ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА 2, 2017 PNRPU MECHANICS BULLETIN УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПОЛОСЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА 2, 2017 PNRPU MECHANICS BULLETIN УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПОЛОСЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ"

Транскрипт

1 Малик А.В., Рязанцева И.Э., Лавит И.М. Ударное нагружение полосы с центральной трещиной // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика С DO: /perm.mech/ Mali A.V., Ryazatseva.E., Lavit.M. A shoc loadig o a bar with a cetral crac. PNRPU Mechaics ulleti, 07, o., pp DO: /perm.mech/ ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА, 07 PNRPU MECHANCS ULLETN DO /perm.mech/ УДК УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПОЛОСЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ А.В. Малик, И.Э. Рязанцева, И.М. Лавит Тульский государственный университет, Тула, Россия О СТАТЬЕ Получена: 7 ноября 06 г. Принята: 06 мая 07 г. Опубликована: 30 июня 07 г. Ключевые слова: трещина, коэффициент интенсивности напряжений, динамическая механика разрушения, когезионные конечные элементы, силы сцепления, метод прямых, схема Кранка-Николсон, задача Чена, метод конечных элементов. АННОТАЦИЯ Рассматривается задача расчета зависимости коэффициента интенсивности напряжений от времени для полосы, находящейся в состоянии плоской деформации и ослабленной неподвижной центральной трещиной нормального разрыва. К основаниям полосы мгновенно прикладывается равномерно распределенная нагрузка, остающаяся далее неизменной. Используется модель трещины с силами сцепления, распределение которых подчиняется постулатам Баренблатта. При этом коэффициент интенсивности напряжений находится в результате вычисления интенсивности высвобожденной энергии, определяемой через силы сцепления. Решение задачи находится новым численным методом, представляющим собой адаптацию метода прямых к решению задач динамической механики разрушения. Для интегрирования по времени используется неявная конечно-разностная схема Кранка Николсон. Краевые задачи, возникающие на каждом шаге интегрирования по времени, решаются методом конечных элементов. Для того чтобы решение задачи удовлетворяло постулатам Баренблатта, используются специальные когезионные конечные элементы, ранее уже применявшиеся для решения квазистатических задач нелинейной механики разрушения. За счет введения дополнительных степеней свободы в узлах, лежащих на линии трещины, удается обеспечить плавное смыкание кромок трещины в ее кончике, что эквивалентно отсутствию сингулярности полей напряжений и деформаций в ее кончике. При этом силы сцепления вычисляются как реакции связей. Область их действия (зона сцепления) локализована в пределах конечного элемента, прилегающего к кончику трещины. Таким образом, чем мельче сетка конечных элементов, тем точнее удовлетворяется требование теории Баренблатта о малости длины зоны сцепления по сравнению с длиной трещины. Поставленная задача, называемая задачей Чена, решалась ранее разными исследователями, применявшими различные методы. Близость полученных при этом результатов дает основание считать задачу Чена тестовой. Ее решение, полученное разработанным методом, удовлетворительно согласуется с данными других исследователей. ПНИПУ Малик Александр Васильевич аспирант, Рязанцева Инна Эдуардовна магистрант, Лавит Игорь Михайлович доктор физико-математических наук, профессор, Alexader V. Mali PhD Studet, a E. Ryazatseva Postgraduate Studet, gor M. Lavit Doctor of Physical ad Mathematical Scieces, Professor, 5

2 Mali A.V., Ryazatseva.E., Lavit.M. / PNRPU Mechaics ulleti (07) 5-35 A SHOC LOADNG ON A AR WTH A CENTRAL CRAC A.V. Mali,.E. Ryazatseva,.M. Lavit Tula State Uiversity, Tula, Russia Federatio ARTCLE NFO Received: 7 November 06 Accepted: 06 May 07 Published: 30 Jue 07 eywords: crac; stress itesity factor, dyamic fracture mechaics, cohesive fiite elemets, cohesive forces, method of lies, Cra-Nicholso scheme, Che s problem, fiite elemet method. ASTRACT Liear thermoelasticity is studied of a plae regular truss formed by four families of The paper is cocered with the problem of calculatig the time depedece of the stress itesity factor for a plae-strai bar with a statioary cetral crac caused by the opeig mode. A uiformly distributed load has bee immediately imposed o the basis of the bar ad remaied uchaged later. The model of the crac with cohesive forces distributed by areblatt s postulates is used. this case the stress itesity factor is a result of the calculatio of the released eergy that is determied by the cohesive forces. The solutio is foud with a ew umerical method that is a adaptatio of the method of lies to dyamic fracture mechaics problems. The Cra-Nicolso implicit fiitedifferece scheme is used for time itegratio. oudary problems arisig at each step of time itegratio are solved by the fiite elemet method. The special cohesive fiite elemets are used, so that the solutio of the problem could satisfy areblatt s postulates. Previously these elemets were used to solve quasi-static oliear fracture mechaics problems. y itroducig the additioal degrees of freedom of the odes lyig o the crac lie, it becomes possible to esure a smooth closig of the crac edges at its tip; ad it is equivalet to the absece of the sigularity stress ad strai fields at its tip. The cohesive forces are calculated as the costraits. Their field of actio (cohesive zoe) is localized withi the fiite elemet which is adjacet to the tip of the crac. Thus, the smaller the fiite elemet mesh is, the better it satisfies the requiremet of areblatt s theory. This requiremet cocers the legth of the cohesive zoe which is small compared to the legth of the crac. The stated problem is called Che s problem ad had earlier bee solved by researchers that used differet methods. The proximity of the obtaied results maes it possible to cosider Che s problem as a test; ad its solutio obtaied by the developed method agrees well with the data of other researchers. PNRPU Введение Формулировка условий старта трещины при динамическом нагружении сложная проблема, до сих пор окончательно не решенная [ 3]. Хотя предлагаемые теории различны (см., например, работы [4 6]), все они включают в себя как составную часть зависимость коэффициента интенсивности напряжений (КИН) от времени. Ниже везде речь идет только о трещинах нормального разрыва, и поэтому под КИН понимается величина. Определение функции t, где t время, представляет собой самостоятельную задачу, аналитическое решение которой возможно только для бесконечных областей [ 3]. Существующие численные методы (см. обзоры [7 0]) обладают теми или иными недостатками, поэтому разработка новых эффективных методов расчета представляет интерес. По-видимому, наиболее перспективным направлением вычислительной динамики разрушения является создание методов, основанных на модели когезионной трещины, кромки которой притягиваются друг к другу силами сцепления []. Главное достоинство этих методов алгоритмическая простота, позволяющая решать ими сложные задачи. Первый такой метод был предложен в работе [] и применен к исследованию ветвления трещин. Дальнейшее развитие это, как правило, объединение подхода работы [] с тем или иным вариантом метода конечных элементов, а также использование различных конституционных соотношений для сил сцепления (см., например, работы [, 3 6]). 6

3 Малик А.В., Рязанцева И.Э., Лавит И.М. / Вестник ПНИПУ. Механика (07) 5 35 Для того чтобы вычислять КИН, используя модель когезионной трещины, необходимо, чтобы распределение сил сцепления подчинялось постулатам Баренблатта [7, 8, ]. Большинство методов, в том числе и упомянутые выше, этому требованию не удовлетворяет. Одним из исключений является метод, изложенный в работе [9] и предназначенный для решения квазистатических задач. Его обобщение на динамические задачи неизвестно и, по-видимому, невозможно, так как в нем существенным этапом является вычисление J -интеграла, а последний перестает быть инвариантным при необходимости учитывать инерционные силы. Есть и другой метод, который также был применен ранее для решения квазистатических задач [0]. Этот метод допускает обобщение на динамические задачи. Оно представлено ниже. В нем, по сравнению с работой [0], учтены силы инерции и зависимость всех полевых величин от времени. Некоторые аспекты получившегося метода решения динамических задач приведены в статье []. Он представляет собой модификацию метода прямых (метода Роте) [ 4]. С использованием конечно-разностной дискретизации по времени решение задачи сводится к совокупности последовательно решаемых краевых задач теории упругости. Выбор конечно-разностной схемы интегрирования по времени неоднозначен: возможно применение любой надежной схемы, как явной, так и неявной. В настоящей работе использована широко применяемая, в том числе и совместно с методом конечных элементов, неявная схема Кранка Николсон [5]. Для решения краевых задач используется метод конечных элементов [5]. Проблема согласования распределения сил сцепления с постулатами Баренблатта решается с помощью включения в конечно-элементную сетку специальных когезионных элементов [0]. Оценка эффективности численного метода основывается на решении тестовых задач. Обычно эти задачи имеют аналитическое решение. Но в механике разрушения таких задач для конечных областей нет, и поэтому тестовые задачи приходится выбирать из задач, решаемых численно. И если подходящих статических задач можно найти немало [6], то для случая внезапно прикладываемой нагрузки только одну. Это задача о полосе с неподвижной центральной трещиной; к основаниям полосы мгновенно прикладывается равномерно распределенная нагрузка, остающаяся далее неизменной. Впервые эту задачу решил Чен [7]; она была предметом ряда последующих исследований ([, 8 33] и др.). В работе [30] эта задача названа задачей Чена, и это название закрепилось в более поздних публикациях. Считать задачу Чена тестовой позволяет то, что авторы упомянутых исследований получили близкие результаты, причем они применяли различные методы. Так, в работах [7, 30] использовался метод конечных разностей для интегрирования и по времени, и по пространственным координатам с применением явной трехслойной схемы. В работах [, 8] для интегрирования по пространству использовался метод конечных элементов, причем в работе [] для моделирования особенности поля напряжений в кончике трещины применялись специальные сингулярные конечные элементы. В результате получалась система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая интегрировалась численно по явной трехслойной схеме Ньюмарка. В работах [9, 3 33] применялся метод граничных элементов. В работе [9] для моделирования особенности поля напряжений использовались сингулярные граничные элементы; были найдены зависящие от времени функции Грина, благодаря чему интегрирование по времени свелось к вычислению определенных интегралов. В работах [3, 3] применялось преобразование Лапласа по времени, а в работе [33] преобразование Фурье. 7

4 Mali A.V., Ryazatseva.E., Lavit.M. / PNRPU Mechaics ulleti (07) Постановка задачи Рассматриваются малые деформации изотропного однородного линейно-упругого тела. Тело содержит трещину, длина которой неизменна; форма тела и распределение нагрузок таковы, что эта трещина является трещиной нормального отрыва, то есть где,, 0; 0, коэффициенты интенсивности напряжений []. Пусть рассматриваемое тело полоса, находящаяся в состоянии плоской деформации. Поперечное сечение полосы изображено на рис.. В начальный момент времени к двум противоположным сторонам прямоугольника, параллельным трещине, мгновенно прикладывается равномерно распределенная нагрузка величиной q, далее остающаяся неизменной. Ставится задача определить зависимость t. q Задача имеет две оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника. Поэтому расчетная схема это четверть сечения, вырезанная осями симметрии (рис. ). H a x q H W a W H C Рис.. Поперечное сечение полосы прямоугольник с симметрично расположенной прямолинейной центральной трещиной Fig.. The cross-sectio of the strip. This is the rectagle with a symmetrical rectiliear cetral crac q A a E W Рис.. Расчетная схема задачи Чена Fig.. The desig model of Che s problem D x Граничные условия задачи определяются условиями нагружения и условиями симметрии. Пусть u i вектор перемещений в декартовой системе координат x i (см. рис. ); p i внешняя распределенная нагрузка; i,. Граничные условия записываются следующим образом. На участке контура A : u 0, p 0 условия симметрии; на участке C : p 0, p q ; на участке CD : p 0, p 0 ; на участке DE : u 0, p 0 условия симметрии; на участке EA (кромка трещины): p 0, p 0. Деформирование полосы определяется следующими соотношениями [, ]: 8

5 Малик А.В., Рязанцева И.Э., Лавит И.М. / Вестник ПНИПУ. Механика (07) 5 35 m um mu ; m 3m Gm m ; mm; mm t tu; 3 x ; t;, m,, t где m тензор деформаций; m символ Кронекера; средняя деформация, G, объемный модуль и модуль сдвига; m тензор напряжений; плотность материала. В начальный момент времени ( t 0 ) полоса покоится.. Метод решения задачи Численное решение задачи получается на основе принципа возможных перемещений S v u ds p u dl; t m m l v u t где S площадь области (см. рис. ); l ее граничный контур; символ вариации; v поле скоростей. В соответствии с методом прямых [ 4] перейдем в уравнении () к конечно-разностному представлению, используя неявную схему Кранка Николсон [5]. Пусть t величина шага интегрирования по времени,,... номер шага. Конечно-разностное представление производной по времени на п-м шаге имеет вид y y t y, t где y, y значения y на границах -го временного интеграла (шага). Величины, не содержащие производных по времени, представляются на п-м шаге интегрирования по времени в виде, y y y С учетом этих формул конечно-разностное представление уравнения () записывается в виде v S u u t m m m p p t l v v. u ds u dl, v. Величины с индексами известны из решения для предыдущего шага. Из системы (3) определяются величины с индексами. v и подставим в первое урав- Выразим из второго уравнения системы (3) величину нение. Получим () () (3) 9

6 Mali A.V., Ryazatseva.E., Lavit.M. / PNRPU Mechaics ulleti (07) 5-35 v u u v t. (4) 4 4u t t t u u mm ds p p u dl v u m m ds. (5) S l S Таким образом, система (3) распадается на два последовательно решаемых уравнения. Вначале из уравнения (5) определяются перемещения u, затем из уравнения (4) скорости v. Уравнение (5) представляет собой вариационное уравнение по пространственным переменным, которое необходимо решать на каждом шаге интегрирования по времени. Его решение находится методом конечных элементов [5]. Специфика, вносимая трещиной в краевую задачу теорию упругости, учитывается с помощью специальных когезионных конечных элементов так, как это описано в работе [0]. Когезионные элементы составляют горизонтальный ряд, прилегающий к кромке трещины x C (рис. 3). В локальных координатах [5] и обычные, и когезионные элементы представляют собой H одинаковые квадраты. Глобальные координаты точек элемента определяются как где A a E W Рис. 3. Конечно-элементная сетка (принципиальная схема). Когезионные элементы заштрихованы Fig. 3. Fiite-elemet mesh (schematic). Cohesive elemets are shaded D z z,,; z, ; xm Li Lj Xm; i j z ; Lz z; Lz z, где X m заданные глобальные декартовы координаты узлов (верхние индексы обозначают номер узла в локальной нумерации); z, z локальные координаты точек элемента; L z интерполяционные полиномы Лагранжа. Перемещения точек обычного конечного элемента задаются аналогичной формулой [5] z z m i j m, i u L L U (6) U m узловые перемещения. Перемещения точек когезионного конечного элемента определяются формулами [0] z z u Li Lj U ; u H z L z U L z L z U x H z L z U i i i i i i 3 где x размер элемента по оси абсцисс; U 3 значения производной u x в -м узле (эти величины определяются только для узлов, лежащих на оси абсцисс прямой, на которой расположена трещина); H m x z интерполяционные полиномы Эрмита,, (7) 30

