Числовые и функциональные ряды

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Числовые и функциональные ряды"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» Числовые и функциональные ряды Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика СП Королева (национальный исследовательский университет)» в качестве методических указаний САМАРА Издательство СГАУ 3

2 УДК 575 ББК 9 Составители: СВ Бушков, ЛВ Коломиец, ОЮ Семёнова Рецензент: д-р техн наук, проф БА Г о р л а ч Числовые и функциональные ряды: метод указания / сост СВ Бушков, ЛВ Коломиец, ОЮ Семёнова - Самара: Изд-во Самар гос аэрокосм ун-та, 3 36 с Методические указания составлены в соответствии с действующей программой по курсу высшей математики для инженерно-технических специальностей Самарского государственного аэрокосмического университета Указания обеспечивают полную теоретическую и методическую поддержку практических занятий по темам «Числовые ряды» и «Функциональные ряды и их приложения» Могут быть рекомендованы студентам для самостоятельной работы и подготовки к экзаменам Учебное издание Составители: Бушков Станислав Владимирович Коломиец Людмила Вадимовна Семенова Ольга Юрьевна ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания Редактор НС Куприянова Компьютерная доверстка АВ Ярославцева Подписано в печать 573 г Формат 6х84 /6 Бумага офсетная Печать офсетная Печ л,5 Тираж экз Заказ Арт М/3 Самарский государственный аэрокосмический университет Самара, Московское шоссе, 34 Издательство Самарского государственного аэрокосмического университета Самара, Московское шоссе, 34 Самарский государственный аэрокосмический университет, 3

3 СОДЕРЖАНИЕ Понятие числового ряда и его суммы 4 Свойства сходящихся рядов 6 3 Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами 8 4 Знакопеременные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 4 6 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов 6 7 Функциональные ряды 7 8 Равномерная сходимость функциональных рядов 9 Свойства равномерно сходящихся рядов 3 Степенные ряды 5 Разложение функций в степенные ряды 9 Приложения степенных рядов 3 3

4 ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА И ЕГО СУММЫ Рассмотрим числовую последовательность,,,, Составим из неё новую последовательность по правилу: S =, S = +, S3 = + + 3, S = + + +, Определение Выражение = называется числовым рядом, числа,,,, называются членами ряда, общим членом ряда Определение Сумма первых членов ряда частичной суммой ряда S = = называется -й Определение 3 Остатком числового ряда после -го члена называется = k k= + r Определение 4 Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм при, те S = lim S Число S называется суммой числового ряда, в этом случае записывают: = S Если lim S = k= = или не существует, то ряд называется расходящимся Пример Рассмотрим геометрическую прогрессию b, b q, b q,, b q, Из базового курса математики известно, что сумма её первых членов равна 4 k =

5 b ( q S ) =, q q Возможны следующие случаи: ) Если q >, то lim q =, следовательно, lim S =, те ряд расходится ) Если q <, то lim q, те ряд bq сходится = 5 b ( q ) = следовательно, S = lim b lim = q q, 3) Если q =, то S = b b + b b + + b В этом случае сумма нечётного числа членов ряда S = S3 = = S+ = b, а сумма чётного числа членов S = S4 = = S + = Получили последовательность частичных сумм b,, b,,, которая не имеет предела Следовательно, при q = ряд bq расходится = Ответ: ряд bq =, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при q < и расходится при q 4 Пример Найдите сумму ряда = Решение Разложим общий член ряда на простейшие дроби: 4 4 = = = (7 )(7+ ) 7 7+ Найдём -ю частичную сумму ряда: 4 S = = = k= k= Заметим, что второе слагаемое скобки с номером «k» взаимно уничтожается

6 с первым слагаемым скобки с номером «k +», поэтому в итоге частичная сумма ряда имеет вид: S = Найдём предел: lim S = lim + = + = Ответ: данный ряд сходится и его сумма равна 3 Теорема Если сходится ряд СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ, то сходится и его остаток = = k наоборот Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание или добавление конечного числа членов Теорема Если ряд c =cost, сходится к сумме ( c S) Теорема 3 Если сходятся ряды равны S и (обратное неверно) сходится к сумме S, то ряд ( c ) = = S, то сходится и ряд ( ± b ) 6, и, где и b и их суммы соответственно = = и его сумма равна S ± S = Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд сходится, то lim = = Условие lim = является необходимым, но недостаточным условием сходимости ряда Пример 3 Исследуйте на сходимость ряд =

