MENGENLEHRE. If the doors of perception were cleansed, everything would be seen as it is, William Blake

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "MENGENLEHRE. If the doors of perception were cleansed, everything would be seen as it is, William Blake"

Транскрипт

1 НЕ СОВСЕМ НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ MENGENLEHRE Николай Вавилов Смотрю на него и не вижу, а поэтому называю его невидимым. Слушаю его и не слышу, а поэтому называю его неслышимым. Пытаюсь схватить его и не достигаю, поэтому называю его неуловимым. Не надо стремиться узнать об источнике этого, потому что оно едино. Его верх не освещен, его низ не затемнен. Оно бесконечно и не может быть названо. Оно снова возвращается к небытию. И вот называют его формой без форм, образом без существа. Поэтому называют его неясным и туманным. Встречаюсь с ним и не вижу лица его, следую за ним и не вижу спины его. Дао дэ цзин, 14 (перевод Ян Хин-шуна). If the doors of perception were cleansed, everything would be seen as it is, infinite. William Blake Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt des Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so aufregend und fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig 1. David Hilbert 2 Our minds are finite, and yet even in these circumstances of finitude we are surrounded by possibilities that are infinite, and the purpose of life is to grasp as much as we can out of that infinitude. Alfred Whitehead 3 Бесконечное, вот ответ на все вопросы. Все вопросы имеют один ответ. А потому нет многих вопросов, а есть только один вопрос. Этот вопрос: что такое бесконечное? Даниил Хармс, Бесконечное, вот ответ на все вопросы... 1 С давних пор ни одна проблема не волновала так глубоко человеческий дух, как проблема бесконечного; ни одна идея не влияла на разум так возбуждающе и плодотворно, как идея бесконечного; но, вместе с тем, ни одно понятие не нуждается так остро в разъяснении, как нуждается в нем бесконечное. 2 D. Hilbert, Über das Unendliche. Math. Ann., 1925, Bd.95, S Русский перевод: Д.Гильберт, О бесконечном. стр.433. в книге: Д.Гильберт, Избранные Труды, т.i. Факториал, М., 1998, с Сокращенный русский перевод в книге Д.Гильберт, Основания геометрии. М. Л., ГИТТЛ, 1948, с Цитируется по N.Rose, Mathematical maxims and minims. Raleigh, North Caroline, Typeset by AMS-TEX

2 2 николай вавилов Интродукция Оглавление 1. Фактический план: множества, отображения, отношения 2. Фактический план: Mengenlehre: инструмент, доктрина и теория 3. Астральный план: Множество, как определяемое понятие 4. Практический план с оргвыводами: культурная отсталость 5. Мистический план: Behaupte, wo du stehst! 5. Мистический план в фактических аспектах: о чем не говорил Конфуций 13. Литература по теории множеств Раздел 1. Множества и операции над ними 1. Система Цермело-Френкеля 1. Множества и элементы, принадлежность 2. Табличное задание множества 3. Алфавит 4. Почему нельзя говорить о множестве зеленых яблок? 5. Подмножества, включение 6. Логические парадоксы, антиномии и фанфрелюшки 7. Семантические парадоксы 8. Еще один рефлексивный парадокс 9. Аксиоматика Цермело-Френкеля ZFC 10. Системы фон Неймана и Геделя-Бернайса GB 11. Теории типов: системы PM, NF и ML 12. Универсумы, система Гротендика ZFG 13. Теория гипермножеств 14. Лягушачья икра 2. Булевы операции 1. Булеан и внешние степени множества 2. Биномиальные коэффициенты 3. Пересечение и объединение 4. Тождества для объединения и пересечения: решетки 5. Тождества, связывающие пересечение с объединением: дистрибутивные и модулярные решетки 6. Медиана 7. Метод включения-исключения 8. Разность множеств 9. Дополнение: булевы алгебры 10. Симметрическая разность множеств 11. Булевы кольца 12. Пересечение и объединение произвольных семейств 13. Непересекающиеся множества, дизъюнктное объединение 14. Алгебры и топологии 3. Произведение и копроизведение 1. Упорядоченные пары 2. Прямые произведения множеств: наивное определение 3. Дальнейшие примеры прямых произведений

3 множества, отображения, отношения: not entirely naive 3 4. Упорядоченные n-ки 5. Прямые произведения конечного семейства множеств 6. Лингвистические примеры 7. Тождества, связывающие произведение с булевыми операциями 8. Диаграммы множеств и отображений 9. Прямое произведение множеств: проекции 10. Универсальное свойство прямого произведения 11. Функторы на категории множеств, 1st installment: ковариантные функторы 12. Функторы на категории множеств, 2nd installment: контравариантные функторы 13. Функторы на категории множеств, 3rd installment: функтор степени 14. Функторы на категории множеств, 4th installment: функторы двух аргументов 15. Функториальность прямого произведения 16. Метрические пространства 17. Декартовы произведения произвольных семейств 18. Прямое произведение множеств с отмеченной точкой 19. Ограниченное прямое произведение 20. Свободное объединение 21. Букетное произведение множеств с отмеченной точкой 22. Расслоенное произведение 23. Амальгамированная сумма Раздел 2. Отображения и отношения 4. Отображения 1. Отображения: первые слова 2. О функциях вообще 3. Метафора функции: stimulus and response 4. Область, кообласть и график отображения 5. Семейства, последовательности, слова 6. Первые примеры отображений 7. Некоторые классические функции 8. Некоторые арифметические функции 9. Геометрические преобразования 10. Табличное задание отображений 11. Полиномиальные функции 12. Рациональные функции 13. Алгебраические функции 14. Элементарные функции 15. Трансцендентные функции 16. Характеристическая функция подмножества 16. Множество всех отображений 17. Ограничение и продолжение отображения 18. Образы и прообразы 19. Уравнитель отображений 20. Инъективные отображения 21. Сюръективные отображения

4 4 николай вавилов 22. Биективные отображения 23. Композиция отображений 24. Итерации отображений 25. Обратное отображение 26. Тензорное произведение отображений 27. Прямое произведение отображений 28. Склейка и копроизведение отображений 29. Инъекции = мономорфизмы = коретракции 30. Сюръекции = эпиморфизмы = ретракции 31. Функции нескольких аргументов 32. Отображения прямого произведения 5. Отношения 1. Отношения 2. Композиция отношений 3. Симметричное отношение 4. Дополнительное отношение 5. Основные классы бинарных отношений 6. Многоместные отношения 7. Отношение эквивалентности 8. Разбиения и фактор-множества 9. Факторизация отображений 10. Схемы и диаграммы Юнга 11. Отношения порядка 12. Прямое произведение чумов 13. Диаграмма Хассе 14. Мажорирование и минорирование 15. Решетки 16. Монотонные отображения Раздел 3. Основы учения о множествах 6. Мощность множества 1. Эквивалентность, мощность множества 2. Бесконечные множества 3. Субвалентность, теорема Кантора-Бернштейна 4. Супервалентность 5. Закон трихотомии 6. Теорема Кантора 7. Счетная мощность 8. Не каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество 9. Вещественные числа 10. Непрерывные дроби 11. Мощность континуума 12. Свойства мощности континуума 13. Дальнейшие примеры множеств мощности континуума 14. Гипотеза континуума 15. Операции над мощностями

5 множества, отображения, отношения: not entirely naive 5 7. Порядковые типы 1. Порядковые типы 2. Арифметика порядковых типов 3. Вполне упорядоченные множества 4. Ординалы 5. Принцип трансфинитной индукции 8. Аксиома выбора 1. Покрытия и разбиения, аксиомы выбора ZF8 2. Лемма Куратовского Цорна 3. Теорема Цермело 4. Теорема Хаусдорфа 5. Аксиома выбора в форме Тарского Раздел 4. Алгебраические операции Раздел 5: Hors-d oeuvres Аппендикс 1. Совсем наивная теория множеств Аппендикс 2: Еще более наивная логика Аппендикс 3. Аксиоматика Аппендикс 4. Совсем наивная теория категория

6 6 николай вавилов Аппендикс 5. Теоретико-множественная топология Аппендикс 6. Основные алгебраические системы