7 Малик А.В., Рязанцева И.Э., Лавит И.М. / Вестник ПНИПУ. Механика (07) Hz 3 zz ; Hz 3 zz ; H3z zz z ; H4z zz z. 4 4 Представление перемещений в виде (6), (7) обеспечивает межэлементную непрерывность поля перемещений во всей области S. Необходимость введения дополнительных узловых степеней свободы U 3 обусловлена требованием плавного смыкания кромок трещины в ее кончике [7]. Конечно-элементная сетка строится так, чтобы кончик трещины совпадал с какимлибо узлом. В этом узле полагается не только u 0, но и u x 0, что и обеспечивает упомянутую плавность смыкания кромок трещины. Эти условия представляют собой с механической точки зрения связи, уменьшающие число степеней свободы узла, совпадающего с кончиком трещины. Реакции этих связей, Q и M (рис. 4), определяются обычным образом после решения системы линейных алгебраических уравнений относительно узло- x Рис. 4. Реакции связей и узловые перемещения вых неизвестных. в узлах конечного элемента, прилегающего При продвижении трещины на длину конечного элемента x эти реакции связей Fig. 4. Reactios of ties ad odal displacemets к кончику трещины (узел ) уменьшаются (по модулю) до нуля, а соответствующие им перемещения u at the odes of the fiite elemet which и угол поворота u x приобретают конечные значения. is adjacet to the crac tip (ode ) Обычно принимается допущение о неизменяемости конфигурации концевой области при продвижении трещины [7]. Это значит, что перемещения, которые получит узел при продвижении трещины на величину x, будут равны перемещениям узла A при совпадении кончика трещины с узлом. При этом величина высвобожденной энергии, отнесенная к приращению длины трещины x, определяется как J Q u M x u А A x Здесь учтено, что трещина имеет две кромки. Можно показать [7, 8], что на расстояниях, значительно превышающих длину когезионной зоны, поле напряжений определяется асимптотическими формулами [ 3], получаемыми при решении задач при отсутствии сил сцепления. При этом связь между КИН и величиной J дается формулой [, ] EJ где E модуль Юнга; коэффициент Пуассона. Если из формулы (8) получается, что J 0, то это значит, что корневая асимптотика [ 3] еще не установилась и, следовательно, КИН равен нулю. Знак минус в формуле (9) u A. A u x A (8), (9) Q M x 3

8 Mali A.V., Ryazatseva.E., Lavit.M. / PNRPU Mechaics ulleti (07) 5-35 соответствует случаю, когда u A 0. Не следует считать, что при этом трещина закрывается и теория становится неприменимой. Разрез, не имеющий ширины, как модель трещины это удобная абстракция. В реальных трещинах расстояние между кромками всегда конечно. Отрицательное значение u A приводит к уменьшению этого расстояния, но не обязательно к смыканию кромок. 3. Решение задачи Чена Расчеты проводились при следующих исходных данных [7]: модуль Юнга 5 E 0 МПа, коэффициент Пуассона 0,3, плотность 5000 кг/м 3, нагрузка q 400 МПа, размеры полосы: W 0 мм, H 0 мм, длина трещины a, 4 мм. Рассматриваемый интервал времени t max 4 мкс. Объемный модуль и модуль сдвига выражаются через E и известными формулами E E ; G. 3 Сходимость численного решения исследовалась на различных конечно-элементных сетках при различном количестве шагов по времени N. В таблице приведены результаты вычисления максимальной величины безразмерного КИН q a * для трех вариантов расчета, отличающихся значениями N и числом конечных элементов. Во всех вариантах отношение числа конечных элементов по оси ординат к числу конечных элементов по оси абсцисс принималось постоянным,. Максимальные значения The highest values of * для различных вариантов расчета * for differet calculatio variats N * , , ,648 На рис. 5 представлены результаты расчета при N 900, 00 и 00. При этом относительная погрешность расчета, согласно данным таблицы, не превышает %. На рис. 5 по оси абсцисс отложено безразмерное время [30] ct W где c скорость волны расширения [ 3],, c 3 4 G. 3 3

9 Малик А.В., Рязанцева И.Э., Лавит И.М. / Вестник ПНИПУ. Механика (07) 5 35 Рис. 5. Зависимость КИН от времени: решение Чена [7]; результаты работы [30]; 3 результаты расчета разработанным методом Fig. 5. The depedece of stress itesity factor o time: is Che s solutio [7]; are the results of [30]; 3 are the calculatio results based o the developed method Как следует из рис. 5, результаты расчетов изложенным методом практически совпадают с результатами работ [7, 30]. Резкие качественные изменения различных участков графиков обусловлены распространением, взаимодействием и отражением от границ области волн расширения, сдвига и волн Рэлея. Обсуждение этих эффектов можно найти в работах [, 7, 30]. Заключение Решение задачи Чена изложенным методом свидетельствует о его приемлемой точности. Другие его достоинства: простота и возможность применения к более сложным динамическим задачам, в частности задачам о распространении трещин, в том числе и с учетом пластического деформирования. Примеры решения таких задач в квазистатической постановке даны в работе [0]. Библиографический список. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, с.. Freud L.. Dyamic fracture mechaics. New Yor: Cambridge uiversity press, p. 3. Ravi-Chadar. Dyamic fracture. Amsterdam: Elsevier, p. 4. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб.: Изд-во С.-Петерб. у-та, с. 5. Zhao Y.-P. Suggestio of a ew criterio of dyamic fracture // t. J. Fract Vol. 7. P. R77 R Liu C., auss W.G., Rosais A.J. O the modelig of fracture of brittle solids // t. J. Fract Vol. 90. P Sog J.-H., Wag H., elytscho T. A comparative study o fiite elemet methods for dyamic fracture // Comput. Mech Vol. 4. P Братов В.А. Численные модели динамики разрушения // Вычислительная механика сплошных сред Т., 3. С

10 Mali A.V., Ryazatseva.E., Lavit.M. / PNRPU Mechaics ulleti (07) Rabczu T. Computatioal methods for fracture i brittle ad quasi-brittle solids: state-of-the-art review ad future perspectives // SRN Applied Mathematics. 03. Vol. 03. Art. D p. URL: 0. Fieberg J., ouchbider E. Recet developmets i dyamic fracture: some perspectives // t. J. Fract. 05. Vol. 96. P The cohesive zoe model: advatages, limitatios ad challeges / M. Elices, G.V. Guiea, J. Gomez, J. Plaas // Eg. Fract. Mech. 00. Vol. 69. P Xu X.-P., Needlema A. Numerical simulatios of fast crac growth i brittle solids // J. Mech. Phys. Solids Vol. 4. P De orst R., Remmers J.J.C., Needlema A. Mesh-idepedet discrete umerical represetatios of cohesive-zoe models // Eg. Fract. Mech Vol. 73. P ardehage S.G., Nair J.A., Lu H. Simulatio of dyamic fracture with the material poit method usig a mixed J-itegral ad cohesive law approach // t. J. Fract. 0. Vol. 70. P Agwai A., Guve., Madeci E. Predictig crac propagatio with peridyamics: a comparative study // t. J. Fract. 0. Vol. 7. P Javidrad F., Mashayehy M. A cohesive zoe model for crac growth simulatio i AS 304 steel // J. Solid Mechaics. 04. Vol. 6. P Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. механики и техн. физики С Willis J.R. A compariso of the fracture criteria of Griffith ad areblatt // J. Mech. Phys. Solids Vol. 5. P Moes N., elytscho T. Exteded fiite elemet method for cohesive crac growth // Eg. Fract. Mech. 00. Vol. 69. P Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале // Проблемы прочности С Малик А.В., Белая Л.А., Лавит И.М. О динамическом нагружении тела с трещиной в условиях плоской деформации // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 06. (35). С Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, с. 3. Лисковец О.А. Метод прямых // Дифференциальные уравнения Т.,. С Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, с. 5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, с. 6. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Т. / под ред. Ю. Мураками. М.: Мир, с. 7. Che Y.M. Numerical computatio of dyamic stress itesity factors by a lagragia fiitedifferece method (the HEMP code) // Eg. Fract. Mech Vol. 7. P ricstad. A FEM aalysis of crac arrest experimets // t. J. Fract Vol.. P srail A.S.M., Dargush G.F. Dyamic fracture mechaics studies by time-domai EM // Eg. Fract. Mech. 99. Vol. 39. P Li X., allma J. Re-cosideratio of Che s problem by fiite differece method // Eg. Fract. Mech Vol. 44. P We P.H., Aliabadi M.H., Rooe D.P. Applicatio of the weight fuctio method to twodimesioal elastodyamics fracture mechaics // t. J. Fract Vol. 76. P We P.H., Aliabadi M.H., Rooe D.P. A cotour itegral method for dyamic stress itesity factors // Theor. ad Appl. Fract. Mechaics Vol. 7. P Pha A.-V. A o-sigular boudary itegral formula for frequecy domai aalysis of the dyamic T-stress // t. J. Fract. 0. Vol. 73. P Refereces. Parto V.Z., orisovsy V.G. Dyamic Fracture Mechaics. vol. : Statioary Cracs. New Yor, Hemisphere Publishig Corporatio, 989, 3 p. 34

11 Малик А.В., Рязанцева И.Э., Лавит И.М. / Вестник ПНИПУ. Механика (07) Freud L.. Dyamic fracture mechaics. New Yor, Cambridge uiversity press, 998, 563 p. 3. Ravi-Chadar. Dyamic fracture. Amsterdam, Elsevier, 004, 54 p. 4. Morozov N.F., Petrov Y.V. Problemy diamii razrusheiia tverdyh tel [ Problems of dyamics fracture of solids]. Sat-Peterburg, zdatel'stvo Sat-Peterburgsogo uiversiteta, 997, 9 p. 5. Zhao Y.-P. Suggestio of a ew criterio of dyamic fracture. t. J. Fract., 995, vol. 7, pp. R77-R Liu C., auss W.G., Rosais A.J. O the modelig of fracture of brittle solids. t. J. Fract., 998, vol. 90, pp Sog J.-H., Wag H., elytscho T. A comparative study o fiite elemet methods for dyamic fracture. Comput. Mech., 008, vol. 4, pp ratov V. A., Numerical models of the dyamics of destructio. Computatioal cotiuum mechaics, 009, vol., o.3, pp Rabczu T. Computatioal methods for fracture i brittle ad quasi-brittle solids: state-of-the-art review ad future perspectives. SRN Applied Mathematics, 03, vol. 03, 38 p. DO: 0. Fieberg J., ouchbider E. Recet developmets i dyamic fracture: some perspectives. t. J. Fract., 05, vol. 96, pp Elices M., Guiea G.V., Gomez J., Plaas J. The cohesive zoe model: advatages, limitatios ad challeges. Eg. Fract. Mech., 00, vol. 69, pp Xu X.-P., Needlema A. Numerical simulatios of fast crac growth i brittle solids. J. Mech. Phys. Solids, 994, vol. 4, pp De orst R., Remmers J.J.C., Needlema A. Mesh-idepedet discrete umerical represetatios of cohesive-zoe models. Eg. Fract. Mech., 006, vol. 73, pp ardehage S.G., Nair J.A., Lu H. Simulatio of dyamic fracture with the material poit method usig a mixed J-itegral ad cohesive law approach. t. J. Fract., 0, vol. 70, pp Agwai A., Guve., Madeci E. Predictig crac propagatio with peridyamics: a comparative study. t. J. Fract., 0, vol. 7, pp Javidrad F., Mashayehy M. A cohesive zoe model for crac growth simulatio i AS 304 steel. J. Solid Mechaics, 04, vol. 6, pp areblatt G.. The mathematical theory of equilibrium cracs i brittle fracture. Adv. Appl. Mech., 96, vol. 7, pp Willis J.R. A compariso of the fracture criteria of Griffith ad areblatt. J. Mech. Phys. Solids, 967, vol. 5, pp Moes N., elytscho T. Exteded fiite elemet method for cohesive crac growth. Eg. Fract. Mech., 00, vol. 69, pp Lavit.M. Stable crac growth i a elastoplastic material. Stregth of Materials, 988, vol. 0, o. 7, pp Mali A.V., elaya L.A., Lavit.M. About dyamic loadig the body with a crac uder plae strai. Fudametal ad applied problems of egieerig ad techology, 06, vol. 35, o., pp Mihli S.G. Variatioal methods i mathematical physics. Oxford, Pergamo Press, 964, 48 p. 3. Lisovets O.A. The method of lies. Differetial equatios, 965, vol., pp Ladyzhesaya O.A. The boudary value problems of mathematical physics. erli, Spriger-Verlag, 985, 408 p. 5. Zieiewicz O.C. The fiite elemet method i egieerig sciece. Lodo, McGraw-Hill, 977, 54 p. 6. Muraami Y. Stress itesity factors hadboo. vol.. Oxford, Pergamo Press, 990, 448 p. 7. Che Y.M. Numerical computatio of dyamic stress itesity factors by a lagragia fiite-differece method (the HEMP code). Eg. Fract. Mech., 975, vol. 7, pp ricstad. A FEM aalysis of crac arrest experimets. t. J. Fract., 983, vol., pp srail A.S.M., Dargush G.F. Dyamic fracture mechaics studies by time-domai EM. Eg. Fract. Mech., 99, vol. 39, pp Li X., allma J. Re-cosideratio of Che s problem by fiite differece method. Eg. Fract. Mech., 993, vol. 44, pp We P.H., Aliabadi M.H., Rooe D.P. Applicatio of the weight fuctio method to two-dimesioal elastodyamics fracture mechaics. t. J. Fract, 996, vol. 76, pp We P.H., Aliabadi M.H., Rooe D.P. A cotour itegral method for dyamic stress itesity factors. Theor. ad Appl. Fract. Mechaics, 997, vol. 7, pp Pha A.-V. A o-sigular boudary itegral formula for frequecy domai aalysis of the dyamic T-stress. t. J. Fract, 0, vol. 73, pp