АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ"

Транскрипт

1 Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Методические указания к проведению практических занятий по дисциплине: «Математика» для студентов направления «Менеджмент» очной формы обучения Балаково 6

2 ВВЕДЕНИЕ Методические указания к проведению практических занятий по теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» предназначены для студентов направления «Менеджмент» очной формы обучения. Они содержат основные теоретические сведения по аналитической геометрии, образцы решения типовых задач. Кроме того, в методических указаниях приведены вопросы для самопроверки, список литературы, необходимой для изучения данного раздела высшей математики. Цель работы: - оказание помощи студентам в усвоении и закреплении практических навыков решения задач по теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»; порядка: - формирование общекультурных и профессиональных компетенций; - приобретение знаний для дальнейшего изучения других дисциплин. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого где A, B, C некоторые действительные числа. Ах + Ву + С =, () Постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А + В. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.. Пусть в пространстве заданы две точки M (x,, z ) и M (x,, z ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: x x x x z z z z ()

3 3. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = привести к виду: где A C k; b; т. е. kx b. B B A C x B B, (3) Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. 4. Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = С, то, разделив А С В С на С, получим: х у или где C C a ; b. A B x a b, (4) Полученное уравнение прямой называется уравнением в отрезках. Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b координатой точки пересечения прямой с осью Оу.. Если заданы две прямые = k x + b, = k x + b, то острый угол между этими прямыми будет определяться по формуле: tg k k k k, () где k, k угловые коэффициенты первой и второй прямых, α угол между прямыми. Из формулы () следуют условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Для этого необходимо рассмотреть равенство нулю числителя и знаменателя дроби формулы. Условие параллельности: две прямые параллельны, если k = k. Условие перпендикулярности: две прямые перпендикулярны, если k = -/k. 3

4 Если задана точка М(х, у ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = определяется как d Ax B, (6) A B C 6. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если r радиус окружности, а точка С (a, в) ее центр, то уравнение окружности имеет вид x a b r. (7) Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение x r. (8) 7. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Если фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках F (с,) и F (-c,), то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса: x a b, (9) где a- большая полуось, b- малая полуось. Формула связи между величинами a, b, с для эллипса a b c () 8. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. 9. Если поместить фокусы гиперболы в точки F (-c, ) и F (c, ), то получится каноническое уравнение гиперболы: 4

5 x a b, () где a - действительная полуось, b- мнимая полуось, a, b, с связаны соотношением a c b. (). Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы является прямая (р расстояние между фокусом и директрисой), а фокусом точка имеет вид:. Общее уравнение плоскости S имеет вид: где N A, B, C x p, p, то уравнение параболы px. (3) Ах+Ву+Сz+D=, (4) - нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М (х,у,z ), М (х,у,z ), М (х,у,z ) имеет вид: x x x x x x z z z z z z () Для определения угла между плоскостями необходимо использовать формулу угла между векторами, которые являются векторами нормалей для плоскостей. Угол между двумя плоскостями S и S определяется как угол между их N A, B C N A, B C : нормальными векторами и,,

6 cos N N A A B B C C (6) N A B C A B C N. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки М (х,у,z ), М (х,у,z ) имеют вид: x x x x z 6 z z z ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6-8 Тема «Уравнение прямой на плоскости» (7) Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(;-3), В(;),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти: ) уравнение стороны AD; ) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; ) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. С( 3; 4) Записать общие уравнения найденных прямых. Решение. ) Составим уравнение прямой AD. По условию В (; ), Подставим координаты точек В и С в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: x 3 4, т.е. x Запишем полученное уравнение в общем виде: 3 Из этого уравнения выразим : x 3 уравнение вида. ; x. 3 x. Получили kx b - уравнение с угловым коэффициентом. Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС. Используем условие параллельности двух прямых. По

7 условию задачи А ( ; 3), прямая 3 ВС : x. Подставим координаты точки А в уравнение (3.): 3 k( x ). Так как прямая AD параллельна прямой BC, то их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой BC равен 3 ( x ), следовательно, уравнение прямой AD имеет вид. Запишем уравнение прямой AD в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: x 8. AD: x 6. Запишем уравнение прямой AD в виде с угловым коэффициентом.. Для этого выразим из общего уравнения: x 8 ). Составим уравнение высоты BK, проведенной из вершины B на сторону AD как уравнение прямой, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AD. Используем условие перпендикулярности двух прямых. Подставим координаты точки В : k( x ). Так как высота BK перпендикулярна прямой AD. Угловой коэффициент прямой AD равен, следовательно, угловой коэффициент высоты BK равен ( x ) и уравнение прямой BK имеет вид. Запишем уравнение высоты BK в общем виде: x. Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: x 3. 3). Найдем длину высоты BK как расстояние от точки В до прямой AD. BK перпендикулярна AD, то длина BK. По условию B (; ), прямая AD определяется уравнением x 6. Длина высоты BK равна d =. ( ) 4 9 7

8 4). Найдем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через точки B и E, где E - середина отрезка AC. По условию ( ; 3) Тогда имеем: 3 x, A, C ( 3; 4).. E ( ; ). Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка E (середина отрезка АС) является точкой пересечения диагоналей и диагональ BD проходит через точку E. По условию (; ) имеет вид: x 7 7 B, E ( ; ) или x 9. Уравнение прямой BE (диагонали BD). Запишем это уравнение в общем виде: 9x 4. Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициен- 9. том: x 8 ). Найдем тангенс угла между диагоналями BD и AC. Найдем уравнение диагонали AC как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. По условию ( ; 3) x A, C ( 3; 4). Следовательно,. Общее уравнение диагонали AC имеет вид x, уравнение с угловым коэффициентом вид x, угловой коэффициент k пря- 9 мой AC равен. Уравнение диагонали BD имеет вид x 8, ее угловой коэффициент 9 k. Следовательно, tg 9 ( ) 9 ( ) Отсюда arctg. 8

9 ЗАДАНИЯ I. Напишите уравнение прямых, проходящих через точку М, одна из которых параллельна, а другая l.m(; 3), l: 3x + =. перпендикулярна заданной прямой II. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M и через точку пересечения прямых l и l.m(; ), l : x = ; l : 3x + =. III. Найдите расстояние от точки Р до прямой l.p( 3; ), l: x+3 =. IV. В треугольнике ABC: A(4; ), B( ; 3), C(; ) составьте уравнения: стороны BC; высоты, опущенной из вершины A на сторону BC; медианы, проведенной из вершины C. V. В табл. даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: ) длину стороны АВ; ) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; ) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. Координаты вершин треугольника ) А (,-3), В (,7), С (-,4); ) А (7,), В (,4), С (-8,-4); 3) А (,), В (-7,-4), С (3,); 4) А (3,-), В (,3), С (-6,); ) А (-,-3), В (,7), С (8,3); 6) А (,), В (3,), С (,8); 7) А (-4,-), В (-,9), С (6,); 8) А (,4), В (7,), С (,); 9) А (-8,-3), В (4,-), С (8,); Таблица 9

10 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9 Тема «Кривые второго порядка» Пример. Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением x x 3. Решение. Приведем исходное уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты по x и : x x x , или Получаем координаты центра, 3, R= 3. 9 Пример. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением x. Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. x 9 9, откуда a 3, b. Определяем расстояние фокусов от центра: c 3, то есть, F,, F. Определяем эксцентриситет: c 8. a 3 3 Пример 3. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках (,) F,, F, а длина ее действительной оси равна.

11 Решение. Для записи уравнения гиперболы в каноническом виде необходимо знать величины a и b. Величина a по условию задачи (длина вещественной оси). Определим величину b. Из условия задачи можно определить величину c. Это первая координата фокуса, то есть c. По формуле b c a определяем величину b: b 3. Тогда, искомое уравнение будет иметь вид: x. 3 Пример 4. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси X, и проходит через точку,3. Решение. По условию парабола симметрична оси X и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением. Подставим в каноническое уравнение координаты точки, через которую проходит парабола: 3 p 9. Следовательно, уравнение параболы можно записать как p, откуда 9 x. В итоге получим искомое уравнение параболы: 9x. ЗАДАНИЯ I. Построить кривую 9x + =. Описать все её характеристики. II. Установить, что уравнение x +9 3x+8+9= определяет эллипс, найти его центр C, полуоси. III. Построить гиперболу 6x 9 =44. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов. IV. Установить, что уравнение 6x 9 64x 4 6= определяет гиперболу, найти ее центр C, полуоси, построить кривую. V. Убедиться, что точка M(,9/4) лежит на гиперболе x =, найти 6 9 фокусы гиперболы и расстояния от точки М до левого фокуса гиперболы.

12 VI. Построить параболу =6x и найти ее параметры. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА - Тема «Уравнение плоскости и поверхности второго порядка» Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (,,3) параллельно плоскости x z. Решение. По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости x z, а это значит, ее уравнение принимает вид: B D, где D B. Нормаль этой плоскости должна быть параллельна вектору j, где j {,, }, откуда B, следовательно, общее уравнение принимает вид:, или. Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (,,3) параллельно плоскости x z 8. Решение. У параллельных плоскостей общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль N {,, }. Получаем: ( ) ( ) z 3 x, или x z. Пример 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (,,3) параллельно векторам {,4, } l и,, l. Решение. Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка M известна, осталось найти нормаль. Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна: N l и N l. По свойству векторного произведения: если c [ a, b], то c a и c b, значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их вектор-

13 ное произведение: N i j k [ l, l] 4 8i 3 j k, откуда координаты нормали: N { 8,3, }. Находим общее уравнение: 3 ( ) z 3 8 x. После преобразования получим: 8x 3 z 33. Пример 4. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей x z и x 3 z 8. Решение. Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений x z x 3 z 8 x, откуда находим: x, x 3 8 исключим z. Положим z, тогда:. Таким образом, нашли координаты фиксированной точки M (,,). Направляющий вектор определяет- ся как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую: i j k l N, N ] i 4 j k [. 3 Запишем канонические уравнения: x ( ) z, или 4 x z x z. Обозначив t, получаем параметрические 4 4 уравнения: x t, 4t, z t. 3

14 ЗАДАНИЯ. Уравнение плоскости x+3-6z+= привести к нормальному виду.. Определить расстояние от точки M (3;;-8) до плоскости 6x-3+z-8=. 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(;3;) и перпендикулярной вектору n = 4i + 3j + k. 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(;3;-) параллельно плоскости x-3+z-=.. Из точки P(;3;-) на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания. 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(;4;3) и отсекающей равные отрезки на осях координат. 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x++z-= и x+3-z+= и через точку M(3;;). 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(;-;4) и B(3;;-) перпендикулярно плоскости x++z-3=. 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+3+z-4= и x--z+7= и параллельной оси О.. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(3;-;-) и перпендикулярной плоскостям 3x-+z+7= и x-4+3z+=.. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей: ) x+-z-=; ) 3x+-4z+7=.. Найти расстояние от точки М(;3;-) до плоскости x-3-4z+=. 3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки M (;3;-) на плоскость 4x-+z-=. 4

15 4. Найти уравнение плоскости, проходящей :) через точку М(-;3;4), если она отсекает на осях координат равные отрезки;) через точку N(;-;4), если она отсекает на оси Oz отрезок вдвое больший, чем на осях Ox и O.. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(;;-) и Q(;-;3) и перпендикулярной плоскости 3x+-z+=. 6. На плоскости x-+z+= найти такую точку M, чтобы прямая ОМ составляла с осями координат равные углы. 7. Найти уравнение плоскости, зная, что точка P(4;-3;) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. 8. Найти уравнение плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно плоскости 3x-4+z-=. 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки P(;;) и Q(;;) и образующей угол 6 с плоскостью x=.. Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку М(;-;-), одна из которых содержит ось Ох, а другая ось Oz.. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через точки P(4;-;) и Q(;4;-3).. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей x++z-7=, x-+3z-3=, 4x+-z-= и через точки M(;3;) и N(;;). 3. Уравнения прямых привести к каноническому виду x-+3z-= и x+4-z-7=. x z 9 =, 4. Построить прямую { 4x + + z 8 =.. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую x = 3 = z Составить уравнения прямой, проходящей через точку N(3;;-) и пересекающей ось Ox под прямым углом.

16 7. Дана плоскость x+-z-6= и вне её точка М(;;). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной плоскости. 8. Через прямую x+ = = z 3 прямой x = + = z Найти уравнения проекции прямой x++z-=. провести плоскость, параллельную x = + = z 3 на плоскость 3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(;3;4) и параллельной вектору s = i + j 8k. 3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(;;) и перпендикулярной векторам s = i + 3j + k и s = 3i + j + k. 3. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:x + +z -x++=. 33. Составить уравнение сферы, проходящей через точки A(;;-4), B(;- 3;) и C(;;3), если её центр находится в плоскости xo. 34. Найти координаты центра и радиус окружности: { (x 3) + ( + ) + (z ) =, x z + 9 =. 3. Какую поверхность определяют в пространстве уравнения: )x = 4 ; ) z = xz. =. 36. По какой линии пересекает конус x + z = с плоскостью 37. Составить уравнение конической поверхности, вершиной которой служит точка М(;;), а направляющей эллипс x + =, z= Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой x+=4, z= вокруг оси Ox. 6

17 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. Формула расстояния между двумя точками на плоскости.. Определение координат точки на плоскости, делящей отрезок в данном отношении. 3. Записать уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. 4. Записать уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку в данном направлении.. Записать уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки. 6. Записать уравнение прямой на плоскости в отрезках. 7. Записать общее уравнение прямой на плоскости. 8. Формула угла между двумя прямыми на плоскости. 9. Условие параллельности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.. Условие параллельности прямых на плоскости, заданных общими уравнениями.. Условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.. Условие перпендикулярности прямых на плоскости, заданных общими уравнениями. 3. Исследование взаимного расположения пар прямых на плоскости, заданных общими уравнениями. 4. Нахождение координат точки пересечения прямых на плоскости.. Расстояние от данной точки до данной прямой на плоскости. 7

18 ЛИТЕРАТУРА. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б. Курс математики для технических высших учебных заведений. Часть. Аналитическая геометрия. Пределы и ряды. Функции и производные. Линейная и векторная алгебра: Учебное пособие/ Под ред. В.Б. Миносцева, Е.А. Пушкаря. -е издание, испр. - СПб.: Издательство «Лань», с.. Данко, Д. П. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов / Д. П. Данко, Данко П. Е. и др. - 7-е изд., испр. - : М.: АСТ: Мир и Образование, с 3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный ;. - изд. - : Айрис-пресс, с 8

19 СОДЕРЖАНИЕ Введение... Основные понятия... Практические работы Практические работы 9 Практические работы - Вопросы для самопроверки.. 7 Литература... 8 Содержание


3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Методические указания к контрольной работе 1. Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»

Методические указания к контрольной работе 1. Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» Методические указания к контрольной работе Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия». Даны векторы a {0}, b { }, c { 0}, d {} в некотором базисе. Показать, что векторы abc,, образуют базис и найти

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

3. Прямая на плоскости

3. Прямая на плоскости 3 Прямая на плоскости В 3 представлены типов задач на прямую на плоскости, использующие все основные уравнения прямой, а также формулы расстояния между двумя точками, расстояния от точки до прямой, угла

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее