Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или, a a b где A ( a i j ) R действительная матрица размеров ( ), i, j переменные, T соответствующие номерам строк и столбцов (целые числа); b ( b,, b ) R вектор-столбец размеров ( ), (,, ) R вектор-столбец неизвестных, R -мерное евклидово пространство, верхний индекс " T " здесь и далее обозначает операцию транспонирования Требуется найти решение (,, T R системы, подстановка которого в систему приводит к верному равенству Шаг Преобразовать систему способов T ) A b А МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ Методика решения задачи A b к виду одним из описанных Шаг Задать начальное приближение решения произвольно или положить, а также малое положительное число (точность) Положить Шаг Вычислить следующее приближение ( ) по формуле Шаг 4 Если выполнено условие окончания ( ), процесс завершить и положить Иначе положить и перейти к п Пример Методом простых итераций с точностью, решить систему линейных алгебраических уравнений: 4,, 7

2 Так как,,, условие преобладания диагональных элементов не выполняется Переставим уравнения местами так, чтобы выполнялось условие преобладания диагональных элементов:,, 4 Получаем,, Выразим из первого уравнения, из второго, из третьего :,,,,,,,,,,, 4 ;,, Заметим, что ma, ;, ;, 4, 4 (теорема) выполнено или,,,, ;, Зададим, В поставленной задаче,,4 ( ) Выполним расчеты по формуле :,,, 4, следовательно, условие сходимости,,,,,,,,,,,,,4,,,,,,, ;, ;, 4 ;,,, до выполнения условия окончания и результаты занесем в табл Таблица,,,4 -,9,9,9,5,8,4,,,9946,994,996,84 4,5,,4,8 5,9996,9995,999,7< 8

3 4 Расчет закончен, поскольку условие окончания,7 выполнено Приближенное решение задачи: Очевидно, точное решение: (;;) T (, 9996;, 9995;, 999) Б МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ Методика решения задачи T Шаг Преобразовать систему A b к виду одним из описанных способов Шаг Задать начальное приближение решения произвольно или положить, а также малое положительное число (точность) Положить Шаг Произвести расчеты по формуле,, (*), (в каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученных из предыдущих уравнений, что показано в записи стрелками) или ( ) L U, где L, U являются разложениями матрицы : L, U и найти Шаг 4 Если выполнено условие окончания ( ), процесс завершить и положить Иначе положить и перейти к п 9

4 Пример Методом Зейделя с точностью, решить систему линейных алгебраических уравнений: 4,, Приведем систему A b к виду так же, как в примере :,,,,,,,,,,, 4 ;,,,,,, ;,,, 4 Так как ma, ;, ;, 4, 4 T, условие сходимости выполняется Зададим (,;; ) В поставленной задаче, Выполним расчеты по формуле (*):,,,,,,, ;, ;, 4 ;,,, и результаты занесем в табл Таблица, -,,6,948,6,999,54,999,8,9996,,,5 4,,,,4< Очевидно, найденное решение (;;) T является точным 4 Расчет завершен, поскольку условие окончания,4 выполнено

5 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( ), (*) где f () функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения нелинейных уравнений Первый этап Находятся отрезки a i, b i, внутри каждого из которых содержится один простой или кратный корень ( i a i, b i ) Этот этап называется процедурой отделения корней По сути, на нем осуществляется грубое нахождение корней i Второй этап Грубое значение каждого корня i уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуются последовательные приближения А МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ Методика решения задачи Шаг Уравнение f () равносильным преобразованием привести к виду () Это преобразование может быть осуществлено различными путями, но для сходимости нужно обеспечить выполнение условия ( ) ( некоторая константа) При этом задача сводится к нахождению абсциссы точки пересечения прямой y и кривой y () (рис ) y y y () Рис Шаг Задать начальное приближение Положить ( ) [ a, b] и малое положительное число

6 Шаг Вычислить следующее приближение: ( ) Шаг 4 Если ( ), итерации завершаются и Если ( ), положить и перейти к п Способы преобразования уравнения Преобразование уравнения f () к равносильному виду () может быть выполнено неоднозначно Можно заменить уравнение f () на равносильное c f (), где c cost Тогда, принимая правую часть этого уравнения за () и раскрывая ( ) c f ( ), получаем условие c f ( ) Можно выразить из уравнения f () так, чтобы для полученного уравнения () выполнялось условие сходимости () в окрестности искомого корня Пример Найти решение уравнения методом простых итераций с точностью, и, I Отделим корень уравнения Уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный, поскольку это уравнение нечетной степени Преобразуем уравнение к равносильному виду: и найдем точки пересечения графиков y и y (рис ) y y y Очевидно, корень уравнения [ ; ] Рис

7 II Преобразуем уравнение к виду () Для этого запишем его сначала в форме Легко показать, что функция () не удовлетворяет условию сходимости, поскольку ( ), ( ), ( ) Поэтому воспользуемся другим преобразованием В результате получим Можно проверить, что () на отрезке ;, те достаточные условия сходимости выполняются Зададим начальное приближение Решим задачу с различной точностью и,4 Выполним расчеты по формуле: ( ),,,, Результаты расчетов приведены в табл Таблица 4 5 -, -,599 -, -, -,4 -,46 -,599,54,,, Если, то,, а если, то,46,, 9 9 методом простых ите- Пример Найти корни уравнения раций с точностью, I Отделить корни уравнения 9 9 Уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный Преобразуем уравнение к равносильному виду: 9 9 Найдем абсциссы точек пересечения графиков y и y 9 9 (на рис указаны два из трех полученных промежутков) Результат отделения корней три промежутка [,5; ], [ ; 4], [ 4; ] Заметим, что отрезки могут быть сужены, например, вместо отрезка [; 4] можно принять [,5; 4]

8 y y 4 4 y 9 9 Рис II Преобразуем уравнение к виду () : 9 9 Можно показать, что на отрезках [ ; 4], [ 4; ] функция ( ) 9 9 удовлетворяет условию () На отрезке [,5; ] используем другой вид уравне- ния: Также легко проверить, что функция ( ) удовлетворяет достаточному условию сходимости на отрезке [,5; ] В качестве начальных приближений выберем: ( ) точку на отрезке [ 4; ] ; ( ) точку, 5 на отрезке [,5; ] ; точку на отрезке [; 4] В поставленной задаче,,4 Выполним расчеты по формуле 9 9,,,,, ( ) с начальными значениями и и по формуле,,,,, 9 9 ( ) с начальным значением, 5 Результаты расчетов занесены в табл -4 4

9 , - Таблица Таблица,5,5,656,54,7694,68 -, - -,848,848 -,986,78 -,9979,6 4 -,9997,8 5 -,99997,7 4,868,988 5,955,57 6,958,7 7,9767,85 8,987, Таблица 4,5 -,986,486,99849,8,9998,4 4,99998,5 9,997,57,9959,,9977,8,9987, В результате получены приближенные значения корней:, 99997,,99998,, 9987 Обратим внимание на сильное различие в числе итераций, потребовавшихся для нахождения корней (табл ) и (табл ), с помощью одной и той же формулы Заметим, что в окрестности корня значения модуля производной функции ( ) 9 9 равны: (), 784 ; (,5), 67; (,656),68 ; (,9977), 556 С другой стороны, в окрестности корня имеем: ( ), 6 ; (,848), 4 ; (,9977), Анализ результатов показывает, что чем меньше значения модуля производной (), тем быстрее сходимость 5

10 Б МЕТОД НЬЮТОНА Метод Ньютона (метод касательных) является одним из наиболее популярных численных методов Он реализуется по формуле: f ( f ( ) ),,,, y f ( ) B y f () a C () A () b Рис 4 В точке строится касательная к графику функции Следующей точкой является точка пересечения касательной с осью абсцисс Далее процесс продолжается аналогично Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона) Пусть выполняются следующие условия: Функция f () определена и дважды дифференцируема на b Отрезку b f ( a) f ( b) a, a, принадлежит только один простой корень, так что Производные f ( ), f ( ) на b a, сохраняют знак, и f () 4 Начальное приближение удовлетворяет неравенству f ( ) f ( ) (знаки функций f () и f () в точке совпадают) Тогда с помощью метода Ньютона можно вычислить корень уравнения f () с любой точностью () 6

11 Методика решения задачи Шаг Задать начальное приближение так, чтобы выполнялось неравенст- f ( ) f ( ), а также малое положительное число Положить во Шаг Вычислить Шаг Если ( ) по формуле f ( f (, процесс завершить и положить ) ) Если ( ), положить и перейти к п Пример Методом Ньютона найти корень уравнения В примере корень был отделен: ; Зададим начальное приближение Так как f ( ), f ( ) 6, то f ( ) 5, ( ) ; Поэтому f ( ) f ( ) и Положим,, Результаты расчетов по формуле: приведены в табл 5 f при ) (,,,, ( ) Таблица -, -, ,5965 -,58 -,479 -,478 ( ) ( ) -,454545,8584,84,8, Найденное приближенное решение, 47 Пример 4 Найти корни уравнения методом Ньютона с точностью, 9 9 Процедура отделения корней была выполнена в примере В качестве отрезков [ a i, bi ], которым принадлежат корни уравнения, выберем [ 4; ],,5; 4, [,5 ; ] Так как f ( 4), 5; f ( ) 5, те f ( 4) f ( ), производные f ( ) 6, f ( ) 9 сохраняют знак при 4;, то условия сходимости выполняются 7

12 Так как f (,5) 4,5; f ( 4), те f (, 5) f ( 4), и производные f (), f ( ) сохраняют знак при,5; 4, то условия сходимости на этом отрезке тоже выполняются Так как f (, 5) 4, 75; f ( ) 5, те f (, 5) f ( ), и производные f (), f ( ) сохраняю т знак при,5;, то условия сходимости выполняются ( ) Зададим начальные приближения: на отрезке [,5; ] вы берем, 5, так как f (,5) f (, 5) ; на отрезке [ 4, ] вы берем f (4) f ( 4) ; аналогично на отрезке,5; 4 выберем даче,, Результаты расчетов по формуле: приведены в табл , так как 9,,,, 4 В поставленной за- 4 Таблица 6-4, -,559 -,8 -,5 -, -,74468,96,58,5 Таблица 7,5,9797,999846, -,4797,6856,754 8 Таблица 4 5 4,,58,5484,674,, -,677494,7969,4989,67 6 В результате получены приближенные значения корней :, ;, ;, 8

13 В МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ Методика решения задачи Шаг Найти начальный интервал неопределенности L a,b одним из методов отделения корней, задать малое положительное число Положить Шаг Найти середину текущего интервала неопределенности: c a b Шаг Если f ( a ) f ( c ), то положить a a, b c, а если f ( c ) f ( b ), то принять a c, b b В результате находится текущий интервал неопределенности L a, b Шаг 4 Если b a, то процесс завершить: L a, b a Приближенное значение корня можно найти по формуле b Если b a, положить и перейти к п Пример 5 Найти корень уравнения методом половинного деления с точностью, и, 5 I Результат отделения корня уравнения [ ; ], поэтому a, b II Функция непрерывна на отрезке ;, имеет единственный простой корень На концах отрезка функция имеет значения f ( ) 5, f ( ), противоположные по знаку Результаты расчетов приведены в табл 9 Таблица 9 f ( a ) a b f ( b ) a b f ( c c ) b a ,5 -,875 -,875 -,5 - -,5,965,5 -,875 -,5 -,5,965 -,75 -,4,5 -,4 -,75 -,5,965 -,5,5,5 4 -,4 -,75 -,5,5 -,475 -,8,65 5 -,8 -,475 -,5,5 -,8 -,5,5 6 -,5 -,8 -,5,5 -,4,8,56 7 -,5 -,8 -,4,8 -,4,8,78 8 -,5 -,8 -,4,8 -,6 -,7,9 9 -,7 -,6 -,4,8 -,5 -,5, -,5 -,5 -,4,8 -,48 -,, -, -,48 -,4,8 - -,5 Если,, корень,8;,4, а если,5 корень 9

14 ,8,4,48;, 4 или, 4 при, ;,48,4,45 при, 5 Пример 6 Найти корень уравнения 9 9 методом половинного деления с точностью, Уточним корень, лежа щий на отрезке,5; 4 Результаты расчетов поместим в табл f ( a ) a b f ( b ) c a b Таблица f ( c ) b a -4,5,5 4,5,556,5-4,5,5,5,556,875 -,769,75 -,769,875,5,556,65,7849,75 -,769,875,65,785, ,67, ,67,9687,65,785,56,8945, ,67,9687,56,894,998 -,9, ,9,99,56,894,9,469,44 7 -,9,99,9,469,9984 -,49,7 8 -,49,9984,9,469,97,647,586 В результате найден интервал,9984;,9 и приближенное значение корня,97 Аналогично могут быть найдены интервалы, содержащие остальные корни у равнения 4


Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Занятие 11 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение f ( = 0, (* где f ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке Этапы решения

Подробнее

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть дано нелинейное уравнение ( 0, (3.1 где ( функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. В некоторых случаях

Подробнее

Методы решения нелинейных уравнений

Методы решения нелинейных уравнений Лекция стр. Лекция Методы решения нелинейных уравнений Постановка задачи Дано: нелинейное уравнение f () =, где f () функция определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения,

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных) уравнений f = ) заключается в нахождении значений,

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Раздел II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 7 Раздел II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1.

Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы Иванов И.И. Вариант 1. Задание: Вариант #1 x 11x + 36x 36 = 0 Расчетно-графическая работа по курсу «Теория оптимизации и численные методы». Выполнил студент группы 04-06 Иванов И.И. Вариант 1 Этап 5. Тема: Методы решения алгебраических

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ - --1 1.57.5-5-.5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задание: Найти решение уравнения с точностью 0. 0001 следующими методами: дихотомии; пропорциональных частей (хорд); касательных (Ньютона); модифицированным

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

Этап 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Этап 4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений стр. Этап Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Дано: + - + = - - 5 + = -5 5 - + - = - 0 + - + = а) Найти решение системы методом простых итераций (точность счёта ε = 0. 0) Алгоритм решения

Подробнее

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Подробнее

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Эта система эквивалентна векторной (матричной) записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов. Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность ( 6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Расчетно-графическая работа по информатике

Расчетно-графическая работа по информатике Министерство образования Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ) Филиал ФГБОУ ВПО ЮУрГУ (НИУ) в г. УстьКатаве Кафедра Машиноведение Расчетнографическая работа по

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЛЕКЦИИ Лекция 1 Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Постановка задачи поиска минимума функций содержит: целевую функцию f ( x ), где x = ( x1,..., x

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МЕТОД НЬЮТОНА Методические указания Санкт-Петербург 2013

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ Занятие НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА Постановка задачи Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция f ( ), определенная на множестве X R Требуется исследовать

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

Решение уравнения с одним неизвестным

Решение уравнения с одним неизвестным 1 Решение уравнения с одним неизвестным Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x * называется корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x=x * в уравнение

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Решение скалярных уравнений...........................

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

(электронный ресурс)

(электронный ресурс) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лабораторная работа по численным методам с решением

Лабораторная работа по численным методам с решением Лабораторная работа по численным методам с решением Задание 1. Рассмотрим функцию, где Провести математическое исследование графика функции. Построить эскиз графика функции. Изолировать нули функции, то

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Ф И Л И А Л «С Е В М А Ш В Т У З» Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Г О О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н О Г О У Ч Р Е Ж Д Е Н И Я В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Г

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» Методические указания к лабораторной работе «Вычисления корней трансцендентных уравнений»

Подробнее

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация

Тема. Численные методы линейной алгебры 1. Классификация Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Подробнее

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н.

Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. Лекция 2 Решение линейных и нелинейных уравнений в средах MS Excel и Mthcd Лектор Ст. преподаватель Купо А.Н. 1.Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия. 2.Метод хорд. Метод касательных. Метод

Подробнее

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Кафедра «Математический анализ» ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

Министерство образования и науки РФ. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений»

Лабораторная работа по теме «Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа по теме «Тема.. Методы решения нелинейных уравнений» Перейти к Теме. Теме. Огл.... Вопросы, подлежащие изучению. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.. Этапы численного

Подробнее

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности.

Корень Итераций Корень Итераций. -- вывод о качестве методов после их сравнения по количеству выполненных итераций для достижения заданной точности. Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 Решение нелинейного уравнения 4 1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения 4 1.2 Отделение

Подробнее

Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения. = 0. Стационарные точки. < 0, то. а) Отделить корни алгебраического уравнения

Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения. = 0. Стационарные точки. < 0, то. а) Отделить корни алгебраического уравнения р. Этап 5 Тема: Методы отыскания корней алгебраического уравнения Дано: + 6 6 = а) Отделить корни алгебраического уравнения Алгоритм отделения проых корней с помощью исследования функций и пороения графиков.

Подробнее

Pascal 13. Решение нелинейных уравнений.

Pascal 13. Решение нелинейных уравнений. Pascal 13. Решение нелинейных уравнений. Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические

Подробнее

Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика

Методические указания по выполнению лабораторных работ. Прикладная математика Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Численные методы линейной и нелинейной алгебры

Численные методы линейной и нелинейной алгебры ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» А.И. Зинина В.И. Копнина Численные методы линейной и нелинейной алгебры Учебное пособие Саратов

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений Решение нелинейных уравнений Постановка задачи и этапы решения Дано: уравнение с одним неизвестным f(x)=0; точность Найти: корни уравнения точки x*, такие что f(x*)=0 Этапы решения: 1) Отделение корней:

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. F(x) = F'(x) =... = F (k - 1) (x) = 0.

ВВЕДЕНИЕ. F(x) = F'(x) =... = F (k - 1) (x) = 0. Задача отделения корней. Уточнение корней методом половинного деления (метод дихотомии). Бондаренко В.Ю., Китайчик В.Ю. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону, Россия The

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Алексеева О.А. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Практикум Челябинск УДК 59.6 ББК.9 А-47 Алексеева О.А. Численные методы: практикум. Челябинск: НОУВПО РБИУ,. 77 с. Рассматриваются наиболее распространенные методы численного

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1.

Численное решение нелинейного уравнения Для простейших уравнений вида f ( x) Рис. 3.1. Лабораторная работа Решение уравнений средствами Mthcd Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

МП: Итерации Ньютона

МП: Итерации Ньютона Последовательность вида МП: Итерации Ньютона x + = x f x f = 0. x используют для приближенного решения уравнения f(x) = 0 и называют итерационной последовательностью Ньютона. В таком виде метод Ньютона

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД. ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ В СРЕДЕ ПАКЕТА ПАСКАЛЬ-ABC. Машкова Е.Г., Покришка О.И. Донской Государственный Технический Университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Нелинейные алгебраические уравнения Системы алгебраических уравнений. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Нелинейные алгебраические уравнения Системы алгебраических уравнений. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Системы алгебраических уравнений Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Скалярные уравнения Постановка задачи Дана функция f (x). Найти решение уравнения f (x) = 0 В отличие от случая линейного уравнения,

Подробнее

Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 2016

Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 2016 Решения задач студенческой олимпиады по математике БГЭУ 6 Вычислить определитель n -го порядка, все элементы главной диагонали которого равны, а все остальные элементы равны Решение Такой определитель

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Численное решение задач оптимизации

Численное решение задач оптимизации Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов решения задач оптимизации, их программной реализации на компьютере, оценки погрешности решения, сравнение эффективности различных методов

Подробнее

Рисунок 1 Метод простых итераций

Рисунок 1 Метод простых итераций Информатика. Осень 2014. Уточнение корней уравнений. Для численного решения алгебраических уравнений разработано множество итерационных методов (методов последовательного приближения к точному значению)

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Системы линейных алгебраических уравнений Часть 2. Прямые и итерационные методы решения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Методы решения СЛАУ Прямые и итерационные методы Численные методы решения СЛАУ

Подробнее

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. n. Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. n. Это условие не ограничивает общности, так как сумму двух подобных членов 7 КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Квадратичной формой переменных,, называется выражение вида q a, 7 в котором коэффициенты a, не все равные нулю, удовлетворяют условиям симметричности

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ

ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ На прошлой лекции было доказано, что интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона эквивалентны. Были введены функция Лебега и константа Лебега. Было показано, что

Подробнее

Лабораторная работа 2

Лабораторная работа 2 Лабораторная работа Цель работы: Закрепление навыков работы с основными синтаксическими конструкциями языка Си и умения организовывать циклы и выполнять вычисления.. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.. Методы решения

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

5. Нелинейные уравнения и системы в MathCAD

5. Нелинейные уравнения и системы в MathCAD 5. Нелинейные уравнения и системы в MathCAD Рассмотрим возможности численного и символьного решения уравнений средствами MathCAD. 5.1. Решение нелинейных уравнений В общем случае аналитическое решение

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

Лабораторная работа 1: Решение системы уравнений, обратная матрица

Лабораторная работа 1: Решение системы уравнений, обратная матрица Лабораторная работа 1: Решение системы уравнений, обратная матрица 1. Дать определение обратной матрицы. Записать это определение в виде матричного уравнения. 2. Что такое единичная матрица? 3. При каких

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней

ЗАНЯТИЕ 1 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Отделение корней ЗАНЯТИЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней Пусть дано уравнение f () 0, () где функция f ( ) C[ a; Определение Число называется корнем уравнения () или нулем функции f (), если

Подробнее

Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. Методические указания по выполнению курсовой работы

Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. Методические указания по выполнению курсовой работы Министрество образования Российской Федерации Филиал Санкт-Петербургского государственного морского Технического университета СЕВМАШВТУЗ Кафедра «Прикладной математики» Лимонникова Е.В. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

Подробнее

Решение нелинейного уравнения. Если уравнение представлено в виде f1(x)=f2(x), то его всегда можно преобразовать к виду f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x).

Решение нелинейного уравнения. Если уравнение представлено в виде f1(x)=f2(x), то его всегда можно преобразовать к виду f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x). Решение нелинейного уравнения Общий вид уравнения с одним неизвестным имеет вид f(x)=0. Если уравнение представлено в виде f1(x)=f2(x), то его всегда можно преобразовать к виду f(x)=0, где f(x)=f1(x)-f2(x).

Подробнее

1 Принцип сжимающих отображений 2

1 Принцип сжимающих отображений 2 Содержание 1 Принцип сжимающих отображений Применения принципа сжимающих отображений для решения линейных интегральных уравнений -го рода 3.1 Уравнения Фредгольма.................................. 3. Уравнения

Подробнее

Модуль и производная В.В. Сильвестров

Модуль и производная В.В. Сильвестров Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Ассистент кафедры ХТТиХК, к.т.н. Белинская Наталия Сергеевна

Ассистент кафедры ХТТиХК, к.т.н. Белинская Наталия Сергеевна Дисциплина «Углубленный курс информатики» Лекция 2 Приближенные методы решения нелинейных уравнений Ассистент кафедры ХТТиХК, к.т.н. Белинская Наталия Сергеевна 2016 План лекции Нелинейные уравнения Определение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

6 Общая схема исследования функции

6 Общая схема исследования функции 5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Подробнее