ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Save this PDF as:
Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Транскрипт

1 Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Составитель: доцент Демиденко Н.Ю. Новосибирск 3

2 Модуль. Случайные величины Основные понятия Тема. Дискретная случайная величина (ДСВ).. Способы задания ДСВ.. Числовые характеристики ДСВ..3 Основные законы распределения ДСВ Тема. Непрерывная случайная величина (НСВ).. Способы задания НСВ.. Числовые характеристики НСВ..3 Основные законы распределения НСВ Вопросы для самоконтроля Задания для самоконтроля Приложение.

3 Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет единственное возможное значение, наперед неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины (СВ) обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z,..., а их возможные значения соответствующими строчными буквами с индексами. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число ее возможных значений конечно или счетно. Примером дискретной случайной величины (ДСВ) является количество студентов на лекции, число бракованных изделий в какой-либо продукции, количество новорожденных детей за сутки и т.д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число ее возможных значений бесконечно. Примером непрерывной случайной величины (НСВ) служит температура тела пациента за определенный промежуток времени, дальность полета футбольного мяча, объем утечки воды из городского водопровода и т.д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Законом распределения случайной величины называют всякое соотношение, устанавливающее связь между всеми ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями. Тема. Дискретная случайная величина (ДСВ).. Способы задания ДСВ Дискретная случайная величина может быть задана: таблично в виде ряда распределения, аналитически в виде функции распределения, графически в виде многоугольника распределения. Табличное задание закона распределения ДСВ

4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рядом распределения ДСВ называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Х х х х n P p p p n В таблице указаны все возможные значения, которые может принять ДСВ X,,...,. Так как случайная величина Х в одном испытании примет только одно : n значение, то события Х х, Х х,..., Х х n образуют полную группу событий и, следовательно, n i p i сходится и его сумма равна единице.. Если число возможных значений счетно, то ряд p, p, p3,... Аналитическое задание закона распределения ДСВ Аналитическое задание закона распределения ДСВ связано с понятием функции распределения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения случайной величины Х называют функцию, равную вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее текущего значения х (аргумента функции) случайной величины: F( ) P( X ), где R. Геометрическая интерпретация функции распределения: если значения случайной величины Х рассматривать как точки на числовой прямой, то F () есть вероятность того, что значения Х попадут в интервал левее х. Свойства функции распределения: ) F () - ограниченная функция: F ( ) ; ) F () - неубывающая функция; 3) F () непрерывна слева, т.е. lim F( ) F( ) 4) lim F( ), lim F( ) ; 5) P( X ) F( ) F( ). Графическое задание закона распределения ДСВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многоугольником распределения ДСВ называют ломаную линию на плоскости ХОY, соединяющую точки с координатами ; p ). ; ( i i

5 .. Числовые характеристики ДСВ Числовые характеристики случайных величин это числа, выражающие наиболее существенные особенности распределения случайных величин. К основным числовым характеристикам случайной величины относятся: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием ДСВ называется число, равное сумме произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности: или M ( X ) i i p i M ( X ) n i i p i, если этот ряд абсолютно сходится. Свойства математического ожидания: ) М( С) С, гдес const ; ) M( C X ) C M( X ), гдеc const ; 3) M( X Y) M( X ) M( Y) ; 4) M ( X Y) M( X ) M( Y), если X и Y независимы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией D (X ) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D( X ) M( X M( X )) Из определения дисперсии следует теорема, позволяющая вычислять дисперсию по более удобной формуле. ТЕОРЕМА. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания: Свойства дисперсии: ) D( C), гдеc const ; D( X ) M( X ) D( C X ) C D( X ), гдес const ; 3) D( X Y) D( X ) D( Y). ) M ( X )

6 Из определения дисперсии следует, что ее размерность квадратична по отношению к самой случайной величине и ее математическому ожиданию, поэтому возникает необходимость ввести еще одну характеристику, совпадающую по размерности со случайной величиной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Средним квадратическим отклонением величины X называется квадратный корень из ее дисперсии: х случайной Х D(X ) Замечание. Математическое ожидание М (Х ) случайной величины характеризует средне-ожидаемое значение этой величины. Дисперсия D (X ) показывает разброс или рассеяние самой случайной величины вокруг ее среднего значения математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение х случайной величины является мерой разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, имеющей размерность самой случайной величины.. ПРИМЕР. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно,3;,4;,5;,6. Найти закон распределения этой случайной величины и ее числовые характеристики. Построить график закона распределения многоугольник распределения РЕШЕНИЕ. Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим, что эта случайная величина может принимать значения:,,, 3 или 4, т.е. является дискретной. Для составления закона распределения этой ДСВ необходимо определить соответствующие вероятности. Используем теоремы сложения и умножения вероятностей. По условию p,3; p,4; p3,5; p4,6 q,7; q,6; q3,5; q4 ) не отказал ни один прибор: P ( ) qqq3q4,7,6,5,4,84. ) отказал один из приборов: P ( ) p qq3q4 q pq3q4 qq p3q4 qqq3 p4 3) отказали два прибора:,3.,4. P ( ) p pq3q4 pq p3q4 pqq3 p4 q p p3q4 q pq3 p4 qq p3 p4 4) отказали три прибора: P ( 3) p p p3q4 p pq3 p4 pq p3 p4 q p p3 p4,98.,38.

7 5)отказали все приборы: P ( 4) p p p3 p4,36. Получаем закон распределения: Х 3 4 Х Р,84,3,38,98,36 Проверим правильность составления закона распределения по условию полной 5 группы событий: р,84,3,38,98,36. i i Найдем числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание: М ( Х ),84,3,38 3,98 4,36,8. М ( Х ),84,3 4,38 9,98 6,36 4,8. Дисперсию вычисляем, используя теорему: D ( X ) M( X ) M Среднее квадратическое отклонение: ( X ) 4,8,8 4,8 3,4,94. Х D( X ),94,97. Построим график закона распределения многоугольник распределения: n i,38,3,98,84, i Рис.. Многоугольник распределения ОТВЕТ. Закон распределения: Х 3 4 Р,84,3,38,98,36

8 Числовые характеристики: М( Х ),8; D( X ).94;.97. Х..3 Основные законы распределения ДСВ ) Биномиальное распределение. Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или нет. Вероятность наступления события постоянна и равна p, вероятность противоположного события равна q p. Пусть Х - число появления события A в этих испытаниях. Возможные значения случайной величины Х будут равны:,,, k,, n. Вероятность того, что случайная величина Х примет свое значение, равное Бернулли: P( X k) C k n p k q nk k, находится по формуле Х k n n P( X k) n q n npq k k nk Cn p q np n q p n ) Распределение Пуассона получается из биномиального распределения путем предельного перехода при n, p, т.е. когда p мало ( p, ). Возможные значения случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равны,,, k,, а соответствующие вероятности определяются формулой Пуассона: k e P( X k), где np. k! появится 3) Геометрическое распределение. Пусть испытания заканчиваются, как только событие A, при этом вероятность появления этого события в каждом испытании постоянна и равна p. Таким образом, если событие A появилось в k м испытании, то в предыдущих k испытаниях его не было. Пусть случайная величина Х - число испытаний, которые надо произвести до появления события A, в этом случае возможные значения Х будут равны,,, k,, а соответствующие вероятности k определяются формулой: P( X k) q p, гдеq p. Х 3 k P( X k) p qp q p q k p

9 Во второй строке закона распределения вероятности образуют бесконечно убывающую прогрессию ( q ), следовательно, ряд вероятностей сходится и его p p сумма равна: S. q p 4) Гипергеометрическое распределение. Пусть в совокупности из N элементов имеется M ( N M) элементов первого вида и N M элементов второго вида. Произвольным образом отбираются n элементов (причем отобранные элементы обратно не возвращаются). Пусть случайная величина Х означает, что среди отобранных элементов будет m элементов первого вида и n m элементов второго вида. Возможные значения случайной величины Х будут равны:,,, k,, n. Вероятность того, что случайная величина Х примет свое значение, равное k, находится по формуле: m CM C P( X k). C nm N M n N Замечание. Для рассмотренных основных законов распределения ДСВ определены значения числовых характеристик в общем виде: - для биномиального распределения M( X ) np, D( X ) npq; - для распределения Пуассона M( X ) D( X ), где np const; - для геометрического распределения M( X ) / p; D( X ) q / p. Тема. Непрерывная случайная величина (НСВ).. Способы задания НСВ Непрерывная случайная величина может быть задана с помощью интегральной функции распределения F () (функции распределения) или дифференциальной функции распределения f () (плотности распределения вероятностей). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интегральной функцией распределения случайной величины Х называется функция, равная вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее текущего значения х (аргумента функции) случайной величины: F( ) P( X ), где R.

10 Геометрическая интерпретация функции распределения: если значения случайной величины Х рассматривать как точки на числовой прямой, то F () есть вероятность того, что значения Х попадут в интервал левее х. Свойства функции распределения: ) F () - ограниченная функция: F ( ) ; ) F () - неубывающая функция; 3) F () непрерывна слева, т.е. lim F( ) F( ) 4) lim F( ), lim F( ) ; 5) P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) F( ) F( ). Замечание. Последнее свойство функции распределения следует из того, что вероятность принять какое-либо конкретное значение для непрерывной случайной величины равна нулю. ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F () является непрерывной, кусочно-дифференцируемой функцией с непрерывной производной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальной функцией распределения f () непрерывной случайной величины (плотностью распределения вероятностей) называется первая производная интегральной функции распределения: f ( ) F( ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График плотности распределения f () называется кривой распределения. Геометрическая интерпретация плотности распределения: вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал ( ; ) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности распределения f (), снизу - осью ОХ и двумя вертикальными прямыми х ; х. Из определения следует, что Свойства плотности распределения: ) f ( ) ; F( ) f ( ) d.

11 ) f ( ) d ; 3) P ( X ) f ( ) d... Числовые характеристики НСВ К основным числовым характеристикам непрерывной случайной величины, так же как и дискретной случайной величины, относятся: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Числовые характеристики НСВ по определению вычисляются следующим образом: М ( Х ) хf ( ) d; D( X ) ( M ( X )) f ( ) d; если соответствующие несобственные интегралы сходятся. Замечание. Если интервал возможных значений НСВ конечен, то Х D( X ), М ( Х ) b a хf ( ) d; D( X ) b a ( M ( X )) f ( ) d, где ( a; b). На практике для вычисления дисперсии целесообразно пользоваться более удобной формулой: D( X ) f ( ) d M ( X ) Замечание. Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные для ДСВ, справедливы и для НСВ. ПРИМЕР. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения: F ( ), х,5 ( ), х ; P(,3 Х ), х Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения f () (плотность вероятности); б) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения; в) найти числовые характеристики случайной величины;

12 г) найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал P ( X ). РЕШЕНИЕ. а) Дифференциальная функция распределения НСВ или плотность распределения f () находим по определению:, х f ( ) F( ) х,5, или,,5, f ( ), (;] (;] б) Построим графики интегральной и дифференциальной функций распределения: F() f(),5,5 Рис.. Интегральная и дифференциальная функции распределения. в) Математическое ожидание вычисляем по определению: M ( X ) 3 3 f ( ) d,5 ( 3 d 3 3 ) Дисперсию определяем по теореме: D( X ) 4 7 ( 4 4 ) f ( ) d M ( 3,5 3 ( 3 (,5) d ( X ) ( ) d 3 7 ) ) 3 d Отсюда находим среднее квадратическое отклонение: d ,5 4 3 (,58(3). (,5) d 44,5) d 7,763(8). d Х D( X ),

13 г) Для определения вероятности попадания случайной величины Х в заданный интервал P ( X ) воспользуемся свойством 5) интегральной функции распределения: P (,3 X ) F() F(,3),5 (,3,3),5,39,95,85. ОТВЕТ. M( X ),58(3); D( X ),763(8);,764; Р(,3 X ),85. X..3 Основные законы распределения НСВ ) Равномерное распределение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Равномерным называется такое распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность которого постоянна на интервале ее возможных значений, то есть, f ( ) b a, a; b a; b, a F( ), b a, a a b b Рис. 3. Графики плотности и функции распределения равномерного закона. a b ( b a) b a Числовые характеристики: М ( X ) ; D( X ) ; X. 3 ) Показательное распределение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Показательным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность которого имеет вид:

14 .,,, ) (,, ) ( const где e F e f Рис. 4. Графики плотности и функции распределения показательного закона. Числовые характеристики:. ; ) ( ; ) ( X X D X M 3) Нормальное распределение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность которого имеет вид:,, ) ( ) ( ) ( ) ( R dz e F e f a z a где и а параметры распределения. График плотности распределения нормальной случайной величины называется кривой Гаусса или нормальной кривой: Рис. 5. Кривая Гаусса. х х () f ) ( F х а а а е () f

15 В частности, при σ =,5, а = кривая Гаусса выглядит так: Рис. 6. Кривая Гаусса при σ =,5, а =. Числовые характеристики: M ( X ) а; D( X ) ;. X ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормированным (стандартным) называется нормальное распределение с параметрами а и. В этом важном частном случае плотность и функция распределения принимают следующий вид: f ( ) e F( ) e z dz, R Рис. 7. График плотности распределения нормированного нормального закона.

16 Рис. 8. График функции распределения нормированного нормального закона. Для нормально распределенной случайной величины справедливы следующие утверждения, используемые в практических задачах. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х с параметрами а и в заданный интервал равна: где a a Р ( X ), () функция Лапласа, значения которой приведены в приложении. В частности, если рассматриваемый интервал симметричен относительно математического ожидания а и имеет длину, то справедлива следующая формула: Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания а меньше заданного значения равенством: P ( X a ). определяется Замечание. Данная формула представляет собой частный случай вероятности попадания в заданный интервал ( ; ), если этот интервал симметричен математическому ожиданию а и имеет длину. В частности, если рассматривается симметричный интервал длины выполняется, так называемое, правило «трех сигм». 3, то

17 Правило «трех сигм». Вероятность того, что абсолютное отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания а меньше 3, равна : P ( X a 3 ) (3),9973. Вывод (прямой): Если случайная величина является нормально распределенной, то выполнено правило «трех сигм», то есть с вероятностью близкой к единице случайная величина попадет в интервал ( а 3 ; а 3 ). Вывод (обратный): Если закон распределения непрерывной случайной величины неизвестен, но правило «трех сигм» выполнено, тогда на практике принимают его в качестве нормального закона распределения. ПРИМЕР. Известно, что среднее количество болельщиков, посещающих спортивные мероприятия, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 95 человек и средним квадратическим отклонением 5 человек. Определить: ) вероятность того, что количество болельщиков окажется в пределах от 8 до 3 человек; ) вероятность того, что абсолютная величина отклонения количества болельщиков от среднего значения окажется меньше человек; 3) по правилу «трех сигм» найти наименьшую и наибольшую границы предполагаемого количества болельщиков, посещающих спортивные мероприятия. РЕШЕНИЕ. По условию задачи а 95; 5. ) Используем формулу вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал при значениях 8; P(8 X 3) (,(3)) ( ) 5 5 (,(3)) (),49,343,834. Значение () находим из таблицы Приложения, учитывая свойство нечетности функции (х). Значение (,(3)) в таблице отсутствует, поэтому берем среднее арифметическое между значениями (,3) и (,34).

18 ) Полагая, используем формулу для вычисления вероятности заданного отклонения. Р( Х 95 ) (,(6)) (,67),486, ) В соответствии с правилом «трех сигм» близка к единице вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенству значениях а 95; 5 : Х а 3. Решаем это неравенство при Х X X X X Таким образом, наименьшее и наибольшее количество болельщиков, посещающих спортивные мероприятия, равны соответственно 5 и 4 человек. ОТВЕТ: ) P ( 8 X 3), 834 ; ) Р ( Х 95 ), 497 ; 3) min X 5, ma X 4(человек). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. Понятие случайной величины.. Дискретная случайная величина. Примеры. 3. Закон распределения дискретной случайной величины. 4. Функция распределения, ее свойства. 5. Числовые характеристики дискретной случайной величины, их свойства. 6. Основные законы распределения дискретной случайной величины. 7. Непрерывная случайная величина. Примеры. 8. Функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства. 9. Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.. Числовые характеристики непрерывной случайной величины, их свойства.. Основные законы распределения непрерывной случайной величины.. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. 3. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. 4. Правило «трех сигм».

19 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. В партии из деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Ответ: Х Р /45 6/45 8/45. Для закона распределения ДСВ Х, полученного в предыдущем задании, найти числовые характеристики. Ответ: М(Х)=8/5; Д(Х)= 64/5; 8/5. 3. Три стрелка стреляют по одному разу в мишень. Вероятности поразить мишень для них соответственно равны,6,,7,,8. Составить закон распределения ДСВ Х числа попаданий в мишень. Ответ: 4. Для закона распределения ДСВ Х, полученного в предыдущем задании, найти числовые характеристики. Х 3 Р,4,88,45,336 Ответ: М(Х)=,; Д(Х)=,6;, После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна,9. Составить закон распределения ДСВ Х числа заданных дополнительных вопросов. Найти наивероятнейшее число к заданных студенту дополнительных вопросов. Ответ: Х 3 к Р,,9,8 к,9, к =. 6. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+Y, если известно, что D(X)=5 и D(Y)=6. Ответ: D(Z)=69.

20 7. Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулами:, F ( ) / 4,,. Найти плотность распределения случайной величины и вероятность события Х. Ответ:, f ( ) х /,,. Р( Х )=, Задана плотность распределения НСВ: числовые характеристики этой случайной величины. Ответ: М(Х)=4/3; Д(Х)=/9; / 3,47., f ( ) х /,,. Найти 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:, F( ) / (/ )arcsin( / ),., Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (-; ). Ответ: /3.. Известно, что рост людей, проживающих в данной местности, есть случайная величина X, распределенная по нормальному закону со средним значением а =7см и средним квадратическим отклонением =5см. Определить вероятность того, что абсолютная величина отклонения роста человека, проживающего в данной местности, от среднего значения окажется меньше =7. Ответ:,8384. Указание: Воспользоваться таблицей Приложения.

21 Таблица значений интегральной функции Лапласа ПРИЛОЖЕНИЕ z ( ) e dz Φ() Φ() Φ() Φ(),,,9,4,58,9,87,378,,4,3,79,59,4,88,36,,8,3,7,6,57,89,333,3,,3,55,6,9,9,359,4,6,33,93,6,34,9,386,5,99,34,33,63,357,9,3,6,39,35,368,64,389,93,338,7,79,36,46,65,4,94,364,8,39,37,443,66,454,95,389,9,359,38,48,67,486,96,335,,398,39,57,68,57,97,334,,438,4,554,69,549,98,3365,,478,4,59,7,58,99,3389,3,57,4,68,7,6,,343,4,557,43,664,7,64,,3438,5,596,44,7,73,673,,346,6,636,45,736,74,73,3,3485,7,675,46,77,75,734,4,358,8,74,47,88,76,764,5,353,9,753,48,844,77,794,6,3554,,793,49,879,78,83,7,3577,,83,5,95,79,85,8,3599,,87,5,95,8,88,9,36,3,9,5,985,8,9,,3643,4,948,53,9,8,939,,3665,5,987,54,54,83,967,,3686,6,6,55,88,84,995,3,378,7,64,56,3,85,33,4,379,8,3,57,57,86,35,5,3749

22 Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ Φ() Φ() Φ() Φ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

23 Продолжение ПРИЛОЖЕНИЯ Φ() Φ() Φ() Φ(),88,498,96,4985 3,4, ,5,499997,9,498,98,4986 3,6, ,,499997,9,498 3,, ,8,49998,94,4984 3,,4993 4,, Замечания: ) Φ(х),5 при х > 5; ) Φ(х) нечётная функция: Φ(-х) = - Φ(х).


)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Практическая работа 7 Закон распределения и числовые характеристики случайных величин.

Практическая работа 7 Закон распределения и числовые характеристики случайных величин. Практическая работа 7 Закон распределения и числовые характеристики случайных величин. Цель работы: Нахождение закона распределения, функции распределения и числовых характеристик случайной величины. Содержание

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие случайной величины СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Мы переходим к изучению еще одного важного понятия теории вероятностей, к понятию случайная величина. Чтобы лучше понять это, приведем несколько примеров.

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1 Лекция 11. Дискретные случайные величины Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение х i. Выпадение некоторого значения случайной величины Х

Подробнее

Практическая работа 6 Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины.

Практическая работа 6 Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины. Практическая работа 6 Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины. Цель работы: Нахождение закона распределения, функции распределения и числовых характеристик дискретной

Подробнее

Случайные величины и их числовые характеристики.

Случайные величины и их числовые характеристики. Случайные величины и их числовые характеристики Пример Устройство состоит из трех независимо работающих элементов Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна, Составить закон распределения

Подробнее

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Практическая работа 7 Функция плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Цель работы: Нахождение функции и плотности распределения числовых характеристик непрерывной

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Числовые характеристики случайной величины Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории вероятностей Раздел 2. Случайные величины для студентов специальности 2305 «Программирование в компьютерных

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»

«ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω)

Понятие случайной величины и её закона распределения. Одномерные дискретные случайные величины. Случайной величиной (СВ) называется функция ξ (ω) Понятие и её закона Одномерные дискретные случайные Определение случайной Случайной величиной (СВ) называется функция (ω), определённая на пространстве элементарных событий Ω, со значениями в одномерном

Подробнее

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)).

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)). Оглавление Глава 5 Предельные теоремы 5 Неравенство Чебышѐва 5 Типы сходимости случайных величин 3 Диаграмма зависимости видов сходимости 3 53 Суммы случайных величин 4 Среднее арифметическое случайных

Подробнее

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина .8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей

Подробнее

Глава 3. Случайные величины (продолжение).

Глава 3. Случайные величины (продолжение). Глава 3 Случайные величины (продолжение) Основные распределения случайных величин Основные распределения дискретных случайных величин Биномиальный закон распределения Ряд распределения Функция распределения

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Одномерные случайные величины

Одномерные случайные величины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского» Факультет

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по теории вероятностей с решением Вариант 1 Часть. Случайные величины Задача.1. Фекла решила удивить своего бойфренда роскошным ужином и купила для этого в супермаркете пакет с картофелем.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания:

Лекция 8. Числовые характеристики случайных величин. Основные свойства математического ожидания: МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 8 Числовые характеристики случайных величин При изучении случайных величин важную роль играют их числовые характеристики Математическим

Подробнее

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина.

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно, значение,

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично).

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично). Т Неравенство Чебышева.33. Неравенство Чебышева Пусть случайная величина имеет второй начальный момент MХ, тогда: M 0 P( ) неравенство Чебышева () Док ( непрерывная случайная величина) MХ = x f( x) dx

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

={ }, которая каждому элементарному событию ставит в

={ }, которая каждому элементарному событию ставит в 1.11. Определение одномерной случайной величины, закон распределения, функция распределения Пусть ={} множество всех элементарных событий опыта E. def Одномерной случайной величиной называется числовая

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

1. Срединная формула прямоугольников

1. Срединная формула прямоугольников Срединная формула прямоугольников Введем обозначение I d Пусть -непрерывны на [ ] Разделим отрезок [ ] равных частичных отрезков [ ] где на Введем обозначения ( ) ( ) ( ) интеграл I в виде Представим где

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач

8. Канонические непрерывные законы распределения Определения и формулы для решения задач 8 Канонические непрерывные законы распределения 8 Определения и формулы для решения задач Определение Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется интеграл M x f ( x) dx Этот интеграл

Подробнее

Предельные теоремы 1

Предельные теоремы 1 Предельные теоремы 1 Неравенства Чебышёва Теорема. X 0 1. Если случайная величина неотрицательна и имеет конечное математическое ожидание MX, то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышёва

Подробнее

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения, ее свойства. Арифметические операции над случайными величинами.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт пути, строительства

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика Автономная образовательная некоммерческая организация высшего образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов» Учебное издание МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике

Фонд оценочных средств по теории вероятностей и математической статистике Вопросы к зачету Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» 1. Комбинаторика. 2. Вычисление вероятности (классическая модель). 3. Геометрическая вероятность. 4.Основные теоремы теории вероятностей

Подробнее

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Случайные величины. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Случайные величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Каждой случайной

Подробнее

Математическое ожидание.

Математическое ожидание. Лекция. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

А.Ю. Хасанова. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций

А.Ю. Хасанова. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Институт экономики и финансов Кафедра математики и экономической информатики А.Ю. Хасанова Теория вероятностей

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность.

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. билет 1 1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. 2. Свойства математического ожидания. Вывести формулу для дисперсии D( ξ )

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

Случайные величины. Дискретные случайные величины

Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайные величины 1. Дано: Mξ = 3, Dξ = 1. Найти M(2ξ + 5), D(2ξ + 5). 2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ η). Дискретные случайные величины 1. В ящике находятся 4 шара

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 7: СХЕМА БЕРНУЛЛИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО РГУПС) АА Зеленина, ЕО Лагунова, ИС Стасюк

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными.

По классическому определению вероятности: По классическому определению вероятности: извлеченных изделий 2 будут бракованными, и 2 качественными. .7. В партии готовой продукции состоящей из изделий три бракованных. Определить вероятность того что при случайном выборе изделий одновременно все они окажутся не бракованными. Какова вероятность того

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика_для ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_ уч.год. Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика_для ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_ уч.год. Тема 1. Основные понятия теории вероятностей Теория вероятностей и математическая статистика_для ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_0-3 уч.год Тема. Основные понятия теории вероятностей Обязательным условием применения формулы P( A B) P( A) P( B) P( AB) является

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее