Лекция 9: Подпространства

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 9: Подпространства"

Транскрипт

1 Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

2 Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество M векторного пространства V называется подпространством пространства V, если выполняются следующие условия: 1) если x, y M, то x + y M (замкнутость подпространства относительно сложения векторов); 2) если x M, а t произвольное число, то tx M (замкнутость подпространства относительно умножения вектора на число). Приведем ряд примеров подпространств. Пример 1. Пусть V произвольное векторное пространство. Очевидно, что все пространство V и множество M = {0} являются подпространствами в V, причем V наибольшее подпространство в V. Следующее простое наблюдение показывает, что {0} наименьшее подпространство в V. Замечание 1 Нулевой вектор содержится в любом подпространстве M пространства V. Доказательство. Если x произвольный вектор из M, то по второму условию из определения подпространства 0 = 0 x M.

3 Примеры подпространств (2) Пример 2. Рассмотрим пространство R 3, которое, как отмечалось в лекции 7, можно отождествить с обычным трехмерным пространством. Пусть M множество векторов, коллинеарных некоторой плоскости π. Ясно, что сумма двух векторов, коллинеарных π, и произведение вектора, коллинеарного π, на любое число коллинеарны π. Следовательно, M подпространство в R 3. Аналогично доказывается, что множество векторов, коллинеарных некоторой прямой l, также является подпространством в R 3. Пример 3. В силу теоремы 1 из лекции 3 общее решение произвольной однородной системы линейных уравнений с n неизвестными есть подпространство пространства R n. Отметим без доказательства, что справедливо и обратное утверждение. Замечание 2 Всякое подпространство пространства R n является пространством решений некоторой однородной системы линейных уравнений с n неизвестными.

4 Примеры подпространств (3) Пример 4. Пусть V произвольное векторное пространство и a 1, a 2,..., a k V. Обозначим через M множество всевозможных линейных комбинаций векторов a 1, a 2,..., a k. Пусть x, y M, т. е. x = s 1a 1 + s 2a s k a k и y = t 1a 1 + t 2a t k a k для некоторых чисел s 1, s 2,..., s k и t 1, t 2,..., t k. Пусть, далее, t произвольное число. Тогда x + y = (s 1a 1 + s 2a s k a k ) + (t 1a 1 + t 2a t k a k ) = = (s 1 + t 1)a 1 + (s 2 + t 2)a (s k + t k )a k, tx = t(s 1a 1 + s 2a s k a k ) = (ts 1)a 1 + (ts 2)a (ts k )a k. Мы видим, что x + y, tx M, т. е. M подпространство пространства V. Оно называется подпространством, порожденным векторами a 1, a 2,..., a k или линейной оболочкой векторов a 1, a 2,..., a k, и обозначается через a 1, a 2,..., a k. Ясно, что если a 1, a 2,..., a k система порождающих (в частности, базис) пространства V, то a 1, a 2,..., a k = V. Из определения подпространства вытекает, что a 1, a 2,..., a k наименьшее подпространство пространства V, содержащее векторы a 1, a 2,..., a k.

5 Размерность подпространства (1) Очевидно, что подпространство векторного пространства само является векторным пространством. Это позволяет говорить о размерности и базисе подпространства. Предложение 1 Пусть M подпространство векторного пространства V. Тогда dim M dim V, причем dim M = dim V тогда и только тогда, когда M = V. Доказательство. Если M или V нулевое пространство, то оба утверждения предложения выполняются тривиальным образом. Будем поэтому считать, что M и V ненулевые пространства. Зафиксируем базис (a 1, a 2,..., a k ) подпространства M и базис (b 1, b 2,..., b l ) пространства V. Если k > l, то в силу леммы 2 из лекции 8 система векторов a 1, a 2,..., a k линейно зависима. Но это противоречит определению базиса. Следовательно, k l, т. е. dim M dim V.

6 Размерность подпространства (2) Пусть dim M = dim V, т. е. k = l. Тогда система векторов a 1, a 2,..., a k является максимальной линейно независимой. В самом деле, в противном случае существует вектор a такой, что система a 1, a 2,..., a k, a линейно независима. Но она содержит k + 1 вектор, что противоречит лемме 2 из лекции 8. Таким образом, система векторов (a 1, a 2,..., a k ) является базисом пространства V. Следовательно, любой вектор из V является линейной комбинацией векторов a 1, a 2,..., a k. Поскольку эти векторы лежат в M, а M подпространство в V, это означает, что любой вектор из V лежит в M, т. е. V M. Обратное включение выполнено по условию, и потому M = V. Итак, если dim M = dim V, то M = V. Обратное утверждение очевидно.

7 Алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов Укажем способ нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов. Алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства пространства R n, порожденного данным набором векторов Запишем данные векторы в матрицу по строкам и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом нашего подпространства, а число этих строк равно его размерности. Обоснование этого алгоритма будет дано в лекции 12.

8 Алгоритм выяснения того, принадлежит ли вектор подпространству Рассмотрим следующую задачу: даны вектор x R n и подпространство M пространства R n, порожденное векторами a 1, a 2,..., a k ; требуется выяснить, принадлежит ли вектор x подпространству M. Ясно, что x M тогда и только тогда, когда x = t 1a 1 + t 2a t k a k для некоторых t 1, t 2,..., t k R. Расписав последнее равенство покомпонентно, мы получим систему n линейных уравнений с неизвестными t 1, t 2,..., t k. В основной матрице этой сиситемы по столбцам записаны векторы a 1, a 2,..., a k, а в последнем столбце расширенной матрицы стоит вектор x. Вектор x лежит в M тогда и только тогда, когда эта система совместна. Вспоминая метод Гаусса решения систем линейных уравнений, получаем следующий алгоритм. Алгоритм выяснения того, принадлежит ли вектор подпространству Даны вектор x R n и подпространство M пространства R n, порожденное векторами a 1, a 2,..., a k. Составим матрицу размера n (k + 1), в первых k столбцах которой запишем векторы a 1, a 2,..., a k, а в последнем столбце вектор x. Начнем приводить ее к ступенчатому виду, не переставляя при этом столбцов. Если в процессе преобразований возникнет строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны 0, а последний отличен от 0, то x / M. Если же мы доведем матрицу до ступенчатого вида и такой строки не возникнет, то x M.

9 Сумма и пересечение подпространств (1) Введем две важные операции над подпространствами. Определение Пусть V векторное пространство, а M 1 и M 2 его подпространства. Суммой подпространств M 1 и M 2 называется множество всех векторов из V, являющихся суммой некоторого вектора из M 1 и некоторого вектора из M 2. Пересечением подпространств M 1 и M 2 называется множество всех векторов из V, принадлежащих одновременно как M 1, так и M 2. Сумма подпространств M 1 и M 2 обозначается через M 1 + M 2, а их пересечение через M 1 M 2. Замечание 4 Если M 1 и M 2 подпространства пространства V, то M 1 + M 2 и M 1 M 2 также являются подпространствами в V. Доказательство. В силу замечания 1 каждое из подпространств M 1 и M 2 содержит нулевой вектор. Следовательно, 0 = M 1 + M 2 и 0 M 1 M 2. В частности, множества M 1 + M 2 и M 1 M 2 непустые. Далее, пусть x, y M 1 + M 2 и t произвольное число. Тогда x = x 1 + x 2 и y = y 1 + y 2, для некоторых x 1, y 1 M 1 и x 2, y 2 M 2.

10 Сумма и пересечение подпространств (2) Учитывая, что M 1 и M 2 подпространства, получаем, что x + y = (x 1 + x 2) + (y 1 + y 2) = (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2) M 1 + M 2, tx = t(x 1 + x 2) = tx 1 + tx 2 M 1 + M 2. Следовательно, M 1 + M 2 подпространство в V. Далее, пусть x, y M 1 M 2 и t произвольное число. Тогда x, y M 1 и x, y M 2. Поскольку M 1 и M 2 подпространства, имеем x + y M 1, x + y M 2 tx M 1 и tx M 2. Следовательно, x + y M 1 M 2 и tx M 1 M 2, и потому M 1 M 2 подпространство в V. Замечание 5 Если M 1 и M 2 подпространства пространства V, то подпространство M 1 + M 2 содержит M 1 и M 2 и является наименьшим подпространством в V, обладающим указанным свойством. Доказательство. Если x M 1, то x = x + 0. Поскольку 0 M 2, имеем x M 1 + M 2. Следовательно, M 1 M 1 + M 2. Аналогично проверяется, что M 2 M 1 + M 2. Пусть теперь M подпространство в V, содержащее M 1 и M 2. Предположим, что x M 1 + M 2. Тогда x = x 1 + x 2 для некоторых x 1 M 1 и x 2 M 2. Следовательно, x 1 M и x 2 M, откуда x = x 1 + x 2 M. Таким образом, M 1 + M 2 M.

11 Сумма и пересечение подпространств (3) Из определения пересечения подпространств немедленно вытекает Замечание 6 Если M 1 и M 2 подпространства пространства V, то пространство M 1 M 2 содержится в M 1 и в M 2 и является наибольшим подпространством в V, обладающим указанным свойством.

12 Размерность суммы подпространств (1) Первым из двух основных результатов данной лекции является Теорема 1 Пусть V векторное пространство, а M 1 и M 2 его подпространства. Тогда размерность суммы подпространств M 1 и M 2 равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. Доказательство. Из предложения 1 вытекает, что dim(m 1 M 2) dim M 1 и dim(m 1 M 2) dim M 2. Положим dim(m 1 M 2) = k, dim M 1 = k + l и dim M 2 = k + m. Если M 1 = {0}, то, очевидно, M 1 M 2 = {0}, dim M 1 = dim(m 1 M 2) = 0, M 1 + M 2 = M 2 и потому dim(m 1 + M 2) = dim M 2 = dim M 1 + dim M 2 dim(m 1 M 2). Аналогично разбирается случай, когда M 2 = {0}. Итак, далее можно считать, что пространства M 1 и M 2 ненулевые, и, в частности, каждое из них имеет базис. Будем также считать, что M 1 M 2 {0} (в противном случае следует во всех дальнейших рассуждениях заменить базис пространства M 1 M 2 на пустой набор векторов; сами рассуждения при этом только упростятся). Пусть a 1, a 2,..., a k базис пространства M 1 M 2. В силу теоремы 3 из лекции 8 этот набор векторов можно дополнить как до базиса M 1, так и до базиса M 2.

13 Размерность суммы подпространств (2) Пусть a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l базис M 1, а a 1, a 2,..., a k, c 1, c 2,..., c m базис M 2. Докажем, что набор векторов a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l, c 1, c 2,..., c m (1) является базисом пространства M 1 + M 2. Этого достаточно для доказательства теоремы, так как число векторов в этом наборе равно k + l + m = (k + l) + (k + m) k = dim M 1 + dim M 2 dim(m 1 M 2). Пусть x M 1 + M 2. Тогда x = x 1 + x 2, где x 1 M 1 и x 2 M 2. Ясно, что вектор x 1 является линейной комбинацией векторов a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l, а вектор x 2 линейной комбинацией векторов a 1, a 2,..., a k, c 1, c 2,..., c m. Следовательно, вектор x 1 + x 2 является линейной комбинацией векторов (1). Таким образом, набор векторов (1) является системой образующих пространства M 1 + M 2. В силу леммы 1 из лекции 8 остается доказать, что этот набор векторов линейно независим. В самом деле, предположим, что t 1a 1+t 2a 2+ +t k a k +s 1b 1+s 2b 2+ +s l b l +r 1c 1+r 2c 2+ +r mc m = 0 (2) для некоторых чисел t 1, t 2,..., t k, s 1, s 2,..., s l, r 1, r 2,..., r m. Требуется доказать, что все эти числа равны 0.

14 Размерность суммы подпространств (3) Положим y = s 1b 1 + s 2b s l b l. Очевидно, что y M 1. С другой стороны, из (2) вытекает, что y = t 1a 1 t 2a 2 t k a k r 1c 1 r 2c 2 r mc m M 2. Следовательно, y M 1 M 2. Но тогда вектор y есть линейная комбинация векторов a 1, a 2,..., a k. Таким образом, существуют числа q 1, q 2,..., q k такие, что y = s 1b 1 + s 2b s l b l = q 1a 1 + q 2a q k a k. Следовательно, q 1a 1 + q 2a q k a k s 1b 1 s 2b 2 s l b l = 0. (3) Поскольку векторы a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l образуют базис пространства M 1, они линейно независимы. Поэтому линейная комбинация, стоящая в левой части равенства (3), тривиальна. В частности, s 1 = s 2 = = s l = 0. Следовательно, равенство (2) принимает вид t 1a 1 + t 2a t k a k + r 1c 1 + r 2c r mc m = 0. Учитывая, что векторы a 1, a 2,..., a k, c 1, c 2,..., c m образуют базис пространства M 2 (и, в частности, линейно независимы), мы получаем, что t 1 = t 2 = = t k = r 1 = r 2 = = r m = 0. Итак, все коэффициенты в левой части равенства (2) равны 0, что и требовалось доказать.

15 Нахождение базиса и размерности суммы подпространств Рассмотрим вопрос о том, как найти базис и размерность суммы подпространств. Пусть подпространство M 1 имеет базис a 1, a 2,..., a k, а подпространство M 2 базис b 1, b 2,..., b l. Предположим, что x M 1 + M 2. Тогда существуют векторы x 1 M 1 и x 2 M 2 такие, что x = x 1 + x 2. В силу выбора векторов x 1 и x 2 имеем x 1 = t 1a 1 + t 2a t k a k и x 2 = s 1b 1 + s 2b s l b l для некоторых чисел t 1, t 2,..., t k и s 1, s 2,..., s l. Следовательно, x = t 1a 1 + t 2a t k a k + s 1b 1 + s 2b s l b l. Это означает, что пространство M 1 + M 2 содержится в подпространстве, порожденном набором векторов a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l. С другой стороны, очевидно, что каждый из этих векторов, а значит и подпространство, ими порожденное, содержится в M 1 + M 2. Следовательно, M 1 + M 2 = a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l.

16 Алгоритм нахождения базиса и размерности суммы подпространств Учитывая изложенный выше в данной лекции алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, попрожденного данным набором векторов, получаем Алгоритм нахождения базиса и размерности суммы подпространства пространства R n Пусть даны базисы подпространств M 1 и M 2 пространства R n. Запишем в матрицу по строкам координаты базисных векторов обоих подпространств и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом суммы подпространств M 1 и M 2, а число этих строк равно ее размерности. Отметим, что, найдя размерность суммы подпространств M 1 и M 2, мы сможем найти и размерность их пересечения, так как, в силу теоремы 1, dim(m 1 M 2) = dim M 1 + dim M 2 dim(m 1 + M 2). (4) Базис пересечения ищется несколько сложнее. Способ решения этой задачи будет указан в лекции 13.

17 Прямая сумма (1) Определение Пусть V векторное пространство, а M 1 и M 2 его подпространства. Говорят, что сумма подпространств M 1 и M 2 является их прямой суммой, если M 1 M 2 = {0}. Прямая сумма подпространств M 1 и M 2 обозначается через M 1 M 2 или M 1 M 2. Вторым основным результатом данной лекции является Теорема 2 Пусть V векторное пространство, а M 1 и M 2 его подпространства. Следующие условия эквивалентны: 1) M 1 + M 2 является прямой суммой подпространств M 1 и M 2; 2) dim(m 1 + M 2) = dim M 1 + dim M 2; 3) любой вектор из M 1 + M 2 единственным образом представим в виде суммы вектора из M 1 и вектора из M 2; 4) нулевой вектор пространства V единственным образом представим в виде суммы вектора из M 1 и вектора из M 2. Доказательство теоремы 2 дано на следующем слайде.

18 Прямая сумма (2) Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) непосредственно вытекает из теоремы 1 и того факта, что размерность нулевого пространства равна 0. Импликация 3) = 4) очевидна. Остается доказать импликации 1) = 3) и 4) = 1). 1) = 3). Пусть x M 1 + M 2. По определению суммы подпространств x = x 1 + x 2, где x 1 M 1 и x 2 M 2. Остается доказать, что такое представление вектора x единственно. Предположим, что x = y 1 + y 2, где y 1 M 1 и y 2 M 2. Учитывая, что x = x 1 + x 2 = y 1 + y 2, имеем x 1 y 1 = y 2 x 2. Ясно, что x 1 y 1 M 1, а y 2 x 2 M 2. Следовательно, x 1 y 1 = y 2 x 2 M 1 M 2. Но M 1 M 2 = {0}. Поэтому x 1 y 1 = y 2 x 2 = 0, откуда x 1 = y 1 и x 2 = y 2. 4) = 1). Предположим, что M 1 M 2 {0}, т. е. существует ненулевой вектор x M 1 M 2. Тогда вектор 0 может быть двумя различными способами представлен в виде суммы вектора из M 1 и вектора из M 2: 0 = x + ( x) и 0 = ( x) + x. Мы получили противоречие с условием 4). Из доказательства теоремы 2 вытекает Замечание 7 Если V = M 1 M 2, b 1, b 2,..., b l базис M 1, а c 1, c 2,..., c m базис M 2, то b 1, b 2,..., b l, c 1, c 2,..., c m базис пространства V.

19 Прямая сумма (3) При решении задач полезно иметь в виду следующее Замечание 8 V = M 1 M 2 тогда и только тогда, когда dim(m 1 + M 2) = dim M 1 + dim M 2 = dim V. Доказательство. Если V = M 1 M 2, то, в частности, M 1 + M 2 = V, и потому dim(m 1 + M 2) = dim V. А dim M 1 + dim M 2 = dim(m 1 + M 2) в силу теоремы 2. Обратно, если dim(m 1 + M 2) = dim M 1 + dim M 2 = dim V, то M 1 + M 2 = V в силу предложения 1 и dim(m 1 M 2) = 0 в силу (4). Из последнего равенства вытекает, что M 1 M 2 = {0}. Объединяя этот факт с равенством M 1 + M 2 = V, получаем, что V = M 1 M 2.

20 Прямая сумма (4) Из замечания 8 вытекает следующий алгоритм. Алгоритм выяснения того, является ли пространство R n прямой суммой своих подпространств M 1 и M 2 Предполагаем, что нам известны векторы, порождающие каждое из подпространств M 1 и M 2. Используя алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов, находим dim M 1 и dim M 2. Если dim M 1 + dim M 2 n, то R n M 1 M 2. Если dim M 1 + dim M 2 = n, пользуясь алгоритмом нахождения базиса и размерности суммы подпространств, находим dim(m 1 + M 2). Если dim(m 1 + M 2) = n, то R n = M 1 M 2, в противном случае R n M 1 M 2.

21 Проекция вектора на подпространство Определение Предположим, что V = M 1 M 2 и x V. В силу теоремы 2 существуют однозначно определенные векторы x 1 M 1 и x 2 M 2 такие, что x = x 1 + x 2. Вектор x 1 называется проекцией x на M 1 параллельно M 2, а вектор x 2 проекцией x на M 2 параллельно M 1. Алгоритм нахождения проекции вектора на подпространство Пусть V = M 1 M 2 и x V. Предположим, что нам известны базис a 1, a 2,..., a k подпространства M 1 и базис b 1, b 2,..., b l подпространства M 2. В силу замечания 7 a 1, a 2,..., a k, b 1, b 2,..., b l базис пространства V. Найдем координаты вектора x в этом базисе. Пусть они имеют вид (t 1, t 2,..., t k, s 1, s 2,..., s l ). Тогда t 1a 1 + t 2a t k a k проекция x на M 1 параллельно M 2, а s 1b 1 + s 2b s l b l проекция x на M 2 параллельно M 1. Обоснование этого алгоритма очевидно: если, в указанных обозначениях, y = t 1a 1 + t 2a t k a k и z = s 1b 1 + s 2b s l b l, то y M 1, z M 2 и x = y + z.

22 Проекция вектора на подпространство: пример (1) В качестве примера применения алгоритмов, указанных на двух предыдущих слайдах, рассмотрим следующую задачу. Задача. Проверить, что пространство R 4 является прямой суммой подпространства M 1, порожденного векторами a 1 = (1, 1, 2, 1), a 2 = (2, 0, 3, 2), a 3 = (1, 1, 1, 1), и подпространства M 2, порожденного векторами b 1 = (2, 1, 3, 2), b 2 = (2, 2, 2, 1), b 3 = (2, 0, 4, 3), и найти проекцию вектора x = (0, 2, 1, 3) на M 1 параллельно M 2. Решение. Найдем размерность и базис подпространства M 1: Таким образом, dim M 1 = 2, а в качестве базиса пространства M 1 можно взять векторы a 1 и a 2 = (0, 2, 1, 0). Найдем теперь размерность и базис подпространства M 2: Таким образом, dim M 2 = 2, а в качестве базиса пространства M 2 можно взять векторы b 1 и b 2 = (0, 1, 1, 1). Мы видим, в частности, что dim M 1 + dim M 2 = 4.

23 Проекция вектора на подпространство: пример (2) Найдем теперь размерность пространства M 1 + M 2: Мы видим, что dim(m 1 + M 2) = 4. С учетом сказанного ранее, отсюда вытекает, что R 4 = M 1 M 2. Объединяя найденные ранее базисы подпространств M 1 и M 2, получаем, что векторы a 1, a 2, b 1, b 2 образуют базис пространства R 4. Разложим вектор x по этому базису: Итак, x = 2a 1 + a 2 + b 1 3b 2. Следовательно, проекцией вектора x на M 1 параллельно M 2 является вектор 2a 1 + a 2 = ( 2, 4, 5, 2). Ответ: ( 2, 4, 5, 2).

24 «Дополняющее» подпространство (1) В дальнейшем нам пригодится следующее утверждение Предложение 2 Для произвольного подпространства M векторного пространства V существует такое подпространство M в V, что V = M M. Доказательство. Ясно, что если M = {0}, то в качестве M можно взять V, а если M = V, то достаточно положить M = {0}. Пусть теперь {0} M V. Положим dim V = n и dim M = k. В силу сказанного 0 < k < n. Пусть a 1, a 2,..., a k базис M. В силу теоремы 3 из лекции 8 существуют векторы a k+1,..., a n такие, что векторы a 1, a 2,..., a n образуют базис V. Положим M = a k+1,..., a n. Проверим, что нулевой вектор единственным образом представим в виде суммы вектора из M и вектора из M. Существование такого представления очевидно, поскольку 0 = (см. замечание 1). Предположим теперь, что 0 = x + y, где x M, а y M. Тогда x = t 1a 1 + t 2a t k a k и y = t k+1 a k t na n. Следовательно, 0 = x + y = t 1a 1 + t 2a t na n. Поскольку a 1, a 2,..., a n базис пространства V, получаем, что t 1 = t 2 = = t n = 0. Но тогда x = 0 и y = 0. Итак, вектор 0 единственным образом представим в виде суммы вектора из M и вектора из M. В силу теоремы 2 M + M = M M.

25 «Дополняющее» подпространство (2) Осталось доказать, что M + M = V. Пусть a произвольный вектор из V. Разложим его по базису a 1, a 2,..., a n: a = q 1a 1 + q 2a q na n. Положим b = q 1a 1 + q 2a q k a k и c = q k+1 a k q na n. Тогда b M, c M и a = b + c. Следовательно, V M + M. Обратное включение очевидно, и потому M + M = V.

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n.

Лекция IV. IV.1. Линейная зависимость векторов. α 1 a 1 +α 2 a α n a n. Лекция IV IV Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a, a 2,, a n называется сумма произведений этих векторов на произвольные числа: α a +α 2 a 2 ++α n a n Линейная комбинация называется

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие.

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие. Лекция 8 1. ГОМОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ ЛП Пусть (V, K) (операции +, ) и (W, K) (операции, ) два ЛП над одним и тем же ЧП K. Отображение f : V W называется гомоморфизмом, если f(x + y) = f(x) f(y) x,y V,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим

ξ η K некоторое решение системы (1), то суммы K любое решение однородной системы (2), V n над числовым полем Р рассмотрим . ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ (ГИПЕРПЛОСКОСТЬ) Определение: Назовем подмножество векторов пространства линейным многообразием (или гиперплоскостью), полученным путем сдвига подпространства L на вектор х, если

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Глава 9 Линейные пространства 91 Аксиоматическое определение линейного пространства Пусть V непустое множество, F поле V называется линейным (или векторным) пространством над полем F, если I задано правило

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия

Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине. Алгебра и геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Информатика и прикладная математика» Методические рекомендации

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2-12: Нильпотентные операторы

Тема 2-12: Нильпотентные операторы Тема 2-12: Нильпотентные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР Челябинский государственный университет

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР Челябинский государственный университет Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР Челябинский государственный университет ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ Методические указания для практических занятий по курсу "Алгебра и теория чисел"

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее