а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6. По условию Шпаргалка ЕГЭ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6. По условию Шпаргалка ЕГЭ"

Транскрипт

1 C6 На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Пусть среди написанных чисел k полож ительных, l отрицательных и m нулей Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6 По условию, поэтому Таким образом, написано 42 числа б) Приведём равенство к виду Так как, получаем, что, откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных в) (оценка) Подставим в правую часть равенства откуда Так как, получаем: то есть положительных чисел не более 15,,, ; в) (пример) Приведём пример, когда полож ительных чисел ровно 15 Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число 12 и два раза написан 0 Тогда указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15 C6 Моток веревки реж ут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными) а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков мож но было бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число, что любой моток веревки, длина которого больше см, мож но разрезать на стандартные куски,

2 Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример Рассмотрим моток веревки длиной см Условие того, что его мож но разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные) Пусть э ту веревку мож но разрезать на При получаем те этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска стандартных кусков, тогда При получаем Значит, э ту веревку мож но разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски Докаж ем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем 3267 Ответ: а) 33; б) 3267 что противоречит условию Таким образом, искомое число равно C6 Ученик долж ен перемнож ить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное Однако он не заметил знака умнож ения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное Поэ тому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного Найдите все три числа Обозначим эти числа за a, b и c Имеем а значит Так как правая часть полученного равенства делится на a, значит, левая часть тоже делится на a и Получаем что равносильно Обратим внимание, что k не превосходит 9, так как a и b трехзначные числа, а делится на 3 Значит, возможны только варианты Если то, а или (других пятизначных делителей у ab нет) Если, то, что противоречит условию,,

3 Если, то, что противоречит условию Ответ: 167, 334 и или 167, 334 и C6 Найдите все простые числа p, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число k, что число p является общ им делителем чисел и Если число p является делителем числа, то оно является также и делителем числа Но если число p является общим делителем чисел и, то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа Аналогично получаем: 1) число p является общ им делителем чисел и, значит, p является делителем числа 2) число p является общим делителем чисел и, значит, p является делителем числа Число 105 имеет ровно три различных простых делителя 3, 5 и 7 Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел и Если, то число 3 является общим делителем данных чисел Если число k кратно 5, то число 5 является общ им делителем данных чисел Если число k кратно 7, то число 7 является общ им делителем данных чисел Замечание Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел Ответ: 3, 5, 7 C6 Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9 а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов? б) Докажите, что число её членов меньше 100 в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72 г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 б) Мож но считать, что разность прогрессии полож ительна Пусть разность имеет цифр Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующ ему -й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1 Так как цифра 9 запрещ ена, возмож но не больше 8 переходов со сменой этого разряда Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в -м разряде Назовём такие члены группой Всего таких групп не более 9 Обозначим длину группы Найти наибольшую возмож ную длину группы Так как -- -значное число, каж дый переход, не меняющий -й разряд, увеличивает -й разряд И так ка цифра 9 запрещена в то числе в - м разряде, то таких переходов подряд мож ет быть не более 8 Следовательно, ; ;, а в

4 прогрессии не более членов в) Если в прогрессии нет переходов со сменой -го разряда, то членов прогрессии не больше 9 Пусть такие переходы есть Рассмотрим член прогрессии, стоящ ий перед таким переходом Так как он не содержит 9, то его -значный "хвост" ( имеет остаток от деления на ) не больше Но при прибавлении d долж ен произойти переход через десяток в -м разряде Следовательно, Рассмотрим такую группу членов прогрессии что -й разряд не меняется Тогда разностью: следовательно -значные хвосты сами образуют арифметическую прогрессию с той ж е г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125: О т в е т : а) да; г) например, 1, 126, 8876 Но C6 В стране Дельфиния установлена следующ ая система подоходного налога (денеж ная единица Дельфинии золотые): Заработок (в золотых) Налог (в %) Более а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых Как им выгоднее всего распределить э ти деньги меж ду собой, чтобы в семье осталось как мож но больше денег после налогооблож ения? При дележе каждый получает целое число золотых б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых? а) 1 Если один из братьев получит не более 100 золотых, то второй получит не менее 900, но меньше 1000 золотых В э том случае первый брат заплатит налог 1%, а второй 50% Следовательно, общ ая сумма, которая останется у братьев после налогооблож ения, не превосходит золотых 2 Если каждый из них получит более 400 золотых, значит, они оба заплатят налог 50%, и тогда в сумме у них останется 500 золотых 3 Пусть один из них получит золотых, где Тогда его брат получит

5 золотых, причем э то число будет больше 400 Значит, первый брат заплатит налог 20%, а второй 50% Таким образом, после налогообложения у них останется золотых Очевидно, что чем больше x, тем больше данная сумма Значит, следует выбрать наибольшее возмож ное значение x, то есть 400 В э том случае в семье останется 620 золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях Ответ: 400 и 600 б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется Таким образом, мож но решать равносильную задачу: распределить деньги меж ду братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше 1 Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых В э том случае каж дый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых 2 Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых Тогда он долж ен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых В э том случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее 3 Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых В э том случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых Этот случай разобран в п2 Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каж дый из них получит от 101 до 400 золотых При э том верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каж дое из которых леж ит в указанном промеж утке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268) Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268) C6 За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каж дый что-то ел, и мож ет быть так, что кто-то ел и то и другое Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего числа детей, евших конфеты а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общ его числа детей без дополнительного условия пунктов а и б? а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каж дая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков б) Предполож им, что мальчиков было 14 или больше Тогда девочек было 11 или меньше Пусть число мальчиков, евших бутерброды равно m 1 Тогда число не больше, чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем откуда и, следовательно, Пусть m 2 число мальчиков, евших конфеты Аналогично, откуда, учитывая, что m 2 число целое, находим: Но тогда общ ее число мальчиков, евших хот что-то не больше, чем = 12 Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию В предыдущ ем пункте было показано, что в группе из 20 учащ ихся могло быть 13 мальчиков Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 13 в) Предполож им, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы преж ними, а общ ая доля девочек стала бы меньше Значит, для оценки наименьшей доли девочек мож но считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды Пусть, как прежде, m 1 мальчиков ели бутерброды, m 2 ели конфеты, и всего было d девочек Оценим долю девочек Будем считать, что каж дая девочка ели и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от э того не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди

6 евших бутерброды не станут меньше По условию значит Тогда поэтому доля девочек равна Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и ещ е было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек в точности равна О т в е т : а) да; б) 13; в) C6 Моток веревки реж ут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными) а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков мож но было бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число, что любой моток веревки, длина которого больше см, мож но разрезать на стандартные куски Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример Рассмотрим моток веревки длиной см Условие того, что его мож но разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные) Пусть э ту веревку мож но разрезать на При получаем те этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска стандартных кусков, тогда При получаем Значит, э ту веревку мож но разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски Докаж ем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем 2645 Ответ: а) 23; б) 2645 что противоречит условию Таким образом, искомое число равно

7 C6 Найдите несократимую дробь такую, что Пусть,, а наибольший общий делитель чисел Тогда Заметим, что, значит а: Поэтому Кроме того, Ответ:, C6 Длины сторон прямоугольника натуральные числа, а его периметр равен 4000 Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n такж е натуральное число а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника? б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника? в) Найдите все возмож ные значения, которые мож ет принимать площ адь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100 а) Так как периметр равен 4000, то сумма смеж ных сторон прямоугольника равна 2000 Известно, что наибольшее значение площ ади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом Таким образом, его стороны долж ны быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой) Значит, наибольшее значение площ ади прямоугольника равно б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В э том случае площ адь прямоугольника равна вниз, а число Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены не превосходит абсциссы вершины параболы Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площ адь равна 1999 В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно % от числа 1

8 в) Пусть это сторона, n% от которой равны другой стороне Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем: Так как и целые числа, то число кратно числу Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа , меньшие 200, но большие 100 Так как то искомый делитель мож ет содерж ать в своем разлож ении на простые множ ители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5 Возможны три случая: 1) Число не делится на 5 Тогда оно мож ет быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100 2) Число делится на 5, но не делится на 25 Из чисел вида в искомый промежуток попадает только число В этом случае а площадь равна ) Число делится на 25 В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175 Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа Если же n = 125, то a = 1600, а площадь равна Ответ: а) ; б) 1999; в) или C6 Каж дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каж дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8) О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4 C6 Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел a и b на 32 где k число цифр в числе b, Тогда, иначе, Непосредственно проверяем Соответственно: Ответ: 12 и 8; 23 и 9

9 C6 Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каж дой из которых есть по крайней мере два числа Для каждой группы находят сумму чисел этой группы Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Каково наименьшее возмож ное значение полученного результата? Обозначим суммы чисел в группах,,, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каж дая из разностей равнялась 0, то есть Сумма всех двенадцати чисел С другой стороны, она равна, но 78 не делится на 4 Значит, б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0 Значит,, но в этом случае каждая из сумм, не равна хотя бы одной из сумм, поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3 Значит, в) Выразим число явно через,,, : В предыдущих пунктах было показано, что Если, то или В э том случае сумма всех двенадцати чисел равна или, то есть нечётна, что неверно Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; число равно 4 Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 C6 Имеется 8 карточек На них записывают по одному каждое из чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 117? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число мож ет в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке на равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться 0 б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 117 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому все произведение делится на 4 Наименьшее целое полож ительное число, делящ ееся на 4, э то 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: ( 11; 12), (12; 11), (13; 14), ( 14; 13), ( 15; 17), (17; 15), ( 18; 19), (19; 18), О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4

