Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения"

Транскрипт

1 Измерение физических величин. Неопределенности измерения, погрешности измерения. Измерение физических величин Измерением называется сравнение данной физической величины с величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Согласно новому стандарту, измерением называется совокупность действий, целью которых является определение измеряемой величины. Результат измерения величина, полученная путем измерения, вместе с единицей измерения. Результат измерения должен содержать также информацию о погрешности измерения. Для простоты будем далее понимать под погрешностью измерения параметр, характеризующий разброс случайной величины результата измерения. Результат измерения можно получить прямым или косвенным измерением физической величины. При прямых измерениях результат находят по положению указателя (стрелки) на шкале измерительного инструмента или непосредственно считывают число со шкалы прибора (при цифровом измерении). При косвенных измерениях результат находят путем вычислений (с помощью математической зависимости), проводимых с величинами, полученными при прямых измерениях.. Погрешности измерения (ошибки измерения) Термины «ошибка измерения» и «погрешность измерения» являются синонимами; однако термину «погрешность измерения» следует отдавать предпочтение. Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) измерения называется разность между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины X: α = x - X. Истинное значение это теоретическая величина, которую можно найти только при абсолютно совершенном измерении (в реальности такое измерение неосуществимо). Относительной погрешностью (или относительной ошибкой) измерения называют отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины: α δ =. X Поскольку истинное значение измеряемой величины X неизвестно, то вместо погрешностей измерения говорят об оценках погрешности измерений. Измерение тем точнее, чем меньше относительная погрешность полученного результата измерения. Относительная погрешность обычно выражается в процентах.

2 На практике абсолютную и относительную погрешность обычно использовать невозможно, поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно. Поэтому погрешности измерения можно только оценить. Отклонением называется разность между результатом измерения и действительным значением x l измеряемой величины. Действительным значением измеряемой величины называется получаемая путем измерений величина, настолько близкая к истинному значению, что ее можно использовать вместо истинного значения. В ее качестве может использоваться, например, арифметическое среднее. Разность между результатом измерения и истинным значением называется случайной погрешностью измерения. Постоянное или изменяющееся по некоторому закону среднее отклонение результата измерения от истинного значения называется систематической погрешностью измерения. Отклонение, получаемое в практических измерениях, отличается от теоретической погрешности измерения тем, что отклонение находится как разность результата измерения и известного действительного значения измеряемой величины, тогда как погрешность определяется как разность результата измерения и неизвестного истинного значения. Отклонение является оценкой погрешности, оно обозначается буквой e (от английского слова error). Отклонение выражается формулой e = x - x l. Аналогично систематическим и случайным погрешностям, существуют систематические и случайные отклонения. Полное отклонение есть алгебраическая сумма систематического и случайного отклонений. В физическом практикуме встречаются случаи, где действительное значение неизвестно, соответственно невозможно оценить отклонения. В этом случае можно оценить только неопределенность результатов измерения. Если действительное значение известно, мы можем получить как неопределенность результатов измерения (на основе опытных данных), так и отклонение.. Виды погрешностей измерения Случайными называются погрешности, величина и знак которых при повторных измерениях изменяются случайным образом. Согласно стандарту, случайная погрешность это результат данного измерения минус среднее от арифметического бесконечного числа повторных измерений той же величины. Поскольку на практике можно провести только конечное число измерений, то можно найти лишь оценку случайной погрешности случайное отклонение (представляющее собой разность конкретного результата измерения и среднего арифметического проведенной серии измерений).

3 На появление случайных погрешностей влияет множество причин. Устранить их невозможно, случайные погрешности можно только уменьшить, применив более совершенную аппаратуру, более точные измерительные методы и улучшив условия измерений. Систематическими называются погрешности, величина которых при повторных измерениях остается неизменной или изменяется по определенному закону. Согласно стандарту, систематическая погрешность разность арифметического среднего от бесконечного числа повторных измерений и истинного значения измеряемой величины. На практике оценкой систематической погрешности является систематическое отклонение разность арифметического среднего от серии повторных измерений и действительного значения. Систематические погрешности влияют на результат измерения в одном определенном направлении, уменьшая или увеличивая результат измерения. Поэтому, повторяя измерение, систематическую погрешность обнаружить труднее, чем случайную. Систематическая погрешность может быть обусловлена неисправностью измерительного прибора, неправильным методом измерения, неопытностью экспериментатора и т. п. Систематические погрешности подразделяются на три группы:. Известные, или контролируемые, систематические погрешности, происхождение которых известно и величина которых может быть определена с достаточной точностью (сдвинутая шкала, поправки на температуру для металлической рулетки, и т. д.). Эти погрешности следует учитывать в качестве поправок к результатам измерений прежде, чем проводится дальнейшая обработка результатов.. Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. Обычно это погрешность измерительного прибора, которая определяется классом его точности. Класс точности определяет максимальное значение погрешности. Истинная величина погрешности и ее знак при конкретных измерениях неизвестны. Согласно старой терминологии, эти погрешности представляют собой сумму разрешенной ошибки инструмента (предельной ошибки), разрешенной основной ошибки (проявляется у данного инструмента в самых благоприятных, т. н. нормальных, условиях), и разрешенной дополнительной ошибки (возникает при изменении условий изменения). Если измерения проводятся при нормальных условиях (часто происходит именно так), то разрешенная ошибка инструмента состоит только из разрешенной предельной ошибки. Согласно новой терминологии, последняя представляет собой предельное значение отклонения показаний прибора при

4 нормальных условиях. Распределение измерительных приборов по классам точности происходит согласно разрешенной предельной ошибке.. Погрешности, о существовании которых мы не догадываемся крупные неконтролируемые систематические погрешности. Грубой ошибкой называются значительные отклонения результата измерений от прочих результатов, вызванные небрежностью, невнимательностью, краткосрочным сторонним воздействием и т. п. 4. Неопределенность измерения Исходя из международного стандарта и стандарта Эстонской Республики, качество каждого измерения следует оценивать в рамках концепции неопределённости. Согласно этой концепции, целью измерения является достоверная оценка параметров распределения вероятности, характеризующих измеряемую величину. Под этими параметрами чаще всего подразумевают среднее значение и стандартное отклонение. Упрощенно можно сказать, что неопределённость измерений означает неуверенность в точности результатов измерения. Нужно уметь оценивать меру этой неуверенности. Для численной оценки неопределённости измерения следует ответить на два основных вопроса: а) в каких конкретно пределах вокруг результата измерения может находиться истинное значение измеряемой величины и б) с какой вероятностью оно в эти пределы попадает. На эти вопросы можно ответить, исходя из теории вероятности и математической статистики. При этом как результат измерения, так и измеряемая величина рассматриваются как случайные величины. Случайная величина может быть охарактеризована как множеством результатов измерения, так и их вероятностным распределением. Это распределение даёт возможность оценить разброс случайной величины интервал, в который с той или иной вероятностью могут попасть значения случайной величины. Неопределенность измерения является параметром, характеризующим разброс вероятностного распределения результата измерения. Согласно теории вероятности, разброс определяется дисперсией. Положителный квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением. Стандартное отклонение, кратная стандартному отклонению величина или полуширина доверительного интервала (определенного с заданной вероятностью) обычно и являются параметрами, характеризующими разброс результата измерения (и измеряемой величины) и выражающими неопределенность измерения. Значения (или промежуток значений) этих параметров можно численно оценить с помощью статистических методов. Оценка стандартного отклонения случайной величины, найденной на основе выборки, называется 4

5 эмпирическим стандартным отклонением. В практике измерений используется экспериментальное стандартное отклонение эмпирическое стандартное отклонение, найденное по набору измерений. Экспериментальное стандартное отклонение может служить конкретной численной оценкой неопределенности измерения. При рассмотрении неопределенности измерения нужно различать неопределенности двух различных типов. Первая обусловлена преимущественно природой самого измеряемого объекта; она оценивается с помощью высокоточных измерений. Это неопределенность измерения в очень узком смысле, исходящая из характеристик измеряемого объекта. Согласно новому стандарту, неопределенность измерения определяется достаточно узко: «неопределенность измерения связанный с результатом измерения параметр, который характеризует распределение вероятности значений, обоснованно присваеваемых измеряемой величине». Следуя этому определению, измерения должны осуществляться почти с идеальной точностью, так, чтобы распределение вероятности результатов измерения было возможно близко к распределению вероятности измеряемой величины, и чтобы параметр, характеризующий разброс результатов, соответствовал действительному разбросу значений измеряемой величины (был бы наилучшей оценкой этого разброса). Второе понимание неопределенности имеет более широкое значение: это общая неопределенность результата измерения, порождаемая многими различными причинами, в том числе и самим измеряемым объектом. Эта неопределенность характеризует измеряемый объект с меньшей степенью достоверности (с меньшей точностью), чем неопределенность в узком ее понимании, поскольку при совместном влиянии многих причин полный разброс результатов измерения оказывается более значительным. Разумеется, неопределенность измерений, воспринимаемая как в более широком, так и в более узком смысле, характеризует распределение значений измеряемой физической величины (при условии, что измерения выполнены правильно). Различие состоит в той степени, насколько распределение результатов измерения близко к распределению измеряемой величины. В случае обычных технических измерений мы понимаем неопределенность измерений в более широком смысле, поскольку точность здесь не является наивысшей. Именно подобные измерения выполняются в физическом практикуме, и поэтому неопределенность измерений рассматривается в более широком плане как общая неопределенность измерений, т. е. как параметр, характеризующий разброс вероятностного распределения результатов измерения. Разброс порождается как измеряемым объектом, так и измерительными инструментами, методом измерения, процедурой измерения и условиями измерения, а также вкладом всех прочих факторов, в том числе и самим измеряющим. Но и в этом случае результат опыта является достаточно хорошей оценкой значения измеряемой величины. Достигаемая точность достаточна для 5

6 физического практикума. В физическом практикуме при численной оценке неопределенности мы ограничиваемся, с целью упрощения, лишь наиболее значительными факторами, приводящими к разбросу результатов измерения. Неопределенность измерения в вышеназванном более узком значении доминирует тогда, когда измерение осуществляется наилучшими средствами и методами. В физическом практикуме это условие не соблюдается, поэтому мы понимаем неопределенность измерений в более широком значении. 5. Виды неопределенности измерений Неопределенность измерений можно оценить двумя разными способами. Это методы оценки типов A и B. Неопределенность измерений, найденную методом типа A, называют неопределенностью типа A, а неопределенность, найденную с помощью метода типа B, называют неопределенностью типа B. В случае неопределенности типа A источником информации служат результаты актуальных повторных измерений. Методом оценки типа A является статистический анализ актуальной серии измерений (повторных измерений). Примером неопределенности типа A является экспериментальное стандартное отклонение. В случае неопределенности типа B исходная информация получается из других источников (не из актуальных повторных измерений), и в этом случае неопределенность оценивается иначе, чем в случае типа A. Это значит, что методы оценки типа B не связаны со статистическим анализом актуальной серии повторных измерений. Методом оценки типа B является обработка информации, полученной иными методами и иным образом. Неопределенность типа B мы можем оценивать, исходя из опыта, теоретически или иным путем, исходя из предполагаемого распределения вероятностей. Примером неопределенности типа B является оценка неопределенности в форме стандартного отклонения, сделанная на основе предельной погрешности, указанной в паспорте инструмента, при этом предполагается некоторое распределение вероятности отклонения показаний. Следует подчеркнуть, что оба метода оценки основаны на распределении вероятностей, и что компоненты неопределенности, полученные в обоих методах, находятся как параметры этого распределения (например, оценки стандартного отклонения). Таким образом, в обоих случаях эти компоненты имеют общую статистически-вероятностную (то есть случайную) природу, хотя их оценка осуществляется разными способами. Помимо вышеназванного подразделения на два больших типа, неопределенность измерений подразделяется также согласно оцениваемому параметру вероятностного 6

7 распределения. На этой основе неопределенность измерения подразделяется на стандартную неопределенность и расширенную неопределенность: а) если оцениваемым параметром является стандартное отклонение, то мы имеем дело со стандартной неопределенностью; б) если оцениваемым параметром является известное кратное стандратного отклонения или полуширина доверительного параметра (заданная с большим порогом вероятности), то мы имеем дело с расширенной неопределенностью. В последнем случае обязательно следует указать, какому доверительному порогу она соответствует. Доверительный интервал представляет собой промежуток вокруг результата измерения, установленный с конкретным доверительным порогом. Большая доля вероятностного распределения измеряемой величины достоверно попадает в этот интервал. Каждый фактор или обстоятельство, влияющее на измерения, увеличивает неопределенность. Исходя из множественности источников неопределенности, неопределенность может обладать множеством составляющих. Если все эти составляющие найдены в виде стандартной неопределенности, то их совместное действие характеризует полная неопределенность, называемая суммарной стандартной неопределенностью. Умножая последнюю на соответствующий множитель (расширяя доверительный интервал), можно получить суммарную неопределенность в форме расширенной неопределенности, или суммарную расширенную неопределенность. Любой из вышеназванных видов неопределенности может быть только типа A, только типа B, а также комбинацией этих двух типов. Для тех, кто интересуется деталями, предлагаем несколько выдержек из Стандарта Эстонской Республики 756:998. В тексте мы ссылаемся на него как на новый стандарт. Согласно ему, типы неопределенностей определяются следующим образом: «Стандатная неопределенность это неопределенность, выраженная в форме стандартного отклонения результатов измерения». «Расширенная неопределенность это параметр, который задает вокруг результата измерения интервал, предположительно содержащий большую часть распределения значений, обоснованно присваеваемых измеряемой величине». Это означает, что в доверительном интервале, ограниченном расширенной неопределенностью, с большой вероятностью находится большая часть вероятностного распределения действительного значения измеряемой величины. «Суммарная неопределенность это стандартная неопределенность результата измерения, которая получена из оценки неопределенности значений нескольких величин, и она равна положительному квадратному корню из суммы, в которую в качестве слагаемых 7

8 входят дисперсии или ковариации этих оценок, взвешенные в соответствии с тем, как результат измерения изменяется в зависимости от изменения значений этих величин». Таким образом, согласно новому стандарту суммарная неопределенность определена как стандартная неопределенность. Ковариации следует вычислять в том случае, если составляющие неопределенности оказываются зависимыми друг от друга случайными величинами. В случае косвенных измерений в качестве весовых коэффициентов выступают значения соответствующих частных производных, называемые коэффициентами чувствительности. Доверительный порог определенной таким образом суммарной неопределенности в общем случае неизвестен. Для нахождения, на основе этой суммарной неопределенности, расширенной неопределенности с подходящим доверительным порогом следует в первую очередь установить или обоснованно предположить вероятностное распределение случайной величины, охарактеризованной суммарной неопределенностью. Теоретически она представляет собой совместное распределение вероятностных распределений случайных величин, характеризующих отдельные составляющие неопределенности. Если вероятностное распределение суммарной неопределенности найдено, или если существует большая уверенность в предполагаемом вероятностном распределении, то можно расширить доверительный интервал суммарной неопределенности с помощью соответствующего множителя, и таким образом найти, с подходящей вероятностью, расширенную неопределенность. Следует подчеркнуть, что величина множителя зависит от характера вероятностного распределения. Согласно новому стандарту, этим множителем является «число, на которое умножается суммарная неопределенность, чтобы получить расширенную неопределенность». Часто предполагается, что вероятностное распределение, характеризующее суммарную неопределенность, достаточно близко к нормальному распределению. В таком случае в качестве коэффициента можно использовать коэффициент Стьюдента. Однако предположение о нормальном распределении всегда требует серьезного обоснования. В физическом практикуме доверительный уровень расширенной вероятности выходной величины, основанной на нескольких входных величинах, находят упрощенно. Прежде всего все компоненты неопределенности сводятся к одному общему доверительному порогу, то есть находятся все составляющие расширенной неопределенности, и затем производится их суммирование согласно правилу суммирования дисперсий. Полученный результат, доверительный порог суммарной расширенной неопределенности, считается равным доверительному порогу составляющих неопределенностей. 8

9 Далее мы будем исходить из того, что каждая погрешность, конкретная оценка которой неизвестна, является источником неопределенности измерений. В случае, если оценка погрешности известна достаточно точно, мы можем практически исключить ее с помощью соответствующей поправки. 6. Оценка неопределенности 6.. Нахождение неопределенности типа A Неопределенности типа A находятся анализом результатов, полученных многократным повторением измерений, проведенных в неизменных условиях. Если в после -кратных измерений одной и той же величины x найдено арифметическое среднее всех результатов x i x = x i, то стандартной неопределенностью A-типа A ( x) является экспериментальное стандартное отклонение арифметического среднего: ( xi x) A ( x) =. ( ) Если случайные отклонения измерений (отклонения от арифметического среднего) имеют нормальное распределение, то расширенную неопределенность типа A, а именно U A (x) = k A (x), можно найти следующим образом: U A ( x) = t ( xi x) ν, β, () ( ) где множителем k является коэффициент Стьюдента t ν,β, значения которого приведены в следующей таблице. Таблица. Некоторые значения коэффициента t ν,β. β ν 0,5 0,68 0,95 0,975 0,997,0,8,7,7 5,8 0,8, 4, 4, 9, 0,77,,, 9, 4 0,74,,8,8 6,6 5 0,7,,6,6 5,5 6 0,7,,5,4 4,9 7 0,7,,4,4 4,5 8 0,7,., 4, 9 0,70,., 4, 0 0,70,,, 4,0 0 0,69,0,,,4 0,67,0,96,0,0 9

10 Индекс ν соответствует числу независимых отклонений (степеней свободы), в формуле () ν = Нахождение неопределенности типа B Метод оценки типа B состоит в оценке компонентов неопределенности измерений, причем актуальные повторные измерения не производятся. Эта оценка основана на сторонней информации, причем часто априори исходят из предположения, что соответствующая величина подчиняется некоторому вероятностному распределению. В физическом практикуме информацию, необходимую для нахождения этой неопределенности, получают из паспорта измерительного инструмента, из на стенде соответствующей таблицы расположенной на стенде, из процедуры измерения, из опыта или из разумных предположений. Стандартнаую неопределенность типа B, проистекающую из разрешенной предельной ошибки измерительного инструмента (верхнего предела отклонений показаний) и соответствующую σ =, можно найти по следующей формуле (предполагающей нормальное распределение погрешности инструмента и ее соответствие σ): B ( x) m x p =. Соответствующая расширенная неопределенность типа B с доверительной вероятностью β имеет вид: U B ( x) m x p = t, β, () где x p разрешенная предельная ошибка инструмента, t,β коэффициент Стьюдента (см. в таблице ). Стандартная неопределенность типа B, проистекающая из погрешности считывания (из отклонения, возникающего при округлении показания) выражается, в предположении однородного распределения погрешности считывания, следующим образом: ( x) B l = и соответствующая расширенная неопределенность типа B может быть найдена как l U B ( x) = β l, () l 0

11 где β доверительная вероятность и l половина шкалы того значения, которое оценивалость при измерении. Таким образом, l представляет собой наибольшее значение отклонения, вызванного округлением. Неопределенность типа B, проистекающая из погрешности считывания, не вычисляется, если производятся повторные измерения одной и той же величины и вычисляется неопределенность типа A. В этом случае погрешность считывания попадает в число случайных отклонений, охватываемых неопределенностью типа A. 6.. Нахождение суммарной неопределенности 6... Нахождение суммарной неопределенности при прямых повторных измерениях При прямых повторных измерениях суммарная стандартная неопределенность находится следующим образом: ( x) = ( x) + ( x). (4) c A Если повторные измерения отсутствуют (неопределенность типа A не вычисляется), то суммарная стандартная неопределенность находится следующим образом: Здесь c (x) обозначает суммарную неопределенность. c B m B B m ( x) = ( x) + ( x). (5) l 6... Нахождение суммарной неопределенности при косвенных измерениях Если искомая (выходная) величина y является функцией нескольких независимых параметров x, x,..., x k общим числом k, ( x x ) y = f,,..., x k, где x, x,..., x k измеряемые напрямую величины с соответствующими стандартными неопределенностями (x ), (x ),..., (x k ), то суммарная стандартная неопределенность величины y вычисляется по формуле y y y ( ) ( ) + ( ) ( ) c y = x x xk (6) x x xk 7. Упрощенные приемы вычисления погрешности Если при косвенных измерениях величина y выражается произведением напрямую измеряемых величин, стоящих в произвольных степенях, то есть p q r x x k, y = x... то суммарная неопределенность может быть найдена (без вычисления частных производных) по формуле относительной неопределенности

12 c ( y) = y p ( x x ) ( x ) ( xk ) + q x r x k. (7) В формуле сложения оценок неопределенностей можно опустить все те слагаемые, для которых при суммировании найдется погрешность, превосходящая их по крайней мере в, раза (до возведения в квадрат). Значения, получаемые путем подсчета (перечислением), считаются безошибочными, т. е. их неопределенность полагается равной нулю. Фундаментальные постоянные (скорость света, постоянная Планка, заряд электрона и т. п.) берутся с такой точностью, чтобы их неопределенность можо было не учитывать в соответствии с вышеизложенными требованиями. 8. Графический анализ результатов измерения В физических опытах часто измеряют пару величин, x и y, где вторая величина является функцией первой: y = f(x). Хорошей иллюстрацией взаимозависимости этих величин является график (см. рис. ). В общем случае график представляет собой гладкую кривую без изломов. Чтобы получить эту кривую, прежде всего следует отметить доверительные области экспериментальных точек с помощью прямых отрезков, параллельных осям графика. Затем через эти области проводится такая гладкая кривая, которая проходила бы ближе всего к экспериментальным точкам и одновременно проходила бы через все доверительные области. Рис. Чтобы найти неопределенность ординаты некоторой точки A на кривой, представленной на графике, следует зафиксировать ее абсциссу (напрмер x A ) и измерить в

13 направлении оси y отклонения экспериментальных точек (симметрично располагающихся на графике вблизи точки A) от сглаживающей кривой, (y i y i ), i =,,...,. Здесь y i ордината экспериментальной точки, соответствующая абсциссе x i, и y i ордината соответствующей точки на сглаживающей кривой. Неопределенность фиксированной абсциссы x A считается равной нулю, расширенная неопределенность А-типа для ординаты рассчитывается по формуле (в предположении нормального распределения разностей (y i y i ) ( y y ) i i U A( y A) = t, β. (8) ( ) Более точным, но одновременно более трудоемким методом нахождения сглаживающей кривой является метод наименьших квадратов. С помощью этого метода находится сглаживающая кривая, для которой сумма квадратов отклонений от экспериментальных точек минимальна. Предположим, что между величинами x i и y i имеется линейная зависимость y = A x B. (9) i i + Наклон A и свободный член B прямой находятся по формулам A i = ( x x)( y y) ( xi x) i, (0) B = y A x, () где x и y арифметические средние для x i и y i. В работах физического практикума нас часто интересует наклон прямой, но иногда интересует и свободный член. В связи с этим нужно уметь оценивать их неопределенности. Расширенная неопределенность наклона прямой (типа A) может быть найдена по следующей формуле (при предположении, что отклонения (y i A x i B) имеют нормальное распределение): U A i = t, ( y A x B) ( ) ( x x) i i ( A) β. () Для расширенной неопределенности свободного члена B верна следующая формула:

14 U ( yi A xi B) xi A ( B) = t, β. () ( ) ( xi x) В физическом практикуме имеется специальная программа под названием «Линейная регрессия» ( Lieaare regresioo ), предназначенная для аппроксимации экспериментальных данных с помощью прямой. Руководство к этой программе можно найти в сети. Соответствующий графический анализ можно также провести в стандартном MS Excel, для чего нужно для заполненной таблицы последовательно выбрать в меню пункты Tools, Data Aalysis, Regressio. В результате откроется окно ввода, где можно выбрать диапазон значений функции y (Ipt Y-Rage), диапазон значений аргумента x (Ipt X-Rage), доверительную вероятность (Cofidece Level) и место, куда будут выведены результаты (Otpt Optios). В результате применения регрессионного анализа будет создано три таблицы, последняя из которых будет содержать свободный член (Itercept) вместе со стандартной неопределенностью (Stadard Error), а также наклон прямой (X variable) вместе с неопределенностью. График следует построить отдельно: указанная процедура сама по себе не рисует график. 9. Арифметические действия с приблизительными числами. Представление конечного результата Значащими цифрами называются все цифры:,,,..., 9, а также 0, если он находится между цифрами... 9 или в конце целого числа и десятичной дроби. Первая значащая цифра это первая слева цифра, отличная от нуля. Первая цифра, отличная от нуля, и все следующие за ней цифры, включая нули, значащая. Например, в числе 0,0705 четыре значащие цифры; первая значащая цифра здесь 7. В числе 0,50 всего пять значащих цифр, все цифры значащие, поскольку первая цифра в числе не 0. Приведем в качестве примера также число 400: в нем также четыре значащие цифры. Поскольку нули в конце целого числа показывают только десятичный порядок, то возможны записи в виде 400 = 4 0 или, Действия с числами результатами измерения Во всех результатах арифметических действий следует сохранять количество значащих цифр, на единицу превышающее количество значащих цифр в результатах измерения. Если разные результаты измерения содержат неодинаковое количество значащих цифр, то данные с большим количеством значащих цифр округляются так, чтобы в них осталось на 4

15 одну значащую цифру больше, чем в результате измерения, содержащем наименьшее количество значащих цифр. 9.. Округление погрешности или неопределенности измерения Неопределенность результата измерения в общем случае следует записывать с двумя значащими цифрами. В погрешности не указываются десятичные разряды, которые не определялись в измерениях. 9.. Представление конечного результата Результат измерения округляется до последней значащей цифры в неопределенности его измерения. К конечному результату дописывается его доверительный порог. 0. Примеры Пример. Общие измерения Толщина металлической пластинки d была измерена в семи различных местах. Результаты занесены во второй столбец таблицы. Измерения проводились микрометром (см. рисунок). Таблица 6 опыта d, мм ( d i d ) 0, мм ( d i d ) 0, мм 8, , , , , , , d i i Арифметическое среднее d = =8, 8, где = 7. Теперь найдем суммарную стандартную неопределенность толщины пластины по формуле (4): c ( d) = A ( d) + B ( d) m = 0, 009мм, 5

16 где см. формулу (), и A ( d ) = t ( d d ) i ν, β = ( ) x B m 00 =0, 0,009 p ( x) = мм см. формулу (), где x p разрешенная предельная погрешность измерительного прибора, равная 0,004 мм. Окончательный результат записывается в виде d = (8,800 ± 0,009) мм. Пример. Пусть необходимо определить плотность металлического прута ρ. Для этого микрометром измерили диаметр прута d в пяти различных местах и получили следующие результаты:,05 мм;,08 мм;,06 мм;,06 мм;,07 мм. Длина прута была измерена линейкой, получено l = 4,4 см. Взвешивание прута дало m = 0,4 г. В результате вычислений, проведенных по образцу таблицы, было найдено d =,064 ± 0,04 мм, с доверительным порогом 0,95 (т. е. 95 %). Поскольку предельная разрешенная погрешность микрометра составляет 4 мкм = 0,004 мм, то конечное значение U c (d) вычисляется по формулам () и (4). Из таблицы t,β =,0, так что 0,004 C ( d ) = 0,04 + (,0 ) = 0, 04 мм. Результат остался прежним, так как добавленная неопределенность меньше исходной более чем в, раза (см. условие в конце п. 6). Из приложения найдена погрешность линейки при измерении отрезка длиной около 0 см. Эта погрешность составляет 0, мм. Однако, поскольку при измерениях не фиксировались десятые доли миллиметра (концы прута невозможно установить на линейке с соответствующей точностью), то приходится учитывать также погрешность считывания в 0,05 см = 0,5 мм. По формулам () и () и в соответствии с правилом сложения неопределенности (5) находим: 0,0 C () l = (,0 ) + (0,95 0,5) = 0, 68 мм. 6

17 Слагаемое, соответствующее погрешности считывания, было учтена дважды, поскольку одна и та же погрешность имеет место при определении положения обоих концов прута. Измеряемая величина определяется как разность показаний линейки на концах прута; в случае же разности квадраты погрешностей складываются. Таким образом, l = (4,40 ± 0,07) см, с доверительным уровнем 0,95. В данном случае не следует представлять неопределенность двумя значащими цифрами, поскольку уже первая цифра влияет на измеренный результат в десятичном разряде, величина которого не определялась. Взвешивание прута проводилось с помощью весов, точность нониуса которых составляет 0,0 г. Это значение равно погрешности считывания, разрешенная предельная погрешность составляет 0,0 г. Неопределенность массы можно получить согласно формуле (), 0,0 C ( m) = (,0 ) + (0,95 0,0) = 0, 06 г. Плотность материала, из которого изготовлен прут, определяется по формуле 4 m 4 0,4 г ρ = = = 8, 897 π l d,4 4,40,064 0 см. (4) Неопределенность плотности вычисляется по формуле (6): Необходимо найти частные производные: C ρ ρ ρ ρ C C C. m l d ( ) = ( ( m)) + ( ( l)) + ( ( d)) ρ 4 = m πld ; ρ 4m = l πl d ; ρ 8m = d πld Чтобы упростить конечную формулу, делим c (ρ) на выражение (4), в результате получаем Следовательно, C ( ρ) = ρ ( C ( m) ) m + ( C ( l) ) l + ( C ( d) ) d C ( ρ) 0,06 0,07 0,04 ρ = ( ) 0,4 + ( ) 4,4 + ( ),064 = 0,44 + 4,4 + 9,0 = 9,9 0 и ( ) = 8,896 0,0098 0,087г / см C ρ =. Таким образом, плотность прута составляет ρ = (8,897 ± 0,087) г/см. Доверительный уровень 0,95. 7

18 Во всех представленных выражениях, стоящих под знаком квадратного корня, можно для упрощения исключить наименьшие слагаемые. Конечное значение неопределенности от них практически не зависит. Имеет смысл опустить их с самого начала, еще до написания суммы квадратов под знаком корня. Для этого следует оценить относительные погрешности отдельных результатов измерения и опустить слагаемые, соответствующие относительно точно измеряемым величинам. 8

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Введение Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения

Подробнее

Измерение физических величин

Измерение физических величин Измерение физических величин ГН Андреев В основе точных естественных наук лежат измерения При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше

Подробнее

Построение графиков Графики выполняются преимущественно

Построение графиков Графики выполняются преимущественно Рис. 5 6. Построение графиков Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бумаге. Сначала нужно выбрать масштаб по осям координат. Масштаб выбирается таким образом, чтобы угол наклона прямых (или

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.В. Журавкевич

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.В. Журавкевич Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.В. Журавкевич ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ Методические указания к лабораторным

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет УПИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЛАБОРАТОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Методическая разработка

Подробнее

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ Измерение Измерение физической величины заключается в сопоставлении этой величины с однородной величиной, принятой за единицу. В законе РБ Об обеспечении

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Измерения и погрешности измерений КУРС «БАЗОВЫЕ ПАКЕТЫ»

Измерения и погрешности измерений КУРС «БАЗОВЫЕ ПАКЕТЫ» Измерения и погрешности измерений КУРС «БАЗОВЫЕ ПАКЕТЫ» Прямые и косвенные измерения При прямых измерениях мы находим значение интересующей нас величины непосредственно по отсчету приборов. Чаще всего

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГБОУ ВПО АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Н.В.НИГЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ г. Благовещенск

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛЕКЦИЯ 9 ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ И ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ С НИМИ ПРИ РАСЧЕТАХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ ЗАКОН РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ АНАЛИЗА СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ ЗНАЧАЩИЕ

Подробнее

Далее будем обсуждать только случайные погрешности

Далее будем обсуждать только случайные погрешности I. Виды погрешностей - - Погрешности эксперимента Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя какую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ Краткая теория Цель любого исследования установление связей между различными явлениями и параметрами Количественная зависимость

Подробнее

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость

( x i, y i ). Предположим, что X и Y связаны линейной корреляционной. ϕ называют линией Линейная корреляционная зависимость .. Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

Подробнее

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Направление 280700.68 «Техносферная безопасность» ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» Для проверки практических навыков

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

Методика графической обработки экспериментальных данных и вычислений. Основные правила вычерчивания графиков.

Методика графической обработки экспериментальных данных и вычислений. Основные правила вычерчивания графиков. Методика графической обработки экспериментальных данных и вычислений. Если исследуется функциональная зависимость одной величины от другой, то результаты могут быть представлены в виде графиков. Посмотрев

Подробнее

Лекция 3 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ

Лекция 3 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ Лекция 3 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ 3.1 Постулаты метрологии. Классификация погрешностей Качество средств и результатов измерений принято характеризовать, указывая их погрешности.

Подробнее

«МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Кафедра физики

«МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Кафедра физики Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ» Кафедра физики ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ОШИБОК ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ

Подробнее

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков.

Лекция 8 Тема. Содержание темы. Основные категории. Сравнение случайных величин или признаков. Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

3.7. Нормальное распределение

3.7. Нормальное распределение 3.7. Нормальное распределение Нормальное распределение, распределение Гаусса предельный закон распределения событий и явлений, являющихся результатом действия множества детерминированных факторов (физических

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. Цель и содержание работы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 111 РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. Цель и содержание работы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ Цель и содержание работы Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи машины Атвуда. Содержание работы состоит в определении

Подробнее

Рекомендация КООМЕТ Калибровка средств измерений. Алгоритмы обработки результатов измерений и оценивания неопределенности

Рекомендация КООМЕТ Калибровка средств измерений. Алгоритмы обработки результатов измерений и оценивания неопределенности Рекомендация КООМЕТ Калибровка средств измерений. Алгоритмы обработки результатов измерений и оценивания неопределенности CООМЕТ R/GM/ Проект С О Д Е Р Ж А Н И Е Стр. Область применения.. Нормативные ссылки.

Подробнее

Практическое занятие 1 I. О записи чисел. Округление приближённых значений

Практическое занятие 1 I. О записи чисел. Округление приближённых значений Практическое занятие 1 I. О записи чисел Числовые значения состоят из некоторого количества цифр, десятичного разделителя (точки или запятой) и знака числа плюса или минуса. Цифры до десятичного разделителя

Подробнее

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный

Подробнее

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 16 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 6 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие доверительной вероятности и доверительного интервала, получить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов.

ЭКОНОМЕТРИКА. 1. Предпосылки метода наименьших квадратов. Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Подробнее

1 Погрешность результатов численных расчетов

1 Погрешность результатов численных расчетов 1 Погрешность результатов численных расчетов 1.1 Источники и классификация погрешностей Погрешность численных расчетов обуславливается следующими причинами: 1) математическое описание задачи является неточным:

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В высшей степени наивно думать, что все физические распределения соответствуют идеальным. Несмотря на то что при некоторых условиях идеальные распределения встречаются в физике, реальная жизнь, к несчастью,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ Методические указания по

Подробнее

3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА)

3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) 3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем

Подробнее

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 1. Предел отношения приращения функции одной переменной к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю является

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

c О. В. Журенков κtφ Введение Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. Это значит, что в лаборатории необх

c О. В. Журенков κtφ Введение Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. Это значит, что в лаборатории необх Математическая обработка результатов измерений и представление экспериментальных данных Составители: к. ф.-м. н. А. И. Нажалов, асс. О. В. Журенков Рецензент: к. ф.-м. н. В. В. Чертищев Содержание Введение.....................................................

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СЛУЧАЙНЫЕ И ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Погрешность В реальных условиях даже очень точные измерения будут содержать погрешность D, которая является отклонением результата измерения x от истинного

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Введение в системную биологию Соколик Анатолий Иосифович,

Введение в системную биологию Соколик Анатолий Иосифович, Введение в системную биологию Соколик Анатолий Иосифович, доцент каф. клеточной биологии и биоинженерии растений 1 Базовые понятия и операции первичной обработки экспериментальных данных, 1. Распределения,

Подробнее

Линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации

Линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации Лекция 10. Методы измерения тесноты парной корреляционной связи. Часть 1 Признаки могут быть представлены в количественных, порядковых и номинальных шкалах. В зависимости от того, по какой шкале представлены

Подробнее

ШТАНГЕНЦИРКУЛИ МЕТОДИКА КАЛИБРОВКИ

ШТАНГЕНЦИРКУЛИ МЕТОДИКА КАЛИБРОВКИ ШТАНГЕНЦИРКУЛИ МЕТОДИКА КАЛИБРОВКИ 2 Сфера применения Настоящие рекомендации распространяются на штангенциркули, предназначенные для измерения наружных и внутренних размеров до 250, и устанавливают методику

Подробнее

КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс

КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс Номер урока Тема урока КАЛЕНДАРНО - ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 6 класс Кол-во часов Глава 1. Обыкновенные дроби. 1. Делимость чисел 24 ч 1-3 Делители и кратные 3 Делитель, кратное, наименьшее кратное натурального

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ

ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ ЗНАЧИМОСТЬ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ Проверить значимость уравнения регрессии значит установить, соответствует ли построенное уравнение регрессии экспериментальным данным и достаточно

Подробнее

6. Основы математической статистики

6. Основы математической статистики 6. Основы математической статистики 1. Статистические ряды Пусть некоторый класс написал контрольную работу; учитель проверяет тетради и выставляет оценки в журнал: 3 4 2 5 3 5 4 4 4 3 2 4 4 3 5 4 3 5

Подробнее

Рекомендация КООМЕТ. Калибровка средств измерений. Алгоритмы обработки результатов измерений и оценивания неопределѐнности

Рекомендация КООМЕТ. Калибровка средств измерений. Алгоритмы обработки результатов измерений и оценивания неопределѐнности Рекомендация КООМЕТ Калибровка средств измерений Алгоритмы обработки результатов измерений и оценивания неопределѐнности CООМЕТ R/GM/ :0 Проект по теме 40/RU-а/08 Утвержден на заседании Комитета КООМЕТ

Подробнее

ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Терминология Цифры знаки для записи чисел. В десятичной системе счисления, которой мы, в основном, пользуемся, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего десять цифр. 0 (ноль)

Подробнее

Занятие 8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ

Занятие 8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ Занятие 8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных

Подробнее

Зависимость веса школьника от его роста

Зависимость веса школьника от его роста Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Зависимость веса

Подробнее

Лабораторная работа 5. Обработка экспериментальных данных в электронных таблицах ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Лабораторная работа 5. Обработка экспериментальных данных в электронных таблицах ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ Лабораторная работа 5. Обработка экспериментальных данных в электронных таблицах Задание 1. На первом рабочем листе документа ввести исходные данные, соответствующие варианту задания. Построить график

Подробнее

Е.Н. Аксенова. Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений. ДЛЯ САЙТА И ЛЕКЦИЙ

Е.Н. Аксенова. Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений. ДЛЯ САЙТА И ЛЕКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ЕН Аксенова Элементарные способы оценки погрешностей результатов прямых

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 8 АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ШУМОВ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ. План

Лекция 8 АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ШУМОВ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ. План 88 Лекция 8 АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ШУМОВ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ План 1. Введение. Анализ чувствительности методом малых приращений 3. Анализ чувствительности методом присоединенных схем 4. Анализ шумов аналоговых

Подробнее

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел.

Математика 6 класс. Тема 1. Делимость чисел. Математика 6 класс Тема. Делимость чисел. Основные понятия. Делитель натурального числа а натуральное число, на которое а делится без остатка. Например, ; 2; 5; 0 делители числа 0. Число 3 является делителем

Подробнее

Работа 2 Обработка и представление результатов однократных измерений при наличии систематической погрешности 1. Цель работы Получение навыков

Работа 2 Обработка и представление результатов однократных измерений при наличии систематической погрешности 1. Цель работы Получение навыков Работа 2 Обработка и представление результатов однократных измерений при наличии систематической погрешности 1. Цель работы Получение навыков обнаружения и устранения влияния систематических погрешностей

Подробнее

ТЕМА 3,4:АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ, СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИЦИИ

ТЕМА 3,4:АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ, СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИЦИИ ТЕМА 3,4:АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ, СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИЦИИ 1.Понятие об абсолютных, относительных и средних величинах. 2.Основные виды относительных и средних величин. 3.Понятие вариации

Подробнее

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ

2.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ .4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ К ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ Достаточно простые способы оценки коэффициентов линейного тренда, приведённые в предыдущее параграфе, обладают среди прочих одним

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Пусть у нас есть серии значений двух параметров. Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ СИГНАЛЕ

ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ СИГНАЛЕ ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ СИГНАЛЕ Информацию о качественном и количественном составе анализируемого объекта химик-аналитик получает из аналитического сигнала. Аналитический сигнал среднее значение результатов

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

П. Ю. БАКИН, Э. Э. КОЛМАКОВ, А. И. САПОЖНИКОВ ФИЗИКА

П. Ю. БАКИН, Э. Э. КОЛМАКОВ, А. И. САПОЖНИКОВ ФИЗИКА РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФГБОУ ВПО ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МИКРО- И НАНОТЕХНОЛОГИЙ П. Ю. БАКИН, Э. Э. КОЛМАКОВ, А. И. САПОЖНИКОВ

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Цель работы: Освоить методы приближенных вычислений в химии и химической технологии с помощью стандартных компьютерных программ

Цель работы: Освоить методы приближенных вычислений в химии и химической технологии с помощью стандартных компьютерных программ 2 Содержание 1 Элементы теории погрешностей 4 1.1 Приближенные значения величин. Источники и 4 классификация погрешностей 1.2 Абсолютная и относительная погрешности 5 1.3. Верные значащие цифры приближенного

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

«Математическая обработка результатов физического эксперимента»

«Математическая обработка результатов физического эксперимента» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 8 г. Феодосии Республики Крым» Всероссийская предметная олимпиада им. М.В. Ломоносова

Подробнее

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния.

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния. Лекция Элементы теории систем массового обслуживания 11. Элементы теории систем массового обслуживания Вопросы темы: 1. Основные понятия. Классификация СМО. 2. Понятие марковского случайного процесса.

Подробнее

Математические вычисления О математических функциях. Суммирование Простая сумма

Математические вычисления О математических функциях. Суммирование Простая сумма Математические вычисления О математических функциях Математические функции используют при выполнении арифметических и тригонометрических вычислений, округлении чисел и в некоторых других случаях. Суммирование

Подробнее

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые

Подробнее

Подведѐм итоги: Законы механики Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.

Подведѐм итоги: Законы механики Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Приложение 165 Вводная лекция по механике Программа по работе со школьниками ориентирована на то, чтобы ознакомить учеников старших классов с работой в лаборатории, научить их измерять физические величины

Подробнее

Лекция 2. Распределения и доверительные интервалы

Лекция 2. Распределения и доверительные интервалы Лекция. Распределения и доверительные интервалы x 1, x,, x n x 1, x,, x n Теоретическая часть 1. Распределение случайной величины и функция плотности распределения. Нормальное распределение, математическое

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 2. ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 2. ГЕНЕРАТОРЫ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Во многих статистических методах и практических задачах программирования используется генерация случайных чисел, которые

Подробнее

Неопределенность измерения и регистрация сигналов

Неопределенность измерения и регистрация сигналов ISS0050 Mõõtmine - и регистрация Kristina Vassiljeva 16 октября 2014 г. 1 / 35 Проблемы Описание Источники неопределенности Порядок действий Модель Множество моделей 2 / 35 Проблемы Описание Источники

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Эконометрическое моделирование

Эконометрическое моделирование Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 3 Парная регрессия Оглавление Парная регрессия... 3 Метод наименьших квадратов (МНК)... 3 Интерпретация уравнения регрессии... 4 Оценка качества построенной

Подробнее

6.6. Понятие о случайной функции

6.6. Понятие о случайной функции 66 Понятие о случайной функции Вспомним определение случайной величины Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее - какое

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Рабочая программа Алгебра 7 класс

Рабочая программа Алгебра 7 класс Рабочая программа Алгебра 7 класс Программа разработана на основе на основе авторской программы А.Г.Мордковича, рекомендованной Министерством образования и науки Российской Федерации. Авторы: А.Г.Мордкович;

Подробнее

ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ЛЕНИНГРАД 1988

ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ЛЕНИНГРАД 1988 Ле н инг р а д с к и й ор д е на Ле ни на и ор д е на ок тя бр ьской р е в о лю ц и и "ИНС ТИ Т УТ И Н ЖЕ Н Е РОВ ЖЕ ЛЕ ЗН ОД ОРО ЖН ОГО ТРАН СПОР ТА имен и а к а д е м ик а В.Н. ОБРА ЗЦ ОВА " Кафедра

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

1.1.Исходные данные : Номер варианта. ,тыс.часов , ,5,тыс.часов , , тыс.часов 3 2,5 4 3, ,5 3

1.1.Исходные данные : Номер варианта. ,тыс.часов , ,5,тыс.часов , , тыс.часов 3 2,5 4 3, ,5 3 3 Введение Контрольная работа по дисциплине «Надежность транспортного радиооборудования» предназначена для закрепления теоретических знаний по дисциплине, получения навыков расчета показателей надежности

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА Методические

Подробнее