Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Аналитическая геометрия. Лекция 1.3"

Транскрипт

1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.3 к.ф.-м.н. Меньшова И.В.

2 Системы линейных уравнений АГ, Модуль 1, Лекция / 60

3 Системы линейных уравнений Определение Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ) называется система вида АГ, Модуль 1, Лекция / 60

4 Системы линейных уравнений Определение Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ) называется система вида a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (1) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

5 Системы линейных уравнений Определение (продолжение) где числа a ij - это коэффициенты системы, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

6 Системы линейных уравнений Определение (продолжение) где числа a ij - это коэффициенты системы, числа b i свободные члены, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

7 Системы линейных уравнений Определение (продолжение) где числа a ij - это коэффициенты системы, числа b i свободные члены, x 1,..., x n - неизвестные, которые надо определить. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

8 Системы линейных уравнений Запись СЛАУ в виде (1) называется координатной. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

9 Системы линейных уравнений Запись СЛАУ в виде (1) называется координатной. Эту систему можно записать в матричной форме A x = b, (2) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

10 Системы линейных уравнений где A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n матрица системы, a m1 a m2... a mn АГ, Модуль 1, Лекция / 60

11 x = x n Системы линейных уравнений x 1 x 2 столбец неизвестных,... АГ, Модуль 1, Лекция / 60

12 x = b = x n Системы линейных уравнений x 1 x 2 столбец неизвестных,... b 1 b 2 столбец свободных членов.... b n АГ, Модуль 1, Лекция / 60

13 Системы линейных уравнений Обозначим столбцы матрицы A как АГ, Модуль 1, Лекция / 60

14 Системы линейных уравнений Обозначим столбцы матрицы A как a 11 a m1 a 12 a a 1 = 21..., a a 2 = 22...,..., a a n = 2n.... a m2 a 1n a mn АГ, Модуль 1, Лекция / 60

15 Системы линейных уравнений Тогда получим еще одну форму записи системы: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. (3) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

16 Системы линейных уравнений Тогда получим еще одну форму записи системы: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. (3) Соотношение (3) называют векторной записью системы. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

17 Системы линейных уравнений Тогда получим еще одну форму записи системы: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. (3) Соотношение (3) называют векторной записью системы. Она показывает, что решение системы (1) можно трактовать, как представление столбца b в виде линейной комбинации столбцов a 1, a 2,..., a n. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

18 Системы линейных уравнений Определение Расширенной матрицей системы (1) называется матрица à (или A b) вида a 11 a a 1n b 1 a à = 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m АГ, Модуль 1, Лекция / 60

19 Системы линейных уравнений Определение Система (1) называется однородной, если b 1 = b 2 =... = b m = 0, в противном случае она называется неоднородной. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

20 Системы линейных уравнений Определение Решением СЛАУ называется такой набор значений неизвестных x 1, x 2,..., x n, который при подстановке в каждое уравнение системы (1) обращает его в верное тождество. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

21 Системы линейных уравнений Решить СЛАУ значит: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

22 Системы линейных уравнений Решить СЛАУ значит: 1) выяснить, имеет ли СЛАУ решения; АГ, Модуль 1, Лекция / 60

23 Системы линейных уравнений Решить СЛАУ значит: 1) выяснить, имеет ли СЛАУ решения; 2) найти все решения, если они существуют. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

24 Системы линейных уравнений Определение Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если решений не имеет. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

25 Системы линейных уравнений Определение Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое конкретное решение называется частным решением системы. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

26 Системы линейных уравнений Определение Совокупность всех частных решений называется общим решением системы. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

27 Системы линейных уравнений Замечание. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

28 Системы линейных уравнений Замечание. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений ее неизвестных всегда является решением. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

29 Системы линейных уравнений Замечание. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений ее неизвестных всегда является решением. Это решение называется нулевым или тривиальным. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

30 Системы линейных уравнений Определение Две системы называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получаются, в частности, с помощью элементарных преобразований над строками матрицы A. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

31 Критерий совместности СЛАУ АГ, Модуль 1, Лекция / 60

32 Критерий совместности СЛАУ Теорема Кронекера-Капелли (о совместности СЛАУ) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

33 Критерий совместности СЛАУ Теорема Кронекера-Капелли (о совместности СЛАУ) Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был равен рангу ее расширенной матрицы Ã. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

34 Критерий совместности СЛАУ Для совместных СЛАУ верны следующие утверждения: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

35 Критерий совместности СЛАУ Для совместных СЛАУ верны следующие утверждения: 1. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

36 Критерий совместности СЛАУ Для совместных СЛАУ верны следующие утверждения: 1. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. 2. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

37 Критерий совместности СЛАУ Определение Пусть ранг матрицы совместной системы r меньше числа неизвестных n. Тогда переменные x 1, x 2,..., x r называют основными (или базисными), если определитель матрицы, составленный из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля. Остальные n r переменных называются неосновными (или свободными). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

38 Матричный метод решения СЛАУ АГ, Модуль 1, Лекция / 60

39 Матричный метод решения СЛАУ Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными АГ, Модуль 1, Лекция / 60

40 Матричный метод решения СЛАУ Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (4) a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n АГ, Модуль 1, Лекция / 60

41 Матричный метод решения СЛАУ или в матричной форме Ax = b. (5) Здесь матрица A системы является квадратной. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

42 Матричный метод решения СЛАУ Определение Определитель матрицы системы = det A называется определителем системы (4). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

43 Матричный метод решения СЛАУ Определение Если определитель системы (4) отличен от нуля, то система называется невырожденной. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

44 Матричный метод решения СЛАУ Теорема (о существовании решения) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

45 Матричный метод решения СЛАУ Теорема (о существовании решения) Система (4) имеет решение и притом единственное, если определитель матрицы системы 0. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

46 Матричный метод решения СЛАУ Пусть 0 и, следовательно, матрица A невырожденная, а значит существует обратная матрица A 1. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

47 Матричный метод решения СЛАУ Пусть 0 и, следовательно, матрица A невырожденная, а значит существует обратная матрица A 1. Умножив обе части уравнения (5) слева на матрицу A 1, получим: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

48 Матричный метод решения СЛАУ Пусть 0 и, следовательно, матрица A невырожденная, а значит существует обратная матрица A 1. Умножив обе части уравнения (5) слева на матрицу A 1, получим: x = A 1 b. (6) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

49 Матричный метод решения СЛАУ Отыскание решения системы (4) по формуле (6) называется матричным методом решения системы. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

50 Матричный метод решения СЛАУ Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

51 Матричный метод решения СЛАУ Пример. Решить систему линейных уравнений x 1 2x 2 + 3x 3 = 7, 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0, 2x 2 + x 3 = 7. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

52 Матричный метод решения СЛАУ Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

53 Матричный метод решения СЛАУ Решение. Данную систему можно представить в виде: Ax = b, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

54 Матричный метод решения СЛАУ Решение. Данную систему можно представить в виде: Ax = b, где A = x 1 7, x = x 2, b = 0. x 3 7 АГ, Модуль 1, Лекция / 60

55 Матричный метод решения СЛАУ 1) Найдем обратную матрицу A 1 : АГ, Модуль 1, Лекция / 60

56 Матричный метод решения СЛАУ 1) Найдем обратную матрицу A 1 : A 1 = = АГ, Модуль 1, Лекция / 60

57 Матричный метод решения СЛАУ 1) Найдем обратную матрицу A 1 : A 1 = = = 1/7 4/7 1 2/7 1/7 1. 4/7 2/7 1 АГ, Модуль 1, Лекция / 60

58 Матричный метод решения СЛАУ 2) Решение системы определим по формуле (6): АГ, Модуль 1, Лекция / 60

59 Матричный метод решения СЛАУ 2) Решение системы определим по формуле (6): x 1 1/7 4/7 1 7 x = x 2 = 2/7 1/7 1 0 = x 3 4/7 2/7 1 7 АГ, Модуль 1, Лекция / 60

60 Матричный метод решения СЛАУ 2) Решение системы определим по формуле (6): x 1 1/7 4/7 1 7 x = x 2 = 2/7 1/7 1 0 = x 3 4/7 2/ = 5. 3 Решение системы: x 1 = 6, x 2 = 5, x 3 = 3. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

61 Метод Крамера АГ, Модуль 1, Лекция / 60

62 Метод Крамера Рассмотрим СЛАУ вида (4). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

63 Метод Крамера Рассмотрим СЛАУ вида (4). Запишем равенство (6) в развернутом виде: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

64 Метод Крамера Рассмотрим СЛАУ вида (4). Запишем равенство (6) в развернутом виде: x 1 A 11 A A n1 b 1 x 2... = 1 det A A 12 A A n b 2..., A 1n A 2n... A nn b n x n АГ, Модуль 1, Лекция / 60

65 Метод Крамера т.е. x 1 = 1 det A (A 11b 1 + A 21 b A n1 b n ) x 2 = 1 det A (A 12b 1 + A 22 b A n2 b n ) x n = 1 det A (A 1nb 1 + A 2n b A nn b n ) (7) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

66 Метод Крамера Можно заметить, что суммы, представленные в скобках равенств (7) есть разложения определителей, полученных из определителя матрицы A заменой соответствующих столбцов с номерами 1, 2,..., n столбцом свободных членов b. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

67 Метод Крамера Тогда получим формулы для вычисления решений системы (4): АГ, Модуль 1, Лекция / 60

68 Метод Крамера Тогда получим формулы для вычисления решений системы (4): x 1 = 1, x 2 = 2,..., x n = n, (8) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

69 Метод Крамера Тогда получим формулы для вычисления решений системы (4): где x 1 = 1, x 2 = 2,..., x n = n, (8) = det A, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

70 1 = Метод Крамера b 1 a a 1n b 2 a a 2n, b n a n2... a nn АГ, Модуль 1, Лекция / 60

71 1 = Метод Крамера b 1 a a 1n a 11 b 1... a 1n b 2 a a 2n a, = 21 b 2... a 2n, b n a n2... a nn a n1 b n... a nn АГ, Модуль 1, Лекция / 60

72 1 = Метод Крамера b 1 a a 1n a 11 b 1... a 1n b 2 a a 2n a, = 21 b 2... a 2n, b n a n2... a nn a n1 b n... a nn..., АГ, Модуль 1, Лекция / 60

73 Метод Крамера b 1 a a 1n a 11 b 1... a 1n b 1 = 2 a a 2n a, = 21 b 2... a 2n, b n a n2... a nn a n1 b n... a nn a 11 a b 1 a..., n = 21 a b a n1 a n2... b n АГ, Модуль 1, Лекция / 60

74 Метод Крамера Формулы (8) называются формулами Крамера, а метод решения невырожденных систем по формулам (8) методом Крамера. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

75 Метод Крамера Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

76 Метод Крамера Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера: 2x 1 3x 3 = 1, x 1 + 2x 2 = 0, 3x 1 + 6x 2 x 3 = 1. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

77 Метод Крамера Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

78 Метод Крамера Решение. 1) Вычислим определитель системы: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

79 Метод Крамера Решение. 1) Вычислим определитель системы: = = 4. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

80 Метод Крамера Решение. 1) Вычислим определитель системы: = = 4. Так как 0, то данная система является невырожденной и можно найти ее решение по формулам (8). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

81 Метод Крамера 2) Найдем определители 1, 2 и 3, заменяя в определителе первый, второй и третий столбцы соответственно столбцом свободных членов b: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

82 Метод Крамера 2) Найдем определители 1, 2 и 3, заменяя в определителе первый, второй и третий столбцы соответственно столбцом свободных членов b: = = 8, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

83 Метод Крамера 2) Найдем определители 1, 2 и 3, заменяя в определителе первый, второй и третий столбцы соответственно столбцом свободных членов b: = = 8, = = 4, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

84 Метод Крамера 2) Найдем определители 1, 2 и 3, заменяя в определителе первый, второй и третий столбцы соответственно столбцом свободных членов b: = = 8, = = 4, = = 4. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

85 Метод Крамера 3) Найдем решение системы по формулам Крамера: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

86 Метод Крамера 3) Найдем решение системы по формулам Крамера: x 1 = 8 4 = 2, x 2 = 4 4 = 1, x 3 = 4 4 = 1. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

87 Метод Гаусса АГ, Модуль 1, Лекция / 60

88 Метод Гаусса Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными вида (1). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

89 Метод Гаусса Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными вида (1). Решение системы (1) методом Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида (прямой ход) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

90 Метод Гаусса a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 22 x a 2n x n = b 2, a rr x r a rn x n = b r, (9) АГ, Модуль 1, Лекция / 60

91 Метод Гаусса a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 22 x a 2n x n = b 2, a rr x r a rn x n = b r, (9) из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные (обратный ход). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

92 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

93 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 1. Записать расширенную матрицу Ã, отвечающую системе уравнений (1). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

94 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 1. Записать расширенную матрицу Ã, отвечающую системе уравнений (1). 2. Элементарными преобразованиями привести расширенную матрицу Ã к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

95 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 3. Провести исследование совместности СЛАУ, используя теорему Кронекера-Капелли: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

96 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 3. Провести исследование совместности СЛАУ, используя теорему Кронекера-Капелли: а) если ranga = rangã = n, где n число неизвестных, то СЛАУ совместна и определена (имеет единственное решение); АГ, Модуль 1, Лекция / 60

97 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 3. Провести исследование совместности СЛАУ, используя теорему Кронекера-Капелли: б) если ranga = rangã n, где n число неизвестных, то СЛАУ совместна и не определена (имеет бесконечное множество решений); АГ, Модуль 1, Лекция / 60

98 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 3. Провести исследование совместности СЛАУ, используя теорему Кронекера-Капелли: в) если ranga rangã, то СЛАУ не совместна. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

99 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 4. Записать ступенчатую СЛАУ (обратный ход метода Гаусса). АГ, Модуль 1, Лекция / 60

100 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 4. Записать ступенчатую СЛАУ (обратный ход метода Гаусса). а) ranga = rangã = n. Последовательно найти x n, x n 1,..., x 1. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

101 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 4. Записать ступенчатую СЛАУ (обратный ход метода Гаусса). б) Случай ranga = rangã n. В качестве базисных переменных выберем неизвестные с которых начинаются уравнения ступенчатой системы. Остальные переменные свободные. Выразим базисные переменные через свободные, получая тем самым общее решение СЛАУ. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

102 Метод Гаусса Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса: 4. Записать ступенчатую СЛАУ (обратный ход метода Гаусса). в) Случай ranga rangã. СЛАУ решений не имеет. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

103 Метод Гаусса Пример. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

104 Метод Гаусса Пример. Найти общее и одно частное решения системы x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 10, 2x 1 x 2 + 5x x 4 = 4, x 1 x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2, 3x 1 4x 2 + 5x 3 + 5x 4 = 14. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

105 Метод Гаусса Решение. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

106 Метод Гаусса Решение. 1) Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

107 Метод Гаусса Решение. 1) Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

108 Метод Гаусса Решение. 1) Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

109 Метод Гаусса Решение. 1) Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

110 Метод Гаусса 2) r(a) = n = 4. r(ã) = 2, количество неизвестных АГ, Модуль 1, Лекция / 60

111 Метод Гаусса 2) r(a) = r(ã) = 2, количество неизвестных n = 4. Вывод: система совместна и имеет бесконечно много решений. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

112 Метод Гаусса 3) Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой матрице: АГ, Модуль 1, Лекция / 60

113 Метод Гаусса 3) Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой матрице: { x1 2x 2 + x 3 x 4 = 10, x 2 + x 3 + 4x 4 = 8. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

114 Метод Гаусса 3) Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой матрице: { x1 2x 2 + x 3 x 4 = 10, x 2 + x 3 + 4x 4 = 8. Так как r(a) = 2, то базисных неизвестных будет две. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

115 Метод Гаусса В качестве базисных неизвестных можно выбрать x 1, x 2, АГ, Модуль 1, Лекция / 60

116 Метод Гаусса В качестве базисных неизвестных можно выбрать x 1, x 2, поскольку минор = 1 0 состоит из коэффициентов при этих переменных. Тогда неизвестные x 3, x 4 будут свободными. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

117 Метод Гаусса Перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений, получим систему { x1 2x 2 = 10 x 3 + x 4, x 2 = 8 x 3 4x 4. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

118 Метод Гаусса 4) Методом обратного хода найдем выражения базисных неизвестных через свободные. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

119 Метод Гаусса 4) Методом обратного хода найдем выражения базисных неизвестных через свободные. Пусть переменные x 3 = C 1, x 4 = C 2, C 1, C 2 - произвольные постоянные. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

120 Метод Гаусса 4) Методом обратного хода найдем выражения базисных неизвестных через свободные. Пусть переменные x 3 = C 1, x 4 = C 2, C 1, C 2 - произвольные постоянные. Тогда { x1 = 6 + C 1 7C 2, x 2 = 8 C 1 4C 2. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

121 Метод Гаусса Общее решение системы: x 1 = 6 + C 1 7C 2, x 2 = 8 C 1 4C 2, x 3 = C 1, x 4 = C 2. АГ, Модуль 1, Лекция / 60

122 Метод Гаусса 5) Придавая постоянным C 1, C 2 произвольные значения, получим частные решения. Пусть C 1 = 0, C 2 = 1, тогда получим частное решение x 1 = 13, x 2 = 12, x 3 = 0, x 4 = 1. АГ, Модуль 1, Лекция / 60


Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль Матричная алгебра Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Однородные СЛАУ их совместность Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ его

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.2

Аналитическая геометрия. Лекция 1.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А.

Лекция 5 РТУ-МИРЭА. Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГОРШУНОВА Т.А. Лекция Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Однородная система линейных алгебраических уравнений Пусть дана однородная система линейных уравнений: или в матричной форме: m m n n A

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( )

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( ) МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана система () m линейных уравнений с неизвестными Для ее решения нужно выполнить следующие действия: Составить расширенную матрицу (7) системы: m

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 7 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Присоединенная матрица Обратная матрица и ее свойства Вычисление обратной матрицы

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений

1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A).

Ax = y. A(x 1 x 2 ) = 0, x 1 x 2 Ker(A). ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Одна из основных задач линейной алгебры задача решения линейного уравнения Ax = y. Здесь A : X n Y m есть линейный оператор, y заданный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ)

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ) Семинар Однородные СЛАУ ОСЛАУ) Рассмотрим систему, состоящую из m однородных линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a n x n =, a { x + a x + + a n x n =, a m x + a m x + + a mn x n =. Введём

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МЕТОД ГАУССА В РЕШЕНИИ СЛАУ В ШКОЛЕ. Ключевые слова: СЛАУ, метод Гаусса, матрица, ступенчатый вид.

МЕТОД ГАУССА В РЕШЕНИИ СЛАУ В ШКОЛЕ. Ключевые слова: СЛАУ, метод Гаусса, матрица, ступенчатый вид. Автор: Мамедалина Любовь Александровна ученица 9 «Б» класса Руководитель: Шонин Максим Юрьевич учитель математики МОУ «Петропавловская СОШ» п. Петропавловский, Челябинская область МЕТОД ГАУССА В РЕШЕНИИ

Подробнее

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Алиева Л.Э. Елабужский институт Казанского Федерального Университета Инженерно-технологический факультет Научный руководитель: Миронова Ю.Н. Ведение: Многие,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.2

Линейная алгебра. Лекция 2.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч45 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2

Методические указания к переаттестации по дисциплине «Алгебра и геометрия» Часть 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число:

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число: 1. Определители второго и третьего порядка. Квадратная таблица, составленная из четырех действительных чисел (или комплексных), называется квадратной матрицей второго порядка. A = ( a 11a 12 a 21 a ) 22

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 7. Определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера 1 Тема 1: Определители 1.1. Понятие определителя Определитель

Подробнее