ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

Транскрипт

1 ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется а C ( ) B с одинаковым количеством m c, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых : c +, ( i,, K, m; j,, K, ) Обозначение: C + B 4 Если, B, то C + B 6 произведения ы на число Произведением ы ( ) на число λ называется а, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента ы на число λ : λ λ i,, K, m; ( ) ( λ ), j,, K, ( ) Например λ ( ) произведения ыстроки на устолбец Произведением ы-строки, имеющей столбцов, на устолбец, имеющий столько же строк, называется а, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых : B C, Или или ( L ) ( + + K+ ) ( 4) ( + + ( 4) + 4 ) ( 6) Например, C 4

2 Условие существования произведения двух перестановочных Произведение B существует только в тех случаях, когда число столбцов ы равно числу строк ы B, то есть m B p Cm p При этом апроизведение имеет число строк ы и число столбцов ы B Квадратные ы (размера ), произведение которых коммутативно: B B, называются перестановочными произведения c Произведением ы ( ), имеющей m строк и столбцов, на у B ( ), имеющую строк и p столбцов, называется а C ( c ), имеющая m строк и p столбцов, у которой элемент c равен сумме произведений элементов i -й строки ы и j -го столбца ы B, + + K+ i,, K, m; j,, K, p то есть i j i j i j Произведение обозначается m B p Cm p Замечание Правило умножения можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент c ы C, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, есть скалярное произведение i -й вектор строки ы и j -го вектор столбца ы B B , единичной ы определителя Квадратная а, на главной диагонали которой все элементы равны единице, а все остальные элементы нули, называется единичной ей и обозначается буквой E Вычисление определителей Определителем порядка квадратной ы ãî порядка называют число, соответствующее этой квадратной е Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка: + Таблица Саррюса для вычисления определителей третьего порядка: столбцы + произведения элементов берутся с тем же знаком, произведения элементов берутся с противоположным знаком

3 Правило разложения определителя по элементам какой-либо его строки или столбца с использованием понятия минора и алгебраического дополнения Минором элемента определителя -го порядка называется минора i j определитель ( )-го порядка, полученный из данного определителя элемента i вычеркиванием элементов j определителя i-й строки и j-го столбца -го порядка алгебраического дополнения элемента определителя -го Алгебраическим дополнением элемента называется ( i+ j) минор этого элемента, умноженный на ( ) : ( ) ( i+ j) порядка В соответствии со свойствами определитель порядка может быть представлен в виде разложения этого определителя по элементам i-й строки: i+ i+ i+ det i j i j i i + i i + L+ i i i ( ) i + i ( ) i + + i ( ) i j L То есть определитель квадратной ы А порядка равен сумме произведений элементов какой-либо i-й его строки на алгебраические дополнения этих элементов Аналогичным образом можно разложить этот же определитель по элементам любого его столбца Так для определителя третьего порядка формула разложения определителя по элементам второго столбца получится следующей: ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Определители второго порядка получаются, если вычеркнуть в определителе третьего порядка второй столбец и, соответственно, первую, потом вторую, потом третью строки Метод окаймляющих миноров нахождения ранга ы минора порядка k k Минором порядка k ы А называется любой определитель k-го порядка этой ы, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых её «к» столбцов и любых её «к» строк, i, s,, m, j, k,, sj ik sk, и т д ранга ы Рангом r ы А называется наибольший порядок r минора этой ы, отличного от нуля: r, k или М k, k r +, r +, (существует минор порядка r, не равный нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю или не существуют)

4 m m m нет Rg да да нет нет Rg Rg да эквивалентных Алгоритм приведения ы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называют эквивалентными Обозначают эквивалентность так: А В элементарных преобразований Элементарными преобразованиями ы называют ) транспонирование, ) перестановку строк, ) умножение строки на любое число и сложение с соответствующими элементами другой строки, 4) вычёркивание одинаковых и пропорциональных строк, кроме одной из них Теорема Элементарные преобразования не изменяют ранга ы Условимся называть рабочей строку, которая не изменяется на проводимом этапе элементарных преобразований Рабочая строка первая Получим нули в первом столбце на местах всех элементов первого столбца за исключением элемента в первой строке а Для этого умножим все элементы первой строки на такие числа, чтобы при сложении с элементами первого

5 столбца остальных строк получить нули в первом столбце, за исключением элемента первой строки а Если в системе, которую Вы решаете, коэффициент при х в первом уравнении не равен единице, поменяйте местами строки, записав первой ту, в которой коэффициент при неизвестном х равен единице Если при неизвестном х во всех уравнениях коэффициенты отличны от единицы, можно: ) умножить первую строку расширенной ы системы на число, противоположное тому, на месте которого Вы хотите получить ноль; а строку, в которой хотите получить ноль, умножьте на коэффициент при х в первой строке; ) сложите соответствующие элементы умноженной первой строки и умноженной другой строки 7 ( )( 7) () 4 Далее нужно получить нули во втором столбце ниже главной диагонали Рабочая строка вторая Получаем нули во втором столбце ниже элемента а Умножим третью строку на ( 4) и сложим с соответствующими элементами второй строки (Или можно было поменять местами вторую и третью строки, чтобы на главной диагонали оказалась единица (см ( ))) ( 4) 4 4 ; 4 ( 4) ( ) Rg Замечание Полученная в скобках а ( ) также эквивалентна исходной е А, то есть имеет тот же ранг, а системы уравнений, соответствующие этим ам, имеют одинаковые решения Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений (СЛУ) СЛУ Совокупность линейных алгебраических уравнений (все неизвестные входят в уравнения в первой степени и между собой не перемножаются) называется системой линейных уравнений решения СЛУ Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность значений неизвестных, при подстановке которой вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество совместной и несовместной СЛУ Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения

6 основной ы системы Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной ей системы расширенной ы системы Матрица, полученная из основной присоединением столбца свободных членов, называется расширенной ей системы Выучите формулировку теоремы Кронекера Капелли и ознакомьтесь с её доказательством (Беклемишев ДВ «Курс аналитической геометрии, гл ΙΙΙ, ) Теорема Кронекера Капелли Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной ы системы равен рангу расширенной ы этой системы ) Решение системы методом Гаусса Прямым ходом метода Гаусса систему приводят к ступенчатому виду, исключая последовательно неизвестные системы элементарными преобразованиями над строками расширенной ы О методе Гаусса можете дополнительно прочитать, например, в учебнике: Шнейдер ВЕ и др «Краткий курс высшей математики» Т, гл II, 7 Элементарными преобразованиями у А привели к ступенчатому виду: Матрица примера Матрица моей задачи Этой е соответствует система уравнений: x + x 4x Пример x + x 7x,, 7 Система, которую я решаю Обратным ходом метода Гаусса находят неизвестные x, x, x Обратный ход метода Гаусса заключается в следующем: из последнего уравнения находят x Подставив найденное значение x во второе уравнение, получают неизвестное x Подставив найденные значения неизвестных x и x в первое уравнение, находят неизвестное x Пример Система, которую я решаю x, 4x + x, x + x + x ) Решим систему методом Крамера Выучите формулировку теоремы Крамера

7 Квадратная система линейных уравнений имеет единственное решение Теорема Крамера тогда и только тогда, когда определитель основной ы этой системы не равен нулю В этом случае значения неизвестных находят по правилу Крамера Правило Крамера xi Неизвестное равно отношению определителя Δ i, в котором i й столбец основной ы системы заменен столбцом свободных членов, и Δ определителя основной ы системы Δ : x i i Δ Ознакомьтесь с доказательством теоремы Крамера (Шнейдер ВЕ и др «Краткий курс высшей математики» Т, гл II, ; Беклемишев ДВ «Курс аналитической геометрии, гл V, ) базисного минора и базисных неизвестных Любой, не равный нулю минор, имеющий порядок ранга основной и расширенной системы, называется базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор базисными неизвестными свободных неизвестных Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, называются свободными СОЛУ Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях этой системы равны нулю X матричная запись СОЛУ Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X, Ранги основной и расширенной системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга ы, поэтому по теореме Кронекера-Капели СОЛУ всегда совместна линейной зависимости (независимости) системы Система строк (столбцов, векторов, решений) x, x,, x называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равна нулю: λ x + λx + + λx, когда не все коэффициенты линейной комбинации λ, λ, λ нули, и называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулю: λ x + λx + + λx, когда все коэффициенты линейной комбинации λ, λ, λ нули ФСЧР СОЛУ Фундаментальной системой частных решений системы однородных линейных уравнений называется система линейно независимых частных решений, число решений в которой равно числу свободных неизвестных системы Если число неизвестных системы, r её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержать k r линейно независимых частных решений

8 Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной ы E порядка k r Замечание ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной ы А порядка k r, если det Схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений R(А) ранг основной ы системы; R(В) ранг расширенной ы системы; Начало М r базисный минор; число неизвестных Система совместна (имеет хотя бы одно решение) да R() R(B) нет Система несовместна (нет решений) R() R(B) r да Определённая система (имеет единственное решение) нет r < Неопределённая система (имеет бесконечное множество решений) Метод Гаусса Метод Крамера Матричный метод r r неизвестных базисные; k ( r) неизвестных свободные Перенести свободные неизвестные к свободным членам, выразить базисные неизвестные через свободные, получить общее решение Проверка Приравнять свободные неизвестные произвольным постоянным числам, получить частное решение Для системы однородных линейных уравнений (все свободные члены равны нулю) получить фундаментальную систему ( r) частных решений, последовательно приравняв свободные неизвестные элементам строк единичной ы Конец

9 Свойства и определителей Действие Матрица m Определитель порядка (таблица из m строк и Δ столбцов) (число для ы ) Транспонирование T Rg ( ) Rg( ) Δ не изменяется Перестановка двух строк Ранг не изменяется Δ меняет знак Умножение одной строки на Ранг не изменяется Δ изменяется в λ раз число λ Умножение всех строк на число λ Умножение одной строки на число λ и сложение с соответствующими элементами другой строки Получение нулевых и пропорциональных строк изменяется в λ раз ( умножается на число λ ) Ранг не изменяется Ранг не изменяется при вычёркивании всех нулевых и пропорциональных строк, кроме одной из ненулевых Матричный метод решения СЛУ ( Δ умножается на число λ ) Δ изменяется в λ раз ( Δ умножается на число λ ) Δ не изменяется Δ обратной ы Теорема существования обратной ы Обратной для ы называется такая а, что их произведение равно единичной е: E Для любой квадратной ы, определитель которой не равен нулю (, существует единственная обратная а det ) невырожденной и вырожденной Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной Чтобы найти обратную для у, можно действовать следующим образом: Вычислить определитель ы ( det ) Если det, то а не имеет обратной Составить союзную у из алгебраических дополнений соответствующих элементов ы : ( ) Транспонировать союзную у, то есть заменить строки на столбцы с такими же номерами: ( ) T 4 Разделить транспонированную союзную у на определитель ы : ( ) T ( ) T det det

10 Например det Вспомните, что ( ) j i + ) ( ( ) 4 T Проверим, правильно ли найдена обратная а: ) ( ) ( E Рассмотрим, как применяется обратная а для решения СЛУ Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде, применяя умножение ( ),,, x x x X B B X Если умножить обе части этого матричного уравнения на обратную у слева: ; B X B; EX B, X то а столбец X будет представлять собой решение системы линейных уравнений, которое можно найти умножением ы, обратной основной е системы на у столбец Такой метод решения квадратной системы линейных уравнений называется матричным B Не забудьте сделать проверки после того, как найдете обратную у и решите СЛУ Примеры решения СЛУ средствами системы thcd