МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»"

Транскрипт

1 НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» для специальности «Коммерция» базовой подготовки (ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ) Екатеринбург, 2017

2 Линейная алгебра Содержание 1. Матрицы и определители Основные сведения о матрицах Действия над матрицами Определители. Основные понятия Свойства определителей Обратная матрица Ранг матрицы Линейная зависимость (независимость) строк и столбцов матрицы.21 Задачи для самостоятельного решения Системы линейных уравнений Основные понятия Решение невырожденных линейных систем Матричный метод решения Формулы Крамера Решение произвольных систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.36 Задачи для самостоятельного решения Векторная алгебра 3. Векторы Основные понятия Линейные операции над векторами Проекция вектора на ось Разложение вектора по ортам координатных осей Действия над векторами, заданными проекциями

3 3.6. Координаты точки и вектора Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Векторное пространство. Базис.63 Задачи для самостоятельного решения Контрольная работа (1 30 вариант) 3

4 mn Линейная алгебра 1. Матрицы и определители 1.1. Основные сведения о матрицах Матрица это прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов. Обозначения матрицы: a 11 a a 1n a 11 a a 1n A a a a 2n или A a a a 2n mn, a m1 a m2... a mn a m1 a m2... a mn или A a ij, или A a ij, (i 1, m; j 1, n), где a ij - элементы матрицы; i - номер строки; j - номер столбца; m n - размер матрицы. Если m n, то матрица называется квадратной, а число m n ее порядком: a 11 a a 1(n1) a 1n A a a a 2(n1) a 2 n (1.1) a a a n1 n 2... a n(n1) nn Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ a 11 a 22...a nn. Побочной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ a 1n a 2(n1)...a n1. Матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. a ij b ij для любых i 1, m; j 1, n. 4

5 Виды матриц 1. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Например, A диагональная матрица 3-го порядка Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е или I. Например, E единичная матрица 3- го порядка Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. 4. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Например, A верхняя треугольная матрица Квадратная матрица называется нижней треугольной, если все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю. Например, B нижняя треугольная матрица Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбцом, или вектор-строкой соответственно). Например, 5

6 a 1 A a 2, B b b b. 1 2 n am Матрица размера 11, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Например, (4) 11 есть число Действия над матрицами 1. Сложение матриц Суммой двух матриц A (a ) и B (b ) называется матрица C m n (c j ), такая, что i mn ij mn ij c ij a ij b ij (i 1, m, j 1, n). Обозначение: C A B Пример 1.1. Найти сумму матриц A 3 0 и B Решение 1. Переместительное свойство: 2. Сочетательное свойство: A B Свойства сложения матриц A+B=B+A. (A+B)+C=A+(B+C). 6

7 2. Умножение матриц на число Произведением матрицы A (a ) на вещественное число λ mn ij называется матрица B mn (b ij ), такая, что b ij λa ij Пример 1.2. Умножить матрицу Решение (i 1, m, j 1, n) на число Свойства умножения матрицы на число 1. Сочетательное свойство относительно числового сомножителя: (λμ)а=λ(μа). 2. Распределительное свойство относительно суммы матриц: λ(а+в)= λа+λb. 3. Распределительное свойство относительно суммы чисел: (λ+μ)а=λа+μа. 3. Умножение матриц Произведением матрицы A матрица C m p (c k ), такая, что i (a ) на матрицу B (b ) называется mn ij np jk с ik a i1 b 1k a i 2 b 2k a in b nk (i 1, m, k 1, p). Обозначение: C A B. Операция умножения двух матриц определяется только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. 7

8 Пример 1.3. Найти произведение матриц А и В, если Решение A 3 4, B A B Свойства произведения матриц 1. Перестановочное свойство в общем случае не выполняется: 2. Сочетательное свойство: AB BA. ( AB)C A(BC). 3. Распределительное свойство относительно суммы матриц: ( A B)C AC BC или A(B C) AB AC. 4. Если A - квадратная матрица, а E - единичная матрица того же порядка, что и A, то EA AE A. Замечание Если AB BA, то матрицы A и B называют перестановочными или коммутирующими. 4. Транспонирование матриц Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначение: A T. 2 1 Пример 1.4. Транспонировать матрицу A

9 2 5 4 Решение. A T ) (A T ) T A; Свойства операции транспонирования 2) ( A B) T A T B T ; 3) ( A B) T B T A T. Квадратная матрица А называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной, то есть A A T. Квадратная матрица А называется кососимметрической, если совпадает со своей транспонированной, умноженной на число -1, то есть A A T Определители. Основные понятия Для квадратной матрицы А порядка n введем числовую характеристику, называемую определителем или детерминантом. Обозначение: det A, или A, или Δ. 1. Если n 1, то A (a 11 ), det A a 11 a 11. a 2. Если n 2, то a 12 11, det A a a a a A a a. a a a a a 11 a 1 2 a Если n 3, то A a 21 a a32 a 23, a 11 a 1 a det A a 21 a a 31 2 a 32 a 13 a 23 a 33 9

10 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом Саррюса или правилом треугольников. 2 3 Пример 1.5. Найти определитель матрицы:. 5 7 Решение порядка Пример 1.6. Найти определитель матрицы: Решение (2) (2) Свойства определителей Перечисленные ниже свойства справедливы для определителей любого 1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется. Например, Назовем строки и столбцы рядами определителя. 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. Например,

11 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю. Например, При умножении какого-либо ряда определителя на любое число определитель умножается на это число. Например, Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то определитель равен нулю. Например, Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Например, Если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится. Например,

12 Минором элемента a ij определителя n-го порядка называется определитель (n 1) го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Обозначение: M ij. Алгебраическим дополнением элемента a ij определителя называется минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i j четное число, и со знаком «минус», если эта сумма начетная. Обозначение: A ij. A (1) ij M. ij ij Например, для элемента a 23 определителя найдем минор и алгебраическое дополнение: 2 3 M , A 23 (1) Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть, например, разложение определителя по i-й строке имеет вид: a 11 a 21 a 22 a 2n a A a A a A. a 12 a 1n i1 i1 i 2 i 2 in in a n1 a n2 a nn Пример 1.7. Вычислить определитель: Решение. Разложим определитель по первой строке: 12

13 (1) (1) 12 5 (1) (2 2 33) 3(12 3 1) 5(13 (2) 1) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Например, a 11 A 21 a 12 A 22 a 13 A Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: A B A B. 11.Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы. Например, Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали (2) Отсюда следует, что определитель единичной матрицы любого порядка равен единице. 13

14 1.5. Обратная матрица Пусть А квадратная матрица n-го порядка: a 11 a 1... a 1n 2 A a a a 2n a n1 a n2... a nn Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если определитель матрицы А не равен нулю т.е. det A 0. Если матрица А невырожденная, то существует и притом единственная матрица A 1, такая, что A A 1 A 1 A E, где Е единичная матрица. A 1 называется обратной матрицей. Методы вычисления обратной матрицы 1. Метод присоединенной матрицы Присоединенная матрица это матрица, составленная из алгебраических дополнений данной матрицы и транспонированная. Обозначение: A. A A 12 A 11 A 2... A n1 1 A 2 Справедливо следующее равенство: 2... A n A 1n A 2n... A nn A A A A det( A) E. Отсюда следует, что если матрица А невырожденная, то A 1 1 det A A. 14

15 Пример 1.8. Найти A 1 с помощью присоединенной матрицы, если строке: Решение A Вычислим определитель матрицы разложением по второй (1) (1) Составим присоединенную матрицу: A 11 (1) , 1 3 A 2 1 (1) , A 3 1 (1) , 0 1 A (1) , 12 A (1) , A (1) , A 23 (1)23 0, 2 1 A (1) , A (1) ; тогда Итак, Проверка: A 1 2 0, A A A A E

16 2. Метод элементарных преобразований Элементарными преобразованиями матрицы являются: 1) перестановка строк (столбцов); 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число. Для квадратной матрицы А n-го порядка построим прямоугольную матрицу Г A размера n 2n, приписывая к А справа единичную матрицу Е Г A ( A E). Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу Г A к виду: (E B), что всегда возможно, если А невырожденная. Тогда Пример 1.9. Найти B A 1. A 1 с помощью элементарных преобразований, если A Решение. Образуем матрицу Г A ( A E) : Г А С помощью элементарных преобразований приведем матрицу Г A к виду (E B). Поменяем местами первую и вторую строки: 16

17 ; ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-2): ; к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-1): ; к первой строке прибавим третью, умноженную на (-1): Итак, 1) det( A 1 ) 1 det A ; 2) ( A B) 1 B 1 A 1 ; 3) ( A 1 ) T ( A T ) 1 ; 4) ( A 1 ) 1 A A Свойства обратной матрицы 17

18 1.6. Ранг матрицы Рассмотрим матрицу А размера m n : a 11 a a 1n A a a a 2n a m1 a m 2... a mn Выделим в ней k строк и k столбцов k min(m, n). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k го порядка матрицы А. Ранг матрицы максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А. Обозначение: r, или r( A), или rang A. Любой минор порядка r (r ранг матрицы), отличный от нуля, называется базисным минором. Свойства ранга 1. При транспонировании матрицы ее ранг не изменяется. 2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. 3. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется. Матрицы А и В называются эквивалентными, если r( A) r(b). Обозначение эквивалентных матриц: A B. Методы вычисления ранга матрицы 1. Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице найден минор k-го порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В 18

19 противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется. Пример Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров: Решение A Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля: 1 2 M Найдем все миноры 3-го порядка, окаймляющие M 2 : M , M , M Так как все окаймляющие миноры 3-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2, то есть r( A) Метод элементарных преобразований С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме a 11, a 22,, a rr (r min(m, n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r. Пример Найти ранг матрицы A методом элементарных преобразований, если Решение A Произведем элементарные преобразования. 19

20 К третьей строке прибавим первую, умноженную на (-1), и отбросим получившуюся нулевую строку: ; ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3): ; к первой строке прибавим вторую: ; умножаем второй столбец на 1 2, 3 2, 2 и прибавляем его соответственно к третьему, четвертому и пятому столбцам: , значит, ранг матрицы А равен двум, то есть r( A) 2. На практике удобнее комбинировать оба метода. Пример Найти ранг матрицы: A Решение. Сначала с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к виду: Далее используем метод окаймляющих миноров: M , 20

21 значит, r( A) 2, т.к. окаймляющих миноров 3-го порядка в данном случае у получившейся матрицы нет Линейная зависимость (независимость) строк и столбцов матрицы Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. Определим понятия зависимости и независимости для строк матрицы. Для столбцов эти понятия определяются аналогично. Пусть дана матрица А: a 11 a a 1n A a a a 2n a m1 a m 2... a mn Обозначим ее строки следующим образом: e 1 (a 11 a 12 a 1n ), e 2 (a 21 a 22 a 2n ),, e m (a m1 a m2 a mn ). Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: e k e s, если a kj a sj, j 1, 2,n. Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λe k (λa k1 λa k 2 λa kn ); e k e s (a k1 a s1 ) (a k 2 a s 2 ) (a kn a sn ). Строка e называется линейной комбинацией строк e 1, e 2,, e s матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: e λ 1 e 1 λ 2 e 2 λ s e s, где λ 1, λ 2,, λ s - любые числа. 21

22 Строки матрицы e 1,e 2,,e m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ 1, λ 2,, λ m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ 1 e 1 λ 2 e 2 λ m e m 0, где 0 (000). Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Если линейная комбинация строк λ 1 e 1 λ 2 e 2 λ m e m равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ i равны нулю, т.е. λ 1 λ 2 λ m 0, то строки e 1,e 2,,e m называются линейно независимыми. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые выражаются все остальные ее строки (столбцы). Задачи для самостоятельного решения 1. Найти произведение матриц: a) ; b) ; c) Ответ: a) ; b) 8 ; c) Найти Р(А), если P(x) x 2 2x 1, A

23 Ответ: A Вычислить определители: a) ; b) ; c) Ответ: a) 3; b)3; c) Найти обратную матрицу для матриц: a) ; b) ; c) Ответ: a) ; b ) ; c ) Найти ранг матриц: a) ; b) ; c) Ответ: a)2; b)4; c)2. 2. Системы линейных уравнений 2.1. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: 23

24 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n b m, где a ij b i x j - коэффициенты системы; - свободные члены; - неизвестные значения; i 1, m, j 1, n. Запишем систему в матричной форме: A X B, где А матрица коэффициентов системы или основная матрица системы: a 11 a 1... a 1n X вектор-столбец из неизвестных x j : x 1 X x 2, xn B вектор-столбец из свободных членов b i : 2 A a a a 2n, a m1 a m 2... a mn b 1 B b 2. b m Расширенной матрицей системы называется матрица вида: 24

25 a 11 a a 1n b 1 A a a a 2n b a a m1 m2... a mn b m Решением системы называется n значений неизвестных x 1 c 1, x 2 c 2,..., x n c n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. решение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределенной, если она имеет более одного решения. Каждое решение неопределенной системы называется частным решением этой системы. системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением 2.2. Решение невырожденных линейных систем Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nn x n b n, (2.1) или в матричной форме: A X B. 25

26 a 11 a 1n det A определитель системы. a n1 a nn Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Рассмотрим способы решения системы (2.1) Матричный метод решения Умножим обе части уравнения A X B слева на матрицу A 1 : A 1 A X A 1 B. Так как A 1 A E, то X A 1 B. Пример 2.1. Решить матричным способом систему: Решение. 2x y 2z 3 x z 1 2x y 3z 2. Решение системы найдем по формуле: Основная матрица системы имеет вид: Обратная матрица для матрицы А: Тогда A A X A 1 B X A 1 B.

27 то есть 2 Итак, X Формулы Крамера Запишем матричное равенство X A 1 B в следующем виде: Отсюда следует, что x 1 A 11 A A n1 b 1 x 2 1 A 12 A 2... A n2 b 2, x n A 1n A 2n... A nn b n A 11 b 1 A 21 b 2 A n1 b n x 1 x A 12 b 1 A 22 b 2 A n 2 b n 2. x n A b A b A b 1n 1 2 n 2 nn n x 1 A 11 b 1 A 21 b 2 A n1 b n, x n A 1nb 1 A 2n b 2 A nn b n. Но A 11 b 1 A 21 b 2 A n1 b n есть разложение определителя b 1 b a 12 a 1n 2 a 22 a 2n 1 b n a n 2 a nn по элементам первого столбца. Определитель 1 получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак, 27

28 x 1. 1 Аналогично: x 2, 2 где 2 получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; x 3,, x n. 3 n Формулы Крамера имеют вид: i, x i где - определитель основной матрицы системы; i - определитель, получаемый из определителя, заменой i-го столбца i 1, n. на столбец свободных членов; Пример 2.2. Решить по формулам Крамера систему: x y z 0 2x y z 7 x y z 2. Решение. Запишем формулы Крамера: x x y, y, z z. Найдем определитель системы и определители неизвестных x, y, z. Здесь x 1, y 2, z , x ,

29 X 2. 3 y , z Находим по формулам Крамера x, y, z : Итак, x x 1 4 1; 4 y y 8 2; 4 z z a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n b m Решение произвольных систем линейных уравнений Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными: Теорема Кронекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то есть r( A) r( A). Пусть r( A) r( A) r, то есть система совместна. Утверждение 1. Если Утверждение 2. Если r n, то система является определенной. r n, то система является неопределенной. 29

30 Правило решения произвольной системы линейных уравнений 1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если то система несовместна. r( A) r( A), 2. Если r( A) r( A), то система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Главные неизвестные оставить слева, а свободные перенести в правые части уравнений. Главные (базисные) неизвестные - неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Свободные неизвестные это n r неизвестных, коэффициенты которых не входят в базисный минор. 3. Решить систему относительно главных неизвестных, выразив главные неизвестные через свободные. Получить общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, найти соответствующие значения главных неизвестных, то есть найти частное решение системы. Пример 2.3. Решить систему: Решение x 1 5x 2 4x 3 3x 4 1 2x 1 x 2 2x 3 x 4 0 5x 1 3x 2 8x 3 x Найдем ранги основной и расширенной матриц системы A ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), а к третьей первую, умноженную на (-5): 30

31 ; к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-2), и отбросим нулевую строку: M r( A) 2 r( A). 2. Так как r( A) r( A) r 2, то система совместна. Выберем базисный минор: M Возьмем первые два уравнения, из коэффициентов которых составлен базисный минор: x 1, x 2 минор; x 3, x 4 x 1 5x 2 4x 3 3x 4 1 2x 1 x 2 2x 3 x главные неизвестные, так как их коэффициенты входят в базисный - свободные неизвестные, так как коэффициенты при этих неизвестных не входят в базисный минор. Главные неизвестные оставим слева, а свободные перенесем в правые части уравнений: x 1 5x 2 1 4x 3 3x 4 2x 1 x 2 2x 3 x Выразим главные неизвестные через свободные. Решим последнюю систему относительно x 1 и x 2 по формулам Крамера: x 1 1 ; x

32 1 5 11; x 3x x 3x 10x 5x 1 14x 2x ; 2x x Итак, 1 1 4x 3x x x 2 8x 6x 2 6x 7x. 2 2x x x x 3 2x x 2 x ; x 2 2 6x 3 7x x 7 x x x x x x. x Общее решение системы имеет вид: x 1 c 1 c x c 2 c, c 1, c 2. x 3 c 1 x c Найдем частное решение системы. Пусть c 1 c 2 0, тогда частное решение системы: 1 x x 2 11 x 3 0 x

33 2.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Метод состоит в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система линейных уравнений: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n b m. (2.2) Решение происходит в два этапа. 1 этап. Прямой ход С помощью элементарных преобразований строк система (2.2) приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду: где k n, a ii 0, a 11 x 1 a 12 x 2 a 1k x k a 1n x n b 1 a 22 x 2 a 2k x k a 2 n x n b 2 a kk x k a kn x n b k, i 1, k. (2.3) Коэффициенты a ii называют главными элементами системы. Опишем, как привести систему (2.2) к виду (2.3). Пусть a Если a 11 0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при x 1 отличен от нуля. С помощью элементарных преобразований преобразуем систему (2.2). Исключим неизвестное x 1 во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на a 21 a 11 и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на a 31 a 11 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему 33

34 ij i a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 a (1) x a(1) x b (1) n n 2 (1) (1) (1) a m2 x 2 a mn x n b m, где a (1), b (1) (i 2, m; j 2, n) - новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага. неизвестное далее. Далее аналогично, считая главным элементом a (1) 0, исключим x 2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так Если в процессе приведения системы (2.2) к ступенчатому виду появляются нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0 0, то их отбрасывают. Если же появляются уравнения вида 0 b i, а b i 0, то система несовместная этап. Обратный ход На втором этапе решаем ступенчатую систему. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное x k через остальные неизвестные (x k 1,, x n ). Затем подставляем полученное значение x k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x k 1 через (x k 1,, x n ), затем последовательно находим x k 2,, x 1. Придавая свободным неизвестным (x k 1,, x n ) произвольные значения, получим множество решений системы. Замечания 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, то есть k n, то исходная система имеет единственное решение. 2. На практике удобнее работать не с системой (2.2), а с ее расширенной матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. 34

35 Пример 2.4. Решить систему методом Гаусса: Решение. x 1 2x 2 x 4 3 3x 1 x 2 2x 3 1 2x 1 x 2 2x 3 4x 4 4 x 1 3x 2 2x 3 2x 4 7. Составим расширенную матрицу системы: A этап. Приведем матрицу к ступенчатому виду. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3), к третьей первую, умноженную на (-2), и к четвертой первую, умноженную на (-1): ; к третьей и четвертой строкам прибавим вторую, умноженную на (-1): Итак, мы привели матрицу к ступенчатому виду. 2 этап. Восстановим систему: x 1 2x 2 x 4 3 5x 2 2x 3 3x Из второго уравнения найдем x 2 : x 2 x 3 x Подставим x 2 в первое уравнение и найдем x 1 : x 4 x 1 x Общее решение системы будет иметь вид: 35

36 4 1 x c c x c c x 3 c 1 4 x c Системы линейных однородных уравнений Фундаментальная система решений Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n 0. (2.4) Однородная система всегда совместна, то есть r( A) r( A). Она имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 x 2 x n 0. Теорема 1. Для того чтобы система однородных уравнений (2.4) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r n. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x 1 a n2 x 2 a nn x n 0. 36

37 Теорема 2. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, то есть 0. Пример 2.5. Решить систему: Решение. Так как 0, (нулевое) решение: x 1 x 2 2x 3 0 3x 1 x 2 2x 3 0 x 1 2x 2 x 3 0. Вычислим определитель системы: то система имеет, согласно теореме 2, только одно x 1 x 2 x 3 0. Запишем решение системы (2.4) x 1 k 1, x 2 k 2,, x n k n e 1 (k 1, k 2,, k n ). в виде строки Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами: 1. Если строка e 1 (k 1, k 2,, k n ) - решение системы (2.4), то и строка λe 1 (λk 1, λk 2,, λk n ) - также решение этой системы. 2. Если строки e 1 (k 1, k 2,, k n ) и e 2 (l 1,l 2,,l n ) - решения системы (2.4), то при любых c 1 и c 2 их линейная комбинация c 1 e 1 c 2 e 2 (c 1 k 1 c 2 l 1, c 1 k 2 c 2 l 2,, c 1 k n c 2 l n ) - также решение данной системы. Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. 37

38 Система линейно независимых решений e 1,e 2,e k называется фундаментальной, если каждое решение системы (2.4) является линейной комбинацией решений e 1,e 2,e k. Теорема. Если ранг r основной матрицы системы линейных однородных уравнений (2.4) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2.4) состоит из n-r решений. Общее решение системы (2.4) линейных однородных уравнений может быть представлено в виде c 1 e 1 c 2 e 2 c k e k, где e 1, e 2,, e k - любая фундаментальная система решений (ФСР), c 1, c 2,, c k - произвольные постоянные и k n r. Решения e 1, e 2,, e k можно получить, придавая свободным неизвестным поочередно значение 1, полагая остальные свободные неизвестные равными 0. Пример 2.6. решение однородной системы уравнений: Найти фундаментальную систему решений и общее x 1 2x 2 4x 3 3x 4 0 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4 0 4x 1 5x 2 2x 3 3x 4 0 3x 1 8x 2 24x 3 19x 4 0. Решение. Найдем ранг системы r: ко второй и четвертой строкам прибавим первую, умноженную на (-3), а к третьей первую, умноженную на (-4): 38

39 ; к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3), а к четвертой вторую, умноженную на 2: r Оставим первые два уравнения системы: x 1 2x 2 4x 3 3x 4 0 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4 0, x 1 2x 2 4x 3 3x 4 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4. Решим полученную систему по формулам Крамера: x 1 1, x ; 4x 3 3x x 15x 12x 8x 8x 7x ; 6x 4x x 3 3x 2 4 6x 4x 12x 9x 6x 5x ; 3 6x 4x x 8x 3 7x 4 8x 7x, x 6x 3 5x 4 6x 5x Общее решение системы будет иметь вид: x 1 8c 1 7c 2 x 2 6c 1 5c 2 x 3 c 1 x 4 c Из общего решения находим фундаментальную систему решений: 39

40 8 7 T 6 T 5 e 1, e С помощью фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде X (c 1,c 2 ) c 1 e 1 c 2 e 2. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных уравнений Общее решение совместной неоднородной системы линейных уравнений равна сумме какого-либо ее частного решения и общего решения однородной системы, соответствующей данной неоднородной. Частное решение неоднородной системы можно получить, приравняв нулю все свободные неизвестные. Такое решение называется базисным решением (в выбранном базисе). Пример 2.7. Найти общее решение системы линейных уравнений x 1 2x 2 4x 3 3x 4 1 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4 2 2x 1 3x 2 2x 3 x 4 1. Решение. Ранг этой системы равен 2, так как минор , 3 5 а все окаймляющие его миноры равны нулю: , , Эквивалентная система содержит два уравнения: 40

41 x 1 2x 2 4x 3 3x 4 1 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4 2. В качестве главных (базисных) неизвестных возьмем x 1, x 2. Тогда x 3, x 4 - свободные неизвестные. нулю: 1. Найдем частное решение системы, приравняв свободные неизвестные x 1 2x 2 1 3x 1 5x 2 2 x 3 0 x 4 0, , , , x 1 1, 2 x 2 1. Решение e 0 (1,1, 0,0) - базисное решение в базисе из неизвестных (x 1, x 2 ). Это частное решение данной системы. 2. Рассмотрим однородную систему, соответствующую данной неоднородной. Поскольку ранг системы равен 2, сразу возьмем эквивалентную систему, содержащую два линейно независимых уравнения: x 1 2x 2 4x 3 3x 4 0 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4 0. Перенесем свободные неизвестные в правую часть: x 1 2x 2 4x 3 3x 4 3x 1 5x 2 6x 3 4x 4. Найдем первое решение из фундаментальной системы, положив x 3 1, x 4 0 : x 1 2x 2 4 3x 1 5x 2 6, 41

42 , , x 1 8, x 2 6 e 1 (8, 6,1,0). 6, Второе решение из ФСР найдем, взяв x 3 0, x 4 1: x 1 2x 2 3 3x 1 5x 2 4, , 1 7, 5, x 1 7, x 2 5 e 1 (7,5,0,1). Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений найдена. Общее решение однородной системы, соответствующей данной неоднородной системе, имеет следующий вид: c 1 e 1 c 2 e 2, где c 1, c 2 - произвольные постоянные. 3. Общее решение данной неоднородной системы: X (c 1,c 2 ) e 0 c 1 e 1 c 2 e 2 или x x 2 1 c 6 c 5, т.е. 1 2 x x x 1 1 8c 1 7c 2 x 2 1 6c 1 5c 2 x 3 c 1 x 4 c 4, c 1, c 2. 42

43 Задачи для самостоятельного решения 1. Решить системы методом матричного исчисления x 1 1, Ответ: a) x 2 3, x 4; 3 x 1 x 2 x 3 6, 3x 1 x 2 3x 3 2, a) x 1 2x 2 x 3 9, b) 5x 1 2x 2 2x 3 1, x 1 4x 2 2x 3 3; 2x 1 2x 2 3x 3 1. x 1 9, b) x 2 10, x Решить системы по формулам Крамера: x 1 1, Ответ: a ) x 2 3, x 1; 3 4x 1 2x 2 x 3 1, 5x 1 2x 2 5x 3 4, a) 5x 1 3x 2 2x 3 2, b) 3x 1 5x 2 3x 3 1, 3x 1 2x 2 3x 3 0; 2x 1 4x 2 3x 3 1. x 1 7, b) x 2 7, x Исследовать совместность и найти общее решение систем: Ответ: 5x 1 12x 2 5x 3 3x 4 10, x 1 x 2 3x 3 x 4 6, a) 4x 1 3x 2 x 3 3x 4 2, b) 7x 1 5x 2 7x 3 x 4 8, 11x 1 11x 2 4x 3 8x 4 8; x 1 8x 2 18x 3 5x 4 6. x 1 8 9x 2 4x 3, a) 10 11x 5x ; x b) несовместна. 4. Найти фундаментальную систему решений для систем: 3x x x 0, 5x 3x 2x 4x 0, x 1 x 2 x 3 x 4 0, 5. a) 2x x 3x 5x 0, b ) x x 3x 5x 7 0; x x 1 2 3x 3 x 4 0, x x 1 x 2 x 3 3x 4 0, Ответ: a)(7,11, 1, 0), (11,17,0, 1); b) (1, 1,1, 1).

44 Векторная алгебра 3. Векторы 3.1. Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим числовым значением, называются скалярными. Например, площадь, длина, объем, работа и т.д. Другие величины определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Например, сила, скорость и т. д. Такие величины называют векторными. Вектор это направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Обозначение: AB или a. У вектора AB A - начало вектора, а B - конец вектора. Вектор BA ( B - начало вектора, а A - конец вектора) называется противоположным вектору AB. Вектор, противоположный вектору a обозначается a. Длина или модуль AB вектора AB - длина отрезка AB. Нулевой вектор ( 0 ) - вектор, длина которого равна нулю. Направления нулевой вектор не имеет. Единичный вектор ( e ) вектор, длина которого равна единице. Орт вектора a ( a 0 ) - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a. Векторы a и b называются коллинеарными ( a b ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными ( a b ). Если коллинеарные векторы направлены в разные стороны, то они называются противоположно направленными ( a b ). 44

45 Векторы a и b называются равными ( ab ), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны. Три вектора a, b и c называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях Линейные операции над векторами 1. Сложение векторов Пусть a и b - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим вектор OA a. От точки А отложим вектор AB b. Вектор OB (рис. 3.1), соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов a и b : OB a b. b b a a В О a b Рис. 3.1 А Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Сумму двух неколлинеарных векторов можно найти также по правилу параллелограмма (рис. 3.2). a b Рис. 3.2 a c a b b 45

46 Можно складывать несколько векторов. Например, сложение трех векторов показано на рис c b c a b a 2. Разность векторов Рис. 3.3 d a b c Пусть a и b - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим векторы OA a и OB b. Вектор BA (рис. 3.4), соединяющий конец второго вектора с концом первого, называется разностью векторов a и b : BA a b. a b А a a b О b В Рис Произведение вектора на число Произведением вектора a на число (скаляр) λ называется вектор λ a, который имеет длину λ a, коллинеарен вектору a, имеет направление вектора a, если λ 0 и противоположное направление, если λ 0. Например, векторы 2a и 2a имеют вид: a 2a 2a Рис

47 Из определения произведения вектора на число вытекают следующие свойства: 1) если b λ a, то b a. Наоборот, если b a ( a 0), то при некотором λ верно равенство b λ a; 2) всегда a a a 0, т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт. Свойства линейных операций 1) a b b a; 2) (a b) c a (b c); 3) λ 1 (λ 2 a) (λ 1 λ 2 ) a; 4) (λ 1 λ 2 ) a λ 1 a λ 2 a; 5) λ (a b ) λ a λ b Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l. Проекцией точки А на ось l называется основание A 1 перпендикуляра AA 1, опущенного из точки на ось. Точка A 1 - это точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно оси (рис. 3.6). A A 1 l Рис

48 точкой A. Если точка A лежит на оси l, то проекция точки A на ось совпадает с Пусть AB - произвольный вектор ( AB 0 ). Пусть A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно начала A и конца B вектора AB. Рассмотрим вектор A 1 B 1. Проекцией вектора AB на ось l называется положительное число A 1 B 1, если вектор A 1 B 1 и ось l одинаково направлены и отрицательное число A 1 B 1, если вектор A 1B 1 и ось l противоположно направлены (рис. 3.7). Обозначение: пр l AB. А В A 1 B 1 l Рис. 3.7 Если точки A 1 и B 1 совпадают, то проекция вектора AB равна 0. 0 φ π. Угол φ между вектором a и осью l (рис. 3.8) изменяется от 0 до π, т.е. a a φ Рис. 3.8 l 48

49 Основные свойства проекций 1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр l a a cosφ. 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось. Например, для трех векторов: пр ( l a b c ) пр la пр b пр l lc. 3. При умножении вектора a на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т.е. пр l (λ a) λ пр l a Разложение вектора по ортам координатных осей Пусть в пространстве задана система координат Oxyz. На координатных осях Ox, Oy, Oz выделим единичные векторы (орты) i, j, k соответственно (рис. 3.9). z M 3 a γ M k O β i α j M 2 y M 1 x N Рис

50 Пусть a - произвольный вектор пространства, причем его начало совпадает с началом системы координат Oxyz, т.е. a OM. Проведем через конец вектора OM плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через параллелепипед (рис. 3.9). M 1, M 2, M 3. Получим прямоугольный Найдем проекции вектора a на координатные оси: пр x a OM 1, пр y a OM 2, пр z a OM 3. Используя определение суммы нескольких векторов, выразим вектор a через векторы OM 1, OM 2, OM 3.: a OM 1 M 1 N NM, M 1 N OM 2, NM OM 3, a OM 1 OM 2 OM 3. (3.1) Рассмотрим векторы OM 1, OM 2, OM 3 : OM 1 OM 1 i, OM 2 OM 2 j, OM 3 OM 3 k. (3.2) Обозначим проекции вектора a OM на оси Ox, Oy, Oz соответственно через a x, a y, a z, т.е. OM 1 ax, OM 2 a y, OM 3 a z. (3.3) Подставляя (3.2) и (3.3) в (3.1), получим a a x i a y j a z k. (3.4) Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа a x, a y, a z называются координатами вектора a. Равенство (3.4) часто записывают в виде: a {a x ;a y ; a z }. Найдем модуль вектора a. Используем теорему о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда: 50

51 2 OM 2 OM 1 2 OM 2 2 OM 3 или 2 2 a a a 2 a 2. (3.5) x y z Тогда a a 2 a 2 a 2, x y z т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат. Пусть углы вектора a с осями координат соответственно равны α, β, γ. По свойству проекций вектора на ось, имеем a x a cosα; a y a cosβ; a z a cos γ. (3.6) Отсюда cosα a x, cosβ a y, cosγ a z. a a a Числа cosα, cosβ, cos γ называют направляющими косинусами вектора a. Подставим выражения (3.6) в (3.5), получим a a cos 2 α a cos 2 β a cos 2 γ. 2 Сократим на a 0, получим соотношение cos 2 α cos 2 β cos 2 γ 1, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице. Замечание Координаты единичного вектора e - это направляющие косинусы, т.е. e {cosα;cosβ;cos γ). Пример 3.1. Найти орт вектора a 3i 4 j 12k и направляющие косинусы определяемого им направления. 53

52 Решение. Находим длину вектора a : a (12) Следовательно, направляющие косинусы будут равны: cosα 3, cosβ 4, cos γ Так как координаты орта вектора это направляющие косинусы, то a 0 3 i 4 j 12 k Действия над векторами, заданными проекциями Пусть заданы два вектора a {a x ;a y ;a z } и b {b x ;b y ;b z }. 1. Сложение (вычитание) векторов При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются): a b {a x b x ;a y b y ; a z b z }. 2. Умножение вектора на число (скаляр) число: При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это 3. Равенство векторов равенства: число. λa {λa x ; λa y ; λa z }. Два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда выполняются a x b x, 4. Коллинеарность векторов То есть Если векторы a и b коллинеарны и a y b y, a z b z. {a x ;a y ;a z } λ{b x ;b y ;b z } {λb x ;λb y ;λb z }. 54 b 0, то a λb, где λ - некоторое

53 Отсюда a x λb x ; a y λb y ; a z λb z ; т.е. a x λ; a y λ; a z λ; b x a b y a x y b x b y a z. b z b z Итак, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Пример 3.2. Найти координаты вектора 4 a 2b 3 c, если a {1;3; 2}, b {0;2;1}, c {5;1;4}. Решение. Подставим координаты векторов a, b и c в линейную комбинацию 4a 2b 3c и выполним алгебраические операции умножения вектора на число и сложения векторов: 4 a 2b 3c 4{1;3;2} 2{0; 2;1} 3{5;1; 4} {4;12; 8} {0;4;2} {15; 3;12} {11;13;18}. Итак, 4 a 2b 3c {11;13; 18} Координаты точки и вектора Координаты точки Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Возьмем точку A и построим вектор OA. Вектор OA называется радиус- вектором точки A и обозначается r, т.е. OA r. Координаты точки A - это координаты ее радиус-вектора r {x; y; z}, т.е. A(x; y; z). Координаты вектора Путь даны две точки A(x 1 ; y 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ). Вектор AB есть разность векторов OB и OA : AB OB OA (рис.3.10). 55

54 z O A y B x Рис AB OB OA {x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 }. Итак, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: AB {x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 } Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a b a b cosφ. (3.7) Скалярное произведение обозначается a b, или (a,b). Формулу (3.7) можно представить в следующем виде: a b a пр a b b пр b a, т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную вектором. Свойства скалярного произведения 1. Переместительное свойство: a b b a. с первым 56

55 нулю, т.е. 2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя: 3. Распределительное свойство: 2 (λa ) b λ ( ab ). ( a b ) c a c b c. 4. a a 2, т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. 5. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно если a b, Справедливо и обратное утверждение: если a b 0 то a b 0. и a 0 b, то a b. Выразим скалярное произведение через координаты векторов a {a x ;a y ;a z } и b {b x ;b y ;b z }: a b {a x ;a y ;a z }{b x ;b y ;b z } (a x i a y j a z k ) (b x i b y j b z k ) a x b x ii a x b y ij a x b z ik a y b x ji a y b y jj a y b z jk a z b z ki a z b y kj a z b z kk a x b x a y b y a z b z, т.е. a b a x b x a y b y a z b z. Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат. Пример 3.3. Найти угол между векторами a {4;10;1} и b {11; 8; 7}. Решение. Из формулы (3.7) найдем cosα : cosα a b. a b a b 4 11 (10) (8) 1(7) 117, a 4 2 (10) , b 11 2 (8) 2 (7)

56 Итак, cosα , значит α arccos Векторное произведение векторов Три некомпланарных вектора a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если при взгляде с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой (рис. 3.11). c c a b a b правая тройка левая тройка Рис Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет следующим условиям: 1) вектор c перпендикулярен векторам a и b, т.е. c a, c b; 2) модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними, т.е. c a b sin φ; 3) векторы a, b и c образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается a b или [a,b]. 58

57 ортами: Из определения векторного произведения вытекают соотношения между i j k, j k i, k i j. Свойства векторного произведения 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. a b (b a). 2. Сочетательное свойство относительно скалярного множителя: λ( a b ) (λa )b a(λb ). 3. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. a b a b Распределительное свойство: ( a b) c a c b c. 5. Геометрический смысл векторного произведения: если векторы a и b неколлинеарны, то модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на них, т.е. c a b S пар. (рис. 3.12). c b a S пар. Рис

58 Выразим векторное произведение через координаты: a b (a x i a y j a z k ) (b x i b y j b z k ) a x b x (i i ) a x b y (i j) ) a x b z (i k ) a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y b z ( j k ) a z b x (k i ) a z b y (k j ) a z b z (k k ) 0 a x b y k a x b z j a y b x k 0 a y b z i a z b x j a z b y i 0 (a y b z a z b y )i (a x b z a z b x ) j (a x b y a y b x )k a y a z a a a a i x z x y j k, b y b b x z b z b x b y a y a z a a a a x z x y т.е. a b i j k. b y b z b z b x b y Полученную формулу можно записать сокращенно: i j k a b a x a y a z. b x b y b z b x Пример 3.4. Даны векторы a {1; 2;2} и b {3;0;4}. Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Решение. Найдем векторное произведение a и b : i j k a b i j k 8i 10 j 6k S пар. a b Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное векторному произведению a b, умноженному скалярно на вектор с. Смешанное произведение обозначается 60

59 ab с, или ( a,b, с ). Сначала выполняется векторное произведение, а затем скалярное. Свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. ( a b) с (b с ) a ( с a ) b. 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е. ( a b) с a (b с ). 3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. abс a сb ba с сba. 4. Если abс 0, то a, b и c - компланарны. Обратное тоже верно: если векторы a, b и c компланарны, то abс Если abс 0, то тройка векторов a, b и c - правая, если abс 0, то тройка векторов a, b и c - левая. 6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c (рис. 3.13), т.е. V парал. abс. Выразим смешанное произведение через координаты. Пусть заданы векторы a {a x ;a y ;a z }, b {b x ;b y ;b z }, c {c x ;c y ;c z }. 61

60 i j k (a b ) с a x a y a z (c x i c y j c z k ) b x b y b z a y a z a x i a z a x j a y k (c i c j c k ) b b b b b b x y z y z x z x y a y a z a x a z a x a c c y c. x y z b y b z b x b z b x b y Полученную формулу можно записать в виде: a x abс b x c x a y a z b y b z. c y c z c b a Рис точках Пример 3.5. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в O(1;1; 2), A(2;3;1), B(2;2;4), C(1;1;3). Решение. Объем тетраэдра OABC равен 1 6 объема параллелепипеда, построенного на векторах OA, OB, OC, т.е. V 1 V 1 OA OBOC. тетр. 6 парал. 6 Найдем координаты векторов OA, OB, OC : OA {1; 2; 3}, OB {1; 3;2}, OC {2;0;1}. 62

61 OA OBOC Итак, V тетр Векторное пространство. Базис Векторным (линейным) пространством называется множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям: 1. x y y x - коммутативность сложения. 2. (x y) z x ( y z) - ассоциативность сложения. 3. Сществует нулевой вектор 0, удовлетворяющий условию x 0 x для любого вектора x. 4. Для любого вектора x существует противоположный ему вектор (x) такой, что x (x) 0, где 0 нулевой вектор. 5. 1x x для любого вектора x, где 1- число. 6. α(βx) (αβ)x - ассоциативность умножения. 7. (α β)x αx βx чисел. 8. α(x y) αx αy - дистрибутивность относительно операции сложения - дистрибутивность относительно операции сложения векторов. x, y -векторы; α,β - действительные (комплексные) числа. Например, линейными пространствами являются: множество всех многочленов степени не выше n; множество квадратных матриц порядка n, множество всех векторов 3-мерного пространства, множество векторов 63


Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ А.Н. БУРОВ, Э.Г. СОСНИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для студентов курса технических и экономических специальностей высших учебных заведений Новосибирск 26 УДК 52.2 ББК 22.

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее