Глава I. Векторная алгебра.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава I. Векторная алгебра."

Транскрипт

1 Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные векторы, те и b лежат на одной или параллельных прямых; b - сонаправленные векторы; b - противонаправленные векторы; 0 - нулевой вектор, те вектор, начало и конец которого совпадают; b означает, что b и b; Множество всех векторов на плоскости (в пространстве) будем обозначать так: V (V )/ Сложение векторов Суммой векторов и b будем называть вектор c, идущий из начала вектора в конец вектора b, при условии, что конец вектора совпадает с началом вектора b Обозначение: c b Иначе: АВ ВC АC Это определение называют правилом треугольника Это же определение можно сформулировать так: АВ D АC, где BCD - параллелограмм B C c b Равносильность этих определений очевидна, тк в параллелограмме D Это определение называют правилом параллелограмма D BC Свойства сложения ) b b (коммутативность сложения); )( b) c ( b c) (ассоциативность сложения); ) 0 (свойство нулевого вектора); 4) для любого вектора существует противоположный вектор ( ) ( ) 0; Умножение вектора на число, те такой, что Произведением вектора на вещественное число будем называть такой вектор b, что: ) b ; ) b, если 0 ; b, если 0 Обозначение: b Если 0, то по определению 0 0

2 Свойства умножения вектора на число 5) ; 6) ( b) b (дистрибутивность относительно сложения векторов); 7) ( ) (дистрибутивность относительно сложения чисел); 8) ( ) ( ) -ый критерий коллинеарности в векторной форме Для того чтобы ненулевые векторы и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число, для которого выполнялось бы равенство b b R : b Задача, B, C, D - некоторые попарно различные точки пространства, причѐм АВ 6CD Фигура BCD есть ) параллелограмм, ) трапеция, ) произвольный четырехугольник Укажите верный ответ Решение Из равенства АВ 6 CD получаем: АВ CD, но АВ CD D C Следовательно, BCD - трапеция Ответ: ) трапеция B Задача BCDEF - правильный шестиугольник; B ; BC b Вектор BF представьте в виде линейной комбинации векторов и b, те разложите вектор BF по базису, b Решение В правильном шестиугольнике CF B B, причем вектор АВ противонаправлен с вектором CF C D F E Следовательно, CF B, BC b Из правила треугольника получаем: BF BC CF b Ответ: BF b Задача Даны некоторые попарно различные точки пространства, B, C, D, E Точка X - одна из этих точек, причѐм АВ D АX CD BC E Точка X есть точка ) ; ) B; ) C; 4) D; 5) E Укажите правильный ответ Решение Используя правило треугольника для сложения, векторов получаем: АВ D АX CD BC

3 ( АВ BC) D АX CD ( АC CD) D АX ( АD D) АX А АX АX АE B Следовательно, точка X есть точка сложения векторов) Ответ: 5) E E C D E (Здесь были также использованы коммутативность и ассоциативность Задача 4 Коллинеарны ли векторы m b c и n 4b c 8? Укажите правильный ответ: ) да; ) нет; ) могут быть как коллинеарны, так и неколлинеарны Решение Векторы m и n коллинеарны по -му критерию коллинеарности в векторной форме, тк n 4b c 8 4( b c) 4m Ответ: ) да Базис Координаты вектора (, ) Базис на плоскости - это упорядоченная пара неколлинеарных векторов Запись: Векторы называют компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях Базис в пространстве это упорядоченная тройка некомпланарных векторов Запись: пространстве - базис на плоскости (,, ) - базис в Базис на плоскости (в пространстве) называют ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны и длина каждого вектора равна единице i Например, ( i, j) - ортонормированный базис на плоскости, если i j и i j В пространстве ( i, j, k ) - ортонормированный базис в пространстве, если i j; i k; j k и k j i j k i j Теорема (о разложении вектора по базису) Каждый вектор плоскости (пространства) может быть единственным образом разложен по данному базису, (, ) - базис на плоскости, то V!, R : () (,, ) - базис в пространстве, то V!,, R : () те если Если Равенства () (и ()) называют разложением вектора по базису Коэффициенты в разложениях () (и ()) называют координатами вектора относительно базиса (или в базисе ) или, если ясно, о каком базисе идѐт речь, то Записывать координаты вектора будем в столбик и обозначать так: так:

4 , то 4 Например, если, то y y 5 Если , или y 5 0, или Теорема (линейные операции над векторами, заданными своими координатами) При сложении векторов их координаты складываются При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, те для любых векторов и y на плоскости (в пространстве) и для любого числа справедливы равенства: ) y y ) ; Теорема (критерий коллинеарности в координатной форме) Для того чтобы ненулевые векторы и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны Например, если 4, а y 6 9, то по теореме y, тк Лемма Чтобы найти координаты вектора, зная координаты его концов, нужно от координат конца отнять соответствующие координаты начала Например, если (; 5; 4), а (6; 7; 9) B, то B ( 4) 5 Задача 5 В равнобедренной трапеции BCD с углом при основании и основаниями B иcd известны длины сторон BC B, причѐм B - меньшее основание Векторы D ; B b, точка M - середина CD Разложите вектор M по базису b ; Решение По условию задачи DM B и B DM, тк треугольник DM - правильный B D BC M, DM Следовательно, DM B b D M C Из правила треугольника получаем: M D DM b Ответ: M b Задача 6 В треугольнике BC точка M - середина стороны BC Найдите координаты вектора АС, если [ АВ] ( 0 ) ; [ M ] (0 5) 4

5 Решение Из правила параллелограмма следует: АM АD АB АС, где BCD - параллелограмм B D Отсюда получаем: [ АС] [ M АB] [ M ] [ АB] [ M ] [ АB] (0 6 0) ( 0 ) ( 6 7) (Здесь мы использовали теорему ) Ответ: [ АС] ( 6 7) Задача 7 Даны координаты вершин параллелограмма BCD : (, ), B(, 4), C(9,) Найдите координаты точки D Решение Из определения параллелограмма и определения равенства векторов получаем: B координаты вектора B : B ( 4 ) ( ) B C M C DC Найдѐм Следовательно, ( ) B DC (9 D yd) и 9 D ; yd, те D 7; yd 0 Ответ: D (7; 0) Скалярное произведение Скалярным произведением вектора на вектор b называем число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Обозначение: b, те b b cos(, b) D Свойства скалярного произведения ) b b (коммутативность); ) ( b) c c b c (дистрибутивность); ) ( ) b ( b), где - вещественное число; 4) 5) ; 0; 0 0 ; Если 0; b 0, то 6) b b 0 ; b 7) cos( b, ) b Лемма Проекция вектора на ось l равна произведению длины этого вектора на косинус угла между ними Обозначение: prl или pr, где вектор b сонаправлен с осью l, те pr cos(, b) b 5 b

6 Теорема 4 (вычисление скалярного произведения) Скалярное произведение вектора на вектор b равно сумме произведений соответствующих координат сомножителей в ортонормированном базисе Если ( ) ; y ( y y ), то y y y (здесь координаты векторов даны в ортонормированном базисе) Если y y y y ( ) ; ( ), то y y y y векторов даны в ортонормированном базисе) (здесь координаты Задача 8 В прямоугольнике BCD сторона B равна, а сторона D равна 5 Найдите косинус тупого угла между диагоналями прямоугольника Решение Обозначим через i и j векторы единичной длины, сонаправленные с векторами B и D Тогда B i ; D 5 j; C B D i 5 j, DB D B B D i 5 j, D C C DB 5 ( 5) cos C DB Ответ: cos 9 Задача 9 Найдите скалярное произведение (5 b) ( 8 b), если ; b ; b B Решение Из условия задачи и свойств скалярного произведения получаем: ( ) b b b b Следовательно, b b 4 b, откуда получаем: b Теперь найдѐм скалярное произведение (5 b) ( 8 b) (5 ) ( 8 b) ( b) ( 8 b) ( 8 b) (5 ) ( 8 b) ( b) (5 ) ( 8 b) (5 ) ( b) ( 8 b) ( b) 5 4 b 8b Ответ: (5 b) ( 8 b) 4 4 Векторное произведение Пусть и b ненулевые и неколлинеарные векторы Векторным произведением вектора на вектор b будем называть такой вектор c, что: ) c b sin(, b); ) c ; c b; ) тройка векторов ; b; c - правая, те после приведения этих векторов к общему началу кратчайший поворот от к b виден против часовой стрелки, если смотреть на плоскость, в которой лежат векторы и b из конца вектора c c Обозначение: c b b 6

7 Если b, то по определению b 0 Также по определению: 0 0b 0 Тройку некомпланарных векторов, не являющуюся правой, будем называть левой Свойства векторного произведения ) b b (антикоммутативность); ) ( b) c c b c (дистрибутивность); ) ( ) b ( b), где - вещественное число; 4) Если и b ненулевые векторы, то b b 0 (-ой критерий коллинеарности в векторной форме) 5) Геометрический смысл модуля векторного произведения Если и b ненулевые и неколлинеарные векторы, то площадь параллелограмма, построенного на этих b B C векторах, приведѐнных к общему началу, равна b, те S b D Ортонормированный базис, векторы которого образуют правую тройку, будем называть правым Если ( i, j, k) Теорема 5 (Вычисление векторного произведения) ( ) ; y ( y y y ),то - правый ортонормированный базис и i j k y, или что то же самое y y y y y y y y y y Задача 0 Вектор c перпендикулярен и вектору, и вектору b Чему равен угол между векторами иb, если известно, что ; b 6; c ; 0, а объѐм параллелепипеда, построенного на векторах b, b и c равен 6 Решение Объѐм параллелепипеда V вычисляется по формуле: V S H, где S - площадь основания, а H - H c, а S - площадь параллелограмма, построенного высота параллелепипеда Из условия задачи следует, что на приведѐнных к общему началу векторах b и b Отсюда получаем: 6 V S H S Таким c -b образом, S +b С другой стороны, используя геометрический смысл модуля векторного произведения, имеем: S b b ( b) ( b) ( b) ( b) ( b) ( b) b b 4 b 7

8 Здесь мы использовали свойства векторного произведения, а также определение векторного произведения (векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору) Следовательно, b С другой стороны, из определения векторного произведения следует, что b b sin(, b) 6sin(, b) Таким образом, Ответ: 6 Задача Найдите проекцию вектора b на вектор c b, если sin( b, ) и угол ( b, ) 6 i j k, b i k, c j k, i, j, k - правый ортонормированный базис Решение Найдем векторы d b и f c b По формуле для вычисления векторного произведения получаем: i j k i j k d i k; f 0 i j k 0 0 вектор f c b находим по формуле: Проекцию вектора d b на d f d f ( ) 0 ( ) ( ) 5 pr b pr d d cos( d, f ) d cb f d f f ( ) ( ) Ответ: 5 pr b cb Задача В треугольнике BC точка M лежит на стороне BC, причѐм BM : MC Найдите площадь треугольника BM, если [ АВ] ( ) ; [ C] (4 0 ) Решение Из условия задачи следует, что BM BC Найдѐм координаты вектора BC : [ BC] [ B C] [ B] [ C] [ C] [ B] (4 0 ) ( ) ( ) B M Используя геометрический смысл модуля векторного произведения получаем: S B BC ; S B BM B BC B BC S BC BM BC i j k Теперь найдем векторное произведение B BC i 5 j 4k ортонормированный базис) Следовательно, Ответ: 8 C (Здесь i, j, k - правый S B BC S S SBM 4 BC ( ) ( 5) 4 4; BM BC 4 Задача Найдите угол между векторами и b, если площадь параллелограмма, построенного на приведѐнных к общему началу векторах b и 4 4b равна, а длина векторов иb равна

9 Решение Используя геометрический смысл модуля векторного произведения, имеем: S b 4 4 b ( ) (4 4 b) ( b) (4 4 b) (4 4 b) ( ) (4 4 b) ( b) (4 ) ( ) (4 b) ( ) (4 ) ( b) (4 b) ( b) 0 8 b 4 b 0 b Здесь мы использовали антикоммутативность и дистрибутивность векторного произведения, а также определение векторного произведения (векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору) Следовательно, b С другой стороны, из определения векторного произведения следует, что b b sin(, b) sin(, b) Таким образом, sin( b, ) и угол ( b, ) Ответ: Угол между векторами и b равен Задача 4 Найдите площадь треугольника, построенного на приведѐнных к общему началу i j k и b i j k, гдеi, j, k - правый ортонормированный базис Решение Найдем векторное произведение: векторах i j k b i j k i 0 j k i k Используя геометрический смысл модуля векторного произведения, имеем: Ответ: S b S b Задача 5 Площадь параллелограмма, построенного на приведѐнных к общему началу векторах 4 7b равна 9 Чему равна площадь параллелограмма, построенного на приведѐнных к общему началу векторах 5b ( ) b и и 5 b? Решение Используя свойства векторного произведения и геометрический смысл модуля векторного произведения получаем: 9 (4 b) ( 7 b) (4 ) ( 7 b) ( b) ( 7 b) ( 7 b) (4 ) ( 7 b) ( b) ( ) (4 ) (7 b) (4 ) ( ) ( b) (7 b) ( b) 0 8 b b 0 7 b Следовательно b, и потому S (5 b) (5 b ) (5 ) (5 b ) ( b) (5 b ) (5 b ) (5 ) (5 b ) ( b) (5 b) (5 ) ( ) (5 ) (5 b) ( b) ( ) ( b) 5b 0 b 5 b b 4 b 8 Ответ: S 8 Задача 6 Найдите векторное произведение b, если i j k, b i j k, гдеi j, k правый ортонормированный базис Решение По формуле для вычисления векторного произведения находим: 9, -

10 i j k b i j k 7 i 5 j k Ответ: b 7i 5 j k 5 Смешанное произведение Пусть даны векторы, b и c Умножим вектор векторно на b, а затем получившийся вектор b скалярно умножим на вектор c Получившееся число ( b) с называют смешанным произведением векторов, b и c и обозначают так: b с Таким образом, b с ( b) с Теорема 6 (Геометрический смысл смешанного произведения) Если векторы, b и c компланарны, то b с 0 Если эти векторы некомпланарны, то смешанное произведение bс равно объѐму параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведѐнных к общему началу, и взятому со знаком «+», если тройка bс,, - правая, и со знаком «-»- в противном случае c c b Рис На рис тройка bс,, - правая На рис тройка bс,, - левая b Рис Свойства смешанного произведения ) bс b с с b ) b с b с; b с с b ; b с с b Теорема 7(Критерий компланарности в векторной форме) Для того чтобы векторы, b и c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, те (, b, c - компланарны) b с 0 Если ( i, j, k) Теорема 8 (Вычисление смешанного произведения) - правый ортонормированный базис и ( ) ; b ( b b b ) ; c ( c c c ) b с b b b c c c,то смешанное произведение 0

11 Теорема 9 (Критерий компланарности в координатной форме) В обозначениях теоремы 8: для того чтобы векторы, b и c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы b b b c c c 0 Задача 7 Найдите смешанное произведение ( 4 b c) ( 6 b c) ( 5 b), если b c Решение Векторы m 4 b c; n 6b c и p 5b компланарны, тк Следовательно, m n p 0 Условие b c на ответ не влияет Ответ: ( 4 b c) ( 6 b c) ( 5 b) 0 p ( m n ) Задача 8 Найдите смешанное произведение ( b c) ( 6 b c) ( 5 b), если b c Решение ( b c) ( 6 b c) ( 5 b) ( b c) ( 6 b c) ( 5 b) ( b) ( 6 b c) c ( 6 b c) ( 5 b) [ ( 6 b c) ( b) ( 6 b c) c] ( 5 b) [ ( b) ( b) c ( b) ( b) c c c] ( 5 b) 0 c ( b) ( b) c 0 ( 5 b) ( b) c ( b) c ( 5 b) 4( b) c ( 5 b) 4 c b c ( 5 b) 4( c) 4( c) (5b ) 8( b c) 8( b c) (5 b) 4 c 0 c b 8b c 40b c b 0 0 b c 8 b c 0 b c 4 Здесь мы использовали определение смешанного произведения, свойства векторного и смешанного произведений, а также равенство нулю смешанного произведения компланарных векторов (очевидно, векторы, c,, а также векторы b, c, b - компланарные) Ответ: ( b c) ( 6 b c) ( 5 b) 4 Задача 9 Смешанное произведение ( b c) ( 6 b c) ( 5 b) Векторы, b, c ) компланарны; ) некомпланарны; )из имеющейся информации ничего нельзя сказать Выберите правильный ответ Решение Векторы, b, c некомпланарны, тк в противном случае компланарными были бы и векторы b c, 6 b c, 5b и, следовательно, их смешанное произведение равнялось бы нулю Ответ: ) некомпланарны Задача 0 Вычислите объѐм тетраэдра с вершинами в точках (,,6), B(,,), C(,0,), D( 4,6, ) Решение Найдѐм координаты векторов [ B] ( 5) ;[ C] ( 5) ;[ D] ( 5 9) Известно, что объѐм V параллелепипеда, построенного на приведѐнных к общему началу векторах B, C, D, вычисляется по формуле:v S H, где S - площадь основания (те площадь параллелограмма, построенного на векторах B и C ), а H - высота параллелепипеда (те длина перпендикуляра, опущенного из вершины D на основание) С другой стороны, объѐм V параллелепипеда равен модулю смешанного произведения

12 V B C D Найдѐм это смешанное произведение: B C D 5 ( ) ( 5) 4 ( 7) 5 ( ) D B C Известно, что объѐм тетраэдра V вычисляется по формуле: V SBC H Очевидно, H является как высотой параллелепипеда, так и высотой тетраэдра, и SBC S Таким образом, получаем: V SBC H S H S H V Ответ: V Задача, b, c -ненулевые векторы такие, что ( b c) ( c) ( b) 0 Векторы, b, c ) компланарные; ) некомпланарные; ) могут быть как компланарными, так и некомпланарными Укажите верный ответ Решение По условию задачи ( b c) ( c) ( b) 0 Следовательно: 0 ( b c) ( c) ( b) ( b c) ( c) ( b) ( c) b ( c) c ( c) ( b) [ ( c) ( c) b ( c) c] ( b) [ c b c b c c c] ( b) 0 c b c b c 0 ( b) ( c) ( c) ( b) ( b) ( b) ( b) ( b c) ( b c) ( b) ( c) ( c) ( b) c 4 c b b b b b c 4b c b c c b 0 4 b c 0 0 b c 0 0 b c 4 b c Здесь мы использовали определение смешанного произведения, свойства векторного и смешанного произведений, а также равенство нулю смешанного произведения компланарных векторов (очевидно, векторы, c,, а также векторы, b, b и b, c, b - компланарные) Итак, 4 b c 0 Следовательно, b c 0, и векторы, b, c компланарные Ответ: ) компланарные Глава II Прямая на плоскости Теорема Любая прямая в декартовой прямоугольной системе координат Oy задаѐтся уравнением -ой степени, те уравнением вида: By C 0, где B 0 Следствие Если вектор n с координатами n ( B) является вектором нормали к прямой l (те n l), а M (, y ) l, то уравнение прямой l имеет вид: ( 0) B( y y0) 0 точка 0 0 0

13 Например, если n (4 5) является вектором нормали к прямой l (те n l уравнение прямой l имеет вид: 4( ) 5( y ) 0 4 5y 0 M ), а точка 0 (, ) l, то Теорема Любое уравнение -ой степени от и y, те уравнение вида: By C 0, где уравнение некоторой прямой в декартовой прямоугольной системе координат Oy B 0, есть Следствие Если уравнение прямой l в декартовой прямоугольной системе координат Oy имеет вид: By C 0, то вектор n с координатами n ( B) является вектором нормали к прямой l Далее запись l : By C 0 () будет означать, что прямая l задаѐтся уравнением () Уравнение вида () будем называть общим уравнением прямой на плоскости Вектор, параллельный прямой l, будем называть направляющим вектором этой прямой Теорема Если вектор координатами ( p q) является направляющим вектором прямой l и точка y y M0 ( 0, y0 ) l, то уравнение прямой l имеет вид: p q () 0 0 Это уравнение будем называть каноническим уравнением прямой на плоскости Следствие Если прямая l задана уравнением (), то вектор координатами ( p q) является направляющим M (, y ) l вектором прямой l и точка Теорема 4 Пусть на плоскости заданы две прямые справедливы следующие утверждения: ) для того чтобы эти прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы l : B y C 0и l : B y C 0 Тогда B ; B ) для того чтобы эти прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы B B 0 ) для того чтобы эти прямые совпадали (те ), необходимо и достаточно, чтобы l l 4) косинус острого угла между этими прямыми вычисляется по формуле: cos( l, l ) ; B C ; B C B B B B Пусть l : By C 0 n B и пусть начало вектора n нормали к прямой l с координатами ( ) точка, принадлежащая этой прямой Обозначим через ту полуплоскость, в которой находится конец вектора n, а через - другую полуплоскость + есть n l -

14 Теорема 5 Во введѐнных выше обозначениях справедливы следующие утверждения: ) расстояние от точки M0 ( 0, y 0 ) до прямой l вычисляется по формуле: ( M0, l) ) ) M (, y ) B y C 0 ; M (, y ) B y C 0 B y C 0 0 B ; Лемма Пусть даны точки M ( ; y ) и N( ; y ), а точка K( ; y ) такова, что MK KN, где M M Тогда координаты точки K вычисляются по формулам: K ; y y y K Следствие Если точка K - середина отрезка MN (те M N M N ), то K ; y y y K N N K K M N M N Если l : By C 0, причѐм B 0, то угловой коэффициент k прямой l вычисляется по k Геометрический смысл углового коэффициента k - это тангенс угла наклона прямой l к B формуле: y 0 l положительной части оси O Задача Напишите уравнение средней линии треугольника BC, проходящей через точку M - середину стороны B, если известны координаты вершин: (,), B(7,8), C (,8) Решение Найдѐм координаты середины отрезка B, те точки M : B M M B 7 8 5; y y B ym 5 Из свойств средней линии треугольника следует, что векторы C и BC являются направляющими векторами средних линий треугольника, проходящих через точку M Найдѐм координаты этих векторов: C ( 8 ) (0 6) ; BC ( 7 8 8) (6 0) Следовательно, уравнения средних линий треугольника BC, проходящих через точку M имеют вид: 5 y 5 5 y y 5 8 5y 5 0 и y 5 5 y y 5 5 y Ответ: 8 5y 5 0; 5 y 0 0 C 4

15 Задача Из точки (,) опустите перпендикуляр на прямую, проходящую через точки B(,) и C (4,6) Решение Вектор BC является вектором нормали искомой прямой Найдѐм его координаты: (,) BC (4 6 ) ( ) Следовательно, уравнение искомого перпендикуляра имеет вид: ( ) ( y ) 0 y 5 0 Ответ: y 5 0 B C Задача Найдите расстояние d от точки M (7,5) до прямой l, уравнение которой имеет вид 4y 0 Решение Используя формулу для вычисления расстояния от точки до прямой получаем: d ( M, l) Ответ: d 9 Задача 4 Составьте уравнение прямой, параллельной прямой l : y 0 и отстоящей от неѐ на расстоянии 8 Решение Из условия задачи следует, что вектор нормали n к прямой l, следовательно, и к искомой прямой l имеет координаты n ( ) Поэтому уравнение искомой прямой l имеет вид: y C 0 Очевидно, точка C C M (,) принадлежит прямой l и, следовательно, 8 ( l, l) ( M, l) l l n M l Отсюда получаем: C 8 6 Следовательно, C 6 и C 4 или C 8 Таким образом, условию задачи удовлетворяют прямые l : y 4 0 и l : y 8 0 Ответ: y 4 0; y 8 0 Задача 5 Найдите тангенс угла, который образует прямая 5 y0 0 с положительной частью оси абсцисс 5 0 Решение Из условия задачи следует, что y Следовательно, угловой коэффициент этой прямой, y являющийся тангенсом угла, который образует эта прямая с положительной частью оси абсцисс, равен 5 5

16 Ответ: 5 tg Задача 6 Составьте уравнение прямой l, параллельной прямой l : y 0 и проходящей через точку B(, ) Решение Из условия задачи следует, что вектор нормали n к прямой l, следовательно, и к искомой прямой l имеет координаты n ( ) Поэтому уравнение искомой прямой l имеет B l вид: ( ) ( y ) 0 y 0 Ответ: y 0 l n Задача 7 Найдите расстояние между прямыми l : 4y0 0 и l : 4y 7 0 Решение Очевидно, точка M (,) принадлежит прямой l и, следовательно, l M 4 0 ( l, l ) ( M, l ) l Ответ: ( ll, ) 5 Задача 8 Составьте уравнение медианы M в треугольнике BC, если (,), B( 7, 4), C(5,8) Решение Найдем координаты середины отрезка BC (точки M ) B C 7 5 B C 4 8 по формулам: M ; y y ym 6 B M Вектор M является направляющим вектором для медианы M Найдѐм координаты этого вектора: [ M ] ( y y ) ( 6 ) ( 5) Поскольку точка принадлежит этой M M медиане, то еѐ уравнение имеет вид: Ответ: M : 5 y 0 C y 5 0 y 5 y 0 5 Задача 9 Составьте уравнение высоты треугольника BC, проведѐнной из вершины, если (,), B(4,), C (5,6) Решение Из условия задачи следует, что вектор BC является вектором нормали искомой прямой Найдѐм координаты этого вектора: [ BC] ( y y ) (5 4 6 ) ( 4) Поскольку точка C B C 6

17 принадлежит этой высоте, то уравнение искомой прямой имеет вид: B ( ) 4( y ) 0 4y 47 0 C Ответ: 4y 47 0 Задача 0 Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (, 4) на расстоянии 5 от начала координат Решение Обозначим через k угловой коэффициент искомой прямой Тогда уравнение этой прямой l будет иметь вид: y 4 k ( ) k y (4 k) 0 Найдѐм угловой коэффициент Для этого подсчитаем расстояние от этой прямой до начала координат: k k ( lo, ) 4 k 5 k ( ) k Следовательно, 4 k 5 k 5k 5 (4 k) 5k 5 6 4k 9k 0 (4k ) 0 k 4 y 4 l Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид: Ответ: 4y 5 0 y 4 ( ) 4y Задача Через точку B(,0) провести перпендикуляр к прямой M, если (,), C (,4), а точка M - середина BC Решение Найдем координаты середины отрезка BC (точки M ) по формулам: B C 0 4 7; y B y C M ym Вектор M является вектором нормали для искомого перпендикуляра Найдѐм координаты этого вектора: [ M ] ( y y ) (7 ) (6 0) Поскольку точка B(,0) M M перпендикуляру, то его уравнение имеет вид: 6( ) 0( y 0) 0 ( ) 5( y 0) 0 5y 59 0 Ответ: 5y 59 0 Решение Из определения параллелограмма следует, что вектор BC является направляющим вектором прямой D Найдѐм координаты этого вектора: 7 B M C принадлежит этому Задача Составьте уравнение стороны D параллелограмма BCD, если известны координаты вершин (,), B(,), C (4,6)

18 [ BC] ( y y ) (4 6 ) ( 4) Точка (,) принадлежит стороне D C B C B C D Следовательно, уравнение D имеет вид: Ответ: 4 y 6 0 B y 4 y 6 4 y Задача Через точку (,5) проведите прямую, перпендикулярную прямой l : y 0 Решение Из уравнения прямой l следует, что вектор n с координатами n () является вектором нормали к этой прямой, и, следовательно, направляющим вектором искомого перпендикуляра Точка (,5) принадлежит ему Следовательно, уравнение искомого перпендикуляра имеет вид: y5 y 0 y 9 0 Ответ: y 9 0 Задача 4 В трапеции BCD с основаниями B и CD известны координаты вершин (,), B(,5) C (,) Составьте уравнение стороны CD Решение Из определения трапеции следует, что вектор B является направляющим вектором стороны CD B и Найдѐм координаты этого вектора: D [ B] ( y y ) ( 5 ) (0 4) Точка C(,) принадлежит стороне CD B B Следовательно, уравнение CD имеет вид: Ответ: 0 y y Задача 5 Из точки M (, ) опустите перпендикуляр на медиану треугольника BC, проходящую через вершину, если (, 4), B( 5,7) и C (9,7) Решение Найдем координаты середины отрезка BC (точки N ) по формулам: B C 5 9 B C 7 7 N ; y y yn 7 Из условия задачи следует, что вектор N является вектором нормали для искомого перпендикуляра Найдѐм его координаты: [ N] ( N yn y) ( 7 4) ( ) Поскольку точка M (, ) принадлежит этому перпендикуляру, то его уравнение имеет вид: ( ) ( y ) 0 y 5 0 M B C N C 8

19 Ответ: y 5 0 Задача 6 Найдите кратчайшее расстояние от точки (4,6) до прямой l : 4y 8 0 Решение Кратчайшее расстояние от точки до прямой это расстояние от этой точки до этой прямой, которое найдѐм по формуле ( l, ) Ответ: ( l, ) 4 Задача 7 Найдите косинус тупого угла между прямыми l : y 5 0 и l : y 0 Решение Из условия задачи следует, что векторы n и n являются векторами нормали к прямым l и l соответственно n с координатами l n и n l cos( l, l ) cos( n, n ) 6 cos 6 Составьте уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине в треугольнике BC, если, B(5,5) и C (0,7) Следовательно, Ответ: Задача 8 известны координаты его вершин: (,) Решение Найдѐм координаты направляющего вектора искомой биссектрисы Вычислим координаты векторов ( 4) B B yb y этих векторов: B и C y y (8 6) n C C 4 5 5; C C D Теперь найдѐм длины Отсюда следует, что B B 5 0 C, и потому параллелограмм, построенный на приведѐнных к общему началу векторах F B и C, является ромбом Диагональ ромба, те вектор D F C B C является биссектрисой угла при вершине, те направляющим вектором искомой биссектрисы Найдѐм его координаты: D F C B C B C B C ( 4) (8 6) (4 4) 9 B F Очевидно, вектор с координатами ( ) коллинеарен с вектором D, тк их координаты пропорциональны Следовательно, в качестве направляющего вектора искомой биссектрисы можно взять вектор Таким образом, уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине в треугольнике BC имеет вид: y y y 0

20 Ответ: y 0 Задача 9 Составьте уравнение прямой l, параллельной прямым l : y 5 0 и l : y 9 0, и равноудалѐнной от них Решение Точки M ( 5; 0) и M ( 9; 0) принадлежат прямым l и l соответственно, тк их координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых Найдѐм координаты точки N - середины отрезка MM : M M y M y M N 7; yn 0 M l N l l n Очевидно, точка N равноудалѐна от прямых l и l, а потому принадлежит искомой прямой l Вектор n с координатами n является вектором нормали к обеим прямым l и l Следовательно, этот вектор есть вектор нормали и к искомой прямой Таким образом, уравнение прямой l имеет вид: ( 7) ( y 0) 0 y 7 0 Ответ: y 7 0 M Задача 0 Через точку (;) M проведите прямую, образующую угол с прямой l : y Решение Из условия задачи следует, что вектор n с координатами n является вектором нормали к прямой l Пусть вектор n с координатами n B условии задачи получаем: cos l, l cos n, n является вектором нормали к искомой прямой Тогда из B B B B B B B B B B 0 Отсюда следует, что или 0, B 0 или 0, B 0 n M l n n l l Вектор нормали к прямой не может быть нулевым, поэтому числа и B не могут быть равны 0 одновременно Координаты вектора нормали к прямой определены с точностью до пропорциональности Поэтому можно считать, что или 0, Bили, B 0 Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прямые: l : y 0 и l : 0 Ответ: y 0 и 0 0

21 Глава III Кривые второго порядка Эллипс Определение Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная Эту величину будем обозначать Обозначим фокусы эллипса через F и F, расстояние между ними FF c, сам эллипс (как геометрический объект) через Тогда из определения следует, что M MF MF M F c F Из неравенства треугольника следует, что c Введѐм декартову прямоугольную систему координат следующим образом Ось абсцисс направим от фокуса F к OF OF фокусу F, а начало координат выберем так, чтобы В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид: y b Это уравнение называют каноническим уравнением эллипса, а выбранную систему y координат - канонической - b F O F -b Параметры b, и c в этом случае связаны соотношением: b c Эти параметры называют так: - большая полуось; b - меньшая полуось; c - половина фокусного расстояния В этой системе фокусы имеют координаты: F( c; 0) и F ( c ; 0) Число, равное отношению половины фокусного расстояния к большей полуоси, (те c c Очевидно,, тк c эксцентриситетом эллипса, и обозначают так:, те ), называют Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат центром симметрии Точки пересечения эллипса с осями симметрии, те с осями канонической системы координат, называют вершинами эллипса Очевидно, вершины эллипса в этой системе имеют координаты: ( ; 0) ; B(0; b ) ; C( ; 0) ; D(0; b) y C(-;0) B(0;b) F F D(0;-b) (;0)

22 Прямые, перпендикулярные оси O и отстоящие от центра симметрии на расстояние = - y =, называют - F O F директрисами эллипса Очевидно, в выбранной системе координат их уравнения имеют вид: и Ось ординат делит координатную плоскость на две части, в каждой из которых находится один фокус и одна директриса Если фокус и директриса расположены в одной полуплоскости, то будем говорить, что этот фокус и директриса соответствуют друг другу F через r MF, и Пусть M - произвольная точка эллипса Обозначим расстояния от точки M до фокуса r через MF Расстояние от точки M до директрисы, соответствующей фокусу расстояние от точки M до директрисы, соответствующей фокусу F, обозначим через d y F, обозначим через d, а = - = d M d r F F r Свойство директрис эллипса Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, те r d r d Это свойство можно взять за ещѐ одно определение эллипса, равносильное первому Пусть на плоскости имеется прямая и точка, не лежащая на этой прямой Определение Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния от фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию от этой же точки до прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, меньшая единицы (называемая эксцентриситетом) Тогда из определения следует, что M до директрисы, а - эксцентриситет r M, где F - фокус, r MF d, d - расстояние от точки Касательная к эллипсу Уравнение касательной l к эллипсу M0 ( 0 ; y 0 ) имеет вид y b 0 y y0 l : Здесь точка M 0 ( 0 ; y0 ) b, проведѐнной в точке с координатами

23 y l M 0 ( 0,y 0 ) Замечание Систему координат также называют канонической, если ось ординат содержит фокусы F и F, а OF OF начало координат середина отрезка FF, те В этой системе координат уравнение эллипса также y имеет вид: Это уравнение также называют каноническим уравнением эллипса В этом случае b b Параметры b, и c в этом случае связаны соотношением: b c Эти параметры называют так: b - большая полуось; - меньшая полуось; c - половина фокусного расстояния В этом случае эксцентриситет c b b эллипса равен, а уравнения директрис имеют вид: y и y b - y -b -b b F O F y= b y= -b В этой системе фокусы имеют координаты F(0; c) и F (0; ) системе имеют координаты: ( ; 0) ; B(0; b ) ; C( ; 0) ; D(0; b) y c Очевидно, вершины эллипса в этой B(O;b) C(-;O) O (;O) D(O;-b) Задача Точки F ( 0,0) и F (0,0) - фокусы эллипса, эксцентриситет которого равен Найдите расстояние от центра эллипса до директрисы

24 Решение Из условия задачи следует, что половина фокусного расстояния c данного эллипса равна 0 c, где - большая полуось Таким образом, Расстояние d от центра эллипса до директрисы вычисляется по формуле d 40 Эксцентриситет эллипса вычисляется по формуле Ответ: d 40 y Задача Составьте уравнения директрис эллипса 5 6 Решение Из условия задачи следует, что большая полуось этого эллипса равна 5, а меньшая b равна 4 Половина фокусного расстояния эксцентриситет директрис этого эллипса имеют вид: Ответ: 5 c для эллипса вычисляется по формуле c b c 5 Уравнения директрис такого эллипса имеют вид: , а Следовательно, уравнения Задача Составьте уравнение эллипса, если известны координаты его фокусов ( 5, 0) вершин ( 7,0), (7,0) F, F ( 5, 0) Решение Из условия задачи следует, что система координат каноническая Следовательно, уравнение эллипса имеет y вид:, причѐм 7; c 5 Для эллипса параметры,b и c связаны соотношением c b b y Следовательно, b c Таким образом, уравнение эллипса имеет вид: 49 4 Ответ: y 49 4 Задача 4 Составьте каноническое уравнение эллипса, если его вершины точки (0,) и точки F (,0) и F (,0) и (0, ), а фокусы - Решение Из условия задачи следует, что система координат каноническая Следовательно, уравнение эллипса имеет y вид:, причѐм b; c Для эллипса параметры,b и c связаны соотношением c b b y Следовательно, b c 4 5 Таким образом, уравнение эллипса имеет вид: 5 4 y Ответ: 5 4 Задача 5 Найдите эксцентриситет эллипса, если известны координаты его фокусов (,0) и точка (, ), принадлежащая ему Решение Из условия задачи следует, что система координат каноническая и y эллипса имеет вид: b Следовательно, этому уравнению: Для этого эллипса параметры, b и c связаны соотношением b c Точка (, ) 9 Отсюда получаем: 4( ) F, F (,0) c Следовательно, уравнение c b принадлежит эллипсу Поэтому еѐ координаты удовлетворяют 4( ) 9 4( )

25 Значение не подходит, тк 4 c Следовательно, и c Ответ: y Задача 6 Составьте уравнение касательной к эллипсу, проходящей через точку M (4;) 4 y Решение Уравнение искомой касательной имеет вид: 4 4 y 0 0 y Ответ: y 5 0 Гипербола Определение Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная Эту величину будем обозначать Обозначим фокусы гиперболы через F и F, расстояние между ними FF c, саму гиперболу (как геометрический объект) через Тогда из определения следует, что M MF MF Из неравенства треугольника следует, что c Введѐм декартову прямоугольную систему координат следующим образом Ось абсцисс направим от фокуса F к OF OF фокусу F, а начало координат выберем так, чтобы В этой системе координат уравнение гиперболы y имеет вид: b координат - канонической Параметры b, и c в этом случае связаны соотношением: c b Эти параметры называют так: Это уравнение называют каноническим уравнением гиперболы, а выбранную систему - вещественная полуось; b - мнимая полуось; c - половина фокусного расстояния В этой системе фокусы имеют координаты: F( c; 0) и F ( c ; 0) Гипербола имеет две асимптоты, уравнение которых имеет вид: b y и b y 5

26 Число, равное отношению половины фокусного расстояния к вещественной полуоси (те c c Очевидно, тк c эксцентриситетом гиперболы и обозначают так:, те ), называют Оси канонической системы координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат центром симметрии Точки пересечения гиперболы с осями симметрии, те с осями канонической системы координат, называют вершинами гиперболы Очевидно, вершины гиперболы в этой системе имеют координаты: ( ; 0) и B( ; 0) Прямые, перпендикулярные оси O и отстоящие от центра симметрии на расстояние директрисами гиперболы Очевидно, в выбранной системе координат их уравнения имеют вид:, называют и Ось ординат делит координатную плоскость на две части, в каждой из которых находится один фокус и одна директриса Если фокус и директриса расположены в одной полуплоскости, то будем говорить, что этот фокус и директриса соответствуют друг другу F через r MF Пусть M - произвольная точка гиперболы Обозначим расстояния от точки M до фокуса r через MF Расстояние от точки M до директрисы, соответствующей фокусу расстояние от точки M до директрисы, соответствующей фокусу F, обозначим через d F, обозначим через d, а, и 6

27 Свойство директрис гиперболы Отношение расстояния от произвольной точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, те r d r d Это свойство можно взять за ещѐ одно определение гиперболы, равносильное первому Пусть на плоскости имеется прямая и точка, не лежащая на этой прямой Определение Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию от этой же точки до прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, большая единицы (называемая эксцентриситетом) r Тогда из определения следует, что M, где F - фокус через r MF d точки M до директрисы, а - эксцентриситет, d - расстояние от Касательная к гиперболе Уравнение касательной l к гиперболе M0 ( 0 ; y 0 ) имеет вид y b 0 y y0 l : Здесь точка M 0 ( 0 ; y0 ) b, проведѐнной в точке с координатами Замечание Систему координат также называют канонической, если ось ординат содержит фокусы F и F, а OF OF начало координат середина отрезка FF, те В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид: y b Это уравнение также называют каноническим уравнением гиперболы И в этом случае 7

28 параметры b, и c связаны соотношением: c b Эти параметры называют так: b - вещественная полуось; - мнимая полуось; c - половина фокусного расстояния c b b В этом случае эксцентриситет гиперболы равен, а уравнения директрис имеют вид: y и y b В этой системе фокусы имеют координаты F(0; c) и F (0; ) системе имеют координаты: (0; b) и B(0; b) b y Гиперболы с уравнениями c Очевидно, вершины гиперболы в этой Асимптоты этой гиперболы имеют вид: имеет вид: y b и y b называют сопряжѐнными b y и Задача Составьте каноническое уравнение гиперболы, вершины которой расположены на оси ординат, если расстояние между ними равно 0, а эксцентриситет равен y Решение Каноническое уравнение этой гиперболы имеет вид:, тк вершины еѐ расположены на оси b ординат Из условия задачи следует, что вещественная полуось b 5 Половина фокусного расстояния c для гиперболы вычисляется по формуле c 5, откуда получаем: c 0 и c c c b 5, а эксцентриситет Следовательно, b 5 b c Таким образом, уравнение этой гиперболы y имеет: 5 75 y Ответ: 5 75 Задача Составьте уравнения асимптот гиперболы, если даны координаты еѐ фокусов F ( 5, 0) и F ( 5, 0), а расстояние между директрисами равно 8 b Решение Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: y, где - вещественная а, b - мнимая полуоси Для гиперболы параметры, b и c связаны соотношением c b Из условия задачи следует, что c =5, а 8 4, где - эксцентриситет, равный c 5 Следовательно, 4 Таким образом, c 5 8

29 b 5 0; b c 5 0 5, и 0 5; b 5;, 5 откуда получаем: уравнения асимптот гиперболы имеют вид: y Ответ: y Задача Найдите эксцентриситет кривой, заданной уравнением y 8 y 6 0 Решение Приведѐм уравнение этой кривой к каноническому виду Для этого выделим полные квадраты при и y : y 8 y 6 ( 4 4 ) 4 [( y y ) ] 6 ( 4) 6 ( y ) 8 6 ( 4) ( y ) 4 Введѐм новую систему координат, которая получается из исходной в результате параллельного переноса Координаты точки в исходной и в новой системах координат связаны соотношениями: 4; y y В новой системе координат уравнение кривой принимает вид: y 4 0 или y 4 Следовательно, c 6 ; b ; c b 6; Эта кривая гипербола, тк Ответ: 6 Задача 4 Составьте каноническое уравнение гиперболы, если точки (0,) и (0, ) - еѐ вершины, а эксцентриситет равен Решение Из условия задачи следует, что система координат каноническая Следовательно, уравнение гиперболы y c c имеет вид:, причѐм b По условию эксцентриситет гиперболы равен b b Следовательно, c 4 Для гиперболы параметры,b и c связаны соотношением c b, откуда получаем: y c b 6 4 Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: 4 y Ответ: 4 Задача 5 Фокусом кривой второго порядка, проходящей через точку M (,), является точка F (4,5) соответствующей директрисы l имеет вид: 5y 0 Данная кривая является ) эллипсом; )гиперболой; ) параболой Укажите верный ответ Уравнение 9

30 Решение Найдѐм расстояния от точки M (,) до точки F (4,5) и до директрисы r FM d M l ( 4) ( 5) 9 6 5; (, ) Используя свойство директрис, найдѐм эксцентриситет этой кривой гиперболой, тк Ответ: ) гипербола r 5 65 d 9 9 Эта кривая является Задача 6 Найдите расстояние между директрисами гиперболы, если даны координаты еѐ фокусов F ( 5, 0) и ( 5 F, 0), а уравнения асимптот имеют вид: y Решение Из условия задачи следует, что уравнения асимптот этой гиперболы имеют вид: вещественная а, b - мнимая полуоси и c 5 Следовательно,, b и c связаны соотношением Следовательно, c b Отсюда получаем: b y, где - b, и b Для гиперболы параметры 5 c b 4b b 5b b 5 c b 5; 5; ; 4 Расстояние между директрисами 5 5 этой гиперболы равно 4 8 Ответ: расстояние между директрисами равно 8 Парабола Определение Параболой называют геометрическое место точек плоскости, равноудалѐнных от точки этой плоскости, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой Расстояние от фокуса до директрисы будем называть параметром параболы и обозначать буквой p Обозначим через F фокус, а через l - директрису параболы, саму параболу (как геометрический объект) через Тогда из определения следует, что M ( M, l) MF 0

31 Введѐм декартову прямоугольную систему координат следующим образом Ось абсцисс перпендикулярна O F O l директрисе и содержит фокус F Точку O - начало координат выберем так, чтобы (, ) (, ) y p В этой системе уравнение параболы имеет вид: Это уравнение называют каноническим уравнением параболы, а выбранную систему координат - канонической Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы Точку O - начало координат p называют вершиной параболы Очевидно, фокус F параболы в этой системе имеет координаты F ( ; 0) p уравнение директрисы имеет вид: y p M0 ( 0 ; y 0 ), имеет вид y y0 p ( 0) Здесь точка M0 ( 0 ; y0 ) Касательная к параболе Уравнение касательной l к параболе, проведѐнной в точке с координатами, а Замечание ( O, F) ( O, l) Систему координат называют также канонической, если ось ординат содержит фокус F и В этой системе координат уравнение параболы имеет вид: Это уравнение также называют каноническим уравнением параболы Ось ординат этой системы координат является осью симметрии py p параболы, точка O - вершиной параболы Очевидно, фокус параболы в этой системе имеет координаты F (0; ) p уравнение директрисы имеет вид: y, а

32 и Каноническими будем называть также системы координат, в которых уравнение параболы имеет вид py Эти уравнения тоже будем называть каноническими y p Задача Напишите уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат, если вершина еѐ начало координат и точка C( ; ) принадлежит ей Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы этой параболы Решение Из условия задачи следует, что система координат каноническая и уравнение параболы имеет вид: py Подставляя в это уравнение координаты точки C, получаем: Следовательно, уравнение параболы имеет вид: F(0; ) 4 Ответ: Уравнение параболы: y, уравнение директрисы - y, уравнение директрисы - Задача Докажите, что линия, уравнение которой имеет вид: Найдите еѐ параметр, координаты вершины, фокуса и уравнение еѐ директрисы Решение Выделим полный квадрат при y : y y 4 [( y y ) 9] 4 ( y ) 4 так: y, фокус имеет координаты 4 y y 4 p ( ) p y, фокус имеет координаты 4 F(0; ) 4, является параболой Таким образом, уравнение может быть записано y y ( ) 4 4 ( ) Введѐм новую систему координат, которая получается из исходной в результате параллельного переноса Координаты точки в исходной и в новой системах координат связаны соотношениями:

33 4; y y В новой системе координат уравнение линии принимает вид: y Таким образом, получили каноническое уравнение параболы, параметр которой равен Точка O - начало новой (канонической) 4 системы координат является вершиной этой параболы, те в новой системе координат обе еѐ координаты равны 0, а в исходной - O( 4; ) Фокус F параболы в новой (канонической) системе координат имеет координаты ; y 0, а уравнение директрисы имеет вид: Следовательно в исходной системе координат 8 8 F( ; ), а уравнение директрисы имеет вид: Ответ: p, уравнение директрисы -, фокус имеет координаты F( ; ) Задача Составьте уравнение параболы, если точка F(7; ) - еѐ фокус, а уравнение еѐ директрисы l имеет вид: 5 0 Решение Пусть точка M в данной системе имеет координаты M ( ; y ) Тогда ( M, l) 5 ; MF y ( 7) ( ) Воспользуемся определением параболы Обозначим параболу (как геометрический объект) через Тогда из определения следует, что M M l MF y y (, ) 5 ( 7) ( ) ( 5) ( 7) ( ) y y y y Ответ: y y Задача 4 Составьте уравнение той касательной l к параболе, заданной уравнением перпендикулярна прямой l : 4y 7 0 6y, которая Решение Пусть точка M0 ( 0 ; y0 ) есть точка касания прямой l Тогда уравнение касательной имеет вид: l : 0 8( y y0), причѐм 0 6y0, тк M0 Из уравнений l и l следует, что вектор n с координатами n ( 0 8) и n с координатами n ( 4) являются векторами нормали к прямым l и l l, следовательно, векторы нормалей к этим прямым ортогональны, откуда l соответственно По условию получаем: n n n n Следовательно, 6 6y0 y0 6, и уравнение касательной принимает вид: 6 8( y 6) y 6 y 6 0 Ответ: y6 0 Задача 5 Составьте уравнение касательной к параболе, заданной уравнением B (4,) 6y Решение Уравнение искомой касательной имеет вид: 4 8 ( y ) y 0 Ответ: y 0 и проходящей через точку Глава IY Прямая и плоскость в пространстве Плоскость Теорема Любая плоскость в декартовой прямоугольной системе координат Oyz задаѐтся уравнением -ой степени, те уравнением вида: By Cz D 0, где Следствие Если вектор n с координатами n ( B C) (те n ), а точка B C 0 M ( ; y ; z ), то уравнение плоскости имеет вид: является вектором нормали к плоскости

34 ( ) B( y y ) C( z z ) Например, если (4 5 6) M (; ; ) n является вектором нормали к плоскости (те n ), а точка, то уравнение плоскости имеет вид: 4( ) 5( y ) 6( z ) 0 4 5y 6z 0 Теорема Любое уравнение -ой степени от, y и z, те уравнение вида: By Cz D 0, где B C 0, есть уравнение некоторой плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oyz Следствие Если уравнение плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oyz имеет вид: By Cz D 0, то вектор n с координатами n ( B C) является вектором нормали к плоскости Далее запись : By Cz D 0 () будет означать, что плоскость задаѐтся уравнением () Уравнение вида () будем называть общим уравнением плоскости : B y C z D 0и Теорема Пусть в пространстве заданы две плоскости : B y C z D 0 Тогда справедливы следующие утверждения: ) для того чтобы эти плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы B C ; B C ) для того чтобы эти плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы B B C C ; 0 ) для того чтобы эти плоскости совпадали (те ), необходимо и достаточно, чтобы 4)косинус острого угла между этими плоскостями вычисляется по формуле: cos(, ) B B C C B C B C B C ; B C Пусть : By Cz D 0 и пусть начало вектора n нормали к плоскости с координатами n ( B C) есть точка, принадлежащая этой плоскости Обозначим через то полупространство, в котором находится конец вектора n, а через - другое полупространство 4

35 Теорема 4 Во введѐнных выше обозначениях справедливы следующие утверждения: ) расстояние от точки M ( ; y ; z ) до плоскости вычисляется по формуле: 0 B y0 C z0 D ( M 0, ) B C M ( ; y ; z ) B y C z D 0 ; ) ) M ( ; y ; z ) B y C z D 0 Лемма Пусть даны точки M ( M ; ym ; zm ) и N( N ; yn ; z N ), а точка K( K ; yk ; zk ) такова, что MK KN, где Тогда координаты точки K вычисляются по формулам: M N ym yn zm zn K ; yk ; zk Следствие Если точка K - середина отрезка MN (те ), то M N ym yn zm zn K ; yk ; zk ; Задача Составьте уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям : 4y z 0 и : y z 0, и проходящей через начало координат Решение Из условия задачи следует, что векторы n и n с координатами n ( 4 ) и n ( ) являются векторами нормалей к плоскостям 5 и соответственно По условию плоскость перпендикулярна обеим плоскостям Следовательно, еѐ вектор нормали n перпендикулярен обоим векторам n и n, и потому в качестве вектора нормали к плоскости можно взять векторное произведение векторов n и n i j k Таким образом, n n n Найдѐм этот вектор по формуле n n n 4 6i j k Следовательно, нашли координаты вектора n ( 6 ), и уравнение плоскости имеет вид: 6( 0) ( y 0) ( z 0) 0 6 y z 0, тк плоскость проходит через начало координат Ответ: 6 y z 0 Задача Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости : 4y z 0и проходящей через точку Q (,,) Решение Из условия задачи следует, что вектор n с координатами n ( 4 ) является вектором нормали к плоскости, а потому и к плоскости, тк По условию задачи точка Q(,,) принадлежит плоскости Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: : ( ) 4 ( y ) ( z ) 0 : 4y z 6 0 Ответ: 4y z 6 0 Задача Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка B перпендикулярно этому и B (5,7,8) отрезку, если (,,0) Решение Из условия задачи следует, что вектор B является вектором нормали к искомой плоскости Найдѐм его координаты: B ( ) (4 4 8) Теперь найдѐм координаты точки M - середины B y yb z zb отрезка B : M ; ym 5; zm 4 Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 4 ( ) 4 ( y 5) 8 ( z 4) 0 y z 6 0


8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ Настоящее пособие по выполнению контрольной работы по геометрии (аналитическая геометрия на плоскости) для студентов заочного отделения написано в соответствии с действующей программой и предназначено

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее