ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г."

Транскрипт

1 ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки Саратов, 06

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Основные понятия числовых рядов Ряды с положительными членами 0 Знакопеременные ряды 7 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Общие сведения о функциональных рядах Степенные ряды 9 Ряды Фурье Список рекомендованной литературы 8

3 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие написано в соответствии с Федеральным Государственным образовательным стандартом высшего образования и программой курса «Математика» для студентов Института химии СГУ Курс «Математика» является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной Ее изучение предусматривает: развитие логического и алгоритмического мышления; овладение основными методами исследования и решения математических задач; овладение основными приемами работы с рядами; выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных задач Цель пособия помочь студентам Института химии СГУ освоить основные понятия теории рядов и получить практические навыки при решении типовых задач по данной теме В пособии рассматриваются основные вопросы теории рядов, а также некоторые приложения теории рядов Подробное содержание приведено в оглавлении В пособии кратко изложены необходимые теоретические сведения и формульные соотношения, основной материал иллюстрируют многочисленные примеры Приведены задачи для самостоятельного решения Самостоятельное решение этих задач позволит студентам освоить методику работы с рядами и будет способствовать лучшему пониманию пройденного материала Ответы к задачам помогут проконтролировать правильность их решения Пособие может быть полезно при изучении данной темы студентами нематематических направлений подготовки, изучающих высшую математику

4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ Определение числового ряда и его сходимости Пусть,,,,,, где f (), бесконечная числовая последовательность Символ вида () называется бесконечным числовым рядом Ряд () часто записывают в виде Числа,,,,, называются членами ряда; f () называется общим членом числового ряда Выражение () рассматривается как единое целое и само по себе никакого определенного смысла не имеет, поскольку действие сложения в своем непосредственном содержании имеет дело каждый раз лишь с конечным числом слагаемых При определении смысла выражения () нужно, c одной стороны, чтобы «бесконечная сумма» была «похожа» на обычные суммы, а с другой, описывала бы на языке математического анализа те или иные реальные факты и помогала бы решать задачи Поэтому сумму в () можно понимать по-разному Ограничимся рассмотрением только одной такой формулировки Выражения вида S ; S ; S ; S называются частичными суммами ряда () Частичные суммы S S, S,, S, образуют последовательность, частичных сумм Если существует конечный предел последовательности частичных сумм S lim S, то ряд называется сходящимся, а число S называется его суммой В противном случае (те если предел частичных сумм бесконечен или не существует), ряд называется расходящимся Содержание теории числовых рядов состоит в установлении сходимости или расходимости тех или иных рядов и в вычислении сумм сходящихся рядов В принципе можно доказывать сходимость или расходимость каждого ряда, а также вычислять сумму сходящегося ряда, опираясь непосредственно на определения сходимости и суммы Именно, в каждом случае можно попытаться составить аналитическое выражение для -ой частичной суммы ряда и найти предел этого выражения при возрастании

5 П р и м е р ы Исследовать ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q cost q q q q ( 0) () Данный ряд является простейшим (и очень важным!) примером числового ряда Как известно, сумма членов бесконечной геометрической прогрессии (частичная сумма ряда) имеет вид q S q Для выяснения вопроса сходимости ряда (), необходимо вычислить q q q lim S lim lim q q q q lim lim q q q q Дальнейшее зависит от значения знаменателя q Если q, то lim q 0 и lim S Следовательно, в этом q случае ряд () сходится, и его сумма S будет определяться формулой S () q Если q, то, очевидно, lim q Тогда lim S (в 5 зависимости от знака ) и, следовательно, ряд () расходится В остальных случаях lim S не существует и ряд () является расходящимся Исследовать ряд: Для данного ряда -ая частичная сумма ( ) S ( ) Очевидно, lim S lim Таким образом, ряд расходится и о его сумме говорить нельзя Исследовать ряд: ( ) Для данного ряда всякая частичная сумма S с четным номером равна нулю, с нечетным номером единице: S, S 0, S, S 0,

6 6 Последовательность частичных сумм ряда хотя и ограничена, но не имеет предела Следовательно, данный ряд расходится и не имеет суммы Исследовать ряд ) )( ( Общий член ряда ) )( ( можно представить в следующем виде: Тогда, 5, 7 5, 9 7, Следовательно, для данного ряда -ая частичная сумма S Так как lim lim lim S, то ряд сходится и его сумма S Только что описанный путь часто оказывается неудобным из-за трудности явного вычисления частичных сумм ряда и нахождения предела их последовательности Также при исследовании рядов значения частичных сумм не представляют интереса Более того, иногда не нужна даже сумма ряда, а все исследования ведутся лишь ради установления самого факта сходимости или расходимости ряда Поэтому интерес представляют методы анализа рядов, приводящие к их суммам непосредственно, минуя вычисление частичных сумм Точно также оказываются полезными приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы Остаток ряда Пусть дан ряд () Ряд вида k k () называется -м остатком ряда

7 Если S и S m частичные суммы ряда (), то, очевидно, S m S будет являться m ой частичной суммой ряда () Кроме того, S m S ( Sm S), откуда, переходя к пределу при m, получим lim S S lim ( S S ) (5) m m m m Предел слева определяет сумму S исходного ряда, а предел справа сумму r его -ого остатка Ясно, что из существования предела в левой части равенства (5) следует существование предела в правой его части и наоборот Отсюда можно сформулировать несколько свойств ряда Если сходится ряд (), то сходится ряд () Если сходится ряд (), то сходится ряд () Если ряд () сходится, то сумма r его -ого остатка с ростом стремится к нулю, то есть lim r 0 0 Основные теоремы о числовых рядах ТЕОРЕМА (критерий сходимости Коши) Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм S, S, S,, S, обладала следующим свойством: каково бы ни было 0, существует такое, что при любом m 0 S S m ТЕОРЕМА (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд сходится, то при предел общего члена сходящегося ряда равен нулю: lim 0 Этот признак не является достаточным, то есть если lim 0 это еще не значит, что ряд будет сходиться Однако, если lim 0, то ряд расходится П р и м е р Исследовать сходимость ряда 5 8 Для данного ряда 7

8 lim lim lim Таким образом, не выполняется необходимый признак сходимости, следовательно, ряд расходится ТЕОРЕМА (ассоциативный закон для сходящихся рядов) Если в сходящемся ряде произвольно объединить соседние члены в группы, не нарушая порядка членов ( ) ( ) ( ) и найти суммы v, v, v, членов, входящих в каждую из групп, то составленный из этих сумм ряд v v v будет сходиться и иметь туже сумму, что и первоначальный ряд Следствие Если в результате, составленный из сумм групп, ряд расходится, то и первоначально взятый ряд будет расходиться П р и м е р Исследовать ряд (6) ( ) Очевидно, что для любого,,, ( ) Рассмотрим ряд (7) Очевидно, для этого ряда S, S S, S S, S S, Вообще для четного k : S k, а для нечетного k k : S k 8

9 Тогда lim S, так что ряд (7) сходится Но тогда сходится ряд (6), получаемый попарным объединением членов ряда (7) и сумма этого ряда также равна единице ТЕОРЕМА (дистрибутивный закон для сходящихся рядов) Пусть некоторый ряд, а c произвольное число, отличное от нуля Тогда ряд c c c c сходится тогда и только тогда, когда сходится исходный ряд Если суммой исходного ряда является число S, то сумма последнего ряда равна cs ТЕОРЕМА (о сложении рядов) Если сходятся ряды ; b b b b, имеющие соответственно суммы S и, то сходится и ряд ( b ) ( b ) ( b ) ( b ), причем сумма последнего ряда равна S Теорема означает, что сходящиеся ряды можно почленно складывать и при этом складываются их суммы ТЕОРЕМА Если в ряд вписать на любых местах конечное число новых членов, или отбросить конечное число его членов, то сходимость ряда не изменится, то есть сходящийся ряд останется сходящимся, а расходящийся расходящимся Если первоначальный ряд был сходящимся, то сумма нового ряда получится из суммы старого увеличением ее на сумму вписанных членов, или уменьшением ее на сумму отброшенных членов Таким образом, сходимость ряда не зависит от любого конечного числа членов ряда Поэтому для установления сходимости (или расходимости) ряда не обязательно учитывать все его члены Достаточно ограничиться членами, «начиная с некоторого номера» З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Найти сумму ряда: 6 5 ( )( ) ( )( )( ) ( ) 9

10 Исследовать сходимость рядов, проверив выполнение необходимого условия сходимости: ,6 0,5 0,50 0,5 0, О т в е т ы 5 Расходится 6 Расходится 7 Расходится РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Все приемы, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость рядов, называются признаками сходимости В настоящее время известно большое число различных признаков сходимости К числу признаков сходимости можно отнести всякого рода теоремы, позволяющие сводить вопрос о сходимости некоторого данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который имеет более простую структуру Эти теоремы обычно состоят в сравнении членов исследуемого ряда с членами другого ряда, поведение которого уже выяснено Поэтому они называются признаками сравнения Будем рассматривать только ряды с положительными членами, или знакоположительные ряды, не оговаривая каждый раз это обстоятельство Пусть (8) b b b b (9) два знакоположительных ряда ТЕОРЕМА (первый признак сравнения) Если члены ряда (8), начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда (9) b, k, k, (0) то из сходимости ряда (9) следует сходимость (8), а из расходимости (8) следует расходимость (9) П р и м е р ы Исследовать сходимость ряда () Данный ряд называется рядом обратных квадратов 0

11 Отбросив первый член этого ряда, что, как известно не сказывается на его сходимости, сравним его с рядом, ( ) сходимость которого была уже установлена Очевидно, что ( ) ( ) следовательно, ряд () сходится Исследовать сходимость ряда Данный ряд называется гармоническим рядом Заменим в гармоническом ряде третий и четвертый члены на каждый, следующие четыре члена на членов на 6 и тд В результате получим ряд 8 () каждый, следующие восемь чл енов 6чл енов () Члены этого ряда не превосходят соответствующих членов гармонического ряда, поэтому для доказательства расходимости гармонического ряда достаточно установить расходимость ряда () Для этого объединим группы одинаковых членов ряда () в один член нового ряда Так как каждая k -я группа насчитывает k члена, а каждый член равен, то сумма членов в каждой группе равна Новый ряд k будет иметь вид Этот ряд расходится, поскольку не выполнено необходимое условие сходимости ряда Следовательно, в силу следствия из ассоциативного закона для сходящихся рядов, будет расходиться и ряд (), а потому и гармонический ряд

12 Следует отметить, что гармонический ряд представляет ряд, для которого выполнено необходимое условие сходимости: lim 0, но сам ряд является расходящимся Исследовать сходимость ряда si si si si Для сравнения рассмотрим ряд Это ряд обратных квадратов, и он сходится Очевидно, для любого справедливо неравенство si Следовательно, сходится и данный ряд Исследовать сходимость ряда tg tg tg tg Для сравнения рассмотрим ряд Это гармонический ряд, и он расходится Очевидно, для любого справедливо неравенство tg Следовательно, расходится и данный ряд ТЕОРЕМА (второй признак сравнения) Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общего члена ряда (8) к общему члену ряда (9): lim k 0, () b то ряды (8), (9) сходятся или расходятся одновременно П р и м е р Исследовать сходимость ряда e e e Возьмем в качестве вспомогательного ряда гармонический ряд, который расходится Тогда

13 правило Лопиталя e e 0 lim lim lim lim 0 b 0 e Следовательно, данный ряд, как и гармонический, является расходящимся ТЕОРЕМА (признак сходимости Даламбера) Если для ряда (8) существует предел отношения ( ) -го члена к -ому: lim D, (5) то этот ряд сходится при D и расходится при D Замечание Теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда в случае D В данной ситуации требуются дополнительные исследования П р и м е р ы Исследовать сходимость ряда!!! Применим признак Даламбера Имеем ( ) ;! ( )! Тогда ( ) ( )! ( ) ( )! : ( )!! ( )!!( ) ( ) Поэтому lim lim lim e e Так как e,78, следовательно, lim Поэтому данный ряд сходится Исследовать сходимость ряда 0 0 0

14 Применим признак Даламбера Имеем ; 0 ( ) Тогда : ( ) ( ) ( ) Поэтому lim lim 0 Так как D, то данный ряд расходится 0 ТЕОРЕМА (признак сходимости Коши) Если для ряда (8) существует предел lim D, (6) то этот ряд сходится при D и расходится при D Замечание Теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда в случае D В данной ситуации требуются дополнительные исследования П р и м е р ы Исследовать сходимость ряда Применим признак Коши Имеем lim lim lim Так как D, то данный ряд сходится Исследовать сходимость ряда Применим признак Коши Имеем ;

15 lim lim lim e Так как D e, то данный ряд расходится ТЕОРЕМА (интегральный признак сходимости) Если f () при непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд, где f (), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл f ( ) d П р и м е р ы Исследовать сходимость ряда ( p 0) p p p p Данный ряд называется обобщенным гармоническим рядом Применим интегральный признак Имеем Функция p f ( ) ( p 0) при непрерывная, положительная и монотонно p убывающая функция При p p f ( ) d d lim d lim lim b p b p b p p b, p, p, p При p f ( ) d d lim b b b d lim b 5 l p b b lim b l b l Объединяя результаты, в итоге получаем, что ряд сходится p при p (интеграл является конечной величиной) и расходится при p

16 Исследовать сходимость ряда l l l ( )l( ) Применим интегральный признак ( )l( ), f () ( )l( ) d ( ) f ( ) d d l l( ) ( )l( ) l( ) Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд Исследование сходимости ряда при помощи какого-либо признака должна начинаться с проверки того, входит ли данный ряд в сферу применимости используемого признака После того, как убедились, что выбранный признак сходимости применим к интересующему нас ряду, следует подумать о том, как выглядит это применение на практике Соображения удобства, простоты, а иногда и самой фактической возможности применения признаков сходимости обычно играют при этом важную роль З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Исследовать сходимость рядов с помощью первого признака сравнения: ; ; l( ) 5 Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака сравнения: ; 5 ; 6 5 Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера: 7 ; 8 0! ; ; 0 Исследовать сходимость рядов с помощью признака Коши: ; ; 0, 5 Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака: ; 5 ( )l ( ) (0 )l(0 6 )

17 О т в е т ы Сходится Расходится Сходится Сходится 5 Сходится 6 Расходится 7 Сходится 8 Сходится 9 Расходится 0 Сходится Сходится Сходится Расходится Сходится 5 Расходится ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака Пусть некоторый знакопеременный ряд Некоторую информацию об этом ряде можно получить, рассматривая ряд, составленный из абсолютных величин его членов: сумма ряда может измениться В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно превратить его в расходящийся ряд Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать 7 Этот ряд является рядом с положительными членами и потому его можно изучать на основании приемов, изложенных выше Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд из модулей его членов В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если расходится ряд, составленный из модулей его членов П р и м е р Исследовать сходимость ряда 5 Составим ряд из модулей членов данного ряда: 5 Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно ТЕОРЕМА (Дирихле) Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет абсолютно сходиться, а сумма его будет равна сумме исходного ряда Если ряд условно сходится, то при перестановке его членов

18 ТЕОРЕМА Если ряды соответственно суммы S и и 8 b абсолютно сходятся и имеют S, то сходится абсолютно ряд b ( b b ) ( b b b ) ( b b b b ), называемый произведением рядов (по Коши), и его сумма равна S S где Результат произведения можно записать в виде w, w w b b b, b b b,, w w w w w, (7) b b b b Эта группировка соответствует умножению по схеме: b bb b b b b b b b b b b b w w w w П р и м е р Найти произведение абсолютно сходящихся рядов,, Перемножая ряды по приведенной выше схеме, получим 8 6

19 Закон составления полученного ряда выражается формулами w, w 0 Опуская нули, получаем абсолютно сходящийся ряд 6 Его сумма есть произведение сумм исходных рядов Это легко проверить, так как сумма первого ряда, как сумма прогрессии, равна, а сумма второго исходного ряда равна, а сумма результата есть Знакочередующиеся числовые ряды Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий и практический признак сходимости, принадлежащий Лейбницу ТЕОРЕМА (признак сходимости Лейбница) Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда ( ) ( ), ( i 0, i,,,) (8) образуют монотонно убывающую последовательность, (9) общий член которой стремится к нулю lim 0, (0) то знакочередующийся ряд (8) сходится 9

20 Рассмотрим -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница: S ( ) Введем в рассмотрение -й остаток ряда R Его можно записать как разность между суммой ряда S и -й частичной суммой S : R S Нетрудно видеть, что S Величина R ( ) ( ) R оценивается с помощью неравенства: R П р и м е р ы Исследовать сходимость ряда Данный ряд знакочередующийся Проверим выполнение условий признака Лейбница Очевидно, что Кроме того, lim lim 0 Следовательно, на основании признака Лейбница, данный ряд сходится При этом, так как ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом и расходится, то данный ряд является условно сходящимся рядом Исследовать сходимость ряда (0,),,0,00 Для данного знакочередующегося ряда проверим выполнение условий признака Лейбница Первое условие признака Лейбница, очевидно, выполняется:,,0,00 С другой стороны, ; lim lim Таким образом, не выполнено второе условие признака Лейбница, следовательно, исходный ряд расходится Исследовать сходимость ряда Применим признак Лейбница Так как 0

21 ; ;, то Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница Так как lim lim lim 0, то выполнено и второе условие Значит, данный ряд сходится З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Исследовать сходимость знакочередующихся рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная) ( ) ; ; 0 ( ) ; ( ) ; 5 ( ) ; 6 ( ) ; 7 ; 8 ( ) l( ) Найти произведение абсолютно сходящихся рядов 9 и ( ) 0 и!! О т в е т ы Расходится Расходится Сходится условно Сходится условно 5 Сходится абсолютно 6 Расходится 7 Сходится абсолютно 8 Сходится условно !

22 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДАХ Так как задание числового ряда состоит в задании каждого его члена, а член ряда есть число, то задание функционального ряда от некоторой переменной состоит в задании ряда функций от этой переменной, являющихся членами функционального ряда Выражение ( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u () называется функциональным рядом относительно переменной Если переменная принимает только вещественные значения и значения функций, являющихся членами ряда (), также все вещественные, то ряд () называется вещественным рядом Если же значения переменной, как и значения функций u (), могут быть и комплексными, то ряд () называется комплексным рядом В дальнейшем будем иметь в виду только вещественные ряды Каждый из членов функционального ряда может быть, в частности, и постоянной В этом случае функциональный ряд превращается в числовой Таким образом, числовой ряд является частным случаем функционального ряда Придавая в выражении () переменной некоторые значения 0, и тд, будем получать те или иные числовые ряды u( 0) u( 0) u( 0) u ( 0), u( ) u( ) u( ) u ( ) и тд В зависимости от значения переменной полученный числовой ряд может оказаться сходящимся или расходящимся Совокупность всех значений переменной, для которых функции u( ), u( ), u( ), u ( ), определены и ряд u ( ) сходится, называется областью сходимости функционального ряда () Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси O Каждому значению соответствует определенное значение 0 величины lim S ( 0) S( 0), где S ( 0 ) uk ( 0) частичная сумма ряда k

23 Величину S () lim ( ), являющуюся функцией и S определенную в области сходимости, называют суммой функционального ряда П р и м е р ы Исследовать сходимость функционального ряда в точках 0 и В точке 0 получаем следующий числовой ряд: 5 В нем u ; u Применяя признак Даламбера, получим ( ) lim u D lim lim lim ( ) u Следовательно, в этой точке ряд расходится В точке получаем следующий числовой ряд: 5 В нем u ; u Применяя признак ( ) ( ) u ( ) Даламбера, получим lim D lim lim ( ), u то есть ряд сходится Найти область сходимости ряда 9 Члены данного ряда при любом значении, очевидно, меньше соответствующих членов ряда «обратных квадратов» Так как последний ряд сходится, по признаку сравнения должен сходиться и исходный ряд при любом Таким образом, областью сходимости данного ряда является множество всех действительных чисел

24 Исследовать на сходимость функциональный ряд При получим сходящиеся ряды, как частные случаи обобщенного гармонического ряда При, получающиеся числовые ряды, очевидно, расходятся Следовательно, область сходимости исходного функционального ряда: (, ) Найти область сходимости ряда si si si si Так как при любом значении величина si и члены ряда не меньше соответствующих членов гармонического ряда, который, как известно, расходится Следовательно, данный ряд не сходится ни при каком значении Можно сказать, что область сходимости этого ряда пуста 5 Найти область сходимости ряда 6 Если, то lim u lim 0 Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда и исходный функциональный ряд расходится Если, то также получаем расходящийся ряд: Если, то члены данного ряда меньше членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6 Ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии сходится, следовательно, исходный ряд в этом случае сходится Таким образом, область сходимости определяется неравенством Отсюда следует, что ряд сходится при Равномерная сходимость функционального ряда Представим сумму ряда в виде S( ) S( ) R ( ), где S ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ); R ) u ( ) u ( ) ( (

25 Выражение R () называется остатком функционального ряда Сходящийся функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области, если для каждого сколь угодно малого числа 0 найдется такое положительное число N, что при каждом N выполняется неравенство R () для любого П р и м е р ы Показать, что ряд ( ) 6 сходится равномерно при всех значениях ( ) Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства R ( ) u ( ) R ( ) R ( ) Так как неравенства и равносильны, то взяв N, где N какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию N, приходим к выполнению неравенства R () Следовательно, данный ряд сходится равномерно в промежутке (, ) Показать, что ряд сходится неравномерно в интервале (, ) В указанном интервале ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Для данного ряда R ( ), то есть R lim 0 ( ) Тогда R ( ) lim 0 5, а lim R ( ) lim 0 0 Следовательно, приняв, невозможно добиться выполнения неравенства R () при любом значении (, ) Таким образом, исходный ряд сходится неравномерно Удобный признак равномерной сходимости был сформулирован Вейерштрассом

26 ТЕОРЕМА (признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Если члены функционального ряда u( ), u( ), u( ), u( ), удовлетворяют в области неравенствам u ( ),,,, где, сходящийся числовой ряд, то функциональный ряд u ( ) сходится равномерно в области П р и м е р С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд si si si si сходится равномерно в области (, ) Очевидно, что при любых значениях выполняется неравенство u( ) si Но ряд сходится, следовательно, данный ряд сходится равномерно в области (, ) ТЕОРЕМА (Коши) Если все члены u ( ) (,,,) функционального ряда определены и непрерывны в области, и функциональный ряд u ( ) сходится в этой области равномерно, то сумма S () ряда есть непрерывная функция в области П р и м е р Показать, что сумма ряда cos cos cos cos ( ) является непрерывной функцией в области (, ) Члены данного ряда при любом не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов положительного числового ряда Но последний ряд, как было показано раньше, сходится Следовательно, на основании признака Вейерштрасса, функциональный ряд равномерно сходится в интервале (, ) Все члены равномерно сходящегося ряда непрерывные функции в области (, ) Тогда сумма данного ряда есть функция, непрерывная при любом значении 6

27 Сумма неравномерно сходящегося ряда непрерывных функции в одних случаях непрерывна, а в других разрывна Действия с функциональными рядами Для функциональных рядов можно сформулировать ряд полезных теорем ТЕОРЕМА (о почленном интегрировании рядов) Если функциональный ряд u( ) u( ) u( ) u( ) u ( ), где u( ), u( ), u( ), u ( ), непрерывные функции в области, равномерно сходится в этой области и имеет сумму S (), то ряд сходится и имеет сумму u ( ) d u( ) d u( ) d u( ) d ( ) S( ) d (, ) П р и м е р Рассмотреть вопрос о почленном интегрировании ряда 6 ( ) При ряд равномерно сходится (является геометрической прогрессией), сумма его равна Следовательно, почленным интегрированием исходного ряда до ряд 5 7 ( ) 5 7 также равномерно сходится при, и его сумма равна d rctg rctg 0 0 Если функциональный ряд сходится неравномерно, то почленное интегрирование в одних случаях допустимо, а в других нет ТЕОРЕМА (о почленном дифференцировании рядов) Если функциональный ряд u( ) u( ) u( ) u( ) u ( ) сходится в области, функции u( ), u( ), u( ), u ( ), имеют непрерывные производные в области, ряд 7

28 u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) равномерно сходится в этой области и имеет сумму (), то исходный ряд сходится равномерно в области и его сумма S () связана с () ds( ) соотношением: ( ) d Для почленного дифференцирования в некоторой точке сходящегося ряда достаточно сходимости ряда его непрерывных производных не в каком-либо заранее предписанном отрезке, но в сколь угодно малом (важно лишь, чтобы он содержал точку ) П р и м е р Рассмотреть вопрос о почленном дифференцировании ряда rctg rctg rctg rctg Сравним данный ряд со сходящимся рядом (при любом фиксированном ) Тогда u rctg, v Так как rctg и эквивалентные бесконечно малые, то u ( ) lim v ( ) и, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится Найдем производную общего члена данного ряда u ( ) rctg Ряд, составленный из производных, имеет вид Заметим, что члены последнего ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда Поэтому на основании признака Вейерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится в промежутке (, ) Следовательно, к данному ряду можно применить теорему о дифференцировании рядов 8

29 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Исследовать сходимость функционального ряда в точках ), b ) и c ) Найти область сходимости ряда e e e Показать, что ряд 9 ( ) сходится равномерно в области, Рассмотреть вопрос о почленном дифференцировании ряда si si si si 5 Рассмотреть вопрос о почленном интегрировании ряда cos cos cos!! ( )! на любом конечном отрезке, b О т в е т ы ) расходится, b ) расходится, c) сходится (, ) СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Функциональный ряд вида 0 ( ) ( ) ( ) ( ), () где постоянная величина, 0,,,,,, действительные числа, называется степенным рядом Числа 0,,,,,, называются коэффициентами степенного ряда Степенной ряд может быть представлен в виде () 0 Область сходимости степенного ряда Основное свойство степенного ряда устанавливает следующая теорема ТЕОРЕМА (Абеля) Если степенной ряд () сходится при некотором 0, то он сходится абсолютно при всех значениях, для которых выполняется неравенство 0 Наоборот, если ряд () расходится при, то он расходится и при всех значениях, для которых выполняется неравенство 0

30 Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости r, или r r с центром в точке, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится, а вне расходится На концах интервала сходимости ( в точках r ) различные степенные ряды ведут себя по-разному Эти точки требуют отдельного исследования Число r называется радиусом сходимости степенного ряда Если степенной ряд () сходится лишь при, то считают r 0 Если степенной ряд сходится на всей числовой прямой, то r Радиус сходимости степенного ряда можно определить несколькими способами Если среди коэффициентов степенного ряда 0,,,,,, нет равных нулю, то есть ряд содержит все целые положительные степени разности, то r lim () при условии, что этот предел (конечный, или бесконечный) существует Если среди коэффициентов степенного ряда 0,,,,,, есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности любая, то r, (5) lim где используются только 0 Радиус сходимости степенного ряда () также определяется по формулам () и (5) Интервал сходимости в этом случае определяется соотношением r r П р и м е р ы Исследовать сходимость степенного ряда ( ) ( ) ( ) ( ) Здесь, Тогда по формуле () ( ) ( ) R lim lim lim Следовательно, радиус сходимости r и ряд сходится при, то есть Исследуем сходимость ряда на концах промежутка 0

31 Если, то получаем числовой ряд ( ) Этот знакочередующийся ряд сходится, и притом абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин его членов Если, то получаем числовой ряд Этот ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с p Таким образом, ряд сходится для значений Исследовать сходимость степенного ряда!( 5)!( 5)!( 5)!( 5) В данном примере!, ( )! По формуле () найдем радиус сходимости степенного ряда! r lim lim lim 0 ( )! Следовательно, радиус сходимости r 0 и ряд сходится только при 5 0, то есть в одной точке 5 Исследовать сходимость степенного ряда!!!! Данный ряд вида () Для него, Тогда по! ( )! формуле () ( )! r lim lim lim ( )! Следовательно, ряд сходится при любом значении Исследовать сходимость степенного ряда Данный ряд будет иметь вид 6 ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( )

32 Здесь 0, при k и, при k Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (5) k r lim k k lim k k k k k Следовательно, радиус сходимости R и ряд сходится при, то есть Исследуем сходимость ряда на концах промежутка Если, то получаем числовой ряд Но lim e 0 Общий член числового ряда не стремится к нулю и ряд расходится То же самое имеет место при Таким образом, область сходимости числового ряда: (, ) Действия со степенными рядами Пусть даны два степенных ряда, 0 0 b b b b b, имеющие радиусы сходимости соответственно r и r, причем r r, и суммы (), S () Степенные ряды можно почленно складывать, вычитать и перемножать (по правилу умножения многочлена на многочлен) При этом получим новые ряды, радиусы сходимости которых в худшем случае равны r, а могут и превосходить r Суммы результирующих рядов будут определяться в соответствие с производимыми действиями: ( ) S( ), ( ) S( ) ; ( ) S( ) П р и м е р Даны два ряда с интервалом сходимости (, ), ( ) Найти их сумму, разность и произведение Складывая почленно, получим

33 Так как суммы исходных рядов: ( ), S( ), то сумма результирующего ряда: ( ) S( ) Вычитая почленно второй из первого, получаем 5 Сумма данного ряда будет иметь вид ( ) S( ) Результат умножения исходных рядов будет иметь вид Сумма последнего ряда равна ( ) S( ) Степенные ряды, как функциональные, можно почленно интегрировать и дифференцировать, поскольку внутри своего интервала сходимости степенной ряд сходится равномерно При этом ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда П р и м е р ы Найти сумму S () ряда Данный ряд получается дифференцированием ряда, сумма которого определяется формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: ( ) Остается продифференцировать (), чтобы получить сумму исходного ряда S( ) ( ) ( ) Найти сумму S () ряда Продифференцируем почленно данный ряд Сумма данного ряда ( ) Чтобы найти сумму исходного ряда, надо затем проинтегрировать () в пределах от 0 до

34 S( ) 0 ( ) d 0 d l( ) Разложение функции в ряд Тейлора Сумма всякого сходящегося степенного ряда является функцией, определенной в области сходимости этого ряда В связи с этим возникает две задачи: ) по заданному ряду искать ту функцию, которой равна его сумма в области сходимости ряда; ) по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции Эта задача называется разложением функции в ряд Рассмотрим вопрос разложения функции в степенной ряд Если функция f () бесконечно дифференцируема в интервале r, то она может быть представлена в этом интервале в виде степенного ряда ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) (6)!!! ( ) f ( ) Если S( ) ( ) частичная сумма ряда (6), то k! f ( ) S( ) R ( ) является остаточным членом ряда При условии, что lim ( ) 0 (7) R ряд (6) сходится, и его суммой будет функция f () Представление функции в виде ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) (8)!!! при выполнении (7) называется разложением этой функции в ряд Тейлора В частности, при 0, разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена и имеет вид: ( ) f (0) f (0) f (0) f ( ) f (0) (9)!!! Функция f (), разлагающаяся в ряд Тейлора, называется аналитической и ее разложение (8) единственно Остаточный член разложения (8) может быть представлен в различных формах Практически важными являются две формы представления остаточного члена ряда Тейлора: в форме Лагранжа ( ) f ( ( )) R ( ) ( ), где 0, (0) ( )!

35 в форме Коши ( ) f ( ( )) R ( ) ( ) ( ), где 0, () ( )! П р и м е р Разложить функцию f ( ) e в ряд Маклорена Функция e бесконечно дифференцируема при любом значении и ее производные определяются функциями ( e ) e ; ( e ) e ; ( e ) e ; Тогда 0 f (0) e 0 ; f (0) e ; f (0) e ; f (0) e ; e Остаточный член в форме Лагранжа будет иметь вид R ( ) ( )! Обозначим Так как 0, то 0 и, следовательно, lim R ( ) lim e ( )! lim e e ( )! 0 lim 0 ( )! Тогда разложение функции e в ряд Маклорена будет иметь вид e!!!! e Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций! si cos!!! l( )!! 5 5!! rctg 7 ( ) 7! 6 ( ) 6! ( ) ( ) ( )! ( )! ( ) 0 () () () (5) (6) 5

36 П р и м е р Разложить функцию y cos в ряд Маклорена В разложении () заменим на, получаем 6 () () () () cos ( )!! 6! ( )! и окончательно 6 6 cos ( )!! 6! ( )! Пусть дана функция m f ( ) ( ) (7) Для функции (7) разложение в степенной ряд будет иметь вид m m( m ) m( m )( m ) m( m )( m )!!!! Если m целое и положительное, то в m -м и во всех последующих коэффициентах появится равный нулю сомножитель Эти коэффициенты, а, следовательно, и сами члены, обращаются в нуль и ряд превращается в конечную сумму Если же число m нецелое или целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда в нуль не обратится и будем иметь дело с бесконечным рядом В этих случаях ряд называется биномиальным, а его коэффициенты биномиальными Степенной ряд будет сходится к функции (7) при определенных значениях m и Разложение функции (7) в ряд Маклорена m m m( m ) m( m )( m ) ( )!!! (8) будет иметь место: при m 0, если ; при m 0, если ; при m, если П р и м е р Разложить функцию y в ряд Маклорена Воспользуемся разложением (8), учитывая, что m 0 и при, получим ( )!!! 6

37 Приближенное вычисление значений функций с помощью ряда Маклорена С помощью разложения функций в степенные ряды можно быстро и довольно точно вычислять значения функций Для вычисления приближенного значения функции f () в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые членов, а остальные отбрасывают Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка R u, где u первый из отброшенных членов ряда Оценим погрешность приближенного равенства разложении или e!!, 0 (9)!! Эта погрешность определяется суммой членов, следующих за R e : R ( )! ( )! ( )!! ( ) ( )( ) ( )( )( )! ( ) ( ) ( )! В квадратных скобках имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, просуммировав которую, получим неравенство R ( )! ( )! Окончательно имеем следующую оценку приближенного равенства (9) R (0)!! в 7

38 П р и м е р ы Вычислить e с точностью 0, 0000 Используя разложение () для, получаем e e!!!! Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства e!!!! не превышала 0, 0000 Воспользуемся оценкой (0) для, из которой определим при каком значении будет выполняться неравенство R 0,0000! Путем подбора определяем, что это будет при 6 Тогда e 5 6!!!! 5! 6! Вычислив каждое слагаемое с точностью до 0, 00000, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей заданную, получим e,6879 Вычислить cos 8 с точностью 0, 000 Используя разложение () для 8 0, 6, получаем 0 cos8 6 cos 0! 0 8! 0 6! 0 6 Так как 0, 000 достаточно взять три члена ряда Тогда 6! 0 0, ,0097 cos8 ; cos8 0, 95 Вычислить 5 5 с точностью 0, 000 Чтобы воспользоваться разложением (8) для m 0 и 5 представим 5 5, тогда

39 !5 9, Здесь взяты первые три члена ряда, так как следующий член будет 9 0,0000! Следовательно, 5 5, 06 Вычислить l, 0 с точностью 0, 000 Воспользуемся разложением (5) 5 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) l,0 l( 0,0) 0,0 5 0,0 0,0008 0,0000 0, Следовательно, l,0 0, 09 Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов Многие интегралы, не выражающиеся через элементарные функции в конечном виде, представляются быстро сходящимися бесконечными рядами Есть смысл разлагать в ряды даже такие интегралы, которые можно представить конечными выражениями, если эти выражения сложны Вычисление интегралов при помощи рядов можно комбинировать с обычными приемами интегрального исчисления П р и м е р ы Вычислить интеграл si d с точностью до 0,5 0 0 Неопределенный интеграл si d не берется в конечном виде Разлагая si в ряд и деля почленно на, получаем ряд 6 si,! 5! 7! сходящийся при любом значении Интегрируя, имеем: 5 7 si d! 5 5! 7 7! 9

40 Тогда 0 si d! Первый отброшенный член, ! 9 9 9! и, выполнив вычисления, получим 0 5 0, ! si d,5708 0,5 0,059 0,0007,7 e 0 Вычислить d с точностью до 0,5 0 7 Учитывая, что Заменив в разложении () на, получим сходящийся ряд 6 e ( )!!!! Интегрируя, получим e d! 5! 7! 9! 5! Тогда e d 0! 5! 7! 9! 5! Член 0,5 0, поэтому его и все последующие 5! отбрасываем Вычисления проводим на пять-шесть знаков Получаем e d 0,768 0 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Найти область сходимости ряда: степенного 0, 5 5 6! ( ) ) ( ) 7 ( 0

41 Найти сумму рядов: 8, 9, ( ) Разложить функцию f () в ряд по степеням : 0 f ( ) f ( ) e f ( ) Вычислить значение функций с точностью 0, 000: si 9, 06 l 0, 98 Вычислить интеграл с точностью до 0, 00: 0, e l( ) 5 d 6 d 0 0, 0 О т в е т ы 0, 0,, 5 0 5, l 6, 7, 8 9 0,56,096 ( ) ( ) 0,00 5 0, 0 6 0, 098 РЯДЫ ФУРЬЕ Две функции () и () называются ортогональными в промежутке (, b), если b ( ) ( ) d 0 () П р и м е р Проверить ортогональность функций ( ) cos в промежутке (, ) Вычислим ( ) si 5 и si 5 cosd (si7 si ) d cos7 cos 6 Следовательно, заданные функции ортогональны 0 Любые две различные функции, взятые из системы функций, cos, cos, cos,,si, si, si,, () ортогональны в промежутке (, ), то есть cosmd 0 ( m 0), si md 0,

42 cosm cosd 0, si m si d 0 ( m ), si m cosd 0 ( m, любые натуральные числа) Если вместо двух различных функций системы () взять две одинаковые, то d, cos md, si md, где m,,, Полученные для системы () формулы сохраняют силу для любого интервала длиной Если в какой-нибудь системе функций каждые две функции ортогональны, то и сама система называется ортогональной Таким образом, система () является ортогональной в любом промежутке длиной Тригонометрическим рядом называется ряд вида 0 cos cos cos b si b si b si или 0 ( cosm b si m), () где ряда m 0,,,, b, b, b, m m постоянные, называемые коэффициентами ТЕОРЕМА (Эйлера-Фурье) Если тригонометрический ряд () сходится для всех значений к некоторой функции f (), периодической с периодом, для которой существует собственный или несобственный интеграл имеют место формулы Эйлера-Фурье: m f ( ) d, то для коэффициентов ряда () 0 f ( ) d, f ( )cosmd ; b m f ( )si md, () m,,, (5) На практике важна следующая обратная задача: дана функция f () с периодом ; требуется найти всюду сходящийся тригонометрический ряд (), имеющий сумму f () Если эта задача имеет решение, то оно

43 единственно, и коэффициенты ряда () находятся по формулам Эйлера- Фурье Полученный ряд называется рядом Фурье ТЕОРЕМА (Дирихле) Пусть функция f () в замкнутом промежутке, имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (то есть удовлетворяет условиям Дирихле) Тогда ряд Фурье для этой функции сходится в каждой точке отрезка, Сумма S () этого ряда определяется следующим образом: ) S( ) f ( ) во всех точках непрерывности функции f (), лежащих внутри отрезка, ; ) S( 0 ) f ( 0 0) f ( 0 0), где 0 точка разрыва I рода функции f () ; ) S ( ) S( ) f ( 0) f ( 0) на концах промежутка, то есть при П р и м е р Разложить в ряд Фурье функцию f ( ) заданную на отрезке, Так как функция f ( ) внутри отрезка, непрерывна и монотонна, она удовлетворяет условиям Дирихле Заметим, что говорить о непрерывности функции на концах отрезка, пока не можем, так как для непрерывности функции в граничных точках надо знать предельное поведение при подходе к отрезку извне Используя формулы ()-(5), получим 0 d 0, m cosmd si m si 0 md, m m b m si md si m si md ( ) m m Таким образом, тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке, будет ряд m si si si ( ) si m m m m f ( )

44 Обозначим сумму данного ряда S () Эта функция во всех точках непрерывности f ( ) должна с ней совпадать Значит внутри отрезка, S( ) f ( ) На концах отрезка, при, все синусы обращаются в нуль: si m 0 Следовательно, S ( ) 0 Функция S () должна быть периодической с периодом T Поэтому аналитически эту функцию можно задать следующим образом:,,, 5, S ( ) 0,,, 5, Если продолжим функцию f ( ) с отрезка, на всю вещественную прямую, согласно ее аналитическому виду, то вне отрезка, получим нечто совершенно отличное от функции S () Однако продолжение f ( ) с отрезка, периодической функцией с периодом T, если положить f ( ) f ( ) f ( 5 ) 0, будет совпадать с функцией S () Если функция () l, l, где l произвольное число, то при выполнении на этом отрезке условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье 0 m m ( m cos bm si ), (6) l l f задана на отрезке m l 0 f ( ) d, (7) l l l l m m m f ( )cos d ; bm f ( )si d, m,,, (8) l l l l l l В случае, когда f () четная функция, ее ряд Фурье будет иметь вид 0 m f ( ) m cos, l m l m где m f ( )cos d, m 0,,,, l 0 l В случае, когда f() нечетная функция, ее ряд Фурье будет иметь вид m f ( ) bm si, l m

45 l m где bm f ( )si d, m,,, l 0 l Если функция f () задана на отрезке 0, l, то для разложения в ряд Фурье ее достаточно доопределить на отрезке l, 0 произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на отрезке l, l Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках отрезка l, 0 находились из условия f ( ) f ( ) или f ( ) f ( ) В первом случае на отрезке l, l функция f () будет четной, а во втором нечетной При этом коэффициенты разложения будут определяться по вышеприведенным формулам П р и м е р Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f () с периодом, уравнением f ( ) Рассматриваемая функция является четной Так как l, то коэффициенты разложения будут иметь вид l 0 f ( ) d d l m l T, заданную на отрезке 0 l 0 m f ( )cos d l 0 0 cosmd u ; du d si m dv cosmd; v si m m si md m 0 0 m u ; du d si md m 0 dv si md; v cosm m m cosm cosmd ( ), m,,, m 0 m 0 m Для четной функции коэффициенты разложения b m 0, следовательно, ряд Фурье будет иметь вид cos cos cos cos (9) Функция f ( ) удовлетворяет условию теоремы Дирихле, значит, ряд (9) сходится всюду Сумма его равна для всякого значения (, ) Более того, поскольку функция четная, сумма ее ряда Фурье равна и на концах отрезка, то есть при 5

46 Таким образом, на промежутке, имеем: cos cos cos cos П р и м е р Разложить в ряд Фурье функцию f (), определенную в промежутке (, ) следующим образом:, при 0, f ( ), при 0 Эта функция разрывна при 0, где у нее скачок Действительно, имеем f ( 0), f ( 0) Функция f (), периодически продолженная за пределы промежутка (, ) изображена на рис O y Рис Функция f () нечетная, следовательно, ряд Фурье будет содержать только синусы и коэффициенты ряда будут иметь вид: m b m f ( )si md ( ), m,,, 0 m Отсюда bк, л ( k,,,) b 0 k 6

47 Во всех внутренних точках промежутка (, ), кроме точки разрыва 0 сумма ряда Фурье равна f (), то есть при 0 имеем: si si 5 si(m ) si, 5 m а при 0 имеем: si si 5 si(m ) si 5 m В точке разрыва 0 сумма ряда Фурье равна 0 На концах промежутка, то есть при сумма ряда Фурье также равна 0 З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f () с периодом T, заданную на указанном отрезке: f ( ) ;, T ; T ;, f ( ) e ; h, при 0, f ( ) T h, при 0 ; О т в е т ы cos(m ) f ( ) (m ) m 0 m ( ) f ( ) sh (cosm msi m) mm h si(m ) f ( ) m m 0 7

48 Список рекомендованной литературы Воробьев НН Теория рядов М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 979 Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевникова ТЯ В ч: Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб пособие для вузов М: Издательский дом «ОНИКС век»: Мир и Образование, 00 Демидович ВП, Кудрявцев ВА Краткий курс высшей математики: Учеб пособие М: Астрель, 005 Лунгу КН, Письменный ДТ, Федин СН, Шевченко ЮА Сборник задач по высшей математике курс -е изд, испр и доп М: Айрис-пресс, 00 Минорский ВП Сборник задач по высшей математике: Учеб пособие М: Физ- мат лит, 006 Письменный ДТ Конспект лекций по высшей математике: полный курс Дмитрий Письменный 8-е изд М: Айрис-пресс, 009 Щипачев ВС Высшая математика: Учебник для немат спец вузов / Под ред акад А Н Тихонова М: Высшая школа, 985 8


Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика»

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ. Кафедра «Математика» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» «Ряды Часть II» Авторы

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее