), то суммарная стандартная неопределенность находится следующим образом: Здесь c (x) обозначает суммарную неопределенность. c B m B B m ( x) = ( x) + ( x). (5) l 6... Нахождение суммарной неопределенности при косвенных измерениях Если искомая (выходная) величина y является функцией нескольких независимых параметров x, x,..., x k общим числом k, ( x x ) y = f,,..., x k, где x, x,..., x k измеряемые напрямую величины с соответствующими стандартными неопределенностями (x ), (x ),..., (x k ), то суммарная стандартная неопределенность величины y вычисляется по формуле y y y ( ) ( ) + ( ) ( ) c y = x x xk (6) x x xk 7. Упрощенные приемы вычисления погрешности Если при косвенных измерениях величина y выражается произведением напрямую измеряемых величин, стоящих в произвольных степенях, то есть p q r x x k, y = x... то суммарная неопределенность может быть найдена (без вычисления частных производных) по формуле относительной неопределенности

12 c ( y) = y p ( x x ) ( x ) ( xk ) + q x r x k. (7) В формуле сложения оценок неопределенностей можно опустить все те слагаемые, для которых при суммировании найдется погрешность, превосходящая их по крайней мере в, раза (до возведения в квадрат). Значения, получаемые путем подсчета (перечислением), считаются безошибочными, т. е. их неопределенность полагается равной нулю. Фундаментальные постоянные (скорость света, постоянная Планка, заряд электрона и т. п.) берутся с такой точностью, чтобы их неопределенность можо было не учитывать в соответствии с вышеизложенными требованиями. 8. Графический анализ результатов измерения В физических опытах часто измеряют пару величин, x и y, где вторая величина является функцией первой: y = f(x). Хорошей иллюстрацией взаимозависимости этих величин является график (см. рис. ). В общем случае график представляет собой гладкую кривую без изломов. Чтобы получить эту кривую, прежде всего следует отметить доверительные области экспериментальных точек с помощью прямых отрезков, параллельных осям графика. Затем через эти области проводится такая гладкая кривая, которая проходила бы ближе всего к экспериментальным точкам и одновременно проходила бы через все доверительные области. Рис. Чтобы найти неопределенность ординаты некоторой точки A на кривой, представленной на графике, следует зафиксировать ее абсциссу (напрмер x A ) и измерить в

13 направлении оси y отклонения экспериментальных точек (симметрично располагающихся на графике вблизи точки A) от сглаживающей кривой, (y i y i ), i =,,...,. Здесь y i ордината экспериментальной точки, соответствующая абсциссе x i, и y i ордината соответствующей точки на сглаживающей кривой. Неопределенность фиксированной абсциссы x A считается равной нулю, расширенная неопределенность А-типа для ординаты рассчитывается по формуле (в предположении нормального распределения разностей (y i y i ) ( y y ) i i U A( y A) = t, β. (8) ( ) Более точным, но одновременно более трудоемким методом нахождения сглаживающей кривой является метод наименьших квадратов. С помощью этого метода находится сглаживающая кривая, для которой сумма квадратов отклонений от экспериментальных точек минимальна. Предположим, что между величинами x i и y i имеется линейная зависимость y = A x B. (9) i i + Наклон A и свободный член B прямой находятся по формулам A i = ( x x)( y y) ( xi x) i, (0) B = y A x, () где x и y арифметические средние для x i и y i. В работах физического практикума нас часто интересует наклон прямой, но иногда интересует и свободный член. В связи с этим нужно уметь оценивать их неопределенности. Расширенная неопределенность наклона прямой (типа A) может быть найдена по следующей формуле (при предположении, что отклонения (y i A x i B) имеют нормальное распределение): U A i = t, ( y A x B) ( ) ( x x) i i ( A) β. () Для расширенной неопределенности свободного члена B верна следующая формула:

14 U ( yi A xi B) xi A ( B) = t, β. () ( ) ( xi x) В физическом практикуме имеется специальная программа под названием «Линейная регрессия» ( Lieaare regresioo ), предназначенная для аппроксимации экспериментальных данных с помощью прямой. Руководство к этой программе можно найти в сети. Соответствующий графический анализ можно также провести в стандартном MS Excel, для чего нужно для заполненной таблицы последовательно выбрать в меню пункты Tools, Data Aalysis, Regressio. В результате откроется окно ввода, где можно выбрать диапазон значений функции y (Ipt Y-Rage), диапазон значений аргумента x (Ipt X-Rage), доверительную вероятность (Cofidece Level) и место, куда будут выведены результаты (Otpt Optios). В результате применения регрессионного анализа будет создано три таблицы, последняя из которых будет содержать свободный член (Itercept) вместе со стандартной неопределенностью (Stadard Error), а также наклон прямой (X variable) вместе с неопределенностью. График следует построить отдельно: указанная процедура сама по себе не рисует график. 9. Арифметические действия с приблизительными числами. Представление конечного результата Значащими цифрами называются все цифры:,,,..., 9, а также 0, если он находится между цифрами... 9 или в конце целого числа и десятичной дроби. Первая значащая цифра это первая слева цифра, отличная от нуля. Первая цифра, отличная от нуля, и все следующие за ней цифры, включая нули, значащая. Например, в числе 0,0705 четыре значащие цифры; первая значащая цифра здесь 7. В числе 0,50 всего пять значащих цифр, все цифры значащие, поскольку первая цифра в числе не 0. Приведем в качестве примера также число 400: в нем также четыре значащие цифры. Поскольку нули в конце целого числа показывают только десятичный порядок, то возможны записи в виде 400 = 4 0 или, Действия с числами результатами измерения Во всех результатах арифметических действий следует сохранять количество значащих цифр, на единицу превышающее количество значащих цифр в результатах измерения. Если разные результаты измерения содержат неодинаковое количество значащих цифр, то данные с большим количеством значащих цифр округляются так, чтобы в них осталось на 4

15 одну значащую цифру больше, чем в результате измерения, содержащем наименьшее количество значащих цифр. 9.. Округление погрешности или неопределенности измерения Неопределенность результата измерения в общем случае следует записывать с двумя значащими цифрами. В погрешности не указываются десятичные разряды, которые не определялись в измерениях. 9.. Представление конечного результата Результат измерения округляется до последней значащей цифры в неопределенности его измерения. К конечному результату дописывается его доверительный порог. 0. Примеры Пример. Общие измерения Толщина металлической пластинки d была измерена в семи различных местах. Результаты занесены во второй столбец таблицы. Измерения проводились микрометром (см. рисунок). Таблица 6 опыта d, мм ( d i d ) 0, мм ( d i d ) 0, мм 8, , , , , , , d i i Арифметическое среднее d = =8, 8, где = 7. Теперь найдем суммарную стандартную неопределенность толщины пластины по формуле (4): c ( d) = A ( d) + B ( d) m = 0, 009мм, 5

16 где см. формулу (), и A ( d ) = t ( d d ) i ν, β = ( ) x B m 00 =0, 0,009 p ( x) = мм см. формулу (), где x p разрешенная предельная погрешность измерительного прибора, равная 0,004 мм. Окончательный результат записывается в виде d = (8,800 ± 0,009) мм. Пример. Пусть необходимо определить плотность металлического прута ρ. Для этого микрометром измерили диаметр прута d в пяти различных местах и получили следующие результаты:,05 мм;,08 мм;,06 мм;,06 мм;,07 мм. Длина прута была измерена линейкой, получено l = 4,4 см. Взвешивание прута дало m = 0,4 г. В результате вычислений, проведенных по образцу таблицы, было найдено d =,064 ± 0,04 мм, с доверительным порогом 0,95 (т. е. 95 %). Поскольку предельная разрешенная погрешность микрометра составляет 4 мкм = 0,004 мм, то конечное значение U c (d) вычисляется по формулам () и (4). Из таблицы t,β =,0, так что 0,004 C ( d ) = 0,04 + (,0 ) = 0, 04 мм. Результат остался прежним, так как добавленная неопределенность меньше исходной более чем в, раза (см. условие в конце п. 6). Из приложения найдена погрешность линейки при измерении отрезка длиной около 0 см. Эта погрешность составляет 0, мм. Однако, поскольку при измерениях не фиксировались десятые доли миллиметра (концы прута невозможно установить на линейке с соответствующей точностью), то приходится учитывать также погрешность считывания в 0,05 см = 0,5 мм. По формулам () и () и в соответствии с правилом сложения неопределенности (5) находим: 0,0 C () l = (,0 ) + (0,95 0,5) = 0, 68 мм. 6

17 Слагаемое, соответствующее погрешности считывания, было учтена дважды, поскольку одна и та же погрешность имеет место при определении положения обоих концов прута. Измеряемая величина определяется как разность показаний линейки на концах прута; в случае же разности квадраты погрешностей складываются. Таким образом, l = (4,40 ± 0,07) см, с доверительным уровнем 0,95. В данном случае не следует представлять неопределенность двумя значащими цифрами, поскольку уже первая цифра влияет на измеренный результат в десятичном разряде, величина которого не определялась. Взвешивание прута проводилось с помощью весов, точность нониуса которых составляет 0,0 г. Это значение равно погрешности считывания, разрешенная предельная погрешность составляет 0,0 г. Неопределенность массы можно получить согласно формуле (), 0,0 C ( m) = (,0 ) + (0,95 0,0) = 0, 06 г. Плотность материала, из которого изготовлен прут, определяется по формуле 4 m 4 0,4 г ρ = = = 8, 897 π l d,4 4,40,064 0 см. (4) Неопределенность плотности вычисляется по формуле (6): Необходимо найти частные производные: C ρ ρ ρ ρ C C C. m l d ( ) = ( ( m)) + ( ( l)) + ( ( d)) ρ 4 = m πld ; ρ 4m = l πl d ; ρ 8m = d πld Чтобы упростить конечную формулу, делим c (ρ) на выражение (4), в результате получаем Следовательно, C ( ρ) = ρ ( C ( m) ) m + ( C ( l) ) l + ( C ( d) ) d C ( ρ) 0,06 0,07 0,04 ρ = ( ) 0,4 + ( ) 4,4 + ( ),064 = 0,44 + 4,4 + 9,0 = 9,9 0 и ( ) = 8,896 0,0098 0,087г / см C ρ =. Таким образом, плотность прута составляет ρ = (8,897 ± 0,087) г/см. Доверительный уровень 0,95. 7

18 Во всех представленных выражениях, стоящих под знаком квадратного корня, можно для упрощения исключить наименьшие слагаемые. Конечное значение неопределенности от них практически не зависит. Имеет смысл опустить их с самого начала, еще до написания суммы квадратов под знаком корня. Для этого следует оценить относительные погрешности отдельных результатов измерения и опустить слагаемые, соответствующие относительно точно измеряемым величинам. 8

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Введение Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

Краткая теория погрешностей

Краткая теория погрешностей I. Измерение физических величин. Краткая теория погрешностей измерения прямые измерения, которые представляют собой косвенные измерения, которые представляют собой сравнение значения физической вычисление

Подробнее

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения.

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения. Теория погрешностей При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления - результаты измерений. Истинные значения физических

Подробнее

Лабораторная работа 1.1. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Лабораторная работа 1.1. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Лабораторная работа 11 ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДИКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕ- РИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Цель работы: ознакомиться с методами обработки результатов эксперимента и применить их к расчету удельного сопротивления

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей» ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6 «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей» Занятие посвящено решению задач по расчѐту погрешностей равноточных измерений Погрешности

Подробнее

Обработка результатов эксперимента

Обработка результатов эксперимента 1 Обработка результатов эксперимента Определения Измерение нахождение значения физической величины опытным путём с помощью специально для этого предназначенных технических средств Измерение состоит из

Подробнее

Лабораторная работа 1.01 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Е.В. Козис, Е.В. Жданова

Лабораторная работа 1.01 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Е.В. Козис, Е.В. Жданова Лабораторная работа 1.01 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Е.В. Козис, Е.В. Жданова Цель работы: изучение методики проведения простейших физических измерений, а также основных методов оценки погрешностей

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В лабораторном практикуме вы постоянно будете иметь дело с измерениями физических величин. Необходимо уметь правильно обрабатывать

Подробнее

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Содержание 1. Классификация и типы ошибок. 2. Прямые и косвенные измерения. 3. Случайные измерения и ошибки. 3.1. Понятие вероятности случайной величины.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ФИЗИКЕ «ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

Подробнее

РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. Кафедра физики. В.Г. Бекетов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ И ИЗМЕРЕНИЙ

РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. Кафедра физики. В.Г. Бекетов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ И ИЗМЕРЕНИЙ РГУ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА Кафедра физики В.Г. Бекетов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ И ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ Для студентов

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет УПИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Методическая разработка

Подробнее

СТО СГАУ

СТО СГАУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ Измерение Измерение физической величины заключается в сопоставлении этой величины с однородной величиной, принятой за единицу. В законе РБ Об обеспечении

Подробнее

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ Оценка параметров 30 5. ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 5.. Введение Материал, содержащийся в предыдущих главах, можно рассматривать как минимальный набор сведений, необходимых для использования основных

Подробнее

Работа 1.2 Определение линейных размеров и объемов тел. Обработка результатов измерений

Работа 1.2 Определение линейных размеров и объемов тел. Обработка результатов измерений Работа 1. Определение линейных размеров и объемов тел. Обработка результатов измерений Оборудование: штангенциркуль, микрометр, исследуемые тела. Введение Погрешности любого измерения складываются из ошибок,

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Введение Основной задачей экспериментальной физики является количественное исследование физических явлений, в процессе которого определяются числовые значения физических

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Цель работы: ознакомление с методами измерения физических величин и расчетом погрешностей проводимых измерений на примере определения плотности твердого тела. Задание:

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Приближенные числа и вычисления

Приближенные числа и вычисления ) Основные понятия ) Влияние погрешностей аргументов на точность функции 3) Понятие обратной задачи в теории погрешностей ) Основные понятия I Приближенные числа, их абсолютная и относительная погрешности

Подробнее

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Приложение ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Основные понятия. Все экспериментальные исследования, проводимые в лаборатории сопротивления материалов, сопровождаются измерением

Подробнее

x x x ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 1.3. Алгоритм обработки результатов измерений

x x x ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА 1.3. Алгоритм обработки результатов измерений 1.1. Задача 1.. Математическая обработка результатов Глава 1 ПОГРЕШНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА 1.1. Задача Измерение операция сравнения величины исследуемого объекта с величиной единичного объекта

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НБ Лесных ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Подробнее

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость .. Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

Подробнее

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ДЛЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ ФАКУЛЬТЕТОВ Методическая разработка по общему физическому практикуму ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Подробнее

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Направление 280700.68 «Техносферная безопасность» ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Для проверки практических навыков

Подробнее

Вводная работа ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Теоретическое введение

Вводная работа ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ. Теоретическое введение 1 Вводная работа ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА ИХ РЕЗУЛЬТАТОВ Теоретическое введение Отличительной особенностью физической науки является то, что изучаемые ею свойства и характеристики объектов и процессов

Подробнее

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ Выполнение лабораторных и практических работ связано с измерением различных физических величин и последующей обработкой их

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Лабораторная работа 101. Проведение и обработка прямых и косвенных измерений. Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, измеряемые тела.

Лабораторная работа 101. Проведение и обработка прямых и косвенных измерений. Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, измеряемые тела. Лабораторная работа 0 Проведение и обработка прямых и косвенных измерений Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, измеряемые тела. Краткая теория. Основные понятия В реальных условиях все измерения

Подробнее

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Автор профессор Бекетов В.Г. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ТОЧНОСТЬ. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА Результаты измерений и расчетов

Подробнее

Погрешности измерений

Погрешности измерений - - Погрешности измерений Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя какую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими словами, измеренное значение

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет УПИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ Методические указания к лабораторной

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Лекция 3 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

Лекция 3 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ Лекция 3 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ 3.1 Постулаты метрологии. Классификация погрешностей Качество средств и результатов измерений принято характеризовать, указывая их погрешности.

Подробнее

Работа 5 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями при наличии грубых погрешностей

Работа 5 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями при наличии грубых погрешностей 1 Работа 5 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями при наличии грубых погрешностей 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕЧАТАЕТСЯ Институт физики по решению учебно-методической комиссии Института физики Казанского (Приволжского) федерального университета Кафедра общей физики

Подробнее

Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями. Получение в этом

Подробнее

Работа 6 Обработка и представление результатов прямых измерений при наличии группы равно рассеянных многократных наблюдений.

Работа 6 Обработка и представление результатов прямых измерений при наличии группы равно рассеянных многократных наблюдений. 1 Работа 6 Обработка и представление результатов прямых измерений при наличии группы равно рассеянных многократных наблюдений. 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой обработки и представления результатов

Подробнее

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника

Работа 1.3 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Работа 13 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Оборудование: штатив, маятник, линейка, электронный счетчик-секундомер Описание метода Графический метод является наиболее простым

Подробнее

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ Погрешность результата измерения (сокращенно погрешность измерений) представляется отклонением результата измерения от истинного значения величины Основные источники погрешности результата

Подробнее

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа

Глава 9. Регрессионный анализ 9.1. Задачи регрессионного анализа 46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Подробнее

Математическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме по курсу общей физики

Математическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме по курсу общей физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Математическая обработка результатов измерений

Подробнее

Лабораторная работа «Решение задач по теории погрешностей»

Лабораторная работа «Решение задач по теории погрешностей» Лабораторная работа «Решение задач по теории погрешностей» 1. Погрешности измерений. Свойства случайных погрешностей Геодезические работы связаны с выполнением измерений различных величин расстояний, превышений,

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков.

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков. Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

Подробнее

ФОРМА ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

ФОРМА ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ ФОРМА ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1. Фамилия и номер группы.. Название лабораторной работы и ее номер. 3. Краткое теоретическое введение. 4. Принципиальная схема установки. 5. Спецификация измерительных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. Цель и содержание работы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. Цель и содержание работы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ Цель и содержание работы Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи машины Атвуда. Содержание работы состоит в определении

Подробнее

Глава VI Натурные испытания

Глава VI Натурные испытания Глава VI Натурные испытания Испытания систем управления есть экспериментальные исследования опытного образца системы и ее компонентов на соответствие техническому заданию. По сути, опытный образец является

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Определение частоты нанастройки звукового

Определение частоты нанастройки звукового Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского Вводный практикум В.К. Мухин Лабораторная работа 00 Определение частоты нанастройки звукового генератора с помощью счетчика импульсов

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i ) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет 1 курс 1 семестр «Элементы математической статистики» Составил: Дигурова И.И. 2004 г. 1. Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи. Математическая

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Нормированные формы представления результатов измерений и оценки неопределенности результатов измерений

Нормированные формы представления результатов измерений и оценки неопределенности результатов измерений Нормированные формы представления результатов измерений и оценки неопределенности результатов измерений Результат измерений должен отвечать требованиям обеспечения единства измерений, следовательно, в

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru

В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru 3. Случайные сигналы и помехи в радиотехнических системах 3.1. Случайные процессы и их основные характеристики Помехой называют стороннее колебание, затрудняющее приѐм и обработку сигнала. Помехи могут

Подробнее

Лабораторная работа 1. Расчет погрешности измерения напряжения с помощью потенциометра и делителя напряжения.

Лабораторная работа 1. Расчет погрешности измерения напряжения с помощью потенциометра и делителя напряжения. Лабораторная работа 1. Расчет погрешности измерения напряжения с помощью потенциометра и делителя напряжения. Теоретические сведения. Классификация погрешностей измерений Погрешность средств измерения

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ М Е Т О Д И Ч Е С К О Е П О С О Б И Е ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Савчук ВП Обработка результатов измерений Физическая лаборатория Ч: Учеб пособие для студентов вузов Одесса: ОНПУ, 00 54 с ил В пособии

Подробнее

c О. В. Журенков κtφ Введение Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. Это значит, что в лаборатории необх

c О. В. Журенков κtφ Введение Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. Это значит, что в лаборатории необх Математическая обработка результатов измерений и представление экспериментальных данных Составители: к. ф.-м. н. А. И. Нажалов, асс. О. В. Журенков Рецензент: к. ф.-м. н. В. В. Чертищев Содержание Введение.....................................................

Подробнее

Физический факультет МГУ

Физический факультет МГУ Физический факультет МГУ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Практикум Введение в технику эксперимента Общие сведения о работе практикума ВТЭК. Основные формулы оценки погрешностей измерений. Ананьева Н.Г. 06 Общие сведения

Подробнее

Физические измерения и вычисление их погрешностей

Физические измерения и вычисление их погрешностей Лабораторная работа 1 Физические измерения и вычисление их погрешностей ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с некоторыми методами физических измерений и вычисление погрешностей измерений на примере определения плотности

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика

17 ГрГУ им. Я. Купалы - ФМ и И - СА и ЭМ - «Экономическая кибернетика» - Эконометрика Лекция 3 7 6 Разложение оценок коэффициентов на неслучайную и случайную компоненты Регрессионный анализ позволяет определять оценки коэффициентов регрессии Чтобы сделать выводы по полученной модели необходимы

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

регрессионный анализ

регрессионный анализ регрессионный анализ регрессионный анализ -введение коэффициент корреляции степень связи в вариации двух переменных величин (мера тесноты этой связи) метод регрессии позволяет судить как количественно

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации Казань-1999 1. ИЗМЕРЕНИЕ И ЕГО МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В основе

Подробнее

Таблица 1. Среднедневная зарплата, руб., у. региона

Таблица 1. Среднедневная зарплата, руб., у. региона В таблице 7 приведены данные по территориям региона за 199Х год. Число k рассчитывается по формуле k = 100 + 10i + j, где i, j две последние цифры зачетной книжки соответственно. (i = 1, j = 6) Требуется:

Подробнее

Лабораторная работа 5 «Использование электронных таблиц Excel для построения выборочных функций распределения» 1

Лабораторная работа 5 «Использование электронных таблиц Excel для построения выборочных функций распределения» 1 1 Лабораторная работа 5 «Использование электронных таблиц Excel для построения выборочных функций распределения» 1 Рассмотренные ранее распределения вероятностей случайной величины (СВ) опираются на знание

Подробнее

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Постановка задачи регрессионного анализа

3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Постановка задачи регрессионного анализа 55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:

Подробнее

Простейшие измерительные приборы

Простейшие измерительные приборы МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) 0 Простейшие измерительные

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Кафедра физики Методическое описание к лабораторной работе.

Подробнее

, ориентированный перпендикулярно к вектору j. Сила тока через произвольный элемент поверхности ds di j ds. (4)

, ориентированный перпендикулярно к вектору j. Сила тока через произвольный элемент поверхности ds di j ds. (4) ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-3 Проверка закона Ома. Определение удельного сопротивления проводника. Цель работы. Проверка закона Ома для однородного проводника.. Проверка линейности зависимости сопротивления

Подробнее

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента

Лекция 2. Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Лекция 2 Доверительный интервал в программе «Описательная статистика» Распределение Стьюдента Доверительный интервал Задача на практике - при ограниченной выборке оценить точность и надежность вычисления

Подробнее

. Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла

. Относительная погрешность показывает на сколько процентов от самой величины могла Расчет погрешностей в школьном физическом практикуме. Введение При проведении любых измерений неизбежно возникают ошибки. Эти ошибки обусловлены различными факторами. Все факторы можно разделить на три

Подробнее

Определение плотности твердых тел правильной геометрической формы

Определение плотности твердых тел правильной геометрической формы Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д.Ушинского Вводный практикум Лабораторная работа 010 Определение плотности твердых тел правильной геометрической формы Ярославль 2013 Оглавление

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

Образец оформления отчёта по лабораторной работе

Образец оформления отчёта по лабораторной работе Образец оформления отчёта по лабораторной работе Государственное высшее учебное заведение «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра физики ОТЧЁТ по лабораторной работе 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ

Подробнее

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Лекция 7 Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Содержание темы Свойства средней арифметической Свойства выборочной дисперсии Интервальный ряд и его характеристики Основные категории

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Кафедра общей физики Лаборатория молекулярной физики Лабораторная работа 5 Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Подробнее

Johann Carl Friedrich Gauß

Johann Carl Friedrich Gauß ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Все вероятности равны 50%. Либо случится, либо нет. Мерфология, Логические предложения Кольварда Типовые распределения При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов

Подробнее

α, β - неизвестные параметры.

α, β - неизвестные параметры. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ СВЯЗИ МЕЖДУ РЕЗУЛЬТИРУЮЩИМ (У) И ОБЪЯСНЯЮЩИМ (Х) ФАКТОРАМИ И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ Задачу определения парной регрессии можно сформулировать следующим образом: по

Подробнее

Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента

Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента Государственный комитет СССР по народному образованию А. И. САВЕЛЬЕВ, И. Н. ФЕТИСОВ Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента Методические указания к лабораторной работе М-1

Подробнее