7 множества, отображения, отношения: not entirely naive 7 Множества, отображения, отношения Я закрыл глаза, потом открыл их. И тут я увидел Алеф. Тут я подхожу к непересказуемому моменту своего повествования и признаюсь в своем писательском бессилии. Всякий язык представляет собой алфавит символов, употребление которых предполагает некое общее с собеседником прошлое. Но как описать другим Алеф, чья беспредельность непостижима и для моего робкого разума? Кроме того, неразрешима главная проблема: перечисление, пусть неполное, бесконечного множества. В грандиозный этот миг я увидел миллионы явлений радующих глах и ужасающих, ни одно из них не удивило меня так, как тот факт, что все они происходили в одном месте, не накладываясь одно на другое и не будучи прозрачными. То, что видели мои глаза, совершалось одновременно, но в моем описании предстанет в последовательности таков закон языка. Хорхе Луис Борхес, Алеф Хотя эта книга является частью учебника по алгебре, но не относится собственно к алгебре, а посвящена отработке основ теоретико-множественного языка. Мы систематически и с большим количеством конкретных примеров излагаем ту часть теории множеств, знакомство с которой совершенно необходимо для понимания всех математических дисциплин. Сам выбор материала вполне стандартен, сводится к абсолютному минимуму и диктуется непосредственными потребностями курса алгебры: основы учения о множествах (принадлежность и включение, пустое множество, булевы операции и связывающие их тождества, табличная запись и выделение подмножеств свойствами, булеан); декартовы произведения (упорядоченные пары и n-ки, проекции, прямое произведение отображений); отображения (область, кообласть и график, композиция, инъективные, сюръективные и биективные отображения, обратное отображение, образы и прообразы); конечная комбинаторика (правила суммы, произведения и степени, биномиальные коэффициенты, метод включения и исключения, правило подсчета двумя способами, принцип Дирихле, числа Стирлинга); бесконечные мощности (эквивалентность множеств, сравнение мощностей, теорема Кантора-Бернштейна, счетная мощность и мощность континуума, канторовский диагональный процесс и теорема Кантора о мощности булеана, кардинальная арифметика); отношения (композиция отношений, симметричное и дополнительное отношение, классы отношений); отношения эквивалентности (классы эквивалентности, трансверсали, разбиения, схемы Юнга, фактор-множества, факторизация отображений); отношения порядка (мажорирование и минорирование, наибольший и наименьший элементы, максимальный и минимальный элементы, лексикографический и покомпонентный порядок, диаграмма Хассе, лемма Куратовского- Цорна, фундированные множества, трансфинитная индукция, порядковые типы, основы ординальной арифметики). Тем не менее, мы обсуждаем эти понятия более основательно и, по возможности, на чуть более современном языке, чем это обычно делается на первых

8 8 николай вавилов страницах курсов алгебры и математического анализа. Одна из наших главных целей состоит в том, чтобы на этом элементарном материале вывести читателя на принципиально другой уровень математической софистикации 4. В соответствии с общей установкой нашего курса примерно половина текста посвящена не фактическому плану, а истории, мифологии, идеологии и приложениям. Некоторые части, например, три больших параграфа, посвященных парадоксам, носят чисто развлекательный характер. Я полностью разделяю сформулированное Литтлвудом 5 определение математики как веселой науки : a good mathematical joke is better and better mathematics, than a dozen mediocre papers. Мы предполагаем, что читатель уже видел основные элементарные понятия и символику теории множеств в школе и поэтому употребляем некоторые термины еще до того, как они будут формально определены в тексте. Поэтому мы не только углубим понимание тех аспектов теории множеств, с которыми он уже встречался в той или иной форме, а стараемся упоминать и такие принципиальные моменты (бесконечные кардиналы, аксиома выбора, аксиома регулярности, праэлементы, трансфинитная индукция, универсумы, классы, и т.д.), о которых он, скорее всего вообще не слышал. Кроме того, в разделах, посвященных прямым произведениям, отображениям и отношениям подчеркиваются теоретико-категорные аспекты этих понятий (множество всех отображений Map(X, Y ), универсальное свойство, функториальность, ковариантность и контравариантность, определение инъекций и сюръекций как мономорфизмов и эпиморфизмов или как коретракций и ретракций и т.д.). Mengenlehre: язык, инструмент, доктрина и теория Точное знание аксиом не является обязательным. Но обязательной является вера в то, что вся классическая математика следует из этих аксиом. Джон Берджес 6 Говоря о теории множеств разные авторы подразумевают, три принципиально различные вещи: Наивную теорию множеств. История наивной теории множеств насчитывает по крайней мере 3 4 тысячи лет. Например, традиционный порядок гексаграмм И-Цзин, приписываемый Фу-Си, содержит таблицы Кэли для булевых операций на конечных множествах 7. Уже в совершенно современном виде вся наивная теория множеств (принадлежность, включение, свойства булевых операций, декартово произведение, конечная комбинаторика и т.д.) была развита в XVII XVIII веках Пьером де Ферма, Рене Декартом, Готтфридом фон Лейбницем, Якобом и Иоганном Бернулли и Леонардом Эйлером. Канторовское учение о множествах. Обратите внимание, что немецкий оригинал говорит о Mengenlehre, а вовсе не Mengentheorie! Иными слова- 4 Софистикация усовершенствование мысленных способностей, умение замечать тонкие отличия, утонченность, искушенность, изощренность, изысканность. 5 Дж.Литтлвуд, Математическая смесь. М., Наука, 1978, с.1 143, стр.6. 6 Дж.П.Берджес, Вынуждение. Стр в книге [ML]. 7 Ю.К.Щуцкий, Классическая китайская Книга перемен. Изд-во Восточная Литература РАН, М., 1997, с.1 605; см. форзац, схемы 8 и 10.

9 множества, отображения, отношения: not entirely naive 9 ми, о теоретико-множественной доктрине 8 или учении, но не о теории!!! Основы этого учения были заложены в XIX веке Бернардом Больцано 9, Георгом Кантором 10 и Рихардом Дедекиндом 11. Как всякое учение, учение о множествах имеет фактические, теоретические, доктринальные и ритуальные аспекты. Основой этого учения, его символом веры является почти неограниченное принятие актуальной бесконечности. Нет сомнения, что это кредо в значительной степени определило математику XX века и ответственно за все ее достижения. 8 Доктрина учение, вероучение, система философских, религиозных, идеологических или теоретических взглядов. 9 Бернард Больцано ( , Прага , Прага) чешский математик и теолог, основные математические работы которого относятся к обоснованию анализа. В 1805 годах занял кафедру философии религии в Пражском университете, но в 1819 году после кляузы Папы к Императору был отстранен от должности и сослан в деревню под надзор полиции, с лишением права публичных выступлений и публикаций. В Прагу смог вернуться лишь 1842 году. По описаным выше причинам многие из его результатов вошли в историю под именами Коши, Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. В 1830 году (за 30 лет до знаменитого примера Вейерштрасса!) в книге Учение о функциях Больцано построил пример непрерывной кривой, не имеющей касательной ни в одной точке. В курсе анализа встречаются теоремы Больцано, Больцано-Вейерштрасса, и т.д. Был предшественником Кантора в интересе к математическому изучению понятия актуальной бесконечности. В книге Парадоксы бесконечного Больцано определил бесконечное множество как множество, эквивалентное своей собственной части то, что сегодня называется бесконечностью по Дедекинду. 10 Георг Кантор ( , Санкт-Петербург , Галле) учился в ETH в Цюрихе, Берлинском и Геттингенском Университетах. С 1869 года работал в Университете Галле, где в 1879 году был избран ординарным профессором. Его ранние работы относились к теории чисел и теории функций. Начиная с середины 1870-х годов его интересы переносятся на математическую трактовку понятия актуальной бесконечности. Создание им теории множеств было, несомненно, одним из самых революционных открытий во всей истории науки. В 1874 году Кантор доказал несчетность множества вещественных чисел, а в 1878 году ввел понятия кардинальных и ординальных чисел, которые глубоко исследовал в цикле работ годов. В нашем курсе встречаются аксиома Кантора, парадокс Кантора, теорема Кантора-Бернштейна, несколько теорем Кантора о мощностях, построение вещественных чисел по Кантору и т.д. Последние десятилетия его жизни были омрачены развязной и несправедливой травлей со стороны некоторых философов и математиков, которая привела к тяжелому психическому заболеванию. Основные работы Кантора по теории множеств опубликованы в Mathematische Annalen в годах. Эти работы переведены на русский в книге Георг Кантор, Труды по теории множеств. Наука, М., 1985, с Рихард Юлиус Вильгельм Дедекинд ( , Брауншвейг , ibid.) общепризнанный классик науки XIX века, непосредственный ученик Гаусса и Дирихле, и близкий друг Римана Дедекинд был одним из основоположников современной алгебры и алгебраической теории чисел. После обучения в Брауншвейге, где он увлекался главным образом химией и физикой, в 1850 году Дедекинд поступил в Университет Геттингена. В 1858 году начал преподавать в ETH в Цюрихе. Приняв это предложение Дедекинд начал длительную традицию, когда работа в Цюрихе была для немецких алгебраистов первым шагом для получения профессорской должности в Германии, после Дедекинда тем же путем прошли Фробениус, Гурвиц, Вебер, Минковский и многие другие. В 1862 году Дедекинд вернулся в Брауншвейгский политехнический институт, где работал до самой смерти. Дедекинд первым включил в университетский курс алгебры теорию полей и теорию Галуа, ввел понятия кольца и идеала. Много размышлял над проблемами обоснования математики, и теорией множеств. Широкой публике известен своей порядковой конструкцией вещественных чисел (дедекиндовы сечения). В честь него названы дедекиндовы кольца, дедекиндовы решетки. В нашем курсе встречаются теорема Кронекера-Дедекинда, формула Мебиуса-Дедекинда, лемма Дедекинда, лемма Дедекинда-Артина и т.д., а также десятки введенных им терминов: отображение, идеал, коммутатор, гамильтоновы группы,...

10 10 николай вавилов Наконец, аксиоматическую теорию множеств. Эта развитая в XX веке теория представляет собой в высшей степени специализированнную область профессиональных исследований, с трудными и глубокими результатами. Владение деталями этой теории не является необходимым большинству математиков. Что, однако, полезно знать каждому математику, так это то, что эта теория способна служить надежным основанием для формализации всех обычных понятий, используемых в классической математике. В настоящей книге теория множеств интересует нас, преимущественно как язык и инструмент. Однако серьезный читатель должен полностью отдавать себе отчет в том, что сознательно овладеть этим языком и профессионально использовать этот инструмент невозможно, не приобщившись хотя бы к основам 12 теоретико-множественной доктрины и не овладев рудиментами аксиоматической теории множеств. 1. Множество как определяемое понятие Туземцы большей частью полагают, что Англия, Лондон и Северная Америка суть различные названия одного и того же места: однако находились и люди более сведущие, они знали, что Лондон и Северная Америка отдельные, но соседние между собой страны, а Англия это большой город в Лондоне. Чарльз Дарвин 13 В то время, незадолго до экспедиции Пири, Цермело нравилось доказывать невозможность достижения Северного полюса. Он утверждал, что количество виски, требуемое для достижения некоторой широты, пропорционально тангенсу этой широты, тем самым оно стремится к бесконечности при приближении к полюсу. Когда приезжавшие в Геттинген математики задавали ему вопрос о его фамилии, он отвечал им: Когда-то она звучала как Walzermelodie, но затем пришлось убрать первый и последний слоги. Констанс Рид 14. Современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь смысл до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить под X мы понимаем Y. С некоторыми оговорками верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не как определить ?, а что есть ? ; и этот склад мышдения приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую, по существу, число словесного характера. Гарольд Харди О большем речи не идет. Понимание всех более глубоких слоев Канторовской доктрины без свободного владения немецким языком невозможно. Пересказать на другом языке тексты Кантора, столь же невозможно, как, скажем, пересказать тексты Новалиса, Ницше, Шпенглера или Юнга. Все известные мне переводы не только разрушают очарование, но и грубо искажают тональность, а часто и смысл сказанного. 13 Ч.Дарвин, Путешествие натуралиста, Гл. III. 14 К.Рид, Гильберт, с Г.Г.Харди, Расходящиеся ряды. Л., 1951, с.1 504; стр.19.

11 множества, отображения, отношения: not entirely naive 11 После того, как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, все дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Андрей Колмогоров Множество как неопределяемое понятие. Часто приходится читать, что понятие множества является первичным и, поэтому, неопределяемым. Вот, что написано по этому поводу в классическом учебнике Эдуарда Гурса 17 : Мы уже несколько раз употребляли слово множество. Понятие множества принадлежит к числу тех, которые, по-видимому, бесполезно определять иначе, как с помощью примеров. Всякая совокупность предметов в конечном или бесконечном числе составляет множество. А вот, что говорится в учебнике Лузина 18 : Что такое множество? Мы не станем добиваться ответа на этот вопрос, потому что понятие множества является столь первоначальным, что затруднительно, по крайней мере на сегодняшний день, определить его при помощи более простых понятий.... Итак, мы не станем искать определения слова множество. Можно, разумеется, было бы сказать, что множество есть собрание, коллекция, класс, система, семейство, комплекс, ансамбль, и так далее. Но такая замена одного слова другим никогда не может дать саму идею множества тому, кто раньше не приобрел ее каким-нибудь образом. Это заблуждение более чем вековой давности часто повторяется в руководствах по математическому анализу и других научно-популярных сочинениях и сейчас (июнь 2003 года). Часто и сегодня приходится читать, что множество есть просто синоним слов совокупность, класс, семейство, собрание. Это не так, множество есть точно определенный математический термин для классов, образованных по чрезвычайно простым явно описанным правилам, и, в частности, отнюдь не любая бесконечная совокупность предметов будет образовывать множество 19. Если читатель уже владеет теорией множеств на уровне, необходимом для понимания нехитрой мысли, что не все, вокруг чего можно поставить фигурные скобки, представляет собой множество, он может смело пропустить настоящую главу и перейти непосредственно к Главе Множества по Кантору и Дедекинду. Необходимость введения аксиоматики связана отнюдь не с мнимыми противоречиями наивной теории множеств. Повторяющееся из книги в книгу утверждение о противоречиях Канторовской теории множеств совершенно абсурдно. Эти противоречия обнаружились не в теории Кантора и Дедекинда, а в теориях, придуманных самими логиками, специально с целью обнаружить в них противоречия. Все существенное для интуитивного понимания множества содержится в следующем классическом изречении Георга Кантора: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten in unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M 16 А.Н.Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей. М., 1974, с.1 120; стр Э.Гурса, Курс математического анализа, т.1. М., ОНТИ, 1936, стр Н.Н.Лузин, Теория функций действительного переменного. ГУПИ, М., 1948, с.1 318; стр В то же время семейство есть отображение, рассматриваемое с точностью до равенства, не учитывающего область значений.

12 12 николай вавилов genannt werden) zu einem ganzen Под множеством мы понимаем любое соединение M определенных различных (различимых) объектов нашего умозрения или нашей мысли (которые будут называться элементами M) в единое целое. Это определение указывает, что понятие множества оформляет идею принадлежности, отношение между множеством и его элементами. Множество это то, что имеет элементы, или, если угодно, состоит из элементов, но при этом само мыслится как некое новое единство, некий новый объект более высокого уровня. Другое ключевое слово в этом определении, wohlunterschiedenen, трудно переводимое на русский язык, может указывать на то, что, во-первых, элементы множества попарно различны, во-вторых, что они попарно различимы, т.е. мы можем сказать, равны два элемента множества между собой или нет 20. Оба эти значения слова wohlunterschiedene раскрываются в следующей фразе 21 : Eine Mannigfaltigkeit (ein Inbegriff, eine Menge) von Elementen, die irgendwelcher Begriffssphäre angehören, nenne ich wohldefiniert wenn... es als intern bestimmt angesehen werden muß, sowohl ob irgendein derselben Begriffsphäre angehöriges Objekt zu der gedachten Mannigfaltigkeit als Element gehört oder nicht, wie auch, ob zwei zur Menge gehörige Objekte, trotz formaler Unterschiede in der Art des Gegebenseins, eindander gleich sind oder nicht. В книге Was sind und was sollen die Zahlen 22 Рихард Дедекинд писал Множество S полностью определено только тогда, когда относительно всякой вещи известно, является ли она элементом множества S или нет. Ясно, что такой взгляд на множества устраняет все парадоксы до их появления, но его слабость состоит не в излишней широте, а в недопустимой узости понятия множества. В действительности, описываемая ниже теория Цермело-Френкеля понимает множества значительно более широко, чем их понимали основатели теории множеств Кантор и Дедекинд, хотя, конечно, более узко, чем их первоначально понимали Фреге и Рассел. 3. Аксиоматика Цермело-Френкеля. Первая непротиворечивая 23 система аксиом для теории множеств была предложена в 1908 году 24 Эрнстом Цермело 25. Она состояла из аксиом объемности, существования, пары, объединения, 20 И, в-третьих, на произвольность этих элементов. 21 G.Cantor, Ges. Abh., S Р.Дедекинд, Что такое числа и для чего они служат. Изв. Физ. Мат. Об-ва Казанского Ун-та, 1906, т.15, с Точнее было бы перевести название как Что такое числа и зачем они нужны. 23 Конечно, как мы теперь знаем, непротиворечивость систем Z, ZF и ZFC не может быть установлена финитными средствами и, таким образом, в известном смысле, представляет собой вопрос веры. Некоторые авторы шли настолько далеко, что даже определяли математика как того, кто верит в непротиворечивость системы ZF. Следует однако заметить, что как чисто формальных, так и эпистемологических оснований для такой веры значительно больше, чем оснований для веры в существование внешнего мира. 24 E.Zermelo, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. Math. Ann., 1908, Bd.65, S Эрнст Цермело ( , Берлин , Фрайбург) немецкий математик. В 1894 году окончил Берлинский Университет, после чего работал в Геттингене, Цюрихе и Фрайбурге. Наибольшей известностью пользуются его исследования по основаниям теории множеств и частично упорядоченным множествам. В нашем курсе встречаются системы Цермело, Цермело-Френкеля и их варианты, аксиома Цермело и теорема Цермело о полном упорядочении. Кроме того, Цермело занимался теорией вероятностей и теорией динамических систем.

13 множества, отображения, отношения: not entirely naive 13 бесконечности, подмножеств, степени и выбора. Система Цермело, обозначаемая обычно через Z, достаточна для обоснования всей классической доканторовской математики, и, заметим, почти всей современной математики, кроме самой канторовской теории множеств. В 1922 году Абрахам Френкель 26 заменил в системе Цермело одну из аксиом, аксиому подмножеств, на значительно более сильную аксиому подстановки 27. Впрочем, в последнее время она все чаще обозначается ZFC (=ZF+Choice), чтобы подчеркнуть, что в нее входит аксиома выбора, а через ZF обозначается система из 8 аксиом, без аксиомы выбора. В системе ZFC всего один тип объектов множества, всего одно отношение, всего одна константа, в нее входит всего 9 чрезвычайно естественных и удивительно простых аксиом, а ее выразительная мощь чудовищно велика. В 10 мы дадим полное определение понятия множества так, как оно понимается сегодня большинством математиков. Это полное определение состоит в том, что множества и отношение принадлежности удовлетворяют аксиомам Цермело-Френкеля ZF1 ZF9 перечисляющим все основные общепринятые способы образования множеств. Согласно этим аксиомам множеством называется то, что либо состоит из конечного числа объектов, либо является множеством всех натуральных чисел, либо получается применением к уже имеющемуся множеству уже имеющейся функции (или, что почти то же самое, получается взятием подмножества уже имеющегося множества), либо является объединением уже имеющегося множества уже имеющихся множеств, либо, наконец, является множеством всех подмножеств уже имеющегося множества. Все! Для совокупности объектов не существует никаких других причин быть множеством, кроме перечисленных выше и аксиомы выбора. Т.е. если какое-то множество не получается при помощи перечисленных выше конструкций, то единственной причиной, по которой оно может существовать, во всех случаях является аксиома выбора. При этом аксиома регулярности ZF9, по-видимому, никогда не использовалась в обычной математике, а там, где она использовалась по неведению (например, определение упорядоченной пары (a, b) как {a, {a, b}}), ее легко обойти. В то же время отбросить аксиому выбора ZF8 без нарушения целостности математики невозможно, поскольку она используется постоянно и большей частью бессознательно. Таким образом, ядро системы Цермело-Френкеля состоит из аксиом ZF1 ZF8. В рассужденях о множествах могут использоваться и дополнительные предположения (гипотеза континуума, существование универсумов, существование больших кардиналов, аксиома конструктивности и т.д.), но эти предположения не являются общепринятыми и их использование должно каждый раз тщательно оговариваться. Причины, по которым мы основываем наше изложение на ZF, носят не философский или умозрительный, а чисто практический характер. За 80 лет существования системы ZF не было предложено ни одного нового принципа образования множеств, который 26 Абрахам (Адольф) Френкель ( , Мюнхен , Иерусалим) один из ведущих специалистов по аксиоматической теории множеств и философии математики. Преподавал в Марбурге и Киле, а в 1933 году перехал в Еврейский Университет Иерусалима. Кроме работ по теории множеств написал несколько статей по алгебре. На русский переведена его совместная с И.Бар-Хиллелом книга Основания теории множеств. 27 A.Frenkel, Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. Math. Ann., 1922, Bd.86, S

14 14 николай вавилов получил бы достаточно широкое признание или как-то повлиял бы на обычную математику. 4. Место теории множеств в математике. Именно система Цермело- Френкеля ZFC, ее модификации и разновидности (например, система, изложенная в первом томе трактата Элементы математики Никола Бурбаки) или эквивалентная ей для всех практических целей система Геделя-Бернайса GB лежат в основе подавляющей части современной математики и в течение многих десятилетий вообще не имели сколь-нибудь серьезной альтернативы в качестве основания математики. У многих математиков даже возникла иллюзия, что математика является разделом теории множеств. Эта иллюзия поддерживалась тем, что язык теории множеств удивительно силен и гибок, и что вся классическая математика действительно легко может быть проинтерпретирована на этом языке. Так, например, в 1949 году Никола Бурбаки писал Все математические теории можно рассматривать как расширения общей теории множеств. Я утверждаю, что на этом фундаменте можно построить все здание сегодняшней математики. Соглашается с этим и Поль Коэн: Анализируя математические рассуждения, логики пришли к убеждению, что понятие множества является самым основным в математике. За прошедшие полвека перспектива несколько изменилась, так как за это время возникли точки зрения на основания математики альтернативные к теории множеств и, в действительности, гораздо более общие, чем теория множеств. Тем не менее, и сегодня теория множеств продолжает оставаться важнейшей частью математического языка и полностью достаточна для обоснования математических дисциплин аналитического цикла (собственно математический анализ, теория вероятностей, теория дифференциальных уравнений и т.д.). Культурная отсталость Ситуацию, которая возникла затем, социологи описали бы в терминах культурной отсталости 28. Несмотря на наличие непротиворечивой теории множеств, математики продолжали беспокоиться о непротиворечивости. Некоторые сомневались даже в непротиворечивости самой арифметики! Ситуацию еще более ухудшали гротескные попытки Л.Э.Я.Брауэра превратить математику в религию. К.Сморинский 29 Всякий, кто говорит о противоречиях или парадоксах теории множеств должен быть признан культурно отсталым: в теории множеств никогда не было никаких противоречий. Все слухи о противоречиях являются либо журнализмом, либо сознательной дезинформацией, либо порождены культурной или умственной отсталостью тех, кто их распускает. Чтобы понять обстановку, которая привела к формированию этого стереотипа, нужно знать как в то время была организована математическая жизнь. Германия была не центром математического мира Германия была математическим миром. Это не значит, что 28 В оригинале написано или должно быть написано mental retardation. 29 К.Сморинский, Теоремы о неполноте. В кн.: Справочная книга по математической логике. т.iv, М., Наука, 1983, с.9 53; стр.

15 множества, отображения, отношения: not entirely naive 15 С одной стороны, это связано крайне поверхностным пониманием теории множеств большинством французских аналистов, которые не владели в достаточной степени немецким языком 30 С другой стороны, в самой Германии были чрезвычайно сильны традиции конструктивизма. Кронекер Некоторые необычные с точки зрения математиков начала XX века теоремы, утверждающие несуществование или, наоборот, существование некоторых множеств, такие как теорема Кантора Рассела или теорема Банаха Тарского было принято называть парадоксами. 5. Парадоксы и кризис оснований. В 1902 г. Бертран Рассел 31 попытался выгнать нас из рая, который создал нам Кантор. Однако попытка Рассела оказалась неудачной 32. Эти так называемые парадоксы, как и их решение, были известны Кантору лет за 20 до этого. Вот, например, отрывок из письма Кантора Гильберту от 20 сентября 1897 года 33 : Totalitäten die nicht als Mengen von uns gefaßt werden können (wovon ein Beispiel die Totalität aller Alefs ist, wie oben bewiesen wurde) habe ich schon vor vielen Jahren absolut unendliche Totalitäten genannt und sie von den transfiniten Mengen scharf unterschieden Совокупности, которые мы не можем рассматривать как множества я уже много лет назад назвал абсолютно бесконечными совокупностями и тцательно отличал от трансфинитных множеств. А вот отрывок из письма Кантора Дедекинду от 28 августа 1899 года 34 : Eine Vielheit kann nähmlich so beschaffen sein, daß die Annahme eines zusammenseins aller ihrer Elemente auf eine Widerspruch führt, so daß es unmöglich ist, die Vielheit als eine Einheit, als ein fertiges Ding aufzufassen. Solche Vielheiten nenne ich absolut unendliche oder inkonsistente Vielheiten... Wenn hingegen die Gеsamtheit der 30 следует ли это отнести к культурной или к умственной отсталости? 31 Бертран Рассел ( , Trelleck (Monmouthshire) , Penrhyndedraeth (Wales)) английский философ, логик, писатель и политический деятель, автор десятков блистательных книг на научные, исторические и политические темы. Среди этих книг такие замечательные произведения как Человеческое познание, его границы и сфера, История Западной философии. В логике и основаниях математики был партизаном логицизма, состоящего в пропаганде нелепой идеи, что математика есть часть логики: Principles of Mathematics, Principia Mathematica (совместная с А.Н.Уайтхедом). В философии знаменит как один из самых ярких представителей логического позитивизма. В широких кругах известен главным образом пацифизмом, борьбой против ядерного оружия и книгой Почему я не христианин. Его тексты представляют собой непревзойденные шедевры английской прозы XX века и с полным основанием были удостоены Нобелевской премии 1954 года по литературе. К сожалению, Рассел не понимал духа математики: все его суждения на математические темы совершенно абсурдны и справедливо высмеивались его современниками, в том числе Гильбертом, Пуанкаре и Германом Вейлем. Винер вспоминал: Рассел внушил мне весьма разумную мысль, что человек, собирающийся специализироваться по математической логике и философии математики, мог бы знать кое-что и из самой математики. Остается только гадать, почему сам Рассел не пытался следовать столь разумному рецепту. 32 H.Weyl, The philosophy of Bertrand Russell. Amer. Math. Monthly, 1946, vol.53, p W.Purkert, Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre. Bull. Soc. Math. Belg., 1986, v.38, p Эта статья содержит публикацию архивных писем Кантора Гильберту. К сожалению, эти принципиально важные для понимания истории теории множеств документы не включены в Ges. Abh года. Оригиналы хранятся в Niedersächsische Staatsund Universitätsbibliothek Göttingen, Handschriftenabteilung. 34 Aus dem Briefwechsel zwischen Cantor und Dedekind. in G.Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Hrsg. von E.Zermelo, Berlin, 1932, S

16 16 николай вавилов Elemente einer Vielheit ohne Wiederspruch als zusammenseiend gedacht werden kann, so daß ihr Zusammengefaßtwerden zu einem Ding möglich ist, nenne ich sie eine konsistente Vielheit oder eine Menge. Заметим, что все это происходило задолго до ажиотажа по поводу парадоксов наивной теории множеств. Нам здесь нет нужды обсуждать шок, трепет и прочую дурь, типа интуиционизма, которые охватили не умевшую читать по-немецки часть математического мира в первые десятилетия XX века. Суеверен страх и благоговеен трепет математиков перед лицом противоречия Г.Фреге 35. Но Фреге был логиком, а не математиком, напротив, Г.Кантор был математиком и он сказал То, что получил Бурали-Форти - сущая чепуха. (см. Ван Хао). В любой аксиоматической теории множеств имплементирован механизм, позволяющий избежать появления логических парадоксов. Современному математику трудно понять, даже с трудом, почему логические парадоксы произвели такой ажиотаж в начале XX века. Тем не менее, мы подробно обсуждаем парадоксы ввиду их большой развлекательной ценности. Однако смысл аксиоматической теории множеств состоит вовсе не в том, чтобы избавиться от парадоксов (которые и так никогда не возникали в обычно проводимых в математике доказательствах), а в том, чтобы явно зафиксировать допустимые способы рассуждения о множествах. Behaupte, wo du stehst! Сомнения по поводу классической математики кажутся более сомнительными, чем она сама. Обычные умозаключения о бесконечном вполне убедительны для понимающего математика. Элиминация понятий, относящихся к бесконечному, не дает нам дополнительной уверенности в теоремах. Напротив, опыт показывает, что финитизированные, формализованные доказательства приводят к трудно отслеживаемым вычислительным ошибкам. Концептуальные доказательства вполне убедительны и наглядны, даже если они используют понятия, относящиеся к бесконечному. Эрвин Энгелер 36 Бессмертие канторовской теории множеств состоит не в том, что она настоящая, а как раз, наоборот, в ее фантастичности, в ее способности наводить на размышления, которые позволили ей вдохновлять математику целой эпохи. Петр Вопенка 37 Для квалифицированного читателя выскажем несколько принципиальных как принято говорить, философских, но в действительности, скорее идеологических и мифологических соображений. 35 Готтлоб Фреге ( , Висмар , Бад Кляйнен) немецкий логик, который пытался вывести арифметику из логических принципов. Учился в Геттингене, а в годах был профессором в Йене. Разработал очень сложную двумерную систему нотации логических понятий (Begriffsschrift) (на русском языке пример использования системы Фреге приводится на стр книги Н.И.Стяжкин, Формирование математической логики, М., Наука, 1967, с ), которая, однако, не получила никакого распространения, проиграв значительно более простой нотации Пеано. 36 Э.Энгелер, Метаматематика элементарной математики. М., Мир, 1987, с.1 127; стр П.Вопенка, Математика в альтернативной теории множеств, М., Мир, 1983, с.1 150; стр.132.

17 множества, отображения, отношения: not entirely naive 17 Канторовская теория множеств независимо от того, как к ней относиться представляет собой самое важное из всего, что до сих пор произошло в математике. Не представляет труда даже значительно усилить это утверждение. Создание Mengenlehre это одно из трех самых важных событий произошедших в истории человечества за последние 6000 лет, сопоставимое по своему значению только с изобретением письма и открытием квантовой механики. Уже одна только роль теории множеств в истории нашей науки обязывает каждого серьезного студента и, тем более, преподавателя математики попытаться постичь дух и пафос этой теории, а не просто научиться использовать пару теоретико-множественных значков. Кроме того, не видно никаких симптомов того, что роль понятия актуальной бесконечности в качестве основы и сущности математического мышления может подвергнуться ревизии в ближайшие столетия. В вопросе о бесконечности существуют две последовательные точки зрения: действия и суждения ( действие мое ограничено, но суждение не знает границ ). С одной стороны, это пропагандируемая математиками и разделяемая продвинутыми теоретическими физиками точка зрения актуальной бесконечности. С другой стороны, это точка зрения фактической осуществимости, которой руководствуются все остальное человечество, включая инженеров и программистов. Все попытки логиков и философов осесть между двумя этими стульями со своей абстракцией потенциальной бесконечности бесславно провалились, и я верю, что так будет и впредь. Я склонен соглашаться с Кантором, что никакая математически последовательная трактовка понятия бесконечности, отрицающая актуальную бесконечность, невозможна. Конечные натуральные числа, уже такие сравнительно небольшие, как являются не более, а менее доступными нашей интуиции, чем бесконечные мощности. Я не верю, что у нас может быть ясная и отчетливая идея о различии между конечными кардинальными (или ординальными) числами и , в то время как многие математики верят, что у них есть cовершенно четкое понимание различия между ω и ω + 1 или, скажем, между ℵ 0 и ℵ 1. Наша интуиция больших конечных объектов вторична по отношению к интуиции бесконечности. В большинстве осмысленных и правильно поставленных вопросов трактовка бесконечного проще или много проще, чем трактовка конечного: the infinite we ll do rightaway, the finite may take a little bit longer. Изложение теории множеств, претендующее на какую-то степень научности, может вестись только на аксиоматической основе. Однако природа математики состоит не просто в точности, а в контролируемой точности. В фокусе собственно математического исследования (в противоположность логическому или философскому!) находится математическая реальность точно в таком же смысле, в котором естественные науки сконцентрированы на понимании физической реальности. Математическая реальность является свободным творением человеческого разума. Однако, будучи однажды переведена из предсуществования в существование, она приобретает такую степень независимости, что большинство математиков не готовы воспринимать свою деятельность как чисто лингвистическую. Я, как и все профессионалы, с кем мне довелось обсуждать этот вопрос, склонен считать, что, большая часть математических понятий, фактов и теорий имеет смысл и ценность ( существует ) независимо от туманных аксиом логики и теории множеств. А раз так, то уточнение языка сверх необходимых пределов, в частности, эксплицирование правил вывода, не только не является желательным, но, наоборот, имеет тот же эффект, что приблизительность и расплывчатость, то есть смазывает картину и заслоняет от нас реальность. При решении вопроса о выборе конкретной аксиоматики следует руководствоваться практическими, а не умозрительными соображениями. Основным критерием здесь является близость к живому математическому языку, принятому большинством математиков. С 38 Разумеется, это высказывание относится лишь к величине этих чисел. Как заметил Пифагор, рассматриваемые как элементы кольца Z, числа и отличаются: первое из них является женским/четным, а второе мужским/нечетным! Это отличие находит отражение и в строении конечных множеств. Так, на множестве порядка существуют инволюции без неподвижных точек, в то время как каждая инволюция на множестве порядка имеет неподвижную точку. Но это общее суждение никак не связано с нашим восприятием величины этих чисел, его смысл и содержание для пары и такие же, как для пары 16 и 17.

18 18 николай вавилов этой точки зрения достоинство системы Цермело-Френкеля ZFC состоит в том, что она не вводит никаких экзотических понятий и основана исключительно на общепризнанных 39 принципах образования множеств. Более того, за восемьдесят лет не было предложено ни одной общезначимой новой конструкции множеств, которая не моделировалась бы в системе Цермело-Френкеля. При всех лингвистических преимуществах системы Геделя-Бернайса, все мои симпатии как работающего математика и, тем более, как преподавателя, находятся на стороне системы Цермело-Френкеля. Рассмотрим с этой точки зрения статус трех важнейших классических утверждений: аксиомы выбора, аксиомы регулярности (alias аксиомы фундирования) и гипотезы континуума. Использование аксиомы выбора в математике невозможно проконтролировать, так как она используется на каждом шагу, причем такое использование происходит большей частью бессознательно. Грубо говоря, как только мы произносим что нибудь в духе возьмем... или пусть... в применении к бесконечным множествам, иногда обыкновенно всегда нет никаких причин, по которым это можно проделать, кроме аксиомы выбора AC. Таким образом, никакая элиминация аксиомы выбора из математики невозможна без фактического разрушения большей части классической математики, в том числе и ее прикладных разделов 40. Кроме того, как показал Гедель, никакая фальсификация AC в рамках теории ZF невозможна. Мы можем лишь постулировать, что AC не имеет места. Роль детального обсуждения аксиомы выбора на начальном этапе изучения математики состоит в том, чтобы приучить начинающего к мысли, что никакое особое обсуждение аксиомы выбора не нужно. Нет никаких оснований отвергать аксиому выбора. В противоположность аксиоме выбора аксиома регулярности никогда не использовалась в обычной математике. Отрицание аксиомы регулярности невозможно фальсифицировать в ZFC, наоборот, весьма просто построить множества, не удовлетворяющие этой аксиоме. Мне кажется, что отбрасывание этой аксиомы приводит к плодотворным новым точкам зрения и обогащает нашу теоретико-множественную интуицию. Нужно ли вводить в аксиоматику явное требование существования нефундированных множеств, для меня вопрос неясный. С одной стороны, аксиомы антифундирования явно симпатичны тем, что возвращают рассмотрение порочного круга (vicious circle) в область строгого математического изучения. С другой стороны, никакая их этих аксиом не обладает пока статусом общезначимости. Однако, в любом случае, нет никаких оснований принимать аксиому регулярности. Статус гипотезы континуума CH принципиально отличен как от статуса аксиомы выбора, так и от статуса аксиомы регулярности. Принадлежащая Геделю половина решения гипотезы континуума состоит в том, что CH невозможно опровергнуть. Точнее, его результат имеет такую природу, что его можно интерпретировать в том смысле, что никакого контр-примера к CH невозможно построить, мы можем только постулировать существование такого контр-примера. Принадлежащая Коэну половина решения гипотезы континуума состоит в том, что CH невозможно доказать, причем снова в самом сильном смысле слова невозможно. Большинство математиков согласны с тем, что у нас нет никаких априорных оснований занимать какую-либо позицию в вопросе о справедливости гипотезы континуума. Отведение основной роли вполне упорядоченным множествам и ординалам в настоящее время полностью утратило смысл. Большинство современных математиков воспринимает именно понятие частично упорядоченного, а не линейно упорядоченного множества, как первичное. Все рассуждения, связанные с трансфинитной индукцией, становятся более простыми и естественными, а их применимость увеличивается, если рассматривать их для про- 39 За исключением включенной в нее позже аксиомы регулярности! 40 В этом месте Виктор Петров сделал следующее примечание: Сказанное безусловно справедливо по отношению к счетной аксиоме выбора CC. В то же время мое глубокое убеждение состоит в том, что в науках аналитического цикла несчетная аксиома выбора глубоко деструктивна и может использоваться только в подрывных целях (например, для построения множества, не имеющего меры, или теоремы такого-то о безмерной мере, как Фейнман назвал парадокс Банаха-Тарского). В то же время, в алгебре AC нужна безусловно, чтобы не добавлять каждый раз идиотские присказки вроде мы предполагаем, что во всех рассматриваемых кольцах любой идеал содержится в максимальном. Таким образом, моя точка зрения состоит в том, что для разных наук нужны разные теории множеств: для анализа ZF+AD, а для алгебры ZFC.

19 множества, отображения, отношения: not entirely naive 19 извольных фундированных частично упорядоченных множеств. Фактически, большинство математиков, конечно, так и поступает. В самом понятии множества нет ничего неприкосновенного. Нам необходимо какое-то первичное понятие для организации математической реальности и моделирования математических объектов. Множества являются традиционным и наиболее распространенным, но не единственным возможным инструментом для этого. На самом деле, в качестве основания математики можно было бы взять любое другое понятие, эквивалентное понятию множества по своей выразительной силе, например, понятие списка, набора, частично упорядоченного множества, отображения, отношения, графа, дерева,... В действительности, computer science оперирует с понятием списка (массива), и если бы мы должны были принимать решение сегодня, то, вероятно, положили бы и в основу преподавания математики какое-нибудь более сильное понятие, скорее всего, либо понятие списка, либо понятие набора (мультимножества) поскольку большинство математических конструкций допускают более короткие описания в терминах этих понятий, чем в терминах множеств. Теория множеств не является единственнымым способом мыслить математические объекты и в чисто фактическом плане. Теория категорий является не только реальной альтернативой теоретико-множественному мировоззрению, но и гораздо более общей точкой зрения. Уже сегодня многие алгебраисты и топологи владеют теоретико-категорным языком столь же хорошо, как или лучше, чем теоретико-множественным. Недавно я с изумлением заметил, что единственный способ вспомнить определение эквивариантного отображения f(gx) = gf(x) состоял для меня в том, чтобы нарисовать соответствующую коммутативную диаграмму. Любое современное изложение теории множеств должно подчеркивать теоретико-категорные понятия и конструкции и готовить студента к переходу на категорный язык. В действительности теория множеств и теория категорий являются лишь первыми двумя членами бесконечной иерархии теорий. Говорить о множестве всех множеств не только нельзя, но и бессмысленно, полезно рассматривать категорию множеств. Точно так же, бессмысленно рассматривать категорию всех категорий как категорию категория всех категорий представляет собой 2-категорию, морфизмами которой являются функторы, а 2- морфизмами естсественные преобразования функторов. Теория множеств описывает объекты, теория категорий преобразования объектов, теория 2-категорий преобразование этих преобразований, и т.д. Поясним это метафорой из программирования. Теория множеств описывает данные. Теория категорий описывает программы, которые являются способами преобразования одних данных в другие. Но после этого возникает уровень 2-категорий, состоящий в изучении способов переписывания одних программ в другие, уровень 3-категорий, состоящий в изучении способов переписывания способов переписывания программ и т.д. Специфика теории множеств состоит в том, что она использует классическую двузначную логику для классификации подобъектов. Это значит, что для любого x X и любого Y X имеет место альтернатива: либо x Y, либо x / Y. Иными словами, характеристическая функция подмножества принимает значения в двухэлементном множестве {0, 1}. Вплоть до конца 1960-х годов было предпринято много наивных попыток расширить логику до трехзначной (когда в качестве классификатора подобъектов выступает {0, 1/2, 1}) или нечеткой (где классификатором подобъектов является сегмент [0, 1] R). Однако все эти теории легко моделируются в теории множеств и не составляют ей никакой реальной альтернативы. Подлинное освобождение от классической логики приходит только в теории топосов, где выясняется, что классификатором подобъектов может быть что угодно.?. О чем не говорил Конфуций Я чту богов и демонов, но держу их от себя в отдалении. Конфуций Теорема Геделя в чем-то нуждается, чтобы стать теоремой Геделя, но то, в чем она нуждается, слишком неопределенно. Чжуан Чжоу

20 20 николай вавилов Нет ничего более обманчивого, чем ясная и отчетливая идея, кроме неясной и неотчетливой идеи. Рене Декарт Сколько лампочек нужно, чтобы вкрутить лампочку? Одна, если она знает свой геделевский номер. Курт Гедель В популярных изложениях мы часто заменяем точные утверждения неточными или даже точными, но ложными. К.Сморинский 41 Интерес такого изучения состоит в том же, что и в известных математических исследованиях вопроса о том, какого рода задачи можно решить данными ограниченными средствами, вроде построения циркулем и линейкой. Соломон Феферман 42 Есть несколько вещей, которые я категорически не хочу упоминать в этой книге. К таким вещам относятся, в частности, правила вывода, язык первого порядка и теорема Геделя. Невежество Бурбаки 43 Во-первых, я считаю, что б ольшая часть математической логики абсолютно иррелевантна при изучении математики. Вопросы, которые интересуют нас в этой книге, это конкретные вопросы, в ответе на которые используемые правила вывода не могут играть вообще никакой роли, а используемые аксиомы теории множеств почти никакой. Никакая никакая!!! ревизия оснований, правил вывода и туманных аксиом логики и теории множеств не в состоянии отменить сияющие факты, такие как, скажем, то, что существует ровно 17 групп симметрии плоскости или ровно 6 правильных многогранников в четырехмерном пространстве. А именно факты такого рода, их объяснения, истолкования, следствия и взаимосвязи составляют основное содержание математики. Это значит, что любая попытка Чисто лингвистические упражнения. Интуиционисты и конструктивисты предлагают заменить выражение множество X конечно на множество X не может не быть конечным. Я не вижу в этом ничего, кроме ман[ь]еризма. Человек может следить либо за тем, что он говорит, либо за тем, как он это говорит, но не за тем и другим сразу. Даже с точки зрения профессионала 41 К.Сморинский, Теоремы о неполноте. В кн.: Справочная книга по математической логике. т.iv, М., Наука, 1983, с.9 53; стр С.Феферман, Теории конечного типа, родственные математической практике. В кн.: Справочная книга по математической логике. т.iv, М., Наука, 1983, с ; стр К сожалению, сам я был лишен возможности избежать изучения математической логики, хотя бы потому, что реформа ВАК 1977 года влила специальность алгебра и теория чисел в специальность математическая логика и основания математики??, в результате чего образовалась новая специальность математическая логика, алгебра и теория чисел. Одним из побочных результатов этого была тотальная пересдача всеми аспирантами первой части кандидатского экзамена, с включением в нее вопросов по математической логике, в том числе, конечно, и доказательства теорем Геделя. В настоящее время в официальной программе первой части экзамена по специальности вообще не осталось никакого контента, ничего, кроме логики.

Ю. И. Манин. Математика как. метафора

Ю. И. Манин. Математика как. метафора Ю. И. Манин Математика как метафора Издательство МЦНМО Москва 2008 УДК 51(019) ББК 22.1г M23 M23 Манин Ю. И. Математика как метафора. М.: МЦНМО, 2008. 400 с. ISBN 978-5-94057-287-9 В книге Ю. И. Манина

Подробнее

Что такое Онтология, для чего она нужна и чем отличается от Метафизики? Всеобщая система Онтологии и Метафизики.

Что такое Онтология, для чего она нужна и чем отличается от Метафизики? Всеобщая система Онтологии и Метафизики. Что такое Онтология, для чего она нужна и чем отличается от Метафизики? Всеобщая система Онтологии и Метафизики. Терехович Владислав Эрикович Кафедра философии науки и техники, Философский факультет, Санкт-Петербургский

Подробнее

1 Общий обзор теории алгоритмов

1 Общий обзор теории алгоритмов 1 Общий обзор теории алгоритмов Уже на самых ранних этапах развития математики (Древний Египет, Вавилон, Греция) в ней стали возникать различные вычислительные процессы чисто механического характера; с

Подробнее

Принятие решений при многих критериях

Принятие решений при многих критериях ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ- ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Принятие решений при многих критериях Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2007 УДК 658.012.41 В.Д. Ногин.

Подробнее

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 22.161.6 ББК 517.91 А69 А69 Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем М.: МЦНМО, 2008.

Подробнее

А.А.ЗИНОВЬЕВ НА ПУТИ К СВЕРХОБЩЕСТВУ

А.А.ЗИНОВЬЕВ НА ПУТИ К СВЕРХОБЩЕСТВУ А.А.ЗИНОВЬЕВ НА ПУТИ К СВЕРХОБЩЕСТВУ ПРЕДИСЛОВИЕ Интерес к социальным проблемам у меня возник еще в ранней юности. Но обстоятельства сложились так, что моей профессией стала логика и методология науки.

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень

МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень 1990 г. январь февраль т. 45, вып. 1 (271) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК УДК 517.11 МОЖЕТ ЛИ (ИНДИВИДУАЛЬНАЯ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ? В. А. Успенский, А. Л. Семенов, А. X. Шень СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

Александр Зиновьев КОММУНИЗМ КАК РЕАЛЬНОСТЬ

Александр Зиновьев КОММУНИЗМ КАК РЕАЛЬНОСТЬ Александр Зиновьев КОММУНИЗМ КАК РЕАЛЬНОСТЬ Предисловие к российскому изданию После опубликования на Западе в 1976 1979 годы «Зияющих высот», «Светлого будущего» и ряда других книг многие читатели просили

Подробнее

Критическая работа на тему "Диагностики Кармы" Лазарева С. Н.

Критическая работа на тему Диагностики Кармы Лазарева С. Н. Критическая работа на тему "Диагностики Кармы" Лазарева С. Н. 0. Вступление Книги "Диагностика Кармы" С. Н. Лазарева занимают важное место в эзотерической литературе России. Для многих людей деятельность

Подробнее

1. НАУКА И ЕЕ РОЛЬ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ. 1.1. Цивилизация, культура, наука

1. НАУКА И ЕЕ РОЛЬ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ. 1.1. Цивилизация, культура, наука 1. НАУКА И ЕЕ РОЛЬ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ Цивилизация, культура, наука. Природа и ее изучение, естествознание. Значение естествознания в современном мире. Особенности современной науки. 1.1. Цивилизация, культура,

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

Казанский федеральный университет. М.С. Малакаев, Е.А. Широкова МАТЕМАТИКА

Казанский федеральный университет. М.С. Малакаев, Е.А. Широкова МАТЕМАТИКА Казанский федеральный университет МС Малакаев, ЕА Широкова МАТЕМАТИКА Казань 00 УДК 50 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ

ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ Библиотека Выпуск 3 Д. В. Аносов ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ И НЕЧТО ИЗ НЕЁ Издание второе, исправленное Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва

Подробнее

К.А.ТОМИЛИН ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ И "ПИФАГОРЕЙСКИЕ" ПОПЫТКИ ИХ ОБОСНОВАНИЯ

К.А.ТОМИЛИН ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ И ПИФАГОРЕЙСКИЕ ПОПЫТКИ ИХ ОБОСНОВАНИЯ Исследования по истории физики и механики, 2003. М.: Наука, 2003, с.314-342. К.А.ТОМИЛИН Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ И "ПИФАГОРЕЙСКИЕ" ПОПЫТКИ

Подробнее

КАК БЫЛИ ОТКРЫТЫ УРАВНЕНИЯ ГИЛЬБЕРТА ЭЙНШТЕЙНА?

КАК БЫЛИ ОТКРЫТЫ УРАВНЕНИЯ ГИЛЬБЕРТА ЭЙНШТЕЙНА? ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ 2004 7 ОТФ А.А. Логунов, М.А. Мествиришвили, В.А. Петров КАК БЫЛИ ОТКРЫТЫ УРАВНЕНИЯ ГИЛЬБЕРТА ЭЙНШТЕЙНА? Направлено

Подробнее

ЭМИЛЬ ДЮРКГЕЙМ СОЦИОЛОГИЯ. ЕЕ ПРЕДМЕТ, МЕТОД И НАЗНАЧЕНИЕ

ЭМИЛЬ ДЮРКГЕЙМ СОЦИОЛОГИЯ. ЕЕ ПРЕДМЕТ, МЕТОД И НАЗНАЧЕНИЕ ЭМИЛЬ ДЮРКГЕЙМ СОЦИОЛОГИЯ. ЕЕ ПРЕДМЕТ, МЕТОД И НАЗНАЧЕНИЕ ББК 60.5 Д97 ИСТОРИЯ СОЦИОЛОГИИ В ПАМЯТНИКАХ Серия основана в 1993 г. Редакционная коллегия: В. М. Бакусев (зам. председателя), Ю. В. Божко, А.

Подробнее

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе

Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе Монолог ученого Вестник ДВО РАН. 2006. 4 Сергей Петрович Новиков крупнейший математик, академик (1981), лауреат Ленинской премии (1967), премии имени Н.И.Лобачевского (1981), награжден золотой медалью

Подробнее

ИГРА В ЦЫФИРЬ, или как теперь оценивают труд ученого. (cборник статей о библиометрике)

ИГРА В ЦЫФИРЬ, или как теперь оценивают труд ученого. (cборник статей о библиометрике) ИГРА В ЦЫФИРЬ, или как теперь оценивают труд ученого (cборник статей о библиометрике) Москва Издательство МЦНМО 2011 УДК 01 ББК 78.5 И27 И27 Игра в цыфирь, или как теперь оценивают труд ученого (cборник

Подробнее

АКАДЕМИЯ НАУК СССР. основы ТЕОРИИ РЕЧЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА 1974

АКАДЕМИЯ НАУК СССР. основы ТЕОРИИ РЕЧЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА 1974 АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ЯЗЫКОЗНАНИЯ основы ТЕОРИИ РЕЧЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА 1974 Коллективная монография представляет собой материалы по проблемам современной психолингвистики.

Подробнее

1. С чего начать. Начинающему автору. Уважаемый читатель!

1. С чего начать. Начинающему автору. Уважаемый читатель! Уважаемый читатель! С этого номера мы открываем новую рубрику «Начинающему автору». Она посвящена тем, кто стоит у истоков своего творческого пути студентам старших курсов, молодым инженерам и ученым.

Подробнее

Может ли философия быть неактуальной? (Об оценке результативности философских исследований)* 1

Может ли философия быть неактуальной? (Об оценке результативности философских исследований)* 1 А. Гусейнов, А. Рубцов Может ли философия быть неактуальной? (Об оценке результативности философских исследований)* 1 Вопрос об актуальности в философии не является в наше время праздным или отвлеченным.

Подробнее

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАВА II. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ В. А. Шарафутдинов Как отмечалось в начале первой главы, на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и других понятий, связанных с непрерывностью. В Анализе, наряду с непрерывностью, изучаются производные, дифференциалы и другие понятия, связанные с дифференцируемостью. Гладкое многообразие естественный объект, на котором можно определить подобные понятия. 1. Определение гладкого многообразия Сначала введем вспомогательное понятие топологического многообразия (Предупреждение: не путать его с понятием гладкого многообразия). Топологическое пространство M называется топологическим многообразием размерности n, если (1) M локально гомеоморфно пространству R n, т.е. у каждой точки пространства M имеется окрестность, гомеоморфная некоторому открытому множеству в R n ; (2) M хаусдорфово; (3) M удовлетворяет второй аксиоме счетности, т.е. имеет счетную базу топологии. Дифференцируемая структура на топологическом многообразии вводится путем цепочки определений, вводимых в нескольких следующих абзацах. Пусть M топологическое многообразие размерности n. Картой на M называется пара (U, ϕ), где U открытое множество в M и ϕ : U V R n гомеоморфизм на некоторое открытое множество из R n. Пусть 0 r целое число. Две карты (U 1, ϕ 1 ) и (U 2, ϕ 2 ) на топологическом многообразии M называются C r -согласованными, если ϕ 2 ϕ 1 1 : ϕ 1 (U 1 U 2 ) ϕ 2 (U 1 U 2 ) (1.1) отображение класса C r, т.е. все частные производные порядка r этого отображения существуют и непрерывны. Отметим, что ϕ i (U 1 U 2 ) (i = 1, 2) открытые множества в R n (см. Рисунок 1), так что определено понятие частных производных для отображения между этими множествами. При r = требуется существование и непрерывность всех частных производных. Семейство карт A = {(U α, ϕ α )} α A на топологическом многообразии M называется C r -атласом, если M = α A U α и любые две карты этого семейства C r -согласованы. Два C r -атласа A и A на M называются эквивалентными, если A A тоже C r -атлас. Как легко видеть, это эквивалентно требованию: любая карта из A C r - согласована с любой картой из A. Теперь, наконец, мы можем привести основное Определение 1.1. Дифференцируемой структурой D класса C r на топологическом многообразии M называется класс эквивалентности C r -атласов. Топологическое многообразие вместе с зафиксированной на нем дифференцируемой структурой класса C r называется дифференцируемым многообразием класса C r (или короче C r - многообразием). Дифференцируемое многообразие обозначается (M, D) или просто M, если из контекста ясно, о какой дифференцируемой структуре идет речь. Date: октябрь 2012, Кольцово. 1

Подробнее

Формирующее оценивание: оценивание для обучения

Формирующее оценивание: оценивание для обучения Формирующее оценивание: оценивание для обучения Практическое руководство для учителей Часть 1 Как сделать оценивание оцениванием для обучения Продекларированный Дж. Дьюи и реализуемый в разнообразных инновационных

Подробнее

Модели человека в экономической науке, или ищу Человека

Модели человека в экономической науке, или ищу Человека Лемещенко П. С. Модели человека в экономической науке, Или ищу Человека: Сб-к научн. трудов / под общ. ред. Е.В. Шелкопляса. Иваново, 2013. С. 228-268 (2 п.л.). Модели человека в экономической науке, или

Подробнее

Дэвид Дойч Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир

Дэвид Дойч Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир Дэвид Дойч Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир Текст предоставлен правообладателем http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=8336314 Начало бесконечности: Объяснения, которые меняют

Подробнее

1. Философия, ее специфика и место в культуре. Предмет философии. Согласно Философской энциклопедии философия - это форма общественного сознания,

1. Философия, ее специфика и место в культуре. Предмет философии. Согласно Философской энциклопедии философия - это форма общественного сознания, 1. Философия, ее специфика и место в культуре. Предмет философии. Согласно Философской энциклопедии философия - это форма общественного сознания, направленная на выработку целостных взглядов на мир и место

Подробнее

Языковые картины мира как производные национальных менталитетов

Языковые картины мира как производные национальных менталитетов О. А. Корнилов Языковые картины мира как производные национальных менталитетов Издание 2-е, исправленное и дополненное МОСКВА ЧеР о 2003 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ

Подробнее