10 C6 В возрастающ ей последовательности натуральных чисел каж дые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию Первый член последовательности равен 1, а последний 2076 а) может ли в последовательности быть три члена? б) может ли в последовательности быть четыре члена? в) мож ет ли в последовательности быть меньше 2076 членов? а) Нет, поскольку не делится на 2, а не является квадратом натурального числа б) Последовательность не мож ет быть арифметической прогрессией, поскольку не делится на 3 Последовательность не мож ет быть геометрической прогрессией, поскольку кубом натурального числа не является Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три арифметическую, то э ти числа: но уравнение не имеет целых корней Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три геометрическую, то э ти числа: и где натуральное число Тогда последнее число должно равняться но это не натуральное число в) Да, например, C6 Имеется 8 карточек На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8) О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4 C6 Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящ ие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3 а) Может ли в этой прогрессии быть три числа? б) Какое наибольшее количество членов мож ет быть в э той прогрессии? а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6 б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4 Предполож им, что сущ ествует такая арифметическая прогрессия, состоящ ая не менее чем из пяти членов Рассмотрим любые пять её последовательных членов Разделим каж дый член на наибольший общ ий делитель всех пяти членов Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа,,,, такж е образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющ ую условию задачи Заметим, что числа,,,, не могут все быть четными или все делиться на 3 Если разность э той прогрессии делится на 3, то в ней не мож ет быть члена, делящ егося на 3

11 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэ тому все члены прогрессии являются степенями двойки Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1 Но в э том случае разность прогрессии нечётна, поэ тому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует Пусть теперь разность прогрессии не делится на 3 Тогда если делится на 3, то члены, и не делятся на 3, а делится на 3 Аналогично, если делится на 3, то из чисел,,, на 3 будет делиться только Наконец, если делится на 3, то ни одно из чисел,,, не делится на 3 Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть Поэтому одно из этих чисел - единица Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в э том случае на 3 делится только, поскольку единица один из двух последовательных членов прогрессии, являющ ихся степенями двойки Тогда,,, являются степенями двойки Разность прогрессии, значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть Ответ: а) да; б) 4 C6 Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каж дой из которых есть по крайней мере два числа Для каждой группы находят сумму чисел этой группы Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Каково наименьшее возмож ное значение полученного результата? Обозначим суммы чисел в группах,,, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каж дая из разностей равнялась 0, то есть Сумма всех двадцати чисел С другой стороны, она равна, но 210 не делится на 4 Значит, б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0 Значит,, но в этом случае каждая из сумм, не равна хотя бы одной из сумм, поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3 Значит, в) Выразим число явно через,,, : В предыдущих пунктах было показано, что Если, то или В этом случае сумма всех двадцати чисел равна или, то есть нечётна, что неверно Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 число равно 4 C6 На доске написано число 7 Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две третье и тд) а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784? а) Заметим, что каж дое число на доске будет делиться на 7 Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7 А при слож ении чисел, делящ ихся на 7, такж е получится число, делящ ееся на 7 Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не мож ет

12 появиться на доске б) Да, может Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7) Сумма полученных 5 чисел равна 63 Замечание В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 7 Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нуж но получить, те 784, на 7 От э того количество операций не изменится Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1 Заметим, что наибольшее число, которое мож ет получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж дый раз будет удваивать текущ ее наибольшее число) Следовательно, если в первые 6 минут Вася каж дый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно слож ение вместо удвоения, то при первом использовании слож ения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в э том случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай слож ения, то есть до э того были только удвоения) Таким образом, даж е если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно слож ение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно, что меньше 112 Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно Приведем пример, как его получить за 8 минут: 1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32,64 1,2,4,8,16,32,64,96 (96 = ) 1,2,4,8,16,32,64,96,112 (112 = ) О т в е т : а) нет; б) да; в) 8 минут C6 Мож но ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Пусть количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит 1008 Следовательно, О т в е т : а) нет; б) нет; в) да C6 Перед каждым из чисел 14, 15,, 20 и 4, 5,, 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каж дого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каж дое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают Какую наименьшую по модулю и какую нибольшую сумму мож но получить в итоге? 1 Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго с минусами, то сумма максимальна и равна 2 Так как предыдущ ая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из полученны сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел: Ответ: 1 и 805 C6 Найдите все целые значения m и k такие, что

13 Заметим, что из условия следует, что Далее имеем: 1 Если, то каждое из слагаемых равно 1, и при равенство будет верно 2 Если, левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем: Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет; 3 Если, то, откуда получаем: Числа 670 и на три нацело не делятся, следовательно,, откуда и Последнее уравнение натуральных решений не имеет Ответ:, C6 Длины сторон прямоугольника натуральные числа, а его периметр равен 200 Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n такж е натуральное число а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника? б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника? в) Найдите все возмож ные значения, которые мож ет принимать площ адь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100 а) Так как периметр равен 200, то сумма смеж ных сторон прямоугольника равна 100 Известно, что наибольшее значение площ ади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом Таким образом, его стороны долж ны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой) Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500 б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В э том случае площ адь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площ адь равна 99 В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1 в) Пусть a это сторона, n% от которой равны другой стороне Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем: Так как a и n целые числа, то число кратно a Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа, меньшие 50 Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем каждый из этих сомножителей может быть в степени, не превосходящей 4

14 Возможны три случая: 1) Число a не делится на 5 Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, те a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или ) Число a делится на 5, но не делится на 25 Тогда оно мож ет быть равно 5, 10, 20 или 40 Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или ) Число a делится на 25 В этом случае оно может быть равно только 25 Тогда площадь равна 1875 Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400 C6 Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр Известно, что в театре мальчиков было не более числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более учащихся группы, посетивших кино от общ его от общего числа а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общ его числа учащ ихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б? а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков б) Предполож им, что мальчиков было 10 или больше Тогда девочек было 10 или меньше Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше, что больше Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку кино, что противоречит условию но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни В предыдущ ем пункте было показано, что в группе из 20 учащ ихся могло быть 9 мальчиков Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 9 в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы преж ней, а общ ая доля девочек стала бы меньше Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе мож но считать, что каж дый мальчик сходил или только в театр, или только в кино Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек Оценим долю девочек в этой группе Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится По условию значит, Тогда, поэтому доля девочек в группе: Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в

15 группе равна Ответ: а) да: б) 9; в) C6 Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 по одному записывают на 8 карточках Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каж дое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; 2); ( 2;1); ( 3;4); (4; 3); ( 5;7); (7; 5); ( 8;9); (9; 8) Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 C6 Дана последовательность натуральных чисел, причём каж дый следующ ий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз Сумма всех членов последовательности равна 257 а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности? б)какое наибольшее количество членов мож ет быть в э той последовательности? а) Последовательность не мож ет состоять из двух членов, так как уравнения x+(x+10)=257, x+6x=257 неразрешимы в целых числах Последовательность мож ет состоять из трёх членов, например, так: =257 б) Сумма двух соседних чисел равна минимум 7; поскольку 257=36\cdot 7+5, будет самое большее 36 пар и ещ е одно число Но сумма мож ет быть равна 7 только для пары 1+6, а если все пары такие, то добавить к ним число 5 нельзя А для остальных пар сумма равна минимум 12 Поэтому на самом деле 73 числа обеспечить нельзя, а 72 числа мож но в ситуации 1,6,1,6,1,6,,1,6,1,11 ( пара 1,6 повторяется 35 раз) О т в е т : а)3; б) 72 C6 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8 а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество полож ительных чисел мож ет быть среди них? Пусть среди написанных чисел полож ительных, отрицательных и нулей Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому а) Заметим, что в лувой части приведенного выше равенства каж дое слагаемое делится на 4, поэтому количество целых чисел делится на 4 По условию поэтому Таким образом, написано 44 числа б) Приведем неравенство к виду Так как получаем, что откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных в оценка ) Подставим в правую часть равенства откуда Так как получаем: то есть положительных чисел не более 17 в пример ) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17 Пусть на доске 17 раз написано

16 число 4, 25 раз написано число 8 и два раза написан 0 Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи О т в е т : а) 44; б) отрицательных; в) 17 C6 Каждое из чисел 2, 3,, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14,, 21 и перед каждым из полученных произведении произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 1 Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна 2 Так как сумма оказалась нечетной, то чисто нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: Ответ: 1 и 4131 C6 Перед каждым из чисел 3, 4, 5, 11 и 14, 15, 18 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каж дому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каж дое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму мож но получить в итоге? 1 Если все числа обоих наборов взяты с плюсами, то сумма максимальна и равна 2 Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из получены сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел: Ответ: 1 и 1035 C6 Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей На сколько нулей мож ет оканчиваться число N? Разложим N на простые множители: где p наибольший простой множ итель и нулями, то или или, наоборот, Оценим количество делителей k числа N:, Если запись числа N оканчивается n, при этом k делится на

17 1 случай Если k четное, то все делители разбиваются на пар вида так, что произведение делителей в каждой паре равно N Поэтому произведение всех делителей равно 2 случай Если k нечетное, то делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще один делитель И в этом случае тоже произведение всех делителей: Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается 798, и нулями, следовательно, При э том, откуда следует, что n делитель числа Выпишем все такие n: 1,2,3,6,7 Из равенства такж е следует, что 798 делится на Поэ тому возмож но только и Для каж дого из э тих n подберем настоящ ее N Ограничимся простыми множителями 2 и 5 Значит, нужно подобрать только и 1 2 3, ; ; Таким образом, для найдены ( и даж е не все) N, оканчивающ иеся n нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями Ответ: 1, 2, 6 C6 Найдите все простые числа b, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число а, что дробь мож но сократить на b Если целые числа и делятся на b, то целое число также делится на b Тогда число тоже делится на b Тогда число также делится на b Таким образом, искомое b простой делитель числа 56, то есть 2 или 7 Осталось проверить, для каких из найденных чисел мож но подобрать а Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби четные числа, поэ тому дробь мож но сократить на 2 Если а кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 7, поэтому дробь можно сократить на 7 Ответ: 2, 7

18 C6 Мож но ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Пусть количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит Заметим, что О т в е т : а) нет; б) нет; в) да C6 Бесконечная десятичная дробь устроена следующ им образом Перед десятичной запятой стоит нуль После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа p В результате получается рациональное число Найдите э то число Покажем, что p = 0,111 Действительно, пусть Предполож им, что наименьший период полученного рационального числа равен T Тогда Tk тож е период при любом натуральном k Пусть первый период начинается с некоторой по счету цифры, принадлеж ащ ей десятичной записи степени Возьмем период такой длины Tk, чтобы эта длина была больше, чем длина записи В записи числа цифр столько же, сколько в или на одну больше Аналогично, число длиннее, чем Цифры числа, что не более, чем на две цифры и так далее Значит, можно найти такую степень занимают весь период группу длиной Tk Тогда в записи следующего числа первые с Tk цифры тоже образуют период и должны повторять цифры числа Получается, что либо, либо, где какое-то однозначное число Последнее равенство невозможно, так как Следовательно, верно, откуда Десятичная дробь имеет вид Ответ: C6 В ряд выписаны числа:,,,, Меж ду ними произвольным образом расставляют знаки «+» и и находят получившуюся сумму Может ли такая сумма равняться: а) 12, если? б) 0, если? в) 0, если? г) 5, если? а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:

19 б) Среди выписанных 50 чисел 25 чётных и 25 нечётных Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0 в) Заметим, что Значит, между 8 квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться 0: При можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0 г) Как и в предыдущ ем пункте, расставим знаки меж ду 88 числами,,,, таким образом, чтобы их сумма равнялась 0 Перед сумма равна Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да поставим знак «+» При такой расстановке знаков C6 Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр Известно, что в театре мальчиков было не более числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более учащихся группы, посетивших кино от общ его от общего числа а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общ его числа учащ ихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б? а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков б) Предполож им, что мальчиков было 11 или больше Тогда девочек было 9 или меньше Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше, что больше Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку кино, что противоречит условию но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни В предыдущ ем пункте было показано, что в группе из 20 учащ ихся могло быть 10 мальчиков Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 10 в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы преж ней, а общ ая доля девочек стала бы меньше Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе мож но считать, что каж дый мальчик сходил или только в театр, или только в кино Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек Оценим долю девочек в этой группе Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится По условию значит, Тогда, поэтому доля девочек в группе:

20 Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна Ответ: а) да: б) 10; в) C6 Число таково, что для любого представления в виде суммы полож ительных слагаемых, каж дое из которых не превосходит 1, э ти слагаемые мож но разделить на две группы так, что каж дое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каж дой группе не превосходит 17 а) Может ли число быть равным 34? б) Может ли число быть больше? в) Найдите максимально возмож ное значение a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть равным 34 б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 17, получаем Пусть Рассмотрим разбиение числа на 35 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окаж ется не менее 18 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть больше в) Докаж ем, что число удовлетворяет условию задачи Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: оставшихся слагаемых Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы Вторую группу составим из Пусть В этом случае и Поэтому, и Тогда Полученное противоречие доказывает, что Поэ тому сумма слагаемых во второй группе Таким образом, число удовлетворяет условию задачи В предыдущ ем пункте было

21 показано, что ни одно из чисел не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение это Ответ: а) нет; б) нет; в) C6 Найдите все простые числа p, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число k, что число p является общ им делителем чисел и Если число p является делителем числа, то оно является также и делителем числа Но если число p является общим делителем чисел и, то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа Аналогично получаем: 1) число p является общ им делителем чисел и, значит, p является делителем числа 2) число p является общим делителем чисел и, значит, p является делителем числа Число 60 имеет ровно три различных простых делителя 2, 3 и 5 Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем чисел и Если число k четное, то число 2 является общим делителем данных чисел Если число k кратно 3, то число 3 является общ им делителем данных чисел Если число, то число 5 является общим делителем данных чисел Ответ: 2, 3, 5 C6 Найдите все простые числа b, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число а, что дробь мож но сократить на b Если целые числа и делятся на b, то целое число также делится на b Тогда число ; ; тоже делится на b Тогда число

22 также делится на b Таким образом, искомое b простой делитель числа 80, то есть 2 или 5 Осталось проверить, для каких из найденных чисел мож но подобрать а Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби четные числа, поэ тому дробь мож но сократить на 2 Если а кратно 5, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 5, поэтому дробь можно сократить на 5 Ответ: 2, 5 C6 Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 по одному записывают на 8 карточках Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каж дое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; 2); ( 2;1); ( 3;4); (4; 3); ( 5;7); (7; 5); ( 8;9); (9; 8) Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 C6 Бесконечная десятичная дробь устроена следующ им образом Перед десятичной запятой стоит нуль После запятой подряд выписаны члены возрастающ ей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выраж ается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100 Найдите наименьшее возмож ное значение Очевидно,, причем, только если и, то есть если десятичная дробь начинается: (четвертая цифра не 0) Заметим, что таким образом начинается, например, число Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи Для э того запишем сумму подробнее Получаем: В каждой строчке сумма геометрической прогрессии со знаменателем

23 Получается, что m рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа Ответ: 3 C6 Все члены геометрической прогрессии различные натуральные числа, заключенные меж ду числами 210 и 350 а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов? а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв и получим б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует Предполож им, такая последовательность есть Без ограничения общ ности она возрастает; пусть её знаменатель есть где и взаимно простые натуральные числа Тогда: Так как и взаимно просты, делится на а значит, откуда Так как, Поэтому Но целое, поэтому Отсюда что противоречит требованию задачи Ответ: а) да б) нет C6 Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общ его делителя Найдите э ти числа Сумма чисел кратна их наибольшему общ ему делителю, поэ тому их наибольший общ ий делитель является делителем числа 43, откуда следует, что он равен 1 Тогда наименьшее общ ее кратное этих чисел равно их произведению Обозначив искомые числа х и у, получаем систему решая которую, получаем числа 40 и 3 Ответ: 40 и 3 C6 На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел мож ет быть среди них? Пусть среди написанных чисел k полож ительных, l отрицательных и m нулей Сумма набора чисел

24 равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 7, поэ тому количество целых чисел делится на 7 По условию, поэ тому Таким образом, написано 49 чисел б) Приведём равенство к виду Так как, получаем, что, откуда Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных в) (оценка) Подставим в правую часть равенства, откуда Так как, получаем:,,, ; то есть отрицательных чисел не более 22 в) (пример) Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22 Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число и два раза написан 0 Тогда Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22, удовлетворяет всем условиям задачи C6 Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9? Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11 Запишем все цифры подряд: В написанном числе указанная ра зность сумм равна 5 Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3 Значит, разность меж ду суммами его цифр, стоящ их на нечетных и на четных местах, становится равной 11 Меняя местами, например, 1 и 4 или 3 и 6, получаем требуемые примеры Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством Ответ: найдутся C6 В ряд выписаны числа:,,,, Меж ду ними произвольным образом расставляют знаки «+» и и находят получившуюся сумму Может ли такая сумма равняться: а) -4, если? б) 0, если? в) 0, если? г) -3, если? а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма: б) Среди выписанных 49 чисел 24 чётных и 25 нечётных Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0 в) Заметим, что Значит, между 8 квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться 0: При можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0

25 г) Как и в предыдущ ем пункте, расставим знаки меж ду 88 числами,,,, таким образом, чтобы их сумма равнялась 0 Перед поставим знак «-» При такой расстановке знаков сумма равна Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да C6 Каждое из чисел 5, 6,, 9 умножают на каждое из чисел 12, 13,, 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму мож но получить в итоге? 1 Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма наибольшая и она равна 2 Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из получающ ихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведения, которая получится при раскрытии следующих скобок Ответ: 1 и 3045 C6 На доске написано число 8 Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две третье и т д) а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 72? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832? а) Заметим, что каж дое число на доске будет делиться на 8 Действительно, исходное число делится на 8, в случае удвоения числа делящегося на 8, получится число, делящееся на 8 А при слож ении чисел, делящ ихся на 8, такж е получится число, делящ ееся на 8 Таким образом, все числа на доске будут делиться на 8, а 2012 на 8 не делится, следовательно, оно не мож ет появиться на доске б) Может Пример: 8, 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8) Сумма полученных 5 чисел равна 72 Замечание В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 8 Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 8 и то число, которое нуж но получить, те 832, на 8 От э того количество операций не изменится Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 104, начав с числа 1 Заметим, что наибольшее число, которое мож ет получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж дый раз будет удваивать текущ ее наибольшее число) Следовательно, если в первые 6 минут Вася каж дый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 104 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 104 не получится В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно слож ение вместо удвоения, то при первом использовании слож ения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в э том случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай слож ения, то есть до э того были только удвоения) Таким образом, даж е если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно слож ение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно, что меньше 104 Итак, за 7 минут число 104 получить невозможно Приведем пример, как его получить за 8 минут: 1 1, 2 1, 2, 4 1, 2, 4, 8 1,2, 4, 8, 16 1, 2, 4, 8, 16, 32 1,2,4,8,16,32,64 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96, 104

26 О т в е т : а) нет; б) да; в) 8 минут C6 Среди обыкновенных дробей с полож ительными знаменателями, располож енных меж ду числами и, найдите такую, знаменатель которой минимален Так как и, то достаточно найти правильную дробь с наименьшим знаменателем, леж ащ ую меж ду числами а затем прибавить к ней число 2 и, Среди дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как,,,,,,, Для знаменателя 7 получаем, т е Ответ: C6 Число таково, что для любого представления в виде суммы полож ительных слагаемых, каж дое из которых не превосходит 1, э ти слагаемые мож но разделить на две группы так, что каж дое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каж дой группе не превосходит 19 а) Может ли число быть равным 38? б) Может ли число быть больше? в) Найдите максимально возмож ное значение a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть равным 38 б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 19, получаем Пусть Рассмотрим разбиение числа на 39 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окаж ется не менее 20 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть больше в) Докаж ем, что число удовлетворяет условию задачи Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию:

27 Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы Вторую группу составим из оставшихся слагаемых Пусть В этом случае и Тогда Полученное противоречие доказывает, что группе Таким образом, число показано, что ни одно из чисел максимально возможное значение это 37,05 Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05 Поэ тому, и Поэ тому сумма слагаемых во второй удовлетворяет условию задачи В предыдущ ем пункте было не удовлетворяет условию задачи, значит, C6 Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению, где 1 Так как, то и 2 Пусть, тогда, откуда и 3 Пусть, тогда, откуда и 4 Далее конечным перебором значений, находим все решения: n k нет решений 3 1 нет решений 2 3 нет решений 2 2 нет решений нет решений нет решений Ответ: C6 Найдите все простые числа b, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число a, что дробь сократима на b Если целые числа и делятся на b, то целое число также делится на b Тогда число m тоже делится на b Тогда число

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера 1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник С6

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Задачник С6 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задачник С6 Здесь приведены задачи С6, которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО начиная с июня 2010 года. Все задачи

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

27 декабря Темы: 1. Уравнения в целых числах. - линейные - прочие 2. Прогрессии. 3. Системы уравнений.

27 декабря Темы: 1. Уравнения в целых числах. - линейные - прочие 2. Прогрессии. 3. Системы уравнений. 20 декабря Темы: 1. Десятичная система счисления. Задачи: 60 2. Делители больших произведений. 3. Количество делителей. Задачи: 45 4. НОД и НОК. Задачи: 44 5. Четность-нечетность. Задачи: 12(б)(ЕГЭ, 2012)

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ

Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" Методы и способы решения заданий вида С 6 из тестов для ЕГЭ Учебно-методическое пособие Составитель: Т. Г. Скударнова,

Подробнее

Задача 21 на ЕГЭ по математике

Задача 21 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задача 21 на ЕГЭ по математике Здесь приведены задачи 21 (в прошлом С6), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Олимпиада по алгебре. Тестовый тур

Олимпиада по алгебре. Тестовый тур Олимпиада по алгебре. Тестовый тур 13 ноября 1. Учитель написал на доске многочлен (6x 8x + 3) 100 (8x + 4x + 1) 100. (a) Какую степень имеет этот многочлен? (i) 100; (ii) 00; (iii) 400; (iv) ; (v) среди

Подробнее

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2.

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач ТЕСТ Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно и не превосходит по величине ) ) 8 ) 9 ) 8 Найти сумму всех двузначных натуральных чисел,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр.

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр. Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С6) СОДЕРЖАНИЕ стр Делимость целых чисел Деление без остатка Свойства делимости целых

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Олимпиада по алгебре. Тестовый тур

Олимпиада по алгебре. Тестовый тур Олимпиада по алгебре. Тестовый тур 13 ноября 1. Учитель написал на доске многочлен (6x 8x + 3) 100 (8x + 4x + 1) 100. (a) Какую степень имеет этот многочлен? (i) 100; (ii) 00; (iii) 400; (iv) ; (v) среди

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Рабочий лист 1. Арифметические действия на множестве рациональных чисел.

Рабочий лист 1. Арифметические действия на множестве рациональных чисел. Рабочий лист 1 Арифметические действия на множестве рациональных чисел Напомним важные правила, которые нужно соблюдать, проводя арифметические вычисления Порядок действий в арифметических вычислениях

Подробнее

Вопросы для повторения I

Вопросы для повторения I 4 Вопросы для повторения I. Натуральные числа. Натуральный ряд.. Числа и цифры. Десятичная система счисления. 3. Разряды и классы. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. 4. Сравнение натуральных

Подробнее

Знаки линейной функции

Знаки линейной функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Подробнее

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел».

Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Тема 1 «Числовые выражения. Порядок действий. Сравнение чисел». Числовым выражением называется одна или несколько числовых величин (чисел), соединенных между собой знаками арифметических действий: сложения,

Подробнее

сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013

сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013 B1 Исполнитель КАЛЬКУЛЯТОР имеет только две команды, которым присвоены номера: 1. Прибавь 1 2. Выполняя команду номер 1, КАЛЬКУЛЯТОР прибавляет к числу на экране 1, а выполняя команду номер 2, умнож ает

Подробнее

Задача 21 на ЕГЭ по математике

Задача 21 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задача 21 на ЕГЭ по математике Здесь приведены задачи 21 (в прошлом С6), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

ID_2839 1/5 neznaika.pro

ID_2839 1/5 neznaika.pro 1 Числа и их свойства Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Найдите четырёхзначное

Подробнее

, а это и есть радиус окружности.

, а это и есть радиус окружности. B3 Найдите радиус окруж ности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно ( 2; 2), (6; 2), (6; 4), ( 2; 4) Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных

Подробнее

Математика 7 класс Задачи на делимость

Математика 7 класс Задачи на делимость МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства

Подробнее

Последовательность и рекуррентное соотношение

Последовательность и рекуррентное соотношение 1 Последовательность и рекуррентное соотношение Лекции ВВШеломовского Последовательности и рекуррентные соотношения достаточно часто встречаются на экзаменах и олимпиадах Простейшая последовательность

Подробнее

Сайт Шпаргалка ЕГЭ Банк ЕГЭ 2013/14 по математике 23/05/2013

Сайт Шпаргалка ЕГЭ Банк ЕГЭ 2013/14 по математике 23/05/2013 B8 На рисунке изображ ен график функц ии, определенной на интервале ( 6; 8) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна Производная функц ии полож ительна на тех интервалах,

Подробнее

XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ

XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ 7класс ГОРОД 1. В строку выписано 5 последовательных натуральных чисел. Возможно ли, что сумма цифр первого числа равна 5, а пятого 0? Решение:

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Содержание. Неравенства... 20

Содержание. Неравенства... 20 Содержание Уравнение............................................ Целые выражения..................................... Выражения со степенями............................. 3 Одночлен.............................................

Подробнее

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

16 (повышенный уровень, время 2 мин)

16 (повышенный уровень, время 2 мин) К. Поляков, 009-016 16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. НОД и НОК

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. НОД и НОК И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание НОД и НОК 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................ 4

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

Ошибка! Источник ссылки не найден. 1

Ошибка! Источник ссылки не найден. 1 Ошибка! Источник ссылки не найден. 1 2 Электронная школа Знаника Решебник для 8 9 класса Первая часть Задача 1 Когда четверых ребят спросили, сколько из них вчера ходили в кино, Маша сказала, что никто,

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г. Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Подробнее

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр).

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры

Подробнее

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике.

Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике. ВВ Мирошин, Гимназия 5 (Москва), e-mail: vmiroshin@gmailcom Делимость натуральных чисел в задачах С6 единого государственного экзамена по математике В статье рассматриваются задачи группы С6, предлагаемые

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Тема "Системы счисления" Основание системы счисления

Тема Системы счисления Основание системы счисления Тема "Системы счисления" Системы счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. В мире наиболее распространены

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

Тема: Системы счисления

Тема: Системы счисления Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 00 год 9 КЛАСС Задача 1. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника.

Подробнее

Решение задач в области целых чисел

Решение задач в области целых чисел Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Решение

Подробнее

Из истории математики.

Из истории математики. Из истории математики Первой достаточно объемной книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок нэ) В истории арифметики её роль сравнима с ролью

Подробнее

Городская математическая олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, 4-6 кл 4-6 класс, заключительный тур, 28 апреля 2013 г. Решения задач. 4 класс.

Городская математическая олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, 4-6 кл 4-6 класс, заключительный тур, 28 апреля 2013 г. Решения задач. 4 класс. 4 класс. Задача 1. Решите ребус (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым одинаковые) АББА+ДД = 2013. Ответ: 2002+11=2013, 1991+22=2013. Решение. Заметим, что буква А обязательно равна 1

Подробнее

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n.

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n. Стр. 1 из 18 Двоичная арифметика Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить

Подробнее

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ПОДГОТОВКЕ К ОТВЕТУ НА ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ПОДГОТОВКЕ К ОТВЕТУ НА ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ПОДГОТОВКЕ К ОТВЕТУ НА ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВОПРОС ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ (в справочном материале гиперссылки на интернет-ресурсы выделены синим цветом) БИЛЕТ

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

IX Всероссийская смена «Юный математик». ВДЦ «Орлёнок». VI Турнир математических игр. Математическая игра «Дуэль». Младшая лига. Решения.

IX Всероссийская смена «Юный математик». ВДЦ «Орлёнок». VI Турнир математических игр. Математическая игра «Дуэль». Младшая лига. Решения. IX Всероссийская смена «Юный математик». ВДЦ «Орлёнок». VI Турнир математических игр. Математическая игра «Дуэль». Младшая лига. Решения. 08 сентября 2013 года 1. В двух группах учится одинаковое количество

Подробнее

7 класс Первый тур ( 10 минут; каждая задача 6 баллов Второй тур ( 15 минут; каждая задача 7 баллов

7 класс Первый тур ( 10 минут; каждая задача 6 баллов Второй тур ( 15 минут; каждая задача 7 баллов класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Графики функций у = kx + b и у = bx + k пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения. Ответ: x =. Первый способ. Искомая абсцисса является решением

Подробнее

высота перпенд икулярного к ней ребра. Имеем О т в е т : 45.

высота перпенд икулярного к ней ребра. Имеем О т в е т : 45. B11 Площ адь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12 Ребро, перпендикулярное э той грани, равно 4 Найдите объем параллелепипеда Объем прямоугольного параллелепипеда равен, где площ адь грани, а Имеем

Подробнее

Прогрессии. 1. Арифметическая прогрессия. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел { an},

Прогрессии. 1. Арифметическая прогрессия. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел { an}, Прогрессии Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется последовательность чисел { },, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

Подробнее

7 класс Ответ. указательный.

7 класс Ответ. указательный. 7 класс. Ответ. Одна красная бабочка. Первое решение. Устроим перебор пар бабочек так, чтобы одна бабочка была красной (упомянутой в условии), а другая как придется. Из условия следует, что все бабочки,

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Контрольные работы по алгебре 9 класс, 1 вариант. Контрольная работа 1 «Квадратичная функция». 1.Дана функция f ( x)

Контрольные работы по алгебре 9 класс, 1 вариант. Контрольная работа 1 «Квадратичная функция». 1.Дана функция f ( x) Контрольные работы по алгебре 9 класс, вариант. Контрольная работа «Квадратичная функция»..дана функция f ( x) 7x 5. При каких значениях аргумента f ( x) 0, f ( x) 0, f ( x) 0? Является ли эта функция

Подробнее

Задачники. Вводное занятие

Задачники. Вводное занятие Задачники Вводное занятие Все входные и выходные данные в заданиях этой группы являются целыми числами. Все числа, для которых указано количество цифр двузначное число, трехзначное число и т. д., считаются

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

Зональная олимпиада школьников по математике Краснодарский край, 10 декабря 2013

Зональная олимпиада школьников по математике Краснодарский край, 10 декабря 2013 Зональная олимпиада школьников по математике Краснодарский край, 10 декабря 2013 5 класс Составитель текста Федоренко И.В., телефон для справок +7 918 225-22-13 1 Имеются 2013 яблок и весы, на которых

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

B7 (повышенный уровень, время 2 мин)

B7 (повышенный уровень, время 2 мин) К Поляков, 009-01 B7 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел Системы счисления Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,

Подробