КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие"

Транскрипт

1 КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008

2 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета А в т о р доцент АМ Сидоров Числовые ряды: Учебно-методическое пособие /АМ Сидоров-Казань: КГУ, с Казанский государственный университет, 008

3 Оглавление Предисловие 4 Литература 4 Понятие числового ряда5 Необходимое условие сходимости ряда Критерий Коши сходимости ряда Ряды с неотрицательными членами7 Мажорантный признак сравнения9 Признак сравнения в предельной форме Признак Даламбера5 Радикальный признак Коши8 Интегральный признак Коши0 Знакопеременные ряды4 Признак Лейбница6 Признак Дирихле8 Признак Абеля40

4 Предисловие Учебно-методическое пособие «Числовые ряды» входит в комплекс учебно-методических пособий, предназначенных для студентов факультета вычислительной математики и кибернетики, которые учатся решать задачи по математическому анализу В пособии содержатся основные теоретические сведения, относящиеся к числовым рядам, даны решения типовых задач и упражнения для самостоятельного решения Формулы пособия, на которые имеются ссылки, имеют нумерацию вида (ав), где а номер параграфа, в номер формулы в этом параграфе Литература Виноградова ИА, Олехник СН, Садовничий ВА Задачи и упражнения по математическому анализу В кн Кн Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы: Учеб пособие для университетов, пед вузов /Под ред ВАСадовничего-М:Высшшк, 000 Демидович БП Сборник задач и упражнений по математическому анализу-м:наука, 977 Кудрявцев ЛД, Кутасов АД, Чехлов ВИ, Шабунин МИ Сборник задач по математическому анализу: Интегралы Ряды: Учеб пособие для вузов/ Под ред ЛДКудрявцева-М:Наука, 986 4

5 Понятие числового ряда Пусть дана числовая последовательность ( ) Формальная сумма K K называется числовым рядом или, короче, рядом Члены последовательности ( ) называются членами ряда, называется общим или - ым членом ряда Для обозначения ряда часто используется короткая форма записи: K K, те В дальнейшем мы будем рассматривать только ряды, члены которых действительные числа Для каждого N сумма первых членов ряда S K называется - й частичной суммой этого ряда Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности S ) его частичных сумм: S lim S Число S ( называется суммой ряда, при этом пишут S Ряд называется расходящимся, если последовательность ( S ) его частичных сумм не имеет конечного предела, те либо lim S не существует, либо этот предел бесконечен Пример Доказать, что ряд сходится и найти его сумму ( ) Решение Общим членом данного ряда является Поскольку ( ) ( ) ( ) ( ), то - ую частичную сумму S ряда можно записать в виде 5

6 6 K S Поэтому lim lim S Это означает, что ряд сходится и его сумма равна, те Пример Доказать, что ряд l расходится Решение Имеем: l l, K l l l l l l S l l l l l Поскольку lim l lim S, то данный ряд расходится Пример Доказать, что ряд сходится и найти его сумму Решение Разложим - общий член ряда на простейшие дроби следующим образом: 6 6 Тогда S K K

7 5 5 Поэтому lim S lim Значит, ряд 6 6( ) 6( ) ( ) 6 сходится и его суммой является число 5 S lim S 6 Пример 4 Доказать, что ряд сходится и найти его сумму ( ) Решение Чтобы упростить выражение для - ой частичной суммы ряда S, нужно разложить общий член ряда на простейшие дроби ( ) Это можно сделать так же, как это было сделано в примере Но можно применить и метод неопределенных коэффициентов разложения рациональной функции на простейшие дроби, поскольку является рациональной функцией переменной Запишем в виде A B C D, ( ) ( ) где A, B, C и D - подлежащие определению коэффициенты После приведения этого равенства к общему знаменателю и его отбрасывания получим равенство ( ) B( ) C D ( ) A Положим в этом равенстве 0, получим A ; положив, получим C Приравняв коэффициенты при и в обеих частях равенства, получаем: 0 B D, A B, откуда B 0, D 0 Таким образом, ( ) ( ) Следовательно, S K ( ) ( ) ( ) Переходя к пределу, находим 7

8 lim S lim Поэтому ряд сходится и его сумма S lim S При рассмотрении следующего примера нам понадобится Утверждение ) Если q <, то lim q 0 ) Если q >, то lim q Докажем это утверждение, воспользовавшись определением предела числовой последовательности ) При q 0 утверждение очевидно Пусть 0 < q < Тогда для 0 < ε неравенство q < ε равносильно неравенству > log q ε Значит, < ε > ε ε Напомним, что символ [ ] обозначаем q при [ log q ] целую часть числа Для ε > < ε R, те наибольшее целое число, не превосходящее q при > ( ε ) Значит, мы доказали, что Это означает: lim q 0 ( ε ) > ( ε ) ( q ε ) ε > 0 < ) Пусть q > Тогда для ε > 0 q > ε при > ( ε ) [ log q ε ] Значит, ε > 0 ( ε ) > ( ε ) ( q > ε ) Поэтому q Утверждение доказано Пример 5 Исследовать на сходимость ряд lim q q K q K Решение Составим - ую частичную сумму ряда: S q q K q () Умножив обе части равенства () на q, получим qs q q q q Почленно вычтем равенство () из равенства (): S q q Пусть q Тогда K () q S () q Воспользовавшись утверждением и формулой (), мы получим, что 8

9 при q < lim q 0 и lim S ; q при q > lim q и lim S Осталось рассмотреть случай q Если q, то ряд примет вид Для него lim S lim Пусть q Тогда ряд примет вид Для него S, S 0, N K K Имеем: lim S, lim S 0 Таким образом, две подпоследовательности ( S ) и ( S ) последовательности ( ) различные пределы Значит, предел последовательности ( ) S имеют S не существует В итоге получен следующий результат: ряд q при q < сходится и q, при q ряд расходится Заметим, что часто ряд q q записывают в виде 0 q Легко видеть, что при q < q q (4) q Теорема ) Если ряд сходится, то для любого λ R сходится ряд λ, называемой произведением ряда на число λ и λ λ ) Если ряд расходится, то для любого λ 0 ряд λ также расходится ) Если сходятся ряды и называемый суммой этих рядов и ( ),, то сходится ряд 9

10 Теорема Если сходится ряд 0, то при каждом m N сходится ряд r m, называемый m - м остатком ряда, и lim r 0 m m m Если какой-нибудь остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд Следствие Отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость π cos Пример 6 Найти сумму ряда π Решение Вычислим cos Если, где N, то π cos cos π Если, то π cos cos π π cos π Если, то π 4 4 π cos cos π π cos π Значит, если, то cos, а π если, то cos Ряды 8 и сходятся (см пример 5), причем по формуле (4), Поэтому на основании 8 7 теоремы получаем: π cos K В ходе вычислений члены вида данного ряда мы представим в виде Упражнения В упражнениях для каждого ряда найти его сумму S : Ответ: S ( )( ) Ответ: S 8

11 ( ) ( ) ( ) Ответ: S 8 Ответ: S 8 4 Ответ: S 4 Ответ: S 7 ( ) 8 Ответ: S ( )! ( ) Ответ: S 9 l Ответ: S l 0 Ответ: S 0 Ответ: S 6 5 Ответ: S 8 l Ответ: S 0 l 4 Доказать, что ряд l 5 расходится 0 Необходимое условие сходимости ряда Если ряд сходится, то lim 0 (5) Следствие Если условие (5) не выполняется, те lim 0, либо lim не существует, то ряд расходится Замечание Условие (5) не является достаточным условием сходимости ряда Действительно, ряд l, как установлено в примере,

12 расходится В то же время в силу непрерывности логарифмической функции lim lim l l lim l 0 5 Пример 7 Исследовать на сходимость ряд Решение Имеем:, lim lim lim 0 Необходимое условие сходимости ряда не выполняется и, следовательно, ряд расходится Пример 8 Исследовать на сходимость ряд si Решение Применив первый замечательный предел, получаем: si lim lim si lim 0 Значит, ряд расходится Пример 9 Исследовать на сходимость ряд cos Решение Поскольку функция y cos непрерывна на R, то lim lim cos cos lim cos 0 0 Данный ряд расходится Пример 0 Доказать, что ряд расходится Решение Найдем lim lim lim С помощью l правила Лопиталя находим (см (6)), что lim 0 Используя это, l равенство e и непрерывность показательной функции, получаем lim l l lim 0 lim e e e

13 Как lim l известно, l lim l lim 0 ( ) Учтя это, как и выше имеем lim lim lim e e lim l e lim lim l e Поэтому l 0 lim Наконец, lim lim 0 Поэтому ряд lim расходится Упражнения Используя необходимое условие сходимости, доказать, что каждый из следующих рядов является расходящимся: rccos 7 si 8 9 e l 0 Критерий Коши сходимости ряда Для сходимости ряда необходимо и остаточно, чтобы ( ε ) > ( ε ) N ( K ε ) ε > 0 < (6) Замечание Если условие (6) не выполняется, те ( K ) ε > 0 N > N ε, (7)

14 4 то ряд расходится Пример Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда cos Решение Имеем: K cos cos cos K cos cos cos K K Поскольку, то K < Поэтому для любых натуральных чисел и < K (8) Пусть задано 0 > ε Неравенство < ε (9) равносильно неравенству > ε Если 0 < ε, то неравенство (9) справедливо при > ε ε Если > ε, то неравенство (9) справедливо при > ε Использовав неравенство (8), мы получили, что < < > ε ε N K, те выполнено условие (6) Значит, данный ряд сходится

15 Пример Пользуясь критерием Коши, доказать, что ряд расходится Решение Пусть ε Для любого натурального возьмем и Тогда K K (0) В правой части равенства (0) находится сумма, состоящая из слагаемого, причем, очевидно, >, >, K, > Поэтому заменив в (0),, K, на, мы получим: K > > ε Следовательно, выполнено условие (7), и данный ряд расходится Пример Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда, где < 0, N 0 Решение Положив, воспользовавшись условием < 0 и 0 формулой (), получаем K K K < K K < < Значит, для всех натуральных чисел и K < () 0 Пусть ε - произвольное положительное число Рассмотрим неравенство < ε, N, () 0 5 <

16 которое равносильно неравенству > lg Если 0 < ε <, то неравенство ε () выполняется при > ( ε ) lg Если ε, то lg 0, и ε ε неравенство () справедливо при > ( ε ) Значит, для произвольного положительного ε мы нашли такой номер ( ε ), что если > ( ε ), а - произвольное натуральное число, то K < < ε 0 Таким образом, выполнено условие (6) и поэтому данный ряд сходится Упражнения Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов: si cos cos ( ) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов: 4 5 6

17 Ряды с неотрицательными членами Теорема Пусть все члены ряда неотрицательны: 0, N Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху и достаточно, чтобы была ограничена сверху хотя бы одна подпоследовательность последовательности его частичных сумм Пример Доказать, что если ряд, где 0, N, сходится, то ряд также сходится S - последовательность частичных сумм первого ряда, а ( σ ) Решение Пусть - второго ряда Согласно теореме (необходимость) из сходимости первого ряда следует, что последовательность ограничена сверху и последовательность ( S ) S ограничена сверху Тогда : M N в силу условия 0 следует, что σ K ( ) S M последовательность ( σ ) ( S M ) Отсюда K для всех N Поэтому ограничена сверху Применив теорему (достаточность), мы видим, что сходится ряд Пример Доказать, что ряд Решение Данный ряд состоит из положительных членов: > 0, N В силу очевидного неравенства расходится S K >, N, последовательность ( S ) частичных сумм ряда не ограничена сверху Согласно теореме это и означает расходимость данного ряда Пример Если 0 и, N, то ряд сходится или расходится одновременно с рядом 7

18 Решение Пусть S K и 44 K, N, то частичные суммы данных рядов Поскольку, 4, , K K Сложив эти неравенства почленно, получим K 4 K 8 ( ) 4 S σ σ -, те () Если ряд σ ограничена сверху В силу неравенства () ограничена сверху S частичных сумм ряда подпоследовательность сходится, то по теореме последовательность S последовательности Согласно теореме этот ряд сходится С другой стороны, справедливы неравенства, 8, 4 4, K K Сложив эти неравенства почленно, получим K те K, σ S () Если ряд σ его частичных сумм не ограничена сверху В силу неравенства () тогда не S Отсюда следует расходится, то (теорема ) последовательность ограничена сверху и подпоследовательность расходимость ряда Пример 4 Исследовать на сходимость ряд

19 Решение Если 0, то, N Поэтому не выполняется необходимое условие (5) сходимости ряда Следовательно, при 0 данный ряд расходится Пусть > 0 Тогда > 0 и >, N Согласно примеру исследуемый ряд сходится или расходится одновременно с рядом рядом ( ), те с q, () где q > 0 Если >, то q < и, как установлено в примере 5, ряд () сходится Если, то q и ряд () расходится Итак, ряд сходится при > и расходится при Ряд называется гармоническим Поскольку для него, то этот ряд расходится Мажорантный признак сравнения Пусть существует номер 0 такой, что для всех 0 справедливы неравенства 0 Тогда ) из сходимости ряда ряда следует сходимость ряда следует расходимость ряда ; ) из расходимости Пример 5 Исследовать на сходимость ряд 7 Решение Поскольку для любого натурального числа справедливы неравенства 0 < <, а ряд сходится (см пример 5), то на основании мажорантного признака сравнения данный ряд сходится Пример 6 Исследовать на сходимость ряд 9

20 Решение Заметим, что при справедливо неравенство < ( )( ) Поэтому > ( )( ) ( )( ), Так как гармонический ряд расходится (см пример 4), то в силу теоремы ряд также расходится Значит, согласно мажорантному признаку расходится и исследуемый ряд Пример 7 Исследовать на сходимость ряд l l l l l l( l ) l( l ) Решение Имеем: ( l ) e e ( l ) > l > e > e Значит, при l l( l ) ( l ) e > e 0 < < Ряд с общим членом сходится, как это было установлено в примере 4 Поэтому сходится и данный ряд Пример 8 Доказать, что сходится ряд l Решение Сначала докажем, что при > справедливо неравенство l ( ) (4) Для этого рассмотрим функцию f l ( ), > Ее производная f Легко видеть, что при < < 0 f > 0, при > 0 f < 0 Значит, f ( 0 ) 0- наибольшее значение функции f Поэтому f ( 0) при > f, и неравенство (4) доказано Их этого неравенства следует, что l l < Поэтому l > 0, N Снова использовав (4), получаем l l l < Значит, l < <, N Таким образом, 0 < <, N Ряд данный ряд сходится, как уже отмечалось, сходится Следовательно,, 0

21 При исследовании рядов, общий член которых содержит логарифмическую функцию, бывает полезным Утверждение Пусть R, q > 0 Тогда существует такое натуральное число 0, что при 0 q l < (5) Для доказательства этого утверждения, покажем, что l lim 0 (6) q l Если 0, то равенство (6) верно, поскольку 0 < <,, а q q l lim 0, тк q > 0 Пусть > 0 Рассмотрим предел lim Сделав в q q t нем замену l t, получим lim Положим [ ] Применим правило t qt e Лопиталя раз: l t t ( ) K( ) t lim lim lim K lim 0, q t qt t qt t qt e qe q e тк < 0 Итак, равенство (6) доказано Согласно определению предела числовой последовательности, для ε найдется такой номер 0, что при l q 0 справедливо неравенство 0 < <, те l < Утверждение q доказано Пример 9 Доказать, что ряд расходится l l l Решение Применяя неравенство (5), взяв в нем l вместо,, q, мы видим, что при 0 l ( l ) < l Значит, при 0 l l >, те 0 < < l ( l ) l l l e e ( l l ), 0 Поскольку ряд расходится, то расходится и исследуемый ряд Пример 0 Исследовать на сходимость ряд l!, > 0 Решение При 4 справедливо неравенство <! < Поэтому l < l! < l и, следовательно,

22 l При, и ряд l! l < <, 4 расходится (см пример 4) Тогда расходится ряд l l l! (теорема ) Из неравенства 0 < <, Согласно мажорантному признаку сравнения получаем, что при данный ряд расходится Пусть > Тогда найдется число q такое, что 0 < q < Применив неравенство (5) для этого q и, получим: q l < при 0 Тогда q >, и ряд сходится (пример 4) Из неравенств q q 0 < l! l < < согласно мажорантному признаку сравнения q следует, что при > данный ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд ν, где ν - число цифр числа ν - число Решение Сначала получим формулу для ν Поскольку цифр числа, то ν lg < ν 0 ν ν < 0 lg, откуда логарифмируя, получаем: ν lg Очевидно, что Значит, [ ] ν, те [ ] [ lg ] l Итак, получена оценка: ν [ lg ] l, из которой следует, что l 0 < ν (7) Рассуждая как при решении примера 0, легко установить, что сходится ряд l Как уже упоминалось, сходится ряд Согласно теореме сходится ряд l Наконец, из неравенства (7) следует ν сходимость ряда Упражнения Используя мажорантный признак сравнения, исследовать на сходимость ряды -6:

23 ( )( ) ( ) Ответ: сходится Ответ: расходится Ответ: сходится 4 l Ответ: сходится 5 Ответ: расходится ll l 6 ряд ( l l ) l 7 Пусть ряд Ответ: сходится, где 0, N, сходится Доказать, что сходится Указание: применить неравенство Признак сравнения в предельной форме Пусть даны ряды и где > 0, > 0, N, и lim, 0 Тогда ) если < и сходится ряд, то сходится ряд, то расходится одновременно сходятся или расходятся ; ) если > 0 и расходится ряд Таким образом, при 0 < < оба ряда Следствие Пусть > 0, > 0, N, и ~ при, те lim Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно Следствие Пусть > 0, N и существуют числа и c > 0 такие, c что ~ при Тогда ряд сходится, если > и расходится, если Пример Исследовать на сходимость ряд,

24 Решение Пусть > 0, > 0, N При решении примера 0 было установлено, что lim Поэтому lim lim lim Поскольку ряд расходится То согласно признаку сравнения в предельной форме данный ряд расходится Пример Исследовать на сходимость ряд rctg Решение Пусть rctg > 0, N Известно, что rctg t ~ t при t 0 Кроме того, lim 0 (см утверждение ) Поэтому rctg ~ при 4 и, следовательно, ~ при, где > 0, N Ряд сходится сходится (см пример 5) В силу следствия данный ряд Пример 4 Исследовать на сходимость ряд ( ) ( ), где > 0, > 0 Решение, Имеем: > 0, N (8) ( ) ( ) Поступая также, как при решении примера 0, получим: ( ) l lim lim l ( ) e e e lim lim lim и, аналогично, lim e Поэтому (см (8)) e ~ при Ряд сходится при > (см пример 4) Согласно следствию данный ряд сходится при > При исследовании рядов, члены которых содержат факториалы, иногда бывает полезной формула Стирлинга:

25 ! ~ π при e Пример 5 Исследовать на сходимость ряд! e Решение Применив формулу Стирлинга:! e e ~ π при Ряд e 5 сходится при > (см пример 4) В силу следствия исследуемый ряд сходится при > Упражнения Используя признак сравнения в предельной форме, исследовать на сходимость ряды: 8 π cos Ответ: сходится 9 rcsi Ответ: сходится log Ответ: сходится si Ответ: сходится, если < и расходится, если ( ) ( ) Ответ: сходится, если > и расходится, если Ответ: сходится, если > и расходится, если Признак Даламбера Ряд > 0, N ) сходится, если существуют такие q < и 0 N, что для всех 0 q, в частности, если lim < ; ) расходится, если если lim > для всех 0, в частности,

26 Если lim lim, то ряд может как сходится, так и расходится Следствие Пусть > 0, N и существует lim q Тогда при q < ряд сходится, а при q > - расходится При q ряд может как сходится, так и расходится Пример 6 Исследовать на сходимость ряд Решение Имеем: (( )! ) ( )!4 (! ) (! )! 4 > 0, 4 4 (! )! (( )! ) ( )! Поскольку 4! > для всех N, то согласно признаку Даламбера ряд расходится Пример 7 Исследовать на сходимость ряд Решение Имеем: 0 >,, ( ) q lim lim lim ( ) Значит, q >, и в силу следствия признака Даламбера ряд расходится Пример 8 Исследовать на сходимость ряд!! Решение Имеем: > ( )! 0,, q lim lim сходится ( )! lim ( )! ( ) lim e < Пример 9 Исследовать на сходимость ряд 5 8 K и поэтому ряд ( ) ( 5 ) 6 K 4 6

27 Решение Имеем: ( )( ) ( 5 4)( 5 ) K 6 K q lim lim lim q Пример 0 Исследовать на сходимость ряд Решение Имеем > 0, 5 8 K 6 K ( ) ( 5 4) > 0,, N Значит, Поскольку q <, то ряд сходится, N Пусть Все члены последовательности q содержатся в последовательностях q и q Поэтому lim q lim q, 4 4 lim q lim q Значит, lim < lim, и признак Даламбера ответа не дает Данный ряд можно исследовать с помощью приводимого ниже радикального признака Коши Упражнения Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряды: 4 Ответ: расходится! 5 Ответ: сходится! 6 5 Ответ: сходится K 6 0 K Ответ: сходится 8 9 ( 4) ( 4 ) 7 (! ) 6 Ответ: сходится K rctg ( )! Ответ: расходится 7

28 0 Ответ: сходится Радикальный признак Коши Ряд, 0, N ) сходится, если существуют такие q < и 0 N, что для всех 0 q, в частности, если lim < ; ) расходится, если для всех 0, в частности, если lim > Если lim lim, то ряд может как сходится, так и расходится Следствие Пусть 0, N, и существует lim q Тогда при q < ряд сходится, а при q > - расходится При q ряд может как сходится, так и расходится Пример Исследовать на сходимость ряд K K 4 Решение Общий член данного ряда можно записать в виде, если ; N, если ; Ясно, что, если ; N, если ; Значит, для всех N q, где q < Согласно радикальному признаку Коши ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Имеем: ( ) ( ) > 0, N, q lim 8

29 ( ) ( ) e lim lim lim Значит, q e <, и согласно следствию радикального признака Коши ряд сходится Пример Исследовать на сходимость ряд Решение Пусть q ( ) 9 ( ) ( ) Имеем: lim q lim, тк lim l l lim 0 lim e e e и, аналогично, ( ) ( ) lim q lim Поскольку <, то lim q lim q < Значит, ряд сходится Упражнения Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряды: Ответ: сходится Ответ: сходится 7 si Ответ: сходится ( 5 ) 4 Ответ: сходится Ответ: сходится Ответ: расходится Ответ: сходится

30 Интегральный признак Коши Если функция f неотрицательна и убывает на промежутке [ ; ), где, то ряд и несобственный интеграл f f сходятся или расходятся одновременно Пример 4 Исследовать на сходимость ряд Решение Рассмотрим функцию f при и < 0 d Ясно, что f > 0 l f при, те f убывает на промежутке Исследуем на сходимость несобственный интеграл: [ ; ) t t d lim d lim t t lim t l t t lim t l l d ( ) 4l Значит, несобственный интеграл d сходится и согласно интегральному признаку Коши сходится и данный ряд Пример 5 Исследовать на сходимость ряд, R l l Решение Пусть f, [, ) неравенство l > 0 наибольшие из чисел: и При и, следовательно, 0 e Поскольку функция > e справедливо l f _ < Пусть - l f положительна и убывает на промежутке [ ; ), то для исследования ряда на сходимость можно применить интегральный признак Коши При t d l t t ( l ) l ( l t l ) d l Если <, то 0

31 t d lim l t и lim Если >, то lim l t 0 t t l t t d l lim t l t При t t ( l ) d d t l l l l t l l и l l d lim ( ) lim l l t l l Значит, несобственный интеграл t l t d l сходится при > и расходится при Пример 6 Исследовать на сходимость ряд l! Решение Поскольку при! <, то l! < l и, стало быть, 0 < < l l! Ряд l расходится (см пример 5) Согласно мажорантному признаку сравнения данный ряд расходится Пример 7 Исследовать на сходимость ряд l, R l Решение Если 0, то lim (5) и ряд расходится Пусть > 0 Поэтому не выполнено условие l Рассмотрим функцию f на промежутке [ ; ) ( l ) и Имеем: f 0 при e Функция f положительна и убывает на промежутке e ; Исследуем на сходимость несобственный интеграл e l l d Для этого найдем интеграл d Применим формулу интегрирования по частям d u l, dv Тогда d du, Пусть udv uv vdu, положив v и ( )

32 l l d l d e l d l l d lim ε t ( ) t lim t e ( ) l t lim t t ( ) t e Если >, то lim 0 t t Поэтому t e e и согласно (6) предел существует и конечен При этот предел бесконечен При t l l t d lim d lim l lim l t t t t e e e lim t t e l d имеем: l Итак, несобственный интеграл d и, следовательно, данный ряд сходятся при > и расходятся при Пример 8 Исследовать на сходимость ряд e Решение Пусть Если 0, то, очевидно, lim 0 и ряд l расходится Пусть < 0 Тогда согласно (6) lim l lim 0 Поэтому можно применить эквивалентность e t ~ t при t 0, взяв l t l Имеем: e ~ l при Значит, ~ l Использовав следствие признака сравнения в предельной форме и пример 7, получаем, что данный ряд сходится при < Пример 9 Пусть > 0, N, и lim( ) l l < Доказать, что ряд e сходится Решение Выберем число так, что lim( ) l l < < Из определения e верхнего предела следует, что найдется такое натуральное число 0, что

33 ll ll ( ) l l < при 0 Значит, 0 < < Поскольку l ( l ), то l ( l ) получаем: 0 < < Поскольку <, то l > Но тогда, как e l ( l ) установлено в примере 5, сходится ряд Поэтому l l в силу мажорантного признака сравнения сходится ряд Упражнения Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряды: 8 Ответ: расходится 9 Ответ: расходится l l l 0 l ( l l ) Ответ: сходится Ответ: сходится Ответ: ряд сходится при любом β, если >, и при β l β >, если ; ряд расходится при любом β, если <, и при β, если

34 Знакопеременные ряды Числовой ряд, членами которого являются числа разных знаков, называется знакопеременным Знакопеременный ряд сходится ряд называется абсолютно сходящимся, если Теорема Абсолютно сходящийся ряд сходится Теорема Если ряды и чисел и β абсолютно сходится ряд ( β ) Ряд абсолютно сходятся, то для любых является рядом с неотрицательными членами, поэтому при исследовании ряда на абсолютную сходимость можно применять признаки, приведенные в si( ) Пример Доказать, что ряд абсолютно сходится si( ) Решение Имеем: 0 < < для всех N Поскольку ряд сходится (см пример 4), то согласно мажорантному признаку сравнения si( ) сходится ряд Поэтому данный ряд сходится абсолютно Пример Доказать, что ряд l cos абсолютно сходится Решение Применив неравенство (5) при и q удовлетворяющим неравенству 0 < q <, получим, что при 0 l cos l < q q 4

35 В силу выбора числа q справедливо неравенство q > Но тогда сходится ряд и по мажорантному признаку сравнения исследуемый q ряд сходится абсолютно Пример Доказать, что если ряды сходится абсолютно Решение Из сходимости рядов ( ) 5 и и сходятся, то ряд следует сходимость ряда для всех N, то применив мажорантный признак сравнение, получаем требуемый результат Поскольку Пример 4 Доказать абсолютную сходимость ряда Решение Рассмотрим ряд Применим к этому ряду следствие радикального признака Коши: q lim lim < Ряд 4 4 следовательно, данный ряд сходится абсолютно 4 сходится и, Пусть для знакопеременного ряда, где 0, N существует такой номер 0, для всех 0 > или, либо lim > или lim > Тогда не выполнено условие lim 0, следовательно, не выполнено и условие lim 0 Поэтому ряд расходится Значит, признак Даламбера и радикальный признак Коши можно применять для доказательства расходимости ряда с членами любого знака Пример 5 Доказать, что ряд 5! расходится

36 Решение Пусть lim lim расходится Упражнения ( )!5 5 lim ( )!5 ( ) 5!, 0, N Имеем: 5 lim Доказать, что ряды -6 абсолютно сходятся: 5 rctg ( ) si (! )! si 5 ( ) Доказать, что если ряд абсолютно 5 5 > Значит, ряд e π rcsi 4 сходится, то ряд 8 Доказать, что если ряд абсолютно сходится, то ряд также абсолютно сходится Доказать, что ряды 9 и 0 расходятся: 9 ( ) 0 ( 5) 4 7 K 7 9 K Признак Лейбница Пусть существует такое > 0 и lim 0 Тогда ряд сходится 5 сходится 0 N, что при всех 0 Пример 5 Доказать сходимость ряда ( ) Решение Пусть > 0, N Последовательность ( ) ( ) является убывающей Действительно, > 0, N Кроме того, 6

37 lim lim 0 Условия признака Лейбница выполнены Значит, ряд ( ) сходится l Пример 6 Доказать сходимость ряда l Решение Пусть Для доказательства убывания l рассмотрим функцию f Имеем: l ( l ) f < 0 при > e Поэтому функция f убывает на e, Значит, > > 0 при 0 8 Согласно (6) последовательности промежутке lim l lim 7 0 По признаку Лейбница ряд сходится Пример 7 Доказать сходимость ряда si( ) π, R Решение Преобразовать общий член данного ряда: si( π ) si( π π) π) si( π ( ) ) π π si, где si Рассмотрим π функцию f si для Имеем: π π f cos < 0 при 0, так как существует такое 0, что при 0 0 < π Значит, последовательность положительных чисел π < (проверьте это) начиная с некоторого π номера убывает, lim lim si 0 По признаку Лейбница ряд сходится Следовательно сходится и данный ряд Упражнения Применяя признак Лейбница, доказать сходимость рядов:

38 l, > 0 Признак Дирихле Пусть для ряда последовательность выполнены условия: ) монотонно стремится к нулю, те или для всех 0 и lim 0; ) последовательность ( B ) частичных сумм ряда ряд сходится ограничена, те M > 0 N B M Тогда Пример 8 Доказать, что сходится ряд si si si si Решение Пусть, Ясно, что последовательность ( ) убывая стремится к нулю Применив формулу si si ( cos( ) cos( ), получаем: B si si ( cos( ) cos( ) ( cos 0 cos cos cos 6 K cos( ) cos( ) ( cos( ) Поэтому B ( cos( 4 ) < для всех N По признаку Дирихле ряд расходится монотонно Пример 9 Доказать, что если последовательность стремится к нулю, то ряд si сходится при любом R Решение Пусть πm, Z m Докажем, что последовательность ( B ) частичных сумм ряда si ограничена Умножим обе части равенства B si на si и применим формулу si si cos cos Имеем: 8

39 si B si si cos cos 5 cos cos cos cos K cos cos cos cos si si Поскольку при πm, m Z, si si si 0, то B и B при всех N Значит, si si по признаку Дирихле ряд si сходится при πm, m Z Если πm, m Z, то si si πm 0 при всех N и поэтому ряд сходится Следовательно, ряд si сходится при любом R, если монотонно стремится к нулю последовательность Пример 0 Доказать, что ряд si β, β > 0, сходится при любом R Решение Пусть Поскольку β > 0, то β < ( ) и β β lim lim 0 Значит, последовательность ( ) β монотонно стремится к нулю Осталось сослаться на пример 9 Пример Доказать сходимость ряда 00 l π si l l Решение Пусть f, Имеем: ( 00 l ) f < l 00 при > e Значит, последовательность при > e убывает 00 l Кроме того, lim 0 (см (6)) Согласно примеру 9 данный ряд сходится 9

40 Признак Абеля Пусть для ряда последовательность ( ) монотонна и ограничена; ) ряд Тогда ряд сходится 40 выполнены условия: ) сходится Пример Доказать, что ряд rctg si сходится при любом R si Решение Пусть rctg, Последовательность ( ), π si очевидно, возрастает и 0 < rctg < для всех N Ряд согласно примеру 9 сходится при любом R, тк последовательность убывает и стремится к нулю, По признаку Абеля исследуемый ряд сходится при любом R π Пример Доказать сходимость ряда cos l Решение По формуле приведения получаем: π π π cos cos π π cos π π π π cos cos π cos Поэтому общий член π cos данного ряда представим в виде π cos Пусть l l π π π f cos, [, ) Имеем: f si > 0 на промежутке ( ) π [, ) Поэтому последовательность cos является возрастающей и, π кроме того, она ограничена: cos при всех N Функция g убывает на промежутке [, ), поскольку g < 0 l l

41 при Значит, последовательность убывает и, очевидно, l lim 0 l По признаку Лейбница ряд сходится l Сославшись на признак Абеля, мы получили, что данный ряд сходится Упражнения Используя признаки Дирихле и Абеля, доказать сходимость рядов: 4 cos нулю, πm, m Z 5 cos ℵ 7 9 Ряд, если последовательность расходится монотонно стремится к cos si, R l rctg 0 ( ) rcsi cos называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд Пример 4 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд l Решение Исследуем ряд на абсолютную сходимость Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов: l l Поскольку ~ при, то согласно следствию признака l l сравнения в предельной форме ряд расходится Поэтому l исследуемый ряд не является абсолютно сходящимся Исследуем ряд на условную сходимость Рассмотрим функцию f, Эта функция убывает на промежутке [, ), тк l

42 f 0 ( l ) при Поэтому последовательность ( ) является убывающей и, очевидно, стремящейся к нулю По признаку Лейбница данный ряд сходится, причем условно Пример 5 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд, R Решение Рассмотрим ряд Имеем: ~ при, тк lim (см решение примера 9) Из эквивалентности ~, во-первых, получаем согласно примеру 4, что данный ряд абсолютно сходится при > и не сходится абсолютно при Во-вторых, из эквивалентности следует, что при 0 ряд расходится, тк тогда не выполняется необходимое условие сходимости Пусть > 0 Тогда lim 0 убывает Пусть f Докажем, что последовательность l e для Имеем: l e l l l f e () l С помощью правила Лопиталя находим, что lim lim 0 Согласно определению предела функции отсюда следует, что для > 0 l найдется такое число 0, что при > 0 справедливо неравенство <, l те > 0 Поэтому из () получаем, что при > 0 f < 0 и функция f на промежутке ( 0, ) убывает Значит, последовательность убывает, начиная с некоторого номера По признаку Лейбница при > 0 данный ряд сходится Подведем итоги: при 0 ряд расходится, при 0 < сходится условно, при > сходится абсолютно 4

43 Пример 6 Доказать, что если ряд и ( ) абсолютно сходится, то ряды одновременно либо абсолютно сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся Решение Пусть ряд абсолютно сходится Поскольку и ряд по условию абсолютно сходится, то согласно критерию Коши сходимости ряда ε > 0 ( ε ) ( ε ) N ε < и ε < Но тогда ε ε < ε при ( ε ) и всех натуральных числах Опять сославшись на критерий Коши, мы видим, что сходится ряд, те ряд ( ) сходится абсолютно Пусть ряд ( ) неравенства сходится абсолютно Тогда, как и выше, применив ( ) и критерий Коши, получаем, что ряд Пусть ряд сходится абсолютно сходится условно По теореме ряд по теореме сходится ряд ( ) Если бы ряд сходится, а тогда сходился, то из неравенств, N, и абсолютной сходимости ряда согласно мажорантному признаку сравнения следовала бы сходимость ряда, что противоречит предположению об условной сходимости ряда 4

44 Значит, ряд ( ) ряд ( ) сходится условно Также получаем, что если сходится условно, то и ряд Пусть ряд равенства ( ) сходится условно расходится Если бы ряд ( ), N сходился, то из, и сходимости ряда теоремы следовала бы сходимость ряда согласно Значит, ряд ( ) расходится Наконец, так же получаем, что из расходимости ряда ( ) следует расходимость ряда Пример 7 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд ( ) ( ), R Решение Пусть Если 0 то ( ) не стремится к нулю, и ряд расходится Пусть > 0 Применив формулу Маклорена ( t) t 0( t), t 0, для t где, получим: 0 0 Значит,, () c () 44

45 Поскольку > 0, то сходится ряд с положительными членами, а согласно неравенству () и мажорантному признаку сравнения ряд сходится абсолютно Ряд при 0 < сходится условно, при > сходится абсолютно Поэтому из равенства () согласно примеру 6 получаем, что исходный ряд при 0 < сходится условно, при > сходится абсолютно Упражнения Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды: 4 5! Ответ: сходится условно ( ) ( ) Ответ: сходится абсолютно l Ответ: сходится условно l Ответ: сходится условно l l l Ответ: сходится абсолютно l tg, R Ответ: сходится абсолютно при >, сходится условно при 0 <, расходится при 0 0 ( ) cos сходится условно при, R Ответ: сходится абсолютно при 0 <, расходится при 0 >, 45


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается

Определение 1. Наибольший из частных пределов последовательности называется верхним пределом последовательности и обозначается Глава. РЯДЫ. Понятия верхнего и нижнего пределов последовательности Пусть дана ограниченная числовая последовательность ( ) (все её члены заключены на числовой прямой между числами а и b), т.е. По теореме

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова

РЯДЫ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители О.А. Сергеева, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа и приложений Интегралы зависящие от параметра Учебно-методическое пособие г Тирасполь

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными

{основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными {основные понятия основные теоремы о сходящихся рядах - необходимый признак сходимости ряда - достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами признак Даламбера, признак Коши, интегральный

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЕРЛяликова, ЛИСпинко Несобственные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Высшая и прикладная математика» И

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды

Нижнетагильский технологический институт (филиал) Ряды Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда

Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии. a+aq+...+aq n (a 0). Формула общего члена этого ряда Рассмотрим некоторые примеры. Пример. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии Формула общего члена этого ряда a+aq+...+aq n +... (a ). a n = aq n. Вычислим его частичные суммы. Если q =, то

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее