СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Назаренко, О.А. Шовкопляс, О.А. Литвиненко МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ЧАСТЬ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ для студентов экономических и математических специальностей СУМЫ ИЗД-ВО СУМГУ 004

2 ЗАДАЧА (ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДАННЫХ ВЫБОРКИ В СЛУЧАЕ ВЫБОРОК БОЛЬШОГО ОБЪЕМА) Проведена выборка объёма = 00. Построить интервальный вариационный ряд распределения. Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду: среднюю ( ), центральные моменты ( µ k, k =, 4 ), дисперсию ( s ), среднее квадратическое отклонение (s ), коэффициенты асимметрии ( A в ) и эксцесса ( Е в ), медиану (M ), моду ( m ), коэффициент вариации ( V в ). 3 Построить гистограмму, полигон и кумуляту. 4 Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов A в и Е в. 5 Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно. 6 Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона χ. Методику оценивания параметров и проверку гипотезы о нормальном распределении данных выборки в случае выборок большого объема покажем на примере.

3 Пример В таблице. приведена прибавка массы 00 цыплят (г) на птицеферме района за контрольный период. Таблица. Исходная таблица рассматриваемого признака Для удобства преобразуем таблицу в распределение частот прироста в возрастающем порядке. Таблица. Вариационный ряд распределения

4 Построение интервального вариационного ряда распределения Построение интервального вариационного ряда распределения включает следующие этапы. Определение среди имеющихся наблюдений (табл..) минимального m и максимального ma значений признака. В данном примере имеем = m 80 и = 99. ma Определение размаха варьирования признака. Находим R = ma m = 9. 3 Размах варьирования R разбиваем на k частичных интервалов, число которых выбирается из условия k. Длина R частичного интервала h. Принимаем, k = 0, h =. k 4 Определение граничных значений интервалов ( a b ). Так как m и ma являются случайными величинами, рекомендуется отступить влево от нижнего предела варьирования ( m ). За нижнюю границу первого интервала предлагается принимать h величину, равную a = m. Верхняя граница первого интервала b = a + h. Тогда, если b - верхняя граница -го интервала (причём a + = b ), то b = a + h, b 3 = a 3 + h и т.д. В примере граничные значения составят: a = 80 = 79, b = 79 + = 8; a = 8, b = 8 + = 83 и т.д. Границы последовательных интервалов записывают в столбце таблицы.3. 5 Группировка результатов наблюдений. Так как граничные значения признака могут совпадать с границами интервалов, то условимся в каждый интервал включать варианты, большие, чем нижняя граница интервала ( > a ), и меньшие или равные верхней границе ( b ).

5 В результате получим интервальный статистический ряд распределения частот (табл..3, столбцы, ). Таблица.3 Интервальный ряд распределения прибавки массы цыплят Интервалы Частота Накопленная частота H a b Вычисление выборочных характеристик распределения Для вычисления средней, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса рекомендуется следующий порядок вычислений. Заменяем интервальный ряд дискретным, для чего все значения признака в пределах интервала приравниваем к его срединному значению, и считаем, что частота относится к середине a + b интервала. Значения середин интервалов равны =. Занесём их в табл..4. Здесь =. Пользуясь таблицей.4, вычислим среднюю выборки. Имеем, =. В нашем примере = = 89, 8 г

6 Таблица.4 Вспомогательная таблица для вычисления выборочных характеристик ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ,4 88, -83, , ,8 365,04-847,30 09, ,6 35,48-365,780 79, ,4 5,5-438, , ,6 7,8-8,304 30, ,0 0,40 0,080 0, ,8 9,96 0,3 445, ,8 58,76 666,79 800, ,6 499,7 3098,64 909, ,6 0,7 654, , ,0 08,00-98, ,000 µ = 0,0 µ = 0,8 µ 3 = 9,84 µ 4 = 957,9 Выборочный центральный момент k -го порядка равен k ( ) µ k =. Выборочная дисперсия s равна центральному моменту второго порядка, s = 0, 8, а выборочное среднее квадратическое отклонение s = s = 4, 5 г. Выборочные коэффициенты асимметрии A в и эксцесса Е в определяются по формулам A в =, E = 4 3 µ 3 µ 3 в. Имеем 4 s s 9,84 957,9 А в = = 0,7, Е 3 0, в = =. 4 4,5 4,5 Медиана M значение признака l, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений ( = l ). При чётном числе наблюдений ( = l ) медианой M является средняя арифмети-

7 ческая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда, т.е. = l + + M l. В данном случае имеем M = = = 90. Если медиана принадлежит интервалу ( am, b M), точное значение её можно найти по следующей интерполяционной формуле: M = a H( me ) m + h, где m e e означает номер медианного me интервала, ( m ) номер интервала, предшествующего e медианному. Имеем, M = 89 + = 89, 8 г. 0 Мода m для совокупности наблюдений равна тому значению признака (табл..), которому соответствует наибольшая частота. У нас варианты 88 и 89 имеют наибольшую частоту ( = ). Это означает, что m = 88 или m = 89. Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле mm m 0 m0 m = am + h, m m m 0 m0 m0 m0 + где m 0 означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой), ( m 0 ) и ( m 0 +) номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов. В нашем примере m = , г Так как = 89, 8, m = 88, и M = 89, 8 мало отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

8 Коэффициент вариации служит для сравнения величин s рассеяния по отношению к выборочной средней: V в = 00%. В 4,5 данном случае имеем V в = 00% 5%. 89,8 3 Графическое изображение вариационных рядов Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения ( ) и характера рассеивания ( s и s ) вариационные ряды изображают графически. Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма - для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей) W =, накопленных относительных частот W и найдем плотность час- W тости отношение, заполнив таблицу.5. h Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте W данного -го интервала. Тогда W высота элементарного прямоугольника должна быть равна, h где в нашем примере h = (рис..) Следовательно, площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Из гистограммы можно получить полигон того же распределения, если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой (рис..). Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического рас- H

9 распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотетическом законе распределения. Таблица.5 Статистический ряд распределения прибавки массы цыплят (г) на птицеферме района за контрольный период Интервалы W a b W = W H h ,03 0,03 0, ,06 0,09 0, ,07 0,6 0, ,08 0,4 0, , 0,46 0, ,0 0,56 0, ,9 0,75 0, ,09 0,84 0, ,3 0,97 0, ,03,00 0,05 W = W /h 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 Гистограмма относительных частот интервального ряда распределения Прибавка массы, г Рис..

10 Полигон относительных частот интервального ряда распределения W /h 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, Прибавка массы, г Рис.. Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат - накопленные относительные частоты W H. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы (рис..3). W H, 0,8 0,6 0,4 0, Полигон накопленной относительной частоты Прибавка массы, г Рис..3

11 4 Вывод о форме ряда распределения В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным ( A в = 0, 7 ), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным ( E в = 0, 673 ). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Вывод о нормальном распределении исследуемого признака можно сделать, визуально анализируя гистограмму или кумуляту. Если через середины верхних сторон прямоугольников на гистограмме провести гладкую кривую, то в случае нормального распределения она должна напоминать плотность распределения нормального закона. Аналогом интегральной кривой распределения является кумулята. Если вид гистограммы (рис..) может вызвать сомнения относительно нормального распределения прибавки массы цыплят, то форма кумуляты (рис..3) напоминает кривую плотности распределения нормального закона. Это позволяет нам склониться в пользу гипотезы о нормальном распределении прибавки массы цыплят на данной птицеферме района за контрольный период. 5 Расчет теоретической нормальной кривой распределения Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам и s эмпирического ряда. T При расчете теоретических частот за оценку математического ожидания µ и среднего квадратического отклонения σ нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик и s, т.е. µ = = 89,8, σ = s = 4, 5. T Теоретические частоты находят по формуле = p, где объем выборки; p вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в -й интервал. Вероятность p определяется по формуле

12 p = p( a < < b ) = Ф( t ) Ф( t ), где Ф() t = e d π интегральная функция Лапласа, значения которой находятся из таб- 0 b a лицы (Приложение А) для t =, t =. s s Пронормируем X, т.е. перейдём к случайной величине X t =. Найдём интервалы ( t, t ). Для этого составим расчётную таблицу.6 (левый конец первого интервала примем рав- σ ным, а правый конец последнего интервала ). Таблица.6 Нормирование признака X a b , ,9560 -, ,50 -, ,0667-0, ,60-0, ,780 0, ,670 0, ,70, ,560, ,6000 Значения теоретических вероятностей и теоретических частот приведены в табл..7. Таблица.7 Теоретические вероятности и теоретические частоты рассматриваемого признака Т t t Ф ( t ) Ф ( t ) p p -,9560-0,5000-0,4747 0,053,53 3 -,9560 -,50-0,4747-0,4346 0,040 4,0 4 t t t

13 3 -,50 -,0667-0,4346-0,3560 0,0786 7, ,0667-0,60-0,3560-0,330 0,30,30 5-0,60-0,780-0,330-0,0700 0,630 6, ,780 0,670-0,0700 0,040 0,740 7, ,670 0,70 0,040 0,60 0,580 5, ,70,560 0,60 0,3760 0,40,40 9,560,6000 0,3760 0,445 0,069 6,9 7 0,6000 0,4448 0,5000 0,055 5,5 6, ,04 00 Построим на рис..4 теоретическую нормальную кривую f ( ) по рис... Для этого из середины частных интервалов восстановим перпендикуляры высотой W T T T h, где W = (табл..8). На рис..4 концы этих перпендикуляров отмечены точками. Полученные точки соединены плавной кривой. Теоретическая нормальная кривая и гистограмма относительных частот W /h 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, Прибавка массы, г Рис..4 Таблица.8 Расчёт теоретических относительных частот

14 Интервалы a b ,05 0,030 Сравнение теоретической нормальной кривой с кривой плотности распределения нормального закона наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределениями. 6 Проверка гипотезы о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона χ Если данные выборки подчиняются нормальному закону, k Т ( ) то величина χ расч = распределена по закону Пирсона, Т = кр α W = W = ,05 0, ,030 0, ,035 0, ,040 0, ,0 0, ,050 0, ,095 0, ,045 0, ,065 0,035 причём она имеет r = k 3 степеней свободы. Здесь - частоты Т с выборки, - теоретические частоты, вычисленные по нормальному закону, χ ( ; k) вычисляется по таблицам Пирсона при уровне значимости α и числе степеней свободы r. 6. Если среди частот есть такие, что 5, то проводят объединение интервалов так, чтобы суммарная частота была большей 5. T T

15 Таблица.9 Объединение интервалов * a b Пронормируем X, т.е. перейдём к случайной величине X t =. Найдём интервалы ( t, t ), учитывая, что σ µ = = 89,8, σ = s = 4, 5. Для этого составим расчётную табл..0 (левый конец первого интервала примем равным, а правый конец последнего интервала ). Таблица.0 Нормирование признака X a b t t , ,5 -, ,067-0, ,6-0, ,78 0, ,67 0, ,7, , Значения теоретических вероятностей и теоретических частот приведены в табл... Таблица. Теоретические вероятности и теоретические частоты

16 Т t t Ф ( t ) Ф ( t ) p p -,5-0,5000-0,4346 0,053 6,54 7 -,5 -,067-0,4346-0,3560 0,040 7, ,067-0,6-0,3560-0,330 0,0786,30 4-0,6-0,78-0,330-0,0700 0,30 6, ,78 0,67-0,0700 0,040 0,630 7, ,67 0,7 0,040 0,60 0,740 5, ,7,56 0,60 0,3760 0,580,40 8,56 0,3760 0,5000 0,40,40 3, , Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого: a) вычисляем расчётное значение критерия Пирсона. Два последние столбика нужны для контроля вычислений по формуле расч = χ. Т Таблица. Расчётная таблица для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона Т Т Т ( ) ( ) Т Т ,57 8, ,5 49 6, , , , , , , ,563 36, , , , , χ = 8, 78 08,7800 /. Это свидетельст- Контроль: = вует о правильности вычислений; расч 08,78 00 = 8,78 = χ расч Т

17 б) по таблице критических точек распределения χ, при уровне значимости α = 0, 05 и числе степеней свободы r = k 3 = 8 3 = 5 (k число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области χ (0,05; 5) =,. 6.5 Выводы. Поскольку расч χ кр χ <, то у нас нет оснований опровергать нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. кр

18 ЗАДАЧА (ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ И ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ В СЛУЧАЕ ВЫБОРОК МАЛОГО ОБЪЕМА) С целью сравнения качественных и количественных показателей двух однотипных производственных процессов A и B проведены выборки (,,, ) и (,,, ) объемов и соответственно. Для каждой выборки оценить математическое ожидание a и дисперсию σ путем: а) вычисления выборочных средних и, исправленных выборочных дисперсий s и s ; б) построения доверительных интервалов для математических ожиданий a и a у и дисперсий σ и σ с надежностью γ = 0,95. Допуская, что выборки (,,, ) и (,,, ) осуществлены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y с параметрами (a, σ ) и (a, σ ) соответственно, при уровне значимости α = 0,05: а) пользуясь критерием Фишера, проверить гипотезу σ = σ и установить, является ли один из производственных процессов эффективнее другого; б) пользуясь критерием Стьюдента, проверить гипотезу a = a у и установить, можно ли считать распределение между средними и случайным, или оно является существенным и связано с различием производственных процессов. 3 С помощью критерия согласия Фишера (для малых выборок) проверить гипотезы о нормальном распределении генеральных совокупностей X и Y. Методику оценивания неизвестных параметров и проверки статистических гипотез в случае выборок малого объема покажем на примере. Пример В табл.. приведены показатели производительности труда рабочего, изготавливающего на станке детали

19 до (режим работы A) и после (режим работы B) усовершенствования обработки деталей. Таблица. Производительности двух различных режимов работы Режим Количество деталей за смену работы А В Оценивание неизвестных математических ожиданий и дисперсий Точечной оценкой математического ожидания а генеральной совокупности является выборочная средняя. Выборочные средние и вычисляются по формулам: =, = j. (.) = j= Часто удобно пользоваться формулами = m + ( m ), = m + ( m ). = = В данном случае имеем = 38 + = 40,60, = 40 + = 4,33. 9 Несмещенной оценкой дисперсии σ генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия s. Значения s и s будем находить по формулам: s s ( ) =, = ( j ). (.) Поскольку при уменьшении всех данных выборки на одно и то же число значение дисперсии не изменяется, то уменьшая дан-

20 ные первой выборки на 38, а второй выборки на 40, находим s = ( ,60 ) = 3,60, 9 s = ( ,33 ) =, Выборочное среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из соответствующей выборочной дисперсии. Поэтому s 3,600 =,897, s =,875 =,369. = Для нахождения доверительного интервала математического ожидания а генеральной совокупности необходимо представить а в виде a = a ˆ ± δ, (.3) где â точечная оценка а (среднее выборки), δ точность оценки. Если выборка малого объема, то точность оценки δ определяется формулой s δ = t. (.4) α Здесь s выборочное среднее квадратическое отклонение, t квантиль распределения Стьюдента (Приложение В), вычисленный при уровне значимости α = γ и k = степеней свободы. Для старого режима работы А имеем = 40,60, s =,897, = 0,,897 t =,6 ( α = 0,05, k = 9), =,6 0 Для нового режима работы В = 4,33, s =,369, = 9, 0,975 δ =,35.,369 t0,975 =,306 ( α = 0,05, k = 8), δ =,306 =,05. 9 Следовательно, с надежностью γ = 0,95 a 40,60 ±,35, a = 4,33 ±,05, = α

21 т.е. доверительные интервалы для неизвестных математических ожиданий имеют вид a 39,5; 4,95, a 4,8; 43,38. [ ] [ ] Это означает, что с надежностью 95% при старом режиме обработки деталей рабочий мог изготавливать 40 или 4 деталей за смену. При новом режиме обработки деталей с надежностью 95% он может изготавливать уже 4 или 43 деталей за смену. Видим, что произошло качественное изменение производительности труда. Найдем теперь доверительные интервалы для генеральных дисперсий σ и σ. Для дисперсии σ, генеральной совокупно- сти, доверительный интервал имеет вид ( ) s ( ) s σ. (.5) χ α χ α Здесь объем выборки, s оценка дисперсии σ (исправленная выборочная дисперсия), χ α и χ α квантили распределения Пирсона (Приложение Г), вычисленные при уровне значимости α и числе степеней свободы k =. Для старого режима работы А = 0, s = 3,600, χ = 6,9, χ = 3,33 ( α = 0,05, k = 9), 0,95 9 3, ,600 σ, т. е.,9 σ 6,9 3,33 Для нового режима работы В = 9, s =,369, χ = 5,5, χ 0,95 9,37,,38 σ 3,. 8,369 8,369 σ, т. е. 0,7 σ 4,0, 0,84 σ,00. 5,5,37 Как видим, доверительные интервалы для генеральных дисперсий σ и σ пересекаются. Поэтому, с надежностью 95%, 0,05 0,05 =,73 ( α = 0,05, k = 8), у нас нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий ( σ = σ ). Это означает, что усовершенствование обработки деталей не приводит к повышению эффективности обработки.

22 Проверка статистических гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий Эффективность производственного процесса зависит от порождаемой им дисперсии, характеризующей разброс в данных. Таким образом, для определения эффективности нового режима работы, связанного с усовершенствованием обработки деталей, необходимо сравнить генеральные дисперсии σ и σ по данным выборок производительности труда. При сравнении двух дисперсий σ и σ выдвигают нулевую гипотезу Н 0 : σ = σ, при конкурирующей Н : σ σ. Если, по смыслу задачи, большей выборочной дисперсии ( s > s ) заведомо не может соответствовать меньшая генеральная дисперсия, т.е. неравенство σ < σ заведомо невозможно, то конкурирующая гипотеза приобретает вид Н : σ > σ. В этом случае для проверки альтернативной гипотезы Н используется односторонний критерий Фишера s > F ( ) кр s > s. (.6) s Здесь F кр критическое значение распределения Фишера (Приложение Д), вычисленное при уровне значимости α и числах степеней свободы k = и k =. Если указанное неравенство выполняется, мы склоняемся в пользу гипотезы Н : σ > σ, в противном случае, у нас нет основания отвергнуть нулевую гипотезу Н 0 : σ = σ. s 3,600 В данном случае s = 3,600, s =,369, = =, 630. s,369 Из Приложения Д при α = 0,05, k = 9 и k = 8 находим F кр = 3,39. Так как,630 < 3,39, то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу и считаем равными генеральные дисперсии σ и σ. Это означает, что усовершенствование обработки деталей, в данном случае, не является эффективным.

23 При сравнении двух математических ожиданий a и a у выдвигают нулевую гипотезу Н 0 : a = a у, при конкурирующей гипотезе Н : a a у. Методика проверки альтернативной гипотезы Н зависит от соотношения генеральных дисперсий σ и σ. Ранее при сравнении двух дисперсий σ и σ нами было установлено, что σ = σ = σ. В этом случае оценкой дисперсии σ является средневзвешенная выборочная дисперсия ( ) ( ) s + s 9 3, ,369 σˆ = = =, Если заранее известно, что большему выборочному среднему ( < ), не может соответствовать меньшее математическое ожидание (a у a ), то альтернативная гипотеза принимает вид Н : a у > a. В этом случае для проверки альтернативной гипотезы Н используется односторонний критерий Стьюдента > + σˆ tкр. (.7) Здесь t кр критическое значение распределения Стьюдента (Приложение В), вычисленное при уровне значимости α и числе степеней свободы k = +. Если указанное неравенство выполняется, то гипотеза Н : a у > a верна, в противном случае мы признаем справедливость нулевой гипотезы Н 0 : a = a у. В данном случае =4,33 40,60=,73. Из Приложения В при α = 0,05 и k = 7 находим t кр =,, тогда + σ ˆ t = +,55, =,55 кр. 0 9 Так как, 55 <,73, то мы склоняемся в пользу альтернативной гипотезы Н : a у > a. Следовательно, расхождение между выборочными средними и неслучайно, при 5% уровне значимости оно является существенным и приводит к значимому повышению производительности труда после усовершенствования обработки деталей.

24 Отметим, что если при сравнении двух дисперсий σ и σ было установлено, что σ > σ ( s > s ), то для проверки гипотезы Н : a у > a следует использовать односторонний критерий Стьюдента вида νt + ν t >, (.8) ν + ν s s где ν =, ν =, t и t квантили распределения Стьюдента (Приложение В), вычисленные при уровне значимости α и числах степеней свободы k = и k = соответственно. 3 Проверка гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности в случае выборки малого объема В основе критериев согласия, с помощью которых проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности лежит сравнение асимметрии и эксцесса нормального закона с их оценками, полученными по данным выборки. Известно, что в случае нормального распределения генеральной совокупности Х асимметрия и эксцесс равны нулю, а соответствующие выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса равны µ 3 µ 4 A в =, E = 3, 3/ в (.9) µ µ где µ k центральный момент выборки порядка k, вычисляемый по формуле k µ k = ( ). (.0) При небольшом объеме выборки Фишер рекомендует в качестве оценок асимметрии А и Е рассматривать величины

25 µ A = µ 3 3 / ( ), ( ) ( )( + ) µ 4 E = ( )( 3) µ 3. + (.) Очевидно, при небольших значениях оценки Â и Ê будут заметно отличаться от выборочных А в и Е в. Оказывается, что в случае нормального распределения оценки Â и Ê имеют с большой степенью точности нормальные выборочные распределения, причем их математические ожидания равны нулю, а дисперсии определяются выражениями 6( ) 4( ) σ ˆ =, σ ˆ =. A ( + 3)( + )( ) E (.) ( + 5)( + 3)( )( 3) Таким образом, задача заключается в ответе на вопрос: значимо ли оценки Â и Ê отличаются от своих математических ожиданий, т. е. от нуля? Фишер предлагает пользоваться следующим приближенным критерием согласия: A σ, E σ. (.3) A Для вычисления оценок A и Ê асимметрии А и эксцесса Е воспользуемся данными двух выборок объемов = 0 и = 9. Вспомогательные вычисления выборочных центральных моментов приведены в табл.. и табл..3. Таблица. Вычисление центральных моментов первой выборки 3 4 ( ) ( ) ( ) 4,4,96,744 3,846 43,4 5,76 3,84 33,776 38,6 6,76 7,576 45, ,6 0,36 0,6 0,96 E

26 43,4 5,76 3,84 33,776 38,6 6,76 7,576 45, ,6 0,36 0,6 0,96 4 0,4 0,6 0,064 0,056 39,6,56 4,096 6,5536 4,4,96,744 3,846 Σ 0 3,4 6,48 7,7 Средние µ = 0 µ = 3,4 µ 3 = 0,648 µ 4 =7,7 Таблица.3 Вычисление центральных моментов второй выборки 3 4 j ( j ) ( j ) ( j ) j 4 0,33 0,089 0, , ,67 0,4489 0, ,05 44,67,7889 4, , ,33 0,089 0, , ,67,7889 4, , ,67 0,4489 0, ,05 40,33 5,489, , ,33 0,089 0, ,0859 4,33,7689,3564 3,9007 Σ 0 4,000 5, , Средние µ = 0 µ =,56 µ 3 = 0,577 µ 4 = 5,3996 Aˆ = Используя данные табл.., для первой выборки получаем 0,648 3, = 0,3, σ Aˆ 64 ˆ 99 7,7 3 9 E = =,438, σ Eˆ 56 3, = = 0,47, σ Aˆ 3 8 = 0,687 ; = =,780, σ Eˆ Видим, что критерий согласия (.3) выполняется. =,334.

27 Аналогично по данным табл..3 для второй выборки находим Aˆ = 0,577, = 0,359, σ Aˆ 49 ˆ 80 5, E = = 0,345, σ Eˆ 4, = = 0,54, σ Aˆ 0 7 = 0,77 ; = =,959, σ Eˆ =,400. Здесь также критерий согласия (.3) выполняется. Таким образом, данные выборки согласуются с нормальным распределением генеральных совокупностей. Следовательно, проведенные ранее процедуры оценивания математических ожиданий и дисперсий, а также проверки статистических гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий двух генеральных совокупностей оправданы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для втузов.- -е изд., доп. - М.: Высш. шк., с. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - 9-е изд., стер. -М.: Высш. шк., с. 3 Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие для втузов. - -е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., с. 4 Назаренко А.М. Эконометрика: Учебное пособие. Сумы: Изд-во СумГУ, с.


ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Исходные данные Задана большая выборка, объем которой п 00..49 3.548 4.409 5.08 0.39.096 5.4 4.586 4.49.678 4.08 3.993 4.3 6.9 -.48 5.8 5.07 3.889.3 5.59 9.377.644

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

Расчетно-графическая работа

Расчетно-графическая работа Расчетно-графическая работа РГР на тему «Статистический анализ экспериментальных данных» Дана выборка объем генеральной совокупности. 1) Построить статистический ряд распределения и многоугольник распределения.

Подробнее

Полное исследование выборки

Полное исследование выборки Полное исследование выборки ЗАДАНИЕ. Требуется для решения: - Построить интервальный ряд распределения, для каждого интервала подсчитать локальные, а также накопленные частоты, построить вариационный ряд.

Подробнее

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ ПРИМЕР ОБРАБОТКИ ВЫБОРКИ Измерен характерный размер X деталей, обрабатываемых на некотором станке. Замерено 60 деталей. Данные замеров приведены в таблице. детали Размер детали Размер детали Размер 7,58

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические

Подробнее

Подбор подходящего теоретического распределения

Подбор подходящего теоретического распределения Лекция Подбор подходящего теоретического распределения При наличии числовых характеристик случайной величины (математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) РАССМОТРЕНО И СОГЛАСОВАНО на заседании кафедры «Бухгалтерский учет и экономика» 11 от 30.06.2017

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Обработка и анализ результатов моделирования Известно, моделирование проводится для определения тех или иных характеристик системы (например, качества системы обнаружения полезного сигнала в помехах, измерения

Подробнее

6. Элементы математической статистики.

6. Элементы математической статистики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «итебский государственный технологический университет» 6. Элементы математической статистики. Кафедра теоретической и прикладной математики. 90 80 70 60

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее

Задачи по математической статистике

Задачи по математической статистике Задачи по математической статистике Задача. По данным распределения возрастного состава участников революционного движения в России 70-х годов 9-го века была построена следующая таблица Возраст 7-3 3-9

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ Е. В. Морозова 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма);

ü описание явлений упорядочивание статистического материала, представление в удобном для экспериментатора виде (таблица, график, диаграмма); Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. При этом решаются следующие задачи: ü описание явлений

Подробнее

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд

Глоссарий. Вариационный ряд группированный статистический ряд Глоссарий Вариационный ряд группированный статистический ряд Вариация - колеблемость, многообразие, изменчивость значения признака у единиц совокупности. Вероятность численная мера объективной возможности

Подробнее

Математическая статистика Вариант 10

Математическая статистика Вариант 10 Математическая статистика Вариант Задача. Служба маркетинга оценивает дилеров фирмы по объему продаж. Сведения об объеме ежедневных продаж товара (в тыс. ден. ед.) некоторым дилером за последние дней приведены

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания

ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@lst.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные:

Оцените математическое ожидание М x и моду Мо. Задача 3 По данным выборки объема 100 получены следующие данные: Билет Объем выборки равен 60. определить значение 5 и моду Мо. 5 6 8? Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка: a. (5; 0); б. (0; 5); в. (; 7); г. (; 0). Получены

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 01.03.02

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 02.03.01

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 МГАПИ Типовой расчет по высшей математике Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 3 автоматических станках. Вероятность того, что в течение часа станки будут

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

Расчетно-графическая работа. Математическая статистика

Расчетно-графическая работа. Математическая статистика Расчетно-графическая работа Математическая статистика Выборки сделаны из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону. Для заданной статистической совокупности: - составить интервальный

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Рекомендуется выполнять в Excel или в MathCad.

Рекомендуется выполнять в Excel или в MathCad. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (СТАТИСТИКА) Задача 1. Путем опроса получены данные (n=80): Выполнить задания: а) получить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение выборки; б) построить полигон

Подробнее

4 Проверка параметрических гипотез

4 Проверка параметрических гипотез 4 Проверка параметрических гипотез Статистическая гипотеза Параметрическая гипотеза 3 Критерии проверки статистических гипотез Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

Контрольное задание

Контрольное задание http://wwwzachetru/ Контрольное задание Задача Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда ( 0): 3 6 7 0 m 8 0 3 3 Решение 3 6 7 0 m 8 0 3 3 m Полигон относительных частот: 0073

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Назаренко, О.А. Шовкопляс МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1 Министерство образования и науки Республики Казахстан ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д.Серикбаева В. Сидоренко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания по выполнению

Подробнее

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи

ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Основные определения и идеи ТЕМА 11. Статистическая проверка гипотез Цель контента темы 11 изложить основные критерии проверки статистических гипотез. Задачи контента темы 11: Сформулировать задачу проверки статистических гипотез.

Подробнее

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета 1. Общие положения Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

1 Цель и задачи учебной дисциплины. 2 Место учебной дисциплины в структуре ООП

1 Цель и задачи учебной дисциплины. 2 Место учебной дисциплины в структуре ООП 1 Цель и задачи учебной дисциплины Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные явления и процессы. Математическая статистика раздел математики, изучающий

Подробнее

Лекция. Элементы математической статистики.

Лекция. Элементы математической статистики. Лекция. Элементы математической статистики. План. 1. Статистика как наука. Этапы статистической работы.. I-й этап статистической работы. Генеральная совокупность и выборка. 3. I I-ой этап статистической

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных

Подробнее

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА Федеральное агентство связи Государственное федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ ЭЛЕКТРОННАЯ

Подробнее

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение "Оренбургский государственный университет" Кафедра математических методов и моделей в экономике А.Г. РЕННЕР, О.А.

Подробнее

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ю. С. Боярович, Ю. Е. Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Ю С Боярович, Ю Е Дудовская МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Практическое руководство

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 1

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Методическое пособие. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 3» В. И. Ерошевская Е. Л. Ерошевская Л. П. Минченкова МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

Лекция 3. Показатели формы распределения случайной величины

Лекция 3. Показатели формы распределения случайной величины Лекция 3. Показатели формы распределения случайной величины Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика. Математическая статистика. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных результатах наблюдений. Первая задача математической статистики

Подробнее

«Оптимизация и математические методы принятия решений»

«Оптимизация и математические методы принятия решений» «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 4 Методы математической статистики в задачах принятия решений Введение С О Д Е Р Ж А

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Санкт-Петербургский государственный морской технический университет (СПбГМТУ) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ по математической статистике кафедра математики СанктПетербург 0 Оглавление

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате испытания. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Одной из важнейших задач биологических и медицинских исследований является получение данных о результатах действия внешних факторов на живой объект. Для решения

Подробнее

Биологическая статистика

Биологическая статистика Биологическая статистика Математическая статистика-это раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования данных для научных и практических выводов. Генеральная

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где

Для проверки H 0 извлекается выборка объема n: x 1, x 2,..., x n и в качестве критерия строится статистика =, (3.13) где 3.5. Примеры проверки гипотез Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к конкретным задачам проверки гипотез о математическом ожидании, дисперсии, коэффициенте корреляции, часто встречающимся

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика Математическая статистика 1 Выборка X x, x,, x Опр.1 Пусть одномерная с.в., а 1 значения с.в.,полученные в результате независимых испытаний. Будем называть полученные значения выборкой из генеральной совокупности

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Равномерное распределение.

Равномерное распределение. Равномерное распределение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид, если xa ; b f x b a 0, если xa ; b Математическое ожидание M X

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe :

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe : 1 ЗАДАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕРИАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ (ПРОВЕРКА СОГЛАСИЯ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С НОРМАЛЬНЫМ) Исходные данныe : 0.30-1.4 0.59-1.79 0.4 0.7 1.73 0.45 0.34-0.09 1.09 -.04

Подробнее

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Раздел 1. Случайные события 3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Конспект лекций (сокращенный) по теории вероятностей и математической статистике ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Раздел 1. Случайные события Лекция 1 1. Основные понятия

Подробнее

где i = 1,2,,k; y1 xmin Номера интервалов и данные расчета их границ занести в Таблицу 1 (графы 1 и 2).

где i = 1,2,,k; y1 xmin Номера интервалов и данные расчета их границ занести в Таблицу 1 (графы 1 и 2). Методические указания к выполнению задания. Преобразование исходной выборки в группированный статистический ряд выполняется в следующем порядке: а). Определить размах выборки R, где m - максимальный, а

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это распределение числа успехов наступлений определенного события в серии из n испытаний при условии, что для каждого из n испытаний вероятность успеха имеет одно и то же значение

Подробнее

8) для непрерывной случайной величины построить график функции плотности вероятности и сравнить его с гистограммой, для дискретной

8) для непрерывной случайной величины построить график функции плотности вероятности и сравнить его с гистограммой, для дискретной Введение Статистические методы обработки результатов эксперимента используются в курсах численных методов специальными кафедрами без необходимого теоретического обоснования Это вызывает определенные затруднения

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИКА. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основной принцип проверки ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дисперсия известна дисперсия неизвестна t распределение распределение

Подробнее

n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения

n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения Лекция 3. Статистические методы обработки информации в нефтегазовом деле. Составитель асс. каф. БНГС СамГТУ, магистр Никитин В.И... Вероятность. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятность - числовая характеристика

Подробнее

σ которого известен, σ = σ и проверим, можно ли считать

σ которого известен, σ = σ и проверим, можно ли считать .8. Постановка задачи проверки статистических гипотез Пример _кз Задачу проверки статистических гипотез рассмотрим на примере. Пример _кз (двусторонний критерий). В результате многократных измерений некоторого

Подробнее

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез

Лабораторная работа 4 Применения MATHCAD для решения задач по проверке статистических гипотез МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность

Лекция 18. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки. Точность. Надежность Лекция 18 Интервальные оценки параметров распределения Интервальные оценки Точность Надежность Точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров Достаточно часто это происходит в случае

Подробнее

Лекция 20. Проверка статистических гипотез

Лекция 20. Проверка статистических гипотез Лекция. Проверка статистических гипотез Понятие о статистических гипотезах и методах их проверки При решении многих задач возникает необходимость оценки того, подчиняется ли распределение генеральной совокупности

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Основные задачи математической статистики: 1. Разработка методологии сбора и группировки статистического материала, полученного в результате наблюдений за случайными

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

Подробнее

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость 1. Цель и задачи учебной дисциплины: Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» являются: формирование математической культуры студентов, фундаментальная

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

ЭЛЕМЕНТЫ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. План. 1. Предмет биологической статистики. Этапы статистической работы.. Первый этап статистической работы. a) Генеральная совокупность и выборка. b) Способы формирования

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина.

указывать, непрерывной или дискретной является исследуемая случайная величина. Раздел. Основы статистического анализа данных.. Определение случайной выборки Пусть исследуемая случайная величина, F ( x ) = P( < x) ее функция распределения, вообще говоря, неизвестная. В некоторых случаях

Подробнее

Вероятностные методы анализа и моделирования систем

Вероятностные методы анализа и моделирования систем Вероятностные методы анализа и моделирования систем Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях Под событием понимается всякий факт, который может произойти в данных условиях. Теория

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лабораторная работа по статистике: Исследование выборки туристических фирм

Лабораторная работа по статистике: Исследование выборки туристических фирм Лабораторная работа по статистике: Исследование выборки туристически фирм Имеются следующие данные о распределении турфирм города по размеру затрат на рекламу: Затраты на рекламу, уе Число турфирм 6 8

Подробнее

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика

Методические указания для проведения практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для направления Экономика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее