Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Аналитическая геометрия. Лекция 1.4"

Транскрипт

1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 к.ф.-м.н. Меньшова И.В.

2 Векторы. Основные понятия АГ, Модуль 1, Лекция / 49

3 Векторы. Основные понятия Определение Величины, которые полностью определяются своим числовым значением, называются скалярными (площадь, длина, объем, температура, работа, масса). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

4 Векторы. Основные понятия Определение Величины, которые характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными (сила, скорость, ускорение). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

5 Векторы. Основные понятия Определение Геометрический вектор направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, который имеет длину и направление. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

6 Векторы. Основные понятия Определение Геометрический вектор направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, который имеет длину и направление. Обозначение: если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом AB или a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

7 Векторы. Основные понятия Виды геометрических векторов: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

8 Векторы. Основные понятия Виды геометрических векторов: 1. Когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный вектор или просто вектор. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

9 Векторы. Основные понятия Виды геометрических векторов: 1. Когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный вектор или просто вектор. 2. Геометрические векторы, которые можно перемещать только вдоль прямых, называют скользящими (вектор угловой скорости и вектор силы, действующий на абсолютно твердое тело). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

10 Векторы. Основные понятия Виды геометрических векторов: 3. Геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют связанными (скорость в потоке жидкости или газа). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

11 Векторы. Основные понятия Определение Вектор BA называется противоположным к вектору AB. Вектор, противоположный вектору a, обозначается a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

12 Векторы. Основные понятия Определение Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка AB и обозначается AB. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

13 Векторы. Основные понятия Определение Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым и обозначается 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

14 Векторы. Основные понятия Определение Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

15 Векторы. Основные понятия Определение Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается e. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

16 Векторы. Основные понятия Определение Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обозначается a 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

17 Векторы. Основные понятия Определение Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обозначается a 0. Очевидно, что a = a a 0 и a 0 = a/ a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

18 Векторы. Основные понятия Определение Углом ϕ между векторами a и b называют угол между их направлениями. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

19 Векторы. Основные понятия Определение Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: a b. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

20 Векторы. Основные понятия Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены (иметь одно направление) или противоположно направлены. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

21 Векторы. Основные понятия Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены (иметь одно направление) или противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

22 Векторы. Основные понятия Определение Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

23 Векторы. Основные понятия Если среди трех векторов есть нулевой или любые два из них коллинеарны, то они компланарны. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

24 Векторы. Основные понятия Определение Два вектора называются равными ( a = b), если 1) они коллинеарны и сонаправлены; 2) имеют равные длины, т.е. a = b АГ, Модуль 1, Лекция / 49

25 Векторы. Основные понятия Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

26 Линейные операции над векторами АГ, Модуль 1, Лекция / 49

27 Линейные операции над векторами Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

28 Сложение векторов АГ, Модуль 1, Лекция / 49

29 Сложение векторов Определение Пусть заданы векторы a и b. Возьмем точку О и построим векторы OA = a и AB = b. Вектор OB называется суммой векторов a и b. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

30 Сложение векторов Определение Пусть заданы векторы a и b. Возьмем точку О и построим векторы OA = a и AB = b. Вектор OB называется суммой векторов a и b. Это правило сложения двух векторов носит название правило треугольника. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

31 Сложение векторов Можно складывать два вектора и по правилу параллелограмма. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

32 Сложение векторов Можно складывать два вектора и по правилу параллелограмма. Для этого необходимо подвести эти векторы к одному началу и построить на них параллелограмм. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

33 Сложение векторов Можно складывать два вектора и по правилу параллелограмма. Для этого необходимо подвести эти векторы к одному началу и построить на них параллелограмм. Тогда суммой двух векторов будет являться вектор, расположенный на диагонали параллелограмма, выходящей из их общего начала. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

34 Сложение векторов Отметим, что если векторы коллинеарны, то их сумму по правилу параллелограмма определить не получится, а правило треугольника в этом случае применимо. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

35 Сложение векторов Отметим, что если векторы коллинеарны, то их сумму по правилу параллелограмма определить не получится, а правило треугольника в этом случае применимо. При сложении трех и более векторов строим векторную ломаную, каждое звено которой есть вектор, приложенный к концу предыдущего вектора. Тогда суммой векторов будет являться вектор, направленный из начала первого вектора к концу последнего. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

36 Вычитание векторов АГ, Модуль 1, Лекция / 49

37 Вычитание векторов Определение Под разностью векторов a и b понимается вектор c = a b такой, что c = a + ( b). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

38 Умножение вектора на скаляр АГ, Модуль 1, Лекция / 49

39 Умножение вектора на скаляр Определение Произведением вектора a на скаляр (число) λ называется вектор c = λ a, удовлетворяющий следующим условиям: 1) он имеет длину c = λ a ; 2) его направление совпадает с направление вектора a, если λ > 0 и противоположно вектору a, если λ < 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

40 Свойства линейных операций над векторами АГ, Модуль 1, Лекция / 49

41 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; АГ, Модуль 1, Лекция / 49

42 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; 2. ( a + b) + c = a + ( b + c); АГ, Модуль 1, Лекция / 49

43 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; 2. ( a + b) + c = a + ( b + c); 3. λ 1 (λ 2 a) = (λ 1 λ 2 ) a; АГ, Модуль 1, Лекция / 49

44 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; 2. ( a + b) + c = a + ( b + c); 3. λ 1 (λ 2 a) = (λ 1 λ 2 ) a; 4. (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a; АГ, Модуль 1, Лекция / 49

45 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; 2. ( a + b) + c = a + ( b + c); 3. λ 1 (λ 2 a) = (λ 1 λ 2 ) a; 4. (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a; 5. λ ( a + b) = λ a + λ b; АГ, Модуль 1, Лекция / 49

46 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; 2. ( a + b) + c = a + ( b + c); 3. λ 1 (λ 2 a) = (λ 1 λ 2 ) a; 4. (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a; 5. λ ( a + b) = λ a + λ b; 6. a + 0 = a; АГ, Модуль 1, Лекция / 49

47 Свойства линейных операций над векторами 1. a + b = b + a; 2. ( a + b) + c = a + ( b + c); 3. λ 1 (λ 2 a) = (λ 1 λ 2 ) a; 4. (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a; 5. λ ( a + b) = λ a + λ b; 6. a + 0 = a; 7. для любого вектора a существует вектор a, такой что a + ( a) = 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

48 Проекция вектора на ось АГ, Модуль 1, Лекция / 49

49 Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l, т.е. направленная прямая. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

50 Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l, т.е. направленная прямая. Определение Ортогональной проекцией (или просто проекцией) точки M на ось l называется основание M 1 перпендикуляра MM 1, опущенного из точки на ось. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

51 Проекция вектора на ось Точка M 1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку M перпендикулярно оси. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

52 Проекция вектора на ось Точка M 1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку M перпендикулярно оси. Если точка M лежит на оси l, то проекция точки M на эту ось совпадает с M. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

53 Проекция вектора на ось Пусть задан вектор AB и ось l. Пусть A 1 - проекция точки A, B 1 - проекция точки B на ось l. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

54 Проекция вектора на ось Определение Ортогональной проекцией (или просто проекцией) вектора AB на ось l называется положительное число, A 1 B 1 если вектор A 1 B 1 и ось l одинаково направлены и отрицательное число, A 1 B 1 если вектор A 1 B 1 и ось l противоположно направлены. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

55 Проекция вектора на ось Если A 1 и B 1 совпадают, то проекция вектора AB равна нулю. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

56 Проекция вектора на ось Если A 1 и B 1 совпадают, то проекция вектора AB равна нулю. Обозначение: пр lab АГ, Модуль 1, Лекция / 49

57 Проекция вектора на ось Если A 1 и B 1 совпадают, то проекция вектора AB равна нулю. Обозначение: пр lab Замечание. Если AB = 0 или AB l, то пр lab = 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

58 Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

59 Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: 1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла ϕ между вектором a и осью l: пр l a = a cos ϕ. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

60 Проекция вектора на ось Следствия свойства 1: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

61 Проекция вектора на ось Следствия свойства 1: 1) Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

62 Проекция вектора на ось Следствия свойства 1: 1) Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой. 2) Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

63 Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

64 Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: 2. Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось: пр l ( a + b) = пр l a + пр l b. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

65 Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: 2. Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось: пр l ( a + b) = пр l a + пр l b. 3. При умножении вектора a на число λ его проекция также умножается на это число: пр l (α a) = α пр l a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

66 Проекция вектора на ось Замечание. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

67 Проекция вектора на ось Замечание. Линейные операции над векторами приводят к линейным операциям над проекциями этих векторов. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

68 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы АГ, Модуль 1, Лекция / 49

69 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

70 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy, Oz единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно i, j, k. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

71 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим вектор a = OM. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

72 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим вектор a = OM. Проведем через точку М плоскости, параллельные координатным плоскостям. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

73 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим вектор a = OM. Проведем через точку М плоскости, параллельные координатным плоскостям. Тогда пр x a =, OM 1 прy a =, OM 2 прz a =. OM 3 АГ, Модуль 1, Лекция / 49

74 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим вектор a = OM. Проведем через точку М плоскости, параллельные координатным плоскостям. Тогда пр x a =, OM 1 прy a =, OM 2 прz a =. OM 3 По определению суммы нескольких векторов находим: a = OM 1 + M 1 N + NM. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

75 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Следовательно, a = OM 1 + OM 2 + OM 3. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

76 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Следовательно, a = OM 1 + OM 2 + OM 3. OM 1 = OM 1 i = a x i, OM 2 = OM 2 j = a y j, OM 3 = OM 3 k = az k. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

77 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Таким образом, получаем разложение вектора по ортам координатных осей: a = a x i + a y j + a z k. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

78 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Определение Числа a x, a y, a z называются координатами вектора a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

79 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Определение Числа a x, a y, a z называются координатами вектора a. Обозначение: a = (a x, a y, a z ). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

80 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Из теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда следует: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

81 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Из теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда следует: a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

82 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Из теоремы о диагонали прямоугольного параллелепипеда следует: a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z. Отсюда a = a 2 x + a 2 y + a 2 z АГ, Модуль 1, Лекция / 49

83 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Пусть углы вектора a с осями Ox,Oy, Oz соответственно равны α, β, γ. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

84 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Пусть углы вектора a с осями Ox,Oy, Oz соответственно равны α, β, γ. По определению проекции вектора на ось имеем a x = a cos α, a y = a cos β, a z = a cos γ. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

85 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Пусть углы вектора a с осями Ox,Oy, Oz соответственно равны α, β, γ. По определению проекции вектора на ось имеем a x = a cos α, a y = a cos β, a z = a cos γ. Откуда cos α = a x a, cos β = a y a, cos γ = a z a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

86 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Определение Числа cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора a. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

87 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Можно доказать, что cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, то есть сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

88 Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Можно доказать, что cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, то есть сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

89 Действия над векторами, заданными своими координатами АГ, Модуль 1, Лекция / 49

90 Действия над векторами, заданными своими координатами Пусть векторы a = (a x, a y, a z ) и b = (b x, b y, b z ) заданы своими координатами или a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

91 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

92 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: 1. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются, то есть a + b = (a x + b x, a y + b y, a z + b z ). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

93 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: 1. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются, то есть a + b = (a x + b x, a y + b y, a z + b z ). 2. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр, то есть α a = (α a x, α a y, α a z ). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

94 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: 3. Два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

95 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: 3. Два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. 4. Проекции (координаты) коллинеарных векторов пропорциональны, т. е. a b a x b x = a y b y = a z b z. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

96 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

97 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: При каких значениях α и β векторы a = ( 2, 3, α) и b = (β, 6, 2) коллинеарны? АГ, Модуль 1, Лекция / 49

98 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: При каких значениях α и β векторы a = ( 2, 3, α) и b = (β, 6, 2) коллинеарны? Решение: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

99 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: При каких значениях α и β векторы a = ( 2, 3, α) и b = (β, 6, 2) коллинеарны? Решение: a b 2 β = 3 6 = α 2. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

100 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: При каких значениях α и β векторы a = ( 2, 3, α) и b = (β, 6, 2) коллинеарны? Решение: a b 2 β = 3 6 = α 2. Тогда α = 1, β = 4. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

101 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: 5. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

102 Действия над векторами, заданными своими координатами Тогда: 5. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала. Пусть A (x 1, y 1, z 1 ), B (x 2, y 2, z 2 ), тогда AB = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). АГ, Модуль 1, Лекция / 49

103 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

104 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: Найти длину вектора a = (2; 3; 6) и его орт. АГ, Модуль 1, Лекция / 49

105 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: Найти длину вектора a = (2; 3; 6) и его орт. Решение: АГ, Модуль 1, Лекция / 49

106 Действия над векторами, заданными своими координатами Пример: Найти длину вектора a = (2; 3; 6) и его орт. Решение: a = = 7, a 0 = a a = (2 7, 3 7, 6 7 ). АГ, Модуль 1, Лекция / 49


Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

ЛЕКЦИЯ 3 УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ЛЕКЦИЯ 3 УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 1. Ускорения точек при плоском движении На прошлой лекции были освещены почти

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее