МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа, контрольная работа и демонстрационный вариант по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа, контрольная работа и демонстрационный вариант по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет геодезии и картографии» Факультет дистанционных форм обучения (заочное отделение) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа, контрольная работа и демонстрационный вариант по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Для студентов 2 курса всех специальностей МОСКВА 2017

2 Составители: Маркарян Е.Г. профессор кафедры высшей математики, Улымжиев М.Д.- доцент кафедры высшей математики, МИИГАиК. Методические указания, программа, контрольная работа и решение демонстрационного варианта по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». М.: МИИГАиК, с. Контрольная работа написана в соответствии с утвержденной программой курса «Теория вероятностей и математическая статистика», рекомендована кафедрой высшей математики, утверждена к изданию методической комиссией факультета дистанционных форм обучения. Методические указания содержат программу курса, рекомендации по выполнению контрольной работы и задания к ней. Библиография 6 названий. Рецензенты: Баюк О.А., доцент кафедры теории вероятности и математической статистики Финансового университета при правительстве РФ Сугаипова Л.С. - доцент кафедры высшей математики, МИИГАиК Московский государственный университет геодезии и картографии

3 СОДЕРЖАНИЕ Содержание..3 Введение Программа курса. 5 Литература Вопросы по теме «Теория вероятностей и математическая статистика....7 Контрольная работа....9 Решение демонстрационного варианта контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике 23 3

4 Введение Настоящая контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике предназначена для студентов факультета дистанционных форм обучения МИИГАиК 2 курса всех специальностей. Изучаемый материал по теории вероятностей и математической статистике для студентов 2 курса устанавливается строго в соответствии с программой: классификация событий, элементы комбинаторики, теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности, повторные испытания, случайные величины и их законы распределения, двумерные случайные величины, закон больших чисел, основы выборочного метода, проверка статистических гипотез. Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно. При выполнении контрольной работы необходимо: работу выполнять в отдельной тетради (не более 12 листов), оставляя широкие поля для замечаний рецензента; на обложке тетради писать разборчиво фамилию, инициалы, шифр и название контрольной работы; условия задачи выписывать полностью; решения задач и объяснения излагать четко в порядке очередности. В контрольной работе студент должен решить 9 задач, номера которых оканчиваются на ту же цифру, на которую оканчивается номер учебного шифра студента (например, учебный шифр 62п-114, тогда студент с этим шифром должен решать задачи 1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4, 6.4, 7.4, 8.4, 9.4.). В конце работы необходимо поставить дату её выполнения, свою подпись и отправить в деканат для проверки. Если в работе нет ошибок, то она возвращается студенту с рецензией «работа допущена к зачёту». Если в работе найдены ошибки, то она возвращается студенту с рецензией «работа не допускается к зачету». В этом случае студент должен исправить отмеченные ошибки. Все исправления надо выполнять в той же тетради после рецензии преподавателя. Исправления должны быть отправлены на повторную рецензию. В случае незначительных ошибок рецензия может быть такой: «работа допущена к зачёту после исправлений». В этом случае исправления выполняются в той же тетради, но не отправляются на повторную рецензию. Обращаем Ваше внимание на тот факт, что впервые в Методические указания включены демонстрационные варианты с подробными решениями тех задач, которые составляют основу курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Рекомендуем разобрать эти задачи прежде, чем приступать к решению соответствующей контрольной работы. 4

5 Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» Раздел 1. Теория вероятностей. Глава 1. Случайные события. Основные формулы комбинаторики. Классификация случайных событий. Непосредственный подсчет вероятностей. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Глава 2. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Глава 3. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Закон равномерного распределения и его числовые характеристики. Нормальный закон распределения, правило «трех сигм». Показательный закон распределения и функция надежности. Функция случайного аргумента и ее числовые характеристики. Глава 4. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова. Глава 5. Двумерная случайная величина. Двумерная дискретная случайная величина и ее функция распределения. Непрерывная двумерная случайная величина и ее законы задания. Условные законы распределения двумерной случайной величины. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Линейная корреляция. 5

6 Раздел 2. Математическая статистика Глава 1. Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Объем совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Виды отбора. Вариационный ряд. Статистический ряд распределения. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот. Гистограмма частот. Глава 2. Числовые характеристики выборки. Выборочная средняя. Выборочная и исправленная дисперсии. Выборочное и исправленное среднее квадратическое отклонение. Выборочные начальные и центральные моменты. Выборочные асимметрия и эксцесс. Мода, медиана, размах варьирования, коэффициент вариации. Глава 3. Статистические оценки параметров распределения. Понятие статистической оценки параметров генеральной совокупности. Несмещенные, состоятельные, эффективные статистические оценки. Несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии. Точечные и интервальные статистические оценки. Доверительный интервал, доверительная вероятность, точность оценки. Нахождение доверительного интервала для генеральной средней нормальной генеральной совокупности при известном. Метод наибольшего правдоподобия, метод моментов. Глава 4. Элементы теории корреляции. Понятия функциональной, статистической и корреляционной зависимости случайных величин. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии. Выборочное уравнение прямой линии регрессии. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции, его вычисление. Глава 5. Элементы теории проверки статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Понятие статистического критерия. Критическая область и критические точки статистического критерия. Понятие критерия согласия. Критерий Пирсона. Литература 1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003, Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, ,

7 3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам М.: Айрис-пресс, Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для ВУЗов. М.: Высшая школа, 1998, Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Электронный ресурс]: учебное пособие/ А.И. Кибзун [и др.]. Электрон. текстовые данные. М.: ФИЗМАТЛИТ, c. Режим доступа: ЭБС «IPRbooks», по паролю 6.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Пугачев В.С. Электрон. текстовые данные. М.: ФИЗМАТЛИТ, c. Режим доступа: ЭБС «IPRbooks», по паролю Вопросы по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» 1. Проведите классификацию случайных событий. 2. Дайте определение вероятности случайного события. 3. Сформулируйте теорему о сложении вероятностей. 4. Сформулируйте теорему о произведении вероятностей. 5. Выведите формулу полной вероятности и формулу Бейеса. 6. Дайте определение схемы Бернулли. 7. Сформулируйте условия применения теоремы Муавра-Лапласа и формулы Пуассона в повторных испытаниях. 8. Дайте определение дискретной случайной величины и перечислите способы ее задания. 9. Дайте определение непрерывной случайной величины и перечислите способы ее задания. 10. Дайте определение законов Бернулли и Пуассона. 11. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины как дискретной, так и непрерывной? 12. Изложите суть равномерного закона распределения и его числовые характеристики. 13. Изложите суть показательного закона распределения и его числовые характеристики. 14. Укажите связь нормальной функции и функции Лапласа. 7

8 15. Как вычисляется вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на симметричный интервал? 16. Изложите суть правила «трех сигм». 17. Как находятся числовые характеристики функции случайного аргумента? 18. Как задается дискретная двумерная случайная величина и определяются законы распределения составляющих? 19. Как задается непрерывная двумерная случайная величина и определяются законы распределения составляющих? 20. Сформулируйте свойства коэффициента корреляции. Какую информацию о характере связи составляющих и дает коэффициент корреляции? 21. В чем состоит суть линейной корреляции? 22. В чем заключается выборочный метод? Что называют генеральной и выборочной совокупностями? 23. Что называют статистическим рядом распределения? 24. Дайте определение эмпирической функции распределения. 25. Дайте определение генеральной и выборочной средней, генеральной и выборочной дисперсия, исправленной дисперсии. 26. Что называют точечной оценкой параметра генеральной совокупности? Дайте определение несмещенной, состоятельной и эффективной статистических оценок. 27. Что называется интервальной статистической оценкой параметра генеральной совокупности? 28. Что называется корреляционной таблицей? 29. Как вычисляется выборочный коэффициент корреляции? 30. Приведите пример статистической гипотезы. 31. Что называют ошибками первого и второго рода? 32. Для чего служит критерий Пирсона? 8

9 Контрольная работа. Теория вероятностей и математическая статистика Литература:[ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ]. Задачи Задача Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,6, для третьего 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле в мишень попадает а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок; в) не менее двух стрелков Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,3. Произведено три независимых испытания. Найти вероятность того, что а) только в одном из них допущенная ошибка превышает заданную точность; б) хотя бы в одном из них измерения будут произведены в пределах заданной точности; в) все три измерения проведены в пределах заданной точности На полке стоят 12 книг, среди которых 4 по математике. Наудачу берут 4 книги. Какова вероятность, что среди отобранных: а) все книги по математике; б) хотя бы одна книга по математике; в) только одна книга по математике Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике равна 0,5, во втором 0,6, в третьем 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в двух справочниках; б) хотя бы в одном справочнике; в) только в одном справочнике Среди 10 лампочек 3 бракованные. Наудачу берут 3 лампочки. Найти вероятность того, что среди отобранных: а) две лампочки бракованные; б) хотя бы две лампочки стандартные; в) только одна лампочка стандартная Произведено 4 выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором 0,6, при третьем 0,7, при четвертом 0,75. Найти вероятность того, что будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание; в) не менее трех попаданий. 9

10 1.7. В урне 8 красных, 7 синих и 5 белых шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Какова вероятность, что: а) извлеченные шары одного цвета; б) извлеченные шары разных цветов; в) извлеченные шары белого цвета Студент должен сдать четыре экзамена. К сдаче первого экзамена студент готов на 80%, к сдаче второго на 75%, к сдаче третьего на 65%, к сдаче четвертого на 50%. Найти вероятность того, что студент сдаст: а) все четыре экзамена; б) хотя бы один экзамен; в) не менее двух экзаменов Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 9, во втором 8, в третьем 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что среди вынутых деталей: а) все три бракованных; б) только одна бракованная; в) хотя бы одна бракованная Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,2. Найти вероятность того, что: а) из четырех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие; в) из четырех проверенных изделий не менее трех изделий будут стандартными. Задачи В магазин поступили телевизоры с трех складов. С первого склада поступило 350 телевизоров, из них 6% бракованных, со второго 250 телевизоров, из них 5% бракованных, с третьего 400 телевизоров, из них 4% бракованных. Наудачу выбирается телевизор. 1. Найдите вероятность того, что он бракованный. 2. Найдите вероятность того, что бракованный телевизор поступил с третьего склада В магазин поступили телевизоры с трех складов. С первого склада поступило 500 телевизоров, из них 5% бракованных, со второго 350 телевизоров, из них 4% бракованных, с третьего 150 телевизоров, из них 2% бракованных. Наудачу выбирается телевизор. 1. Найдите вероятность того, что он доброкачественный. 2. Найдите вероятность того, что доброкачественный телевизор поступил с первого склада. 10

11 2.3. Партия ламп на 20% изготовлена первым заводом, на 50% вторым, на 30% третьим. Вероятность брака для первого завода равна 0,02, для второго 0,03, для третьего 0, Какова вероятность того, что взятая наугад лампа окажется доброкачественной? 2. Какова вероятность того, что доброкачественная лампа изготовлена первым заводом? 2.4. Партия ламп на 30% изготовлена первым заводом, на 25% вторым, на 45% третьим. Вероятность брака для первого завода равна 0,01, для второго 0,02, для третьего 0, Какова вероятность того, что взятая наугад лампа окажется бракованной? 2. Найдите вероятность того, что бракованная лампа изготовлена на втором заводе На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 25%, второй 35%, третьей 40%, причем процент брака для первой фабрики равен 1%, для второй 3%, для третьей 2%. 1. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется стандартным? 2. Найдите вероятность того, что стандартное изделие изготовлено на первой фабрике На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 30%, второй 50%, третьей 20%, причем процент брака для первой фабрики равен 2%, для второй 3%, для третьей 5%. 1. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется бракованным? 2. Найдите вероятность того, что бракованное изделие изготовлено второй фабрикой На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 35%, второй 15%, третьей 50%, причем процент брака для первой фабрики равен 1%, для второй 4%, для третьей 2%. 1. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется бракованным? 2. Найдите вероятность того, что бракованное изделие поступило с первой фабрики. 11

12 2.8. На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 20%, второй 35%, третьей 45%, причем процент брака для первой фабрики равен 3%, для второй 2%, для третьей 4%. 1. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется стандартным? 2. Найдите вероятность того, что стандартное изделие изготовлено на первой фабрике Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 10 белых и 8 черных шаров, во втором 20 белых и 16 черных шаров, в третьем 18 черных шаров и 2 белых шара. 1. Какова вероятность того, что из выбранного наугад ящика вынут белый шар? 2. Найдите вероятность того, что белый шар вынут из второго ящика Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 10 белых и 8 черных шаров, во втором 20 белых и 16 черных шаров, в третьем 18 черных шаров и 2 белых шара. 1. Какова вероятность того, что из выбранного наугад ящика вынут черный шар? 2. Найдите вероятность того, что черный шар вынут из третьего ящика. Задачи В магазин вошли покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна. Найти вероятность того, что 1) ровно покупателей сделают покупки; 2) менее человек сделают покупки; 3) хотя бы покупателей сделают покупки; 4) найти наивероятнейшее число покупателей, сделавших покупки. вариант n m p 0,4 0,3 0,3 0,2 0,4 Задачи Завод отправил на базу изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна. Найти вероятность того, что 1) равно изделий повреждено в пути; 12

13 2) более изделий повреждено в пути; 3) не будет повреждено ни одного изделия. Вариант n K p 0,03 0,04 0,06 0,02 0,03 Задачи В задаче 4, используя заданный закон распределения случайной величины и данную функцию = ( ), выполните следующие действия: 1. Найдите вероятность ( = )=. 2. Найдите функцию распределения ( ) и постройте ее график. 3. Найдите ряд распределения случайной величины. 4. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин и x p 0,1 0,2 P 3 0, = 2 3. x p P 1 0,3 0,2 0, =. x p 0,3 P 2 0,1 0, = 1. x p 0,2 0,3 0,1 P 4 = 2. 13

14 4.5. x p 0,2 P 2 0,4 0, = x p 0,2 P 2 0,3 0, = + 1. x p 0,1 0,3 P 3 0, = 3 2. x p 0,2 P 2 0,3 0, = 2. x p 0,3 0,1 P 3 0,2 = x p 0,1 0,2 0,3 P 4 = 3. Задачи Непрерывная случайная величина задана функцией распределения ( ): 14

15 0, < 2 ( )= + +, 2 3 1, > 3. 1) Найдите и из условия непрерывности функции ( ). 2) Найдите плотность распределения ( ) и математическое ожидание ( ). 3) Вычислите вероятность попадания случайной величины на интервал [1; 3] Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найдите: 1) функцию распределения ( ) и плотность распределения ( ); 2) математическое ожидание ( ) и среднее квадратическое отклонение ошибок округления ( ); 3) вероятность того, что ошибка округления меньше 0, Непрерывная случайная величина распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале [0; 4], а именно плотность распределения ( ) имеет вид: 0, < 0 ( )= +, 0 4 0, > 4. 1) Найдите и. 2) Найдите функцию распределения ( ). 3) Вычислите вероятность попадания случайной величины на интервал (2; 3) Случайная величина распределена равномерно в интервале ( 1; 5). 1) Найдите функцию распределения ( ) и плотность распределения ( ) и постройте графики этих функций. 2) Найдите математическое ожидание ( ) и дисперсию ( ). 3) Вычислите вероятность попадания случайной величины на интервал (0; 3) Непрерывная случайная величина задана функцией распределения ( ): 0, < 1 ( )= +, 1 4 1, > 4. 1) Найдите и из условия непрерывности функции ( ). 15

16 2) Найдите плотность распределения ( ) и математическое ожидание ( ). 3) Вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение не меньше Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием = 2 см и средним квадратическим отклонением = 0,08 см. Для диаметра подшипника разрешается допуск ± 0,1 см. 1) Найдите плотность распределения ( ). 2)Какую точность диаметра подшипника можно гарантировать с вероятностью 0,97? 3) Найдите вероятность того, что из трех выпускаемых подшипников только два признаются годными Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения ( ): 0, ( )= sin2, < 0, >. 1) Найдите. 2) Найдите функцию распределения ( ). 3) Вычислите вероятность попадания случайной величины на интервал ; Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение ( )= 1,, второго ( )= 1,. 1) Найти плотности распределения ( ) и ( ), а также функции надежности ( ) и ( ). 2) Найти вероятность того, что за время длительностью = 6 час. оба элемента не выйдут из строя. 3) Найти вероятность того, что за время длительностью = 10час только один элемент откажет Непрерывная случайная величина распределена по закону Коши, а именно плотность распределения ( ) имеет вид: ( )=

17 1) Найдите. 2) Найдите функцию распределения ( ). 3) Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал [ 1;1] Случайные ошибки измерений подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 10 мм и математическим ожиданием = 0. 1) Найдите плотность распределения ( ). 2) Найдите вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм. 3) Найдите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадает величина. Задачи Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (, ) (таблица 6.1). Таблица 6.1. Y X , 1 0, 05 0, , 05 0, 1 0,1 1 0, 2 0, 15 0, 1 Найти: 1) законы распределения составляющих и ; 2) условные законы распределения составляющей при условии = 1 и составляющей при условии = 0; 3) математические ожидания ( ) и ( ) Двумерная случайная величина (, ) задана плотностью вероятностей (, ):, при 4 5, 2 3 (, )= 0, при < 4, > 5, < 2, > 3. Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятностей составляющих и, а именно ( ) и ( ); 3) математические ожидания ( ) и ( ). 17

18 6.3. Задано распределение вероятностей двумерной дискретной случайной величины (, ) (таблица 6.3). Таблица 6.3. Y X , 1 0, 2 0, 1 0 0, 15 0, 05 0,2 2 0, 05 0, 1 0, 05 Найти: 1) законы распределения составляющих и ; 2) условные законы распределения составляющей при условии = 2 и составляющей при условии = 2; 3) математические ожидания ( ) и ( ) Двумерная случайная величина (, ) задана плотностью вероятностей (, ):, при 1 2, 4 5 (, )= 0, при < 1, > 2, < 4, > 5. Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятностей составляющих и, а именно ( ) и ( ); 3) математические ожидания ( ) и ( ) Задано распределение вероятностей двумерной дискретной случайной величины (, ) (таблица 6.5). Таблица 6.5. X Y , 05 0, 1 0, , 1 0, 15 0,2 3 0, 1 0, 05 0, 1 Найти: 1) законы распределения составляющих и ; 2) вероятности ( < ) и ( > ); 3) математические ожидания ( ) и ( ) Двумерная случайная величина (, ) задана плотностью вероятностей (, ): 18

19 , при 3 5, 1 2 (, )= 0, при > 5, < 3, < 1, > 2. Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятностей составляющих и, а именно ( ) и ( ); 3) математические ожидания ( ) и ( ) Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (, ) (таблица 6.7). Таблица 6.7. Y X , 1 0, 05 0, 2 0 0, 05 0, 15 0, 1 3 0, 05 0, 1 0, 2 Найти: 1) законы распределения составляющих и ; 2) условные законы распределения составляющей при условии = 0 и составляющей при условии = 2; 3) математические ожидания ( ) и ( ) Двумерная случайная величина (, ) задана плотностью вероятностей (, ):, при 0 2, 1 3 (, )= 0, при < 0, > 2, < 1, > 3. Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятностей составляющих и, а именно ( ) и ( ); 3) математические ожидания ( ) и ( ) Задано распределение вероятностей дискретной случайной величины (, )(таблица 6.9). Таблица 6.9. Y X , 05 0, 15 0, 1 3 0, 1 0, 05 0,2 4 0, 05 0, 1 0, 2 19

20 Найти: 1) законы распределения составляющих и ; 2) вероятности ( < ) и ( > ); 3) математические ожидания ( ) и ( ) Двумерная случайная величина (, ) задана плотностью вероятностей (, ):, при 3 6, 1 4 (, )= 0, при < 3, > 6, < 1, > 4. Найти: 1) коэффициент ; 2) плотности вероятностей составляющих и, а именно ( ) и ( ); 3) математические ожидания ( ) и ( ). Задачи Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные асимметрию и эксцесс, используя условные варианты ,07 3,12 3,17 3,22 3,27 3,32 3, ,27 2,37 2,47 2,57 2,67 2,77 2,

21 ,57 7,67 7,77 7,87 7,97 8,07 8, ,02 5,07 5,12 5,17 5,22 5,27 5, Задачи Дан статистический ряд распределений. С помощью критерия χ 2 Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0, Промежутки (2;7] (7;12] (12;17] (17;22] (22;27] ( a i-1, a i ] Частоты n i

22 8.2. Промежутки (3,43;3,5] (3,5;3,57] (3,57;3,64] (3,64;3,71] (3,71;3,78] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (12;17] (17;22] (22;27] (32;37] (42;47] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (5,7;6,2] (6,2;6,7] (6,7;7,2] (7,2;7,7] (7,7;8,2] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (2,1;2,8] (2,8;3,5] (4,2;4,9] (5,6;6,3] (7;7,7] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (2;9] (9;16] (16;23] (23;30] (30;37] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (3,2;3,7] (3,7;4,2] (4,2;4,7] (4,7;5,2] (5,2;5,7] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (1;8] (8;15] (15;22] (22;29] (29;36] ( a i-1, a i ] Частоты n i

23 8.9. Промежутки (2,1;2,8] (2,8;3,5] (3,5;4,2] (4,2;4,9] (4,9;5,6] ( a i-1, a i ] Частоты n i Промежутки (3;10] (10;17] (17;24] (24;31] (31;38] ( a i-1, a i ] Частоты n i Задачи Найти доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенного количественного признака X генеральной совокупности с надежностью γ, зная выборочную среднюю в, объем выборки n, и среднее квадратическое отклонение σ γ = 0,95, в = 37,7, n = 47, σ = 1, γ = 0,95, в = 45,7, n = 37, σ = 3, γ = 0,95, в = 17,5, n = 55, σ = 2, γ = 0,95, в = 25,7, n = 67, σ = 2, γ = 0,95, в = 34,3, n = 73, σ = 1, γ = 0,95, в = 33,8, n = 77, σ = 3, γ = 0,95, в = 14,7, n = 53, σ = 1, γ = 0,95, в = 28,9, n = 35, σ = 2, γ = 0,95, в = 15,8, n = 58, σ = 3, γ = 0,95, в = 27,7, n = 75, σ = 3,5. Решение демонстрационного варианта контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике. Пример 1. В двух партиях 90% и 95% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: 1) хотя бы одно бракованное изделие; 2) два бракованных; 3) одно доброкачественное и одно бракованное. 23

24 Решение. Введем обозначения событий: выбор доброкачественного изделия из первой партии, выбор доброкачественного изделия из второй партии. Тогда и выборы бракованных изделий соответственно из первой и второй партий. Очевидно, что ( ) = 0,9, ( ) = 0,95, = 0,1, = 0,05. Решение. 1) Событие хотя бы одно бракованное изделие является противоположным событию «оба изделия доброкачественные». Следовательно, ( )= 1 ( )= 1 ( ) ( ) так как события и независимы. Тогда ( )= 1 0,9 0,95 = 0,145. 2) Событие «два бракованных изделия» запишем в виде. Так как и независимы, то = = 0,005. 3) Событие «одно бракованное, одно доброкачественное» запишем в виде +. Тогда + = ( )+ ( )= 0,1 0,95 + 0,9 0,05 = 0,14. Пример 2. Три фирмы поставляют однотипные изделия в соотношении 10:8:7. Для первой фирмы брак составляет 2%, для второй 3%, для третьей 1%. Найти вероятность того, что 1) приобретенное изделие окажется стандартным; 2) это изделие изготовлено второй фирмой. Решение. 1) Обозначим события: изделие поступило от первой фирмы; от второй фирмы; от третьей фирмы; приобретаемое изделие стандартное. По условию: ( )= = 0,4; ( )= 8 25 = 0,32; ( )= 7 25 = 0,28. 24

25 Гипотезы,, образуют полную группу и сумма их вероятностей равна 1. Для первой фирмы вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,98, для второй 0,97, для третьей 0,99. Тогда условные вероятности равны: ( )= 0,98, ( )= 0,97, ( )= 0,99. По формуле полной вероятности ( )= ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )= = 0,4 0,98 + 0,32 0,97 + 0,28 0,99 = 0, ) Вероятность того, что стандартное изделие изготовлено второй фирмой, обозначим в виде ( ). По формуле Бейеса ( )= ( ) ( ) = ( ) 0,32 0,97 0,9796 = 0,317. Пример 3. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,7. Найти вероятность того, что из 6 отобранных деталей 1) ровно 5 стандартных; 2) не более 3 бракованных; 3) все бракованные. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей среди 6 отобранных. Решение. 1) По условию задачи = 0,7 вероятность изготовления стандартной детали, = 0,3 вероятность бракованной детали. Тогда по формуле Бернулли ( )=, где = 6, = 5, получим (5)= 0,7 0,3 = 6 0, ,3 = 0, ) Обозначим событие «не более 3 бракованных из 6 отобранных». Событие представляет сумму несовместных событий,,,, где среди отобранных нет бракованных, только 1 бракованное, только 2, только 3. Тогда ( )= ( )+ ( )+ ( )+ ( ). Вероятность ( ) вычисляется по формуле Бернулли: ( )= = 0, ,7 0, ,7 0, ,7 0,3 = 0, ) Вероятность того, что все 6 деталей бракованные, равна = 0,3 = 0,

26 Наивероятнейшее число число стандартных деталей из 6 отображенных определяется из двойного неравенства + где = 6, = 0,7, = 0,3. Тогда 3,9 4,9. Следовательно, = 4. Пример 4. Дискретная случайная величина задана законом распределения X P 0, 2 0, 1 P 3 0, 4 1) Найдите вероятность ; 2) Найдите функцию распределения ( ); 3) Найдите закон распределения случайной величины = 2 + 2; 4) Найдите ( ), ( ), ( ) и ( ). Решение. 1) Так как сумма вероятностей в законе распределения равна 1, то = 0,3. 2) Если 2, то ( )= 0. Действительно, по заданному закону случайная величина не принимает значений, меньших числа 2. Если 2 < 1, то ( )= 0,2 ( может принимать значение 2 с вероятностью 0,2). Если 1< 2, то ( )= 0,3 ( может принимать значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 1 с вероятностью 0,1). Если 2 < 3, то ( )= 0,6 ( может принимать значение 2,1,2 с соответствующими вероятностями). Если > 3, то ( )= 1. Действительно, событие 3 достоверно и вероятность этого события равна 1. Таким образом, 0 при 2, 0,2 при 2 < 1, ( )= 0,3 при 1 < 2, 0,6 при 2 < 3, 1 при > 3. 3) Найдем возможные значения случайной величины = : = = 10, = = 4, = = 10, = = 20. Вычислим вероятности возможных значений : ( = 10)= ( = )+ ( = )= 0,5 26

27 ( = 4)= ( = )= 0,1 ( = 20)= ( = )= 0,4. Тогда, искомый закон распределения имеет вид 4) Вычислим ( )и ( ): Y P 0, 1 0, 5 0, 4 ( )= = 2 0, , , ,4 = 1,5. ( )= ( ) ( )= 4 0, , , ,4 2,25 = 3,45. Для вычисления ( ) и ( ) можно использовать закон распределения. Тогда ( )= = 13,4, ( )= ( ) ( )= 16 0, , ,4 (13,4) = = 32,04. Пример 5. Случайная величина задана плотностью вероятности 0, 2 ( )= cos, < 2 2 0, > 2. 1) Найдите коэффициент. 2) Найдите функцию распределения ( ). 3) Вычислите вероятность попадания случайной величины на интервал (0; ). Решение. 1) Так как ( ) = 1, 27

28 то cos = 1 + cos2 2 = 2 + sin2 2 = 2 = 1. Тогда = и ( )= cos, ( ;. 2) Используя формулу найдем ( ). Если 0,то ( )= 0 и ( )= ( ) ( )= 0 = 0. Если 2 < 2,то ( )= = 1 + sin2 2 = 1 + sin Если > 2,то ( )= = 1 + sin2 2 = 1. 3) Используя формулу ( )= ( ), вычислим вероятность попадания случайной величины на интервал (0; ). 0 4 = 2 cos = 1 + sin2 2 = Пример 6. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (, ) (см. таблицу) 28

29 Таблица. Y X ,1 0,1 0,2 1 0,05 0,15 0,1 3 0,15 0,05 0,1 Найти: 1) законы распределения составляющих и ; 2) уловные законы распределения составляющей при условии = 3 и составляющей при условии = 1; 3) вероятности ( < ) и ( > ). Решение. 1) Случайная величина может принимать значения: = 1 с вероятностью = 0,1 + 0,05 + 0,15 = 0,3; = 2 с вероятностью = 0,1 + 0,15 + 0,05 = 0,3; = 4 с вероятностью = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4. Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид: Р 0,3 0,3 0,4 Аналогично, закон распределения случайной величины имеет вид: Р 0,4 0,3 0,3 2) Условный закон распределения при условии, что = 3, получим, используя формулу = ( =, = ) ( = ) Для этого вероятности, стоящие в последней строке заданной таблицы, разделим на их сумму, т.е. ( = 3)= 0,3. В результате получим условное распределение ( = 3) 0,

30 Условный закон распределения при условии, что = 1 получается аналогично, а именно, вероятности первого столбца исходной таблицы делят на их сумму. В результате получим условный закон распределения при условии, что = ( = 1) 1 3 3) Для нахождения вероятности ( < ) надо сложить все вероятности из заданной таблицы, для которых <. ( < )= 0,1 + 0,05 + 0,15 + 0,05 = 0,35. Аналогично вычисляется ( > )= 0,1 + 0,15 + 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,65. Пример 7. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные асимметрию и эксцесс, используя условные варианты ,5 Решение. Будем вычислять числовые характеристики выборки с помощью условных вариант. В качестве ложного нуля примем варианту, находящуюся в середине статистического ряда распределения: C = 137. Заметим, что расстояние между соседними вариантами h = 10. Составим таблицу для условных вариант: = h

31 Найдем выборочную среднюю. Для этого находим условную среднюю. Заметим, что объем выборки равен 100. Имеем: = = = 0,44. Отсюда в = h + = 0, = 132,6.Находим условные начальные моменты: = = 0,44; = = 2,22; = = 1,88; = = 12,3.Находим условные центральные моменты: = 0; = = 2,22 ( 0,44) = 2,0264; = = 1,88 3 ( 0,44) 2, ( 0,44) = 0,88; = = 12,3 4( 0,44) ( 1,88)+ 6( 0,44) 2,22 3( 0,44) = 11,4575. Отсюда получаем эмпирические центральные моменты, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные асимметрию и эксцесс: = h = 100 2,0264 = 202,64; = h = ,88 = 880; = h = ,4575 = ; в = = 202,64; в = в = 202,64 = 14,235; = 0,2. в =, = 0,305; = в 3 =, 3 = Пример 8. Дан статистический ряд распределений. С помощью критерия χ 2 Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05. Интервалы (12,1;12,3] (12,3;12,5] (12,5;12,7] (12,7;12,9] (12,9;13,1] ( a i-1, a i ] Частоты n i Решение. Составим статистический ряд распределения для середин промежутков. Середины статистического ряда распределения находятся по формуле x i =, i = 1,,s. Середины промежутков 12,2 12,4 12,6 12,8 13 x i Частоты n i Вычислим в, σ в с помощью условных вариант u i =, где C = 12,6 ( значение x i из середины статистического ряда распределения ), h = 0,2 ( 31

32 длина промежутков статистического ряда распределения ). Для вычисления составим вспомогательную таблицу. U n i n i u i n i u i Имеем: = = = 0,14; = = 1,66; в = h + = 0,14 0,2 + 12,6 = 12,628; = = 1,66 0,14 = 1,6404; = = 1,6404 = 1,28; в = h = 0,2 1,28 = 0,256. Для нахождения теоретических частот составим вспомогательную таблицу. номер промежу тка Концы промежутк ов a i-1 a i = в в = в в Ф( ) Ф( ) = Ф( ) Ф( ) 1 12,1 12,3-1,28-0,5-0, , ,3 12,5-1,28-0,5-0,3997-0, , ,5 12,7-0,5 0,28-0,1915 0, , ,7 12,9 0,28 1,06 0,1103 0, , ,9 13,1 1,06 + 0,3554 0,5 14,46 Вычислим наблюдаемое значение статистического критерия: набл = (, ), + (, ), + (, ), + (, ), + (, ), = 3,07.По таблице критических точек критерия χ 2 при уровне значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = = 2 находим χ 2 кр: χ 2 кр = 6. Так как χ 2 набл < χ 2 кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Пример 9. Найти доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенного количественного признака X генеральной совокупности с надежностью γ, зная выборочную среднюю в, объем выборки n, и среднее квадратическое отклонение σ: в = 17,7; n = 57 ; σ = 0,7; γ=0,95. Решение. 32

33 Имеем: Ф( )=, = 0,475.По таблице значений функции Лапласа получаем t = 1,96. Отсюда получаем искомый интервал 17,7,, ;17,7 +,, = (17,52;17,88). 33


Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности 270102.65 - Промышленное и гражданское строительство IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Требования к результатам освоения дисциплины:

Требования к результатам освоения дисциплины: 1. Цели и задачи дисциплины: получение базовых знаний и формирование основных навыков по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD.

со стороной 3 см, находящийся внутри ABCD. Примерные задания для подготовки к зачету по математике по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 270100 4 семестр 1 часть. Теория вероятностей. 1.Комбинаторика.

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" ГЛАЗОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна

1. (10;20) 2. (15;25) 3. (10;15) 4. (5;25) 5. (0;20) Тогда статистическая оценка математического ожидания равна Тема: Математическая статистика Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А.. Точечная оценка параметра равна 5. Укажите, какой вид может иметь интервальная оценка:. (0;0). (5;5) 3. (0;5) 4. (5;5) 5. (0;0).

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 3-й семестр п/п С1 С2 С3 С4 С5 С6 раздела дисциплины Наименование практических занятий (семинаров) Комбинаторика:

Подробнее

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов 2-го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов 2-го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов -го курса специальностей ЛИД, ТДП в зимнюю сессию Теоретические вопросы 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение

Подробнее

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n

Riyaziyyat-2 Fənni üzrə İmtahan Sualları Rus Bölməsi. n n Razat- Fə üzrə İmtaha Sualları Rus Bölməs. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера: = 3 + 7. Исследовать сходимость ряда по интегральному признаку Коши: = 3 3. Найти радиус сходимости ряда: 3

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г. Тольятти ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета 1. Общие положения Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Частное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский институт защиты предпринимателя» (РИЗП) РАССМОТРЕНО И СОГЛАСОВАНО на заседании кафедры «Бухгалтерский учет и экономика» 11 от 30.06.2017

Подробнее

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Институт повышения квалификации и переподготовки Факультет переподготовки специалистов образования Кафедра

Подробнее

"ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА" (раздел "Теория вероятностей и математическая статистика")

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (раздел Теория вероятностей и математическая статистика) "ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА" (раздел "Теория вероятностей и математическая статистика") Тема. Основные понятия теории вероятностей Основные понятия по теме:. Испытание, элементарный исход, исход испытания, событие..

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика»

Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Контрольная работа по курсу Математика «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант N 1 (X \ Z) (Y \ Z) Решить задачи: 2.В партии 1000 деталей, из них 20 дефектных. Какова вероятность того,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Контрольная работа 5 (2 курс, 3 семестр) Тема «Теория вероятностей», «Математическая статистика»

Контрольная работа 5 (2 курс, 3 семестр) Тема «Теория вероятностей», «Математическая статистика» Контрольная работа 5 ( курс, 3 семестр) Тема «Теория вероятностей», «Математическая статистика» Вариант 1 1. Из урны, содержащей 4 красных, 5 синих и 1 белый шар, извлекли одновременно четыре шара. Какова

Подробнее

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008.

Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 2008. Контрольная работа из учебно-методического пособия «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.:ВЗФЭИ, 008. ВАРИАНТ (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются

Подробнее

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» для бакалавров направления 27.03.04 «Управление в технических системах» Кисловодск,2016

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности

4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности Экзаменационный билет по курсу: ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.). Случайные события. Определение вероятности.. Найти распределение дискретной случайной величины ξ, принимающей значения x с вероятности

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

Вопросы к зачету по математике IV семестр

Вопросы к зачету по математике IV семестр Вопросы к зачету по математике IV семестр Заочное отделение специальность 240406.65 - «Технология химической переработки древесины» Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Б1.Б.9 Теория вероятностей и математическая статистика наименование дисциплин/практики

Б1.Б.9 Теория вероятностей и математическая статистика наименование дисциплин/практики АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ/ПРАКТИКИ Б1.Б.9 Теория вероятностей и математическая статистика наименование дисциплин/практики Автор: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационных систем

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание 1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых 5 красных зеленых синих 0. Какова вероятность того что наудачу

Подробнее

Уважаемые студенты! Внимание!

Уважаемые студенты! Внимание! Уважаемые студенты! Номер Вашего варианта контрольной работы определяется по номеру Вашей зачетной книжки. Откройте Вашу зачетную книжку и посмотрите на две последние цифры в её номере. Обозначим эти две

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Связь с предшествующими дисциплинами (модулями), практиками, ВКР: 1 Информатика 1 ОПК-1 2 Математика 1,2 ОК-3, ПК-4

Связь с предшествующими дисциплинами (модулями), практиками, ВКР: 1 Информатика 1 ОПК-1 2 Математика 1,2 ОК-3, ПК-4 2 3 Содержание 1. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы 4 2. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) 4 3. Объем дисциплины (модуля) с распределением по семестрам

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 Контрольная работа 4 Тема: Теория вероятностей З а д а ч и 1-10 Задачи 1-10 посвящены вычислениям вероятности событий с использованием основных теорем теории вероятности и комбинаторики. Конкретный пример

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Определение вероятности.. 8 1. Классическое и статистическое определения вероятности.. 8 2. Геометрические вероятности... 12 Глава вторая. Основные

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей

( A) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1. Теория вероятностей КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Теория вероятностей Задача В ящике находится 5 кондиционных и бракованных однотипных деталей Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Контрольная работа 4

Контрольная работа 4 ВВЕДЕНИЕ Уважаемые студенты - заочники! В этой книжке Вы найдете контрольные задания и методические указания для их выполнения и для подготовки к экзамену по высшей математике. Для изучения материала Вам

Подробнее

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость 1. Цель и задачи учебной дисциплины: Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» являются: формирование математической культуры студентов, фундаментальная

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

ЕН.03. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЕН.03. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Правительство Санкт-Петербурга Комитет по науке и высшей школе Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Санкт-Петербургский политехнический колледж» УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

УДК 51(075.4) Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 51(075.4) Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика 3» УДК 5(075.4) Издание содержит перечень программных вопросов по разделам курса

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ

1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ СОДЕРЖАНИЕ 1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3 УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Направление подготовки

Институт радиоэлектроники и информационных технологий Кафедра «Прикладная математика» Направление подготовки Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.

Подробнее

Математика для экономистов

Математика для экономистов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» УГТУ Математика для экономистов

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

1. Пояснительная записка

1. Пояснительная записка ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Пояснительная записка 3 2. Тематический план дисциплины 5 3. Содержание обязательного и самостоятельного изучения 6 (теоретического курса, семинарских и практических занятий) 4. Вопросы для

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Исходные данные ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Исходные данные Задана большая выборка, объем которой п 00..49 3.548 4.409 5.08 0.39.096 5.4 4.586 4.49.678 4.08 3.993 4.3 6.9 -.48 5.8 5.07 3.889.3 5.59 9.377.644

Подробнее

УМЕТЬ: решать задачи теории вероятностей, находить числовые

УМЕТЬ: решать задачи теории вероятностей, находить числовые 1 Цель и задачи изучения дисциплины Целью изучения дисциплины математики является: - выработать у студентов навыки в математическом исследовании различных технологических проблем; - развить логическое

Подробнее

Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры аналитической экономики и эконометрики « 2014 г., протокол

Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры аналитической экономики и эконометрики « 2014 г., протокол Учебная программа составлена на основе: типовой програмы по дисциплине Высшая математика, утвержденной 18.03.2009, регистрационный ТД-Е103/тип, образовательных стандартов Республики Беларусь специальностей

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Математика. Теория вероятностей и математическая

Математика. Теория вероятностей и математическая Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

Подробнее

Вопросы по Теории Вероятностей

Вопросы по Теории Вероятностей Вопросы по Теории Вероятностей 1. Понятия испытания и случайного события. 2. Понятие статистической устойчивости. 3. Относительная частота появления случайного события. Статистическое определение вероятности.

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ В.Е.Гмурман РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ М.: Высш. школа, 1979, 400 стр. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности.

. Таким образом, вероятность того, что на каждом этаже выйдет по одному пассажиру. m n. которая носит название формулы полной вероятности. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Методические рекомендации к решению задач из экзаменационного задания Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома Считая,

Подробнее

АННОТАЦИЯ Дисциплины Б2.Б3 Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса)

АННОТАЦИЯ Дисциплины Б2.Б3 Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) 2 АННОТАЦИЯ Дисциплины Б2.Б3 Теория вероятностей и математическая статистика 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель приобретение теоретических знаний по основным разделам курса, формирование

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» (приложение к рабочей программе) Министерство сельского хозяйства РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшегообразования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» (ФГБОУ ВО СПбГАУ) Кафедра

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Факультет компьютерных наук Кафедра кибернетики КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Вариант 1

Факультет компьютерных наук Кафедра кибернетики КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. Вариант 1 Факультет компьютерных наук Кафедра кибернетики КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Инструкция: Выполняется один вариант заданий. Вариант студенту назначает преподаватель

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины

1. Цели и задачи дисциплины 2 1. Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» формирование у студентов современных теоретических знаний о вероятностных и статистических закономерностях,

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина

СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина УДК 57. Теория вероятностей и математическая статистика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31

МГАПИ. Типовой расчет по высшей математике. Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 МГАПИ Типовой расчет по высшей математике Раздел: «Теория вероятностей» Вариант 31 Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 3 автоматических станках. Вероятность того, что в течение часа станки будут

Подробнее

Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка

Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка Учебно-методический комплекс по курсу «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» Пояснительная записка Курс Основы теории вероятностей и математической статистики относится к циклу естественнонаучных

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16

n объектов, Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Раздел 3. Элементы математической статистики Литература. [5], гл.15, гл.16 Математическая статистика занимается методами сбора и обработки статистического материала результатов наблюдений над объектами

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА задания на контрольную работу для студентов заочной формы обучения Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 3 семестр

Вопросы к зачету по математике 3 семестр Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения курса специальностей 08005.65 Фин.

Подробнее

Математическая статистика

Математическая статистика ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Чувашский государственный университет им. И.Н.Ульянова Математическая статистика

Подробнее

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700

Подробнее

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ.

Печатается по решению кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета РГУ. Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кузнецов

Подробнее

Полное исследование выборки

Полное исследование выборки Полное исследование выборки ЗАДАНИЕ. Требуется для решения: - Построить интервальный ряд распределения, для каждого интервала подсчитать локальные, а также накопленные частоты, построить вариационный ряд.

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

РОССИЙСКАЯ ОТКРЫТАЯ АКАДЕМИЯ ТРАНСПОРТА МАТЕМАТИКА

РОССИЙСКАЯ ОТКРЫТАЯ АКАДЕМИЯ ТРАНСПОРТА МАТЕМАТИКА РОССИЙСКАЯ ОТКРЫТАЯ АКАДЕМИЯ ТРАНСПОРТА Одобрено кафедрой «Высшая и кладная математика» МАТЕМАТИКА Задание на контрольные работы 3-4 с методическими указаниями по выполнению для студентов-бакалавров курса

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки 02.03.01

Подробнее