7 Решение Ряд = = называется гармоническим ря- 3 дом Необходимый признак сходимости для этого ряда выполняется, тк lim = Докажем, что этот ряд расходится Действительно, если бы ряд сходился к сумме S, то выполнялись бы соотношения: lim S = S, lim S = S и lim ( S S ) = S S = Однако справедлива оценка S S = > = = + + Таким образом, по теореме о предельном переходе в неравенствах из оценки S S > следует, что равенство lim ( S S ) = невозможно Ответ: гармонический ряд расходится = Итак, из условия lim = не обязательно следует, что ряд сходится Необходимый признак сходимости можно использовать лишь для доказательства расходимости ряда Пример 4 Исследуйте на сходимость ряд = + Решение Если бы ряд сходился, то выполнялось бы условие lim = + Однако lim = lim =, те необходимый признак сходимости не выполняется + Ответ: ряд расходится = 7

8 3 ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Теорема 5 (признак сравнения) Пусть для членов рядов и = b для = всех, или начиная с некоторого, имеет место неравенство b Тогда: ) если сходится ряд b, то сходится и ряд = ; те из сходимости ряда = с бóльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами Обратное неверно; ) если расходится ряд, то расходится и ряд = b, те из расходимо- = сти ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бóльшими членами Обратное неверно 3 Пример 5 Исследуйте на сходимость ряд rcsi = + π π Решение Так как rcsiα ; для любых α [ ; ], то, учитывая, 3 что α = ( ; ), можно записать следующую оценку: π π rcsi 4 5 = + < < + + π π Ряд с бóльшими членами = = b q составлен = = 4 = π из членов геометрической прогрессии, где b =, q = < и, следовательно, сходится Тогда по признаку сравнения сходится и ряд с меньшими 4 членами 8

9 3 Ответ: ряд rcsi = + сходится по признаку сравнения Теорема 6 (предельный признак сравнения) Пусть >, b > и существует предел lim = q ( q ) b Тогда ряды = и = являются эквивалентными в смысле сходимости, те сходятся или расходятся одновременно b Пример 6 Исследуйте на сходимость ряд 3 = 4 + Решение Применим предельный признак сравнения В качестве ряда сравнения возьмём расходящийся гармонический ряд = и найдём ( ) 3 lim = lim = 3 b Ответ: ряд расходится по предельному признаку сравнения 3 = π Пример 7 Исследуйте на сходимость ряд tg = Решение Применим предельный признак сравнения В качестве ряда сравнения рассмотрим гармонический ряд = и найдём 5 4 5π 4 tg π π π tg ~ 5 5 lim = lim = = lim = π b при 9

10 Гармонический ряд расходится, поэтому ряд Ответ: ряд 4 5π tg также расходится = 4 5π tg расходится по предельному признаку сравнения = Теорема 7 (признак Даламбера) Пусть для ряда ρ =, то требуется дополнительное исследование по другим при- предел lim + = ρ Тогда: ) если ρ <, то ряд сходится; ) если ρ >, то ряд расходится; 3) если знакам =, > существует Пример 8 Исследуйте на сходимость ряд Решение 4 7(3 ) =, +! + 4 7(3 ) +! = 4 7(3 )(3+ ) = Найдём + ( + )! + 47(3 )(3+ )! 3+ 3 lim = lim = lim = > ( + ) + + ( + )! 4 7 (3 ) Ответ: по признаку Даламбера данный ряд расходится Пример 9 Исследуйте на сходимость ряд =!5 + Решение =, ( + )!5 + = Вычислим + ( + )!5 + ( + ) ( + ) + + ( )!5 5 +!5 lim = lim = lim = lim + = e < 5 5 Здесь использован второй замечательный предел lim + e =

11 Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера!5 = Теорема 8 (радикальный признак Коши) Пусть для ряда, > существует предел lim = ρ Тогда: ) если ρ <, то ряд сходится; ) если ρ >, то ряд расходится; 3) если ρ =, то требуется дополнительное исследование по другим признакам Пример Исследуйте на сходимость ряд Решение Найдём предел: ( ) 4 4 = 4 π rctg = 4 lim = lim rctg π π = lim lim rctg 4 4 = < = При вычислении предела использовано известное равенство lim Ответ: ряд = 4 rctg π 4 сходится по радикальному признаку Коши Теорема 9 (интегральный признак Коши) Пусть члены ряда имеют = вид = f( ), где f ( ) неотрицательная, монотонно убывающая функция на промежутке [, + ) Тогда ряд сходится (расходится) тогда и = только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл + f ( d )

12 Пример Исследуйте на сходимость обобщённо-гармонический ряд Дирихле, α > = α Решение При α = имеем расходящийся гармонический ряд При α >, α положим f ( ) = Функция f ( ) α монотонно убывает на промежутке [ ), + Вычислим несобственный интеграл: + + +, < α < d = α ( ) α = α, α > α Таким образом, несобственный интеграл = = непрерывна и α + d сходится при α > и расходится при < α < Ответ: по интегральному признаку Коши обобщённо-гармонический ряд Дирихле сходится при α > и расходится при α 3 Пример Исследуйте на сходимость ряд = ( ) l Решение Непосредственное применение интегрального признака приводит + 3d к интегралу, вычислить который затруднительно Поступим ( l ) по-другому Подберём ряд, эквивалентный данному в смысле сходимости Рассмотрим ряд b = Применим предельный признак сравне- l ния Вычислим = = ( ) α 3 l 3 lim = lim = lim = 3 Следова- b l тельно, по предельному признаку сравнения ряды и = b сходятся =

13 или расходятся одновременно Исследуем теперь ряд по интегральному признаку Вычислим интеграл Ответ: несобственный интеграл интегральному признаку ряд = + d + = l l =+ l + d l = l = b расходится, следовательно, по расходится Тогда данный ряд 3 также расходится по предельному признаку сравнения ( )l 4 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Ряды, члены которых могут иметь различные знаки, называются знакопеременными Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное число как отрицательных, так и положительных членов Пусть дан ряд Соста- = вим ряд из модулей = 3, все его члены являются неотрицательными числами, следовательно, к этому ряду можно применять достаточные признаки сходимости (сравнения, Даламбера, Коши) Определение 5 Если ряд абсолютно сходящимся Если ряд называется = сходит- = ся, то ряд = сходится, то ряд = = называется условно сходящимся расходится, а ряд

14 Пример 3 Исследуйте на сходимость ряд Решение Составим ряд из модулей 3 ( ) = ( + )! 3 = = = ( + )! и исследуем его с помощью признака Даламбера Найдём предел: 3 ( ) ( ) + ( + )! lim = lim = lim = < ! Ответ: ряд, составленный из модулей, сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно 5 ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ ( 3 4 = Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередую- щиеся ряды, те ряды вида ) = + + или = вида ( ) = =, где > Не ограничивая общности, в дальнейшем будем рассматривать ряды ( ) Теорема (признак Лейбница) Пусть для ряда ( ), > = выполнены условия: ) 3 (члены ряда не возрастают по абсолютной величине); ) lim = Тогда ряд = ( ) сходится, причём его сумма не превосходит по модулю первого члена, те S 4

15 План исследования на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда: ) составить ряд из модулей и исследовать полученный ряд на сходимость по достаточным признакам сходимости знакоположительных рядов (сравнения, Даламбера, Коши); ) если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно; 3) если ряд из модулей расходится, то применить к исходному ряду признак Лейбница; 4) если признак Лейбница выполняется, то исходный ряд сходится условно; 5) если признак Лейбница не выполняется, то исходный ряд расходится Следствие Если знакочередующийся ряд сходится, то его остаток ( + ) = ± r тоже является знакочередующимся сходящимся рядом, следовательно, по признаку Лейбница его сумма r не превосходит по модулю первого члена : r + + Отсюда следует, что для знакочередующегося сходящегося ряда погрешность приближённого равенства S S не превосходит по модулю первого отброшенного члена: Δ= = S S r + Пример 4 Исследуйте на сходимость ряд ( ) и вычислите = + 5 его сумму с точностью, Решение Ряд из модулей имеет вид, он расходится по предельному признаку сравнения одновременно с гармоническим рядом, тк = + 5 lim = lim : = Значит, данный ряд не сходится абсолютно b + 5 Применим к исходному знакочередующемуся ряду признак Лейбница: ) = = > ( + ) + 5 ( + 5)( ( для всех + ) + 5), те > +, ; 5

16 ) lim = lim = + 5 Условия признака Лейбница выполняются при всех, следовательно, ряд ( ) сходится условно = + 5 Вычислим приближённо сумму данного ряда с точностью, Из следствия признака Лейбница Δ = r ( ) = S S + Следовательно, + ( ) Δ< <, Это неравенство будет выполняться при Следовательно, для нахождения суммы данного ряда с точностью до, достаточно взять 99 первых его членов, те S S99 S = = = Тогда ( ) ( ) = +, 6 Заметим, что результат вычисления приближённого значения суммы данного ряда необходимо округлить до двух знаков после запятой = Ответ: ряд ( ) + 5 сходится условно и его сумма S,6 6 СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Теорема Пусть ряды и = b сходятся абсолютно и их суммы соот- = сходится абсолютно и его = ветственно равны А и В Тогда ряд ( ± b ) сумма равна A ± B Теорема Если ряд = ( c ), где c = cost = сходится абсолютно и его сумма равна А, то ряд, сходится абсолютно и его сумма равна ( c A) 6

17 Определение 6 Произведением рядов и b называется ряд c, = = = где c = kb k = b + b + + b k = Теорема 3 Если ряд сходится абсолютно к сумме А, а ряд b = = сходится условно к сумме В, то произведение этих рядов c сходится = (необязательно абсолютно) к сумме C Теорема 4 Если ряд = = A B сходится условно, то оба ряда, составленные из положительных и отрицательных членов этого ряда, расходятся Известно, что сумма конечного числа слагаемых не зависит от перестановки слагаемых Сохранится ли это свойство для бесконечного числа слагаемых? Теорема 5 (Дирихле) Пусть ряд = сходится абсолютно к сумме S Тогда при любой перестановке членов ряда он останется сходящимся к сумме S Теорема 6 (Римана) Если ряд = сходится условно, то путём перестановки его членов можно получить ряд, сумма которого будет равна любому наперёд заданному числу А, или расходящийся ряд 7 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Определение 7 Функциональным рядом называется ряд вида u( ) = u( ) + u( ) + + u( ) +, = 7

18 где u ( ) функции, определённые на некотором множестве X Сумма S ( ) = u ( ) называется -й частичной суммой ряда, выражение k= + k r ( ) = u ( ) остатком ряда k= k При каждом фиксированном = функциональный ряд превращается в числовой и его сходимость можно исследовать по известным признакам Если такой числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке Совокупность всех значений, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда Суммой функционального ряда называется функция S ( ) = lim S( ), определённая в области сходимости функционального ряда Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей u ( ) = Для определения области сходимости функционального ряда можно использовать обобщённые признаки сравнения, Даламбера, Коши и тд, в которых вместо надо брать u () o Пример 5 Найти область сходимости ряда = + Решение Зафиксируем Получим числовой знакоположительный ряд Этот ряд сходится на всей числовой прямой по признаку сравнения, тк для всех, а ряд + сходится (ряд Дирихле, = α = > ) Ответ: область сходимости ряда ( ; +) 8

19 Пример 6 Найти область сходимости ряда Решение Зафиксируем 9 ( п + )! = Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера: ( ) ( ) u+ ( + 3)! u ( )! + + ( ) lim = lim = lim + 3 => Этот результат справедлив для всех допустимых значений Следовательно, ряд расходится на всей области определения Ответ: область сходимости ряда пустое множество Пример 7 Найти область сходимости ряда e = Решение Зафиксируем Получим числовой знакоположительный ряд Применим к нему радикальный признак Коши: ( ) lim u = lim lim e = e Ряд будет сходиться, если e <, те < Остаётся рассмотреть случай = вид = При этом исходный ряд имеет и расходится, тк для него не выполняется необходимый признак сходимости ряда: lim = Таким образом, точка = не входит в область сходимости ряда Ответ: область сходимости ряда ( ;) Пример 8 Найти область сходимости ряда п = 3п+ х+ ( )( ) п

20 Зафиксируем, получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся Поэтому составим ряд из модулей и п = 3п+ х+ ( ) п применим к нему признак Даламбера: ( ) ( ) + п u+ (3 ) х п lim = lim = lim = u х х + п+ (3 5) + х + Ряд будет сходиться, если х + <, те при ( ; 4) ( ; +) При = ряд примет вид = +, он расходится одновременно с гармо- 3 ническим рядом по предельному признаку сравнения При = 4 ряд имеет вид ( 3 + )( ) ( ) = = = и является знакоче- 3 + редующимся Этот ряд сходится условно по признаку Лейбница Ответ: область сходимости ( 4] ( ; +) ; 8 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ Основным вопросом исследования функциональных рядов является вопрос о свойствах суммы S ( ) ряда в зависимости от свойств членов u ( ) этого ряда Возникают вопросы: ) если члены ряда u ( ) непрерывные функции, то будет ли S ( ) тоже непрерывной функцией? ) если члены ряда интегрируемые (дифференцируемые) функции, то будет ли сумма ряда интегрируемой (дифференцируемой) функцией?

21 Пример 8 Найдите сумму ряда ( ), [,] = Решение Очевидно, что S() S(), Ряд в этом случае представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии S ( ) = ( ) со знаменателем q= < и сходится = b Сумма прогрессии равна S ( ) = q = ( ) =, < < Окончательно сумма ряда имеет вид:, =, = S ( ) =, (,) Хотя все члены ряда являются непрерывными на отрезке [, ] функциями, сумма ряда S ( ) оказалась разрывной функцией Таким образом, в общем случае сумма функционального ряда не всегда наследует свойства членов ряда Определение 8 Ряд = = = Пусть ( ) u ( ) называется равномерно сходящимся в области D к сумме S ( ), если ε > N(ε ) (номер, зависящий от ε и не зависящий от ), такой, что > N выполняется неравенство S ( ) S( ) < ε, D (или r () < ε ) На рис приведена геометрическая иллюстрация равномерной сходимости функционального ряда S( ) S ( ) S( ) ε ε Рис Иллюстрация равномерной сходимости

22 Пример 8 Докажите равномерную сходимость функционального ряда ( ) на отрезке [,] = Решение Оценим остаток ряда: + + r ( ) = Выражение под знаком модуля при каждом фиксированном [,] является знакочередующимся рядом, который сходится по признаку Лейбница и его сумма не превосходит первого члена: + r ( ) < ε ε Решая неравенство < ε, находим > + 8 ε 8 Таким образом, существует номер ε N( ε ) =, не зависящий от, такой ε что r ( ) < ε, [,], > N(ε ) Следовательно, по определению функциональный ряд сходится равномерно при [,] т= ) ( Ответ: ряд сходится равномерно при [,] Теорема 7 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости) Если члены ряда = u ( ), D удовлетворяют неравенству u( ) и числовой знакоположительный ряд равномерно в области D = сходится, то Пример 9 Исследуйте на равномерную сходимость ряд Решение При любых R выполняется неравенство: si( 3) = = u ( ) сходится si( 3) +

23 Обобщённый гармонический ряд сходится ( 3 α = > ) Следова- 3 = тельно, по признаку Вейерштрасса функциональный ряд si( 3) схо- + дится равномерно при любом действительном Ответ: ряд сходится равномерно при ( ; + ) = 9 СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Теорема 8 (о непрерывности суммы ряда) Пусть в области D : ) все члены ряда ) ряд = u ( ) являются непрерывными функциями; = u ( ) сходится равномерно к сумме S ( ) Тогда сумма ряда S ( ) есть непрерывная функция в области D Теорема 9 (о почленном интегрировании ряда) Пусть в области D : ) все члены ряда u ( ) являются непрерывными функциями; = ) ряд u ( ) сходится равномерно к сумме S ( ) = Тогда его можно почленно интегрировать на любом отрезке, b D b b b S d u d u d и справедлива формула ( ) = ( ) = ( ) = = Теорема (о почленном дифференцировании ряда) Пусть в области D : 3

24 ) все члены ряда функциями; u ( ) являются непрерывно-дифференцируемыми = ) ряд u ( ) сходится к сумме S ( ); = 3) ряд, составленный из производных Тогда в области D ряд = = u ( ), сходится равномерно u ( ) сходится равномерно, его сумма S ( ) является непрерывно-дифференцируемой функцией, ряд почленно дифференцировать: S ( ) = u( ) = u ( ) = = u ( ) можно = Пример Докажите равномерную сходимость функционального ряда rctg, R = Решение Составим ряд из производных и докажем его равномерную сходимость Заметим, что R гармонический ряд = Вейерштрасса функциональный ряд 4 4 = + < Обобщённый 4 + сходится ( α = > ) Следовательно, по признаку 4 = + сходится равномерно при любом действительном Тогда по теореме о почленном дифференци-

25 ровании исходный ряд = rctg сходится равномерно при ( ; ) +, причём rctg = 4 = = + Ответ: ряд сходится равномерно при ( ; + ) СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Определение 9 Функциональные ряды вида или ( ) = = составленные из степенных функций, называются степенными На рис приведена геометрическая иллюстрация теоремы Абеля 5, Действительные числа называются коэффициентами степенного ряда Степенной ряд сходится, по крайней мере, в одной точке = = ряд ( ) в точке = = Так как заменой t = ряд = ( ) то в дальнейшем будем рассматривать ряды вида Теорема (Абеля) Пусть степенной ряд сводится к ряду =, =, а сходится в некоторой = точке Тогда он сходится абсолютно в любой точке, удовлетворяющей неравенству <, и сходится равномерно в области q< Пусть ряд расходится в некоторой точке Тогда он расходится и во всех точках, таких, что >

26 расходится абсолютно расходится сходится Рис Иллюстрация теоремы Абеля Таким образом, областью сходимости степенного ряда 6 = всегда является конечный или бесконечный интервал с центром в точке = или единственная точка = ( 3) Пример Найдите область сходимости степенного ряда 4 = ( + ) Решение Зафиксируем Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера: lim + 4 u+ ( ) ( + ) 3 ( + ) = lim = ( ) u 3 (( ) ) 4 (( + ) + ) 4 ( + ) ( + ) = 3 lim = 3 = <, те ( ;4) Ряд будет сходиться, если 3 При = 4 получим числовой знакоположительный ряд Применим к нему предельный признак сравнения Возьмём в качестве ряда 4 = ( + ) сравнения b = 6, который сходится как ряд Дирихле ( = = α = 6 > ) 6 Найдём предел lim = lim = Следовательно, ряды 4 b ( + )

27 и 4 сходятся одновременно Таким образом, ряд сходится 6 = ( + ) = на правом конце интервала сходимости = 4 При = получаем числовой знакочередующийся ряд, который сходится абсолютно, тк сходится ряд из модулей = На левом конце интервала сходимости = ряд также сходится Ответ: областью сходимости степенного ряда ( 3) является отре- 4 ( + ) зок [, 4 ] = ( ) ( + ) 4 4 = ( + ) 4 ( + ) Пример Найдите область сходимости степенного ряда = Решение Зафиксируем Получим числовой ряд, который является знакоположительным для любых Применим признак Даламбера: ( ) ( ) u ( + ) lim = lim = 4( + ) lim = 4( + ) u ( + ) 4 ( + ) = По признаку Даламбера степенной ряд будет сходиться, если 4( + ) <, те при 3 ; Подставляя 3 = и = в исходный степенной ряд, получим расходящийся гармонический ряд = концах интервала сходимости степенной ряд расходится Таким образом, на 4 ( + ) Ответ: областью сходимости степенного ряда является ин- 3 тервал ; 7 =

28 Следствиями теоремы Абеля являются следующие теоремы: Теорема Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости Теорема 3 Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз При этом ряды, полученные почленным интегрированием или дифференцированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд Пример 3 Найдите сумму ряда = Решение Интервалом сходимости данного степенного ряда является (,) Составим ряд из производных: = = Члены этого ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q =, ( ;), сумма прогрессии равна = Проинтегрируем последнее равенство в пределах от до, где ( ; ) = : Ответ: = d= = d ; = l( ) = = l( ), ( ; ) d = l( ) ; = 8

29 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Говорят, что функция f ( ) разлагается в степенной ряд = f ( ) ( ) или в ряд =, если этот степенной ряд сходится и его сумма равна на интервале сходимости Предположим, что функцию f ( ) можно разложить в ряд Тейлора Однако чисто формальное разложение в ряд Тейлора может привести к неверному результату, тк ) ряд может сходиться к f ( ) только в некоторой области; ) ряд может сходиться, но не к f ( ); 3) ряд может расходиться Рассмотрим условия разложения функции в ряд Тейлора Теорема 4 Если производные любого порядка функции f ( ) ограничены одной и той же постоянной, те ( k f ) ( ) M, k, U( ), то ряд Тейлора сходится к f ( ) в области U( ) Теорема 5 Разложение функции в ряд Тейлора единственно Приведем разложение основных элементарных функций в степенные ряды ) ) 3) 4) e = , R!!! sh = ! 5! ( + )! 4, R ch = , R! 4! ( )! si = + + ( ) + 3! 5! ( + )!, R 9

30 5) 4 cos = + + ( ) +, R! 4! ( )! α α( α ) α( α )( α ) 3 6) ( + ) = + α + + +, <! 3! 3 + 7) l( + ) = + + ( ) +, < ) rcsi = , < ) rctg = + + ( ) +, < rctg Пример 4 Разложите функцию f( ) = в ряд Тейлора по степеням Найдите область сходимости полученного ряда Решение Так как rctg = + + ( ) +, то rctg f( ) = = + + ( ) + = ( ) = + Областью сходимости полученного ряда является интервал <, такой же, как и для разложения rctg Ответ: = rctg f( ) = = ( ), < + 3 Пример 5 Разложите функцию f( ) = в ряд Тейлора по степеням Найдите область сходимости полученного ряда Решение Представим дробь 3 в виде суммы простейших дробей: 3 3 = ( )( ) = + Разложим каждую простейшую + + дробь в правой части равенства по формуле суммы бесконечно убывающей

31 геометрической прогрессии =, < ; = b = b q, q < : q = ( ) = =, или = < < + + = = Теперь найдем разложение в ряд исходной функции: f 3 ( ) ( ) ( ) = = + = + = = = = Область сходимости последнего ряда находится как пересечение областей сходимости двух рядов: < Ответ: f ( ) 3 = = = Пример 6 Разложите функцию степеням + 3 ( ) +, < f ( ) = l( ) в ряд Тейлора по Решение Разложим аргумент логарифма на множители: ( ) l( ) = l ( + 4 )( 5 ) = l( + 4 ) + l( 5 ) 3 + Применим формулу l( + ) = + + ( ) (4 ) ( ) 4 + l( + 4 ) = ( ) =, + + < < 4 4, = = + + ( 5 ) 5 + < = + = + 5 l( 5 ) = ( ) =, 5 <,, < Теперь найдем разложение исходной функции в ряд Тейлора по степеням :

32 + + ( ) f ( ) = l( ) = l( + 4 ) + l( 5 ) = +,причём это разложение справедливо при сходимости двух слагаемых) Ответ: ( ) l ( ) ( ) = f = =, + = < (пересечение областей 5 < 5 ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Приближённое вычисление значений функции Функцию разлагают в степенной ряд, оставляя первые членов Погрешность равна остатку ряда Δ= r ( ) Для оценки погрешности применяют приёмы: а) если ряд r( ) = u+ ( ) + u+ ( ) + знакоположительный, его сравнивают с геометрической прогрессией; б) если ряд r( ) = u+ ( ) u+ ( ) + u+ 3( ) знакочередующийся, применяют признак Лейбница Пример 7 Оценить погрешность приближённого равенства Решение e !! r ( ) = = ( + )! ( + )! ( + 3)! 3 = + + +! + ( + )( + ) ( + )( + )( + 3) !

33 Применим к выражению в скобках формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: + ( ) r + =!, <!( + ) Ответ: r ( ), < +!( + ) Пример 8 Вычислить l(,3) с точностью 3 Решение Применим разложение для логарифмической функции l( + ) при =,3 ( ;) : (,3) (,3) (,3) (,3) (,3) l( +,3) =, В правой части этого равенства получился числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница По следствию этого признака погрешность приближённого равенства первого отброшенного члена: Δ= S S = r + 5 S S не превосходит по модулю (,3) 3 Заметим, что 5 = =,486 <, поэтому для приближенного 5 вычисления суммы знакочередующегося ряда достаточно взять первые четыре слагаемых, а затем округлить результат до трех знаков после запятой согласно заданной точности: Ответ: l (,3 ),6 3 4 (,3) (,3) (,3),3 + =, 6975,

34 Вычисление пределов Пример 9 Вычислите предел si rctg lim 3 Решение При получаем неопределённость вида Применять таблицу эквивалентных бесконечно малых нельзя, так как в числителе стоит разность бесконечно малых одного порядка Вычислим этот предел, разложив слагаемые в числителе в степенные ряды: 3 5 si ; 3! 5! = + область сходимости ( +) ; rctg = + ; область сходимости < При можно 3 5 применить указанное разложение Подставим в предел: si rctg 3! 5! 3 5 lim = lim = 3 3 = lim + = = 3 3! 5 5! 3 3! 6 Ответ: si rctg lim = Пример 3 Докажите справедливость равенства lim = ( )!! Решение По определению ( )!! = Аналогично ( + )!! = 3 5 ( + ) + Рассмотрим ряд и применим к нему признак Даламбера: ( )!! =

35 lim = lim = lim = < + (( + ) + ) ( )!! (( + ) + ) (+ )!! ( + ) (+ ) ( + ) Следовательно, по признаку Даламбера ряд = + сходится Но тогда по ( )!! необходимому признаку сходимости предел общего члена этого ряда равен + нулю, те lim = Равенство доказано ( )!! Пример 3 Вычислите интеграл Приближённое вычисление интегралов cos d с точностью Решение Разложим cos в ряд Тейлора по степеням : 4 cos ( )! 4! ( )! 35 4 = + + +, ( ; +) 4 6 cos! 4! 6! = +, ( ; +) 4 Тогда cos = +, ( ; +)! 4! 6! Подставим полученное разложение подынтегральной функции в исходный интеграл: 4 cos d = + d! 4! 6! Под знаком интеграла стоит степенной ряд = ( ), сходящийся ( + )! на всей числовой прямой Следовательно, по теореме Абеля он сходится

36 равномерно на отрезке, Поэтому его можно почленно интегрировать на этом отрезке Проинтегрируем: 3 5 cos d = +! 4! 3 6! 5 = + 4 4! 4 6! 5 3 В правой части равенства получился числовой знакочередующейся ряд, его остаток по признаку Лейбница не превосходит первого отброшенного члена Так как 3 = < 6! 5 3 4, то для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда достаточно взять первые два слагаемых, а затем округлить результат до четырех знаков после запятой согласно заданной точности: = =, 4863(8), ! Ответ: cos d,483 36


Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы

Р.Б. КАРАСЕВА Р Я Д Ы РБ КАРАСЕВА Р Я Д Ы Омск Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)» РБКарасева Р Я Д Ы Учебное пособие Омск СибАДИ УДК ББК К Рецензенты:

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет им СА Есенина» ЛГ Насыхова, МТ Терехин ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее