ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...
|
|
- Анна Логачёва
- 2 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется а C ( ) B с одинаковым количеством m c, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых : c +, ( i,, K, m; j,, K, ) Обозначение: C + B 4 Если, B, то C + B 6 произведения ы на число Произведением ы ( ) на число λ называется а, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента ы на число λ : λ λ i,, K, m; ( ) ( λ ), j,, K, ( ) Например λ ( ) произведения ыстроки на устолбец Произведением ы-строки, имеющей столбцов, на устолбец, имеющий столько же строк, называется а, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых : B C, Или или ( L ) ( + + K+ ) ( 4) ( + + ( 4) + 4 ) ( 6) Например, C 4
2 Условие существования произведения двух перестановочных Произведение B существует только в тех случаях, когда число столбцов ы равно числу строк ы B, то есть m B p Cm p При этом апроизведение имеет число строк ы и число столбцов ы B Квадратные ы (размера ), произведение которых коммутативно: B B, называются перестановочными произведения c Произведением ы ( ), имеющей m строк и столбцов, на у B ( ), имеющую строк и p столбцов, называется а C ( c ), имеющая m строк и p столбцов, у которой элемент c равен сумме произведений элементов i -й строки ы и j -го столбца ы B, + + K+ i,, K, m; j,, K, p то есть i j i j i j Произведение обозначается m B p Cm p Замечание Правило умножения можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент c ы C, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, есть скалярное произведение i -й вектор строки ы и j -го вектор столбца ы B B , единичной ы определителя Квадратная а, на главной диагонали которой все элементы равны единице, а все остальные элементы нули, называется единичной ей и обозначается буквой E Вычисление определителей Определителем порядка квадратной ы ãî порядка называют число, соответствующее этой квадратной е Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка: + Таблица Саррюса для вычисления определителей третьего порядка: столбцы + произведения элементов берутся с тем же знаком, произведения элементов берутся с противоположным знаком
3 Правило разложения определителя по элементам какой-либо его строки или столбца с использованием понятия минора и алгебраического дополнения Минором элемента определителя -го порядка называется минора i j определитель ( )-го порядка, полученный из данного определителя элемента i вычеркиванием элементов j определителя i-й строки и j-го столбца -го порядка алгебраического дополнения элемента определителя -го Алгебраическим дополнением элемента называется ( i+ j) минор этого элемента, умноженный на ( ) : ( ) ( i+ j) порядка В соответствии со свойствами определитель порядка может быть представлен в виде разложения этого определителя по элементам i-й строки: i+ i+ i+ det i j i j i i + i i + L+ i i i ( ) i + i ( ) i + + i ( ) i j L То есть определитель квадратной ы А порядка равен сумме произведений элементов какой-либо i-й его строки на алгебраические дополнения этих элементов Аналогичным образом можно разложить этот же определитель по элементам любого его столбца Так для определителя третьего порядка формула разложения определителя по элементам второго столбца получится следующей: ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Определители второго порядка получаются, если вычеркнуть в определителе третьего порядка второй столбец и, соответственно, первую, потом вторую, потом третью строки Метод окаймляющих миноров нахождения ранга ы минора порядка k k Минором порядка k ы А называется любой определитель k-го порядка этой ы, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых её «к» столбцов и любых её «к» строк, i, s,, m, j, k,, sj ik sk, и т д ранга ы Рангом r ы А называется наибольший порядок r минора этой ы, отличного от нуля: r, k или М k, k r +, r +, (существует минор порядка r, не равный нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю или не существуют)
4 m m m нет Rg да да нет нет Rg Rg да эквивалентных Алгоритм приведения ы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называют эквивалентными Обозначают эквивалентность так: А В элементарных преобразований Элементарными преобразованиями ы называют ) транспонирование, ) перестановку строк, ) умножение строки на любое число и сложение с соответствующими элементами другой строки, 4) вычёркивание одинаковых и пропорциональных строк, кроме одной из них Теорема Элементарные преобразования не изменяют ранга ы Условимся называть рабочей строку, которая не изменяется на проводимом этапе элементарных преобразований Рабочая строка первая Получим нули в первом столбце на местах всех элементов первого столбца за исключением элемента в первой строке а Для этого умножим все элементы первой строки на такие числа, чтобы при сложении с элементами первого
5 столбца остальных строк получить нули в первом столбце, за исключением элемента первой строки а Если в системе, которую Вы решаете, коэффициент при х в первом уравнении не равен единице, поменяйте местами строки, записав первой ту, в которой коэффициент при неизвестном х равен единице Если при неизвестном х во всех уравнениях коэффициенты отличны от единицы, можно: ) умножить первую строку расширенной ы системы на число, противоположное тому, на месте которого Вы хотите получить ноль; а строку, в которой хотите получить ноль, умножьте на коэффициент при х в первой строке; ) сложите соответствующие элементы умноженной первой строки и умноженной другой строки 7 ( )( 7) () 4 Далее нужно получить нули во втором столбце ниже главной диагонали Рабочая строка вторая Получаем нули во втором столбце ниже элемента а Умножим третью строку на ( 4) и сложим с соответствующими элементами второй строки (Или можно было поменять местами вторую и третью строки, чтобы на главной диагонали оказалась единица (см ( ))) ( 4) 4 4 ; 4 ( 4) ( ) Rg Замечание Полученная в скобках а ( ) также эквивалентна исходной е А, то есть имеет тот же ранг, а системы уравнений, соответствующие этим ам, имеют одинаковые решения Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений (СЛУ) СЛУ Совокупность линейных алгебраических уравнений (все неизвестные входят в уравнения в первой степени и между собой не перемножаются) называется системой линейных уравнений решения СЛУ Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность значений неизвестных, при подстановке которой вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество совместной и несовместной СЛУ Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения
6 основной ы системы Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной ей системы расширенной ы системы Матрица, полученная из основной присоединением столбца свободных членов, называется расширенной ей системы Выучите формулировку теоремы Кронекера Капелли и ознакомьтесь с её доказательством (Беклемишев ДВ «Курс аналитической геометрии, гл ΙΙΙ, ) Теорема Кронекера Капелли Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной ы системы равен рангу расширенной ы этой системы ) Решение системы методом Гаусса Прямым ходом метода Гаусса систему приводят к ступенчатому виду, исключая последовательно неизвестные системы элементарными преобразованиями над строками расширенной ы О методе Гаусса можете дополнительно прочитать, например, в учебнике: Шнейдер ВЕ и др «Краткий курс высшей математики» Т, гл II, 7 Элементарными преобразованиями у А привели к ступенчатому виду: Матрица примера Матрица моей задачи Этой е соответствует система уравнений: x + x 4x Пример x + x 7x,, 7 Система, которую я решаю Обратным ходом метода Гаусса находят неизвестные x, x, x Обратный ход метода Гаусса заключается в следующем: из последнего уравнения находят x Подставив найденное значение x во второе уравнение, получают неизвестное x Подставив найденные значения неизвестных x и x в первое уравнение, находят неизвестное x Пример Система, которую я решаю x, 4x + x, x + x + x ) Решим систему методом Крамера Выучите формулировку теоремы Крамера
7 Квадратная система линейных уравнений имеет единственное решение Теорема Крамера тогда и только тогда, когда определитель основной ы этой системы не равен нулю В этом случае значения неизвестных находят по правилу Крамера Правило Крамера xi Неизвестное равно отношению определителя Δ i, в котором i й столбец основной ы системы заменен столбцом свободных членов, и Δ определителя основной ы системы Δ : x i i Δ Ознакомьтесь с доказательством теоремы Крамера (Шнейдер ВЕ и др «Краткий курс высшей математики» Т, гл II, ; Беклемишев ДВ «Курс аналитической геометрии, гл V, ) базисного минора и базисных неизвестных Любой, не равный нулю минор, имеющий порядок ранга основной и расширенной системы, называется базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор базисными неизвестными свободных неизвестных Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, называются свободными СОЛУ Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях этой системы равны нулю X матричная запись СОЛУ Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X, Ранги основной и расширенной системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга ы, поэтому по теореме Кронекера-Капели СОЛУ всегда совместна линейной зависимости (независимости) системы Система строк (столбцов, векторов, решений) x, x,, x называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равна нулю: λ x + λx + + λx, когда не все коэффициенты линейной комбинации λ, λ, λ нули, и называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулю: λ x + λx + + λx, когда все коэффициенты линейной комбинации λ, λ, λ нули ФСЧР СОЛУ Фундаментальной системой частных решений системы однородных линейных уравнений называется система линейно независимых частных решений, число решений в которой равно числу свободных неизвестных системы Если число неизвестных системы, r её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержать k r линейно независимых частных решений
8 Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной ы E порядка k r Замечание ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной ы А порядка k r, если det Схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений R(А) ранг основной ы системы; R(В) ранг расширенной ы системы; Начало М r базисный минор; число неизвестных Система совместна (имеет хотя бы одно решение) да R() R(B) нет Система несовместна (нет решений) R() R(B) r да Определённая система (имеет единственное решение) нет r < Неопределённая система (имеет бесконечное множество решений) Метод Гаусса Метод Крамера Матричный метод r r неизвестных базисные; k ( r) неизвестных свободные Перенести свободные неизвестные к свободным членам, выразить базисные неизвестные через свободные, получить общее решение Проверка Приравнять свободные неизвестные произвольным постоянным числам, получить частное решение Для системы однородных линейных уравнений (все свободные члены равны нулю) получить фундаментальную систему ( r) частных решений, последовательно приравняв свободные неизвестные элементам строк единичной ы Конец
9 Свойства и определителей Действие Матрица m Определитель порядка (таблица из m строк и Δ столбцов) (число для ы ) Транспонирование T Rg ( ) Rg( ) Δ не изменяется Перестановка двух строк Ранг не изменяется Δ меняет знак Умножение одной строки на Ранг не изменяется Δ изменяется в λ раз число λ Умножение всех строк на число λ Умножение одной строки на число λ и сложение с соответствующими элементами другой строки Получение нулевых и пропорциональных строк изменяется в λ раз ( умножается на число λ ) Ранг не изменяется Ранг не изменяется при вычёркивании всех нулевых и пропорциональных строк, кроме одной из ненулевых Матричный метод решения СЛУ ( Δ умножается на число λ ) Δ изменяется в λ раз ( Δ умножается на число λ ) Δ не изменяется Δ обратной ы Теорема существования обратной ы Обратной для ы называется такая а, что их произведение равно единичной е: E Для любой квадратной ы, определитель которой не равен нулю (, существует единственная обратная а det ) невырожденной и вырожденной Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной Чтобы найти обратную для у, можно действовать следующим образом: Вычислить определитель ы ( det ) Если det, то а не имеет обратной Составить союзную у из алгебраических дополнений соответствующих элементов ы : ( ) Транспонировать союзную у, то есть заменить строки на столбцы с такими же номерами: ( ) T 4 Разделить транспонированную союзную у на определитель ы : ( ) T ( ) T det det
10 Например det Вспомните, что ( ) j i + ) ( ( ) 4 T Проверим, правильно ли найдена обратная а: ) ( ) ( E Рассмотрим, как применяется обратная а для решения СЛУ Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде, применяя умножение ( ),,, x x x X B B X Если умножить обе части этого матричного уравнения на обратную у слева: ; B X B; EX B, X то а столбец X будет представлять собой решение системы линейных уравнений, которое можно найти умножением ы, обратной основной е системы на у столбец Такой метод решения квадратной системы линейных уравнений называется матричным B Не забудьте сделать проверки после того, как найдете обратную у и решите СЛУ Примеры решения СЛУ средствами системы thcd
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,
И называется число находимое следующим образом:
Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий
Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы
Аналитическая геометрия. Лекция 1.3
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.
Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно
Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского
Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений
Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания
1. Линейные системы и матрицы
1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.
Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40
Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40
3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A
3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется
РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.
-й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа
M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.
Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется
ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ
ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ
Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.
Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.
A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.
Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных
Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ
Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел
МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева
МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева
МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу
Матрицы, определители и системы линейных уравнений
Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое
Матрицы и определители. Линейная алгебра
Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...
Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51
Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная
4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия
4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +
ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.
ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ
Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3
Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть
Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством
Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21
Матрицы и действия над ними Определение матрицы
Матрицы и действия над ними ы Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например чисел или функций) имеющая строк и столбцов Элементы из которых составлена а называются
Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных
3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ
. РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой
Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:
. Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое
Практикум по линейной алгебре
Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство
2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений
Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем
Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:
Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего
Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера
Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,
где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):
Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»
НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Глава 1. Начала линейной алгебры
Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные
Тема: Системы линейных уравнений
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две
Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса
Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть
Примеры решений контрольных работ
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на
Системы линейных алгебраических уравнений
) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система
образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется
Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических
называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис
Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения
С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований
ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине
ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков
1. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений
Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : () С введением понятия матриц и операций
Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге
2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =
Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем
Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):
Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova
МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие
Системы линейных алгебраических уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число
ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.
ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии
Алгебра и аналитическая геометрия
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского
Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа
Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических
Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81
Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные
Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число:
1. Определители второго и третьего порядка. Квадратная таблица, составленная из четырех действительных чисел (или комплексных), называется квадратной матрицей второго порядка. A = ( a 11a 12 a 21 a ) 22
Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23
Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или
Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор
ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных
Математика (БкПл-100)
Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие
Аналитическая геометрия. Лекция 1.2
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Томский политехнический университет
УДК 5 Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов Высшая математика I Самоучитель решения задач по линейной и векторной алгебре и аналитической
B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.
Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ
Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.
Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва
1. Требования к знаниям, умениям, навыкам
ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:
Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы
Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается
1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2
1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)
Семинар 7. Линейная алгебра
1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Присоединенная матрица Обратная матрица и ее свойства Вычисление обратной матрицы
Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ
Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU
Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных
Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц
Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»
Определители. Определители второго порядка и их свойства.
Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить
УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ
Решение систем линейных уравнений
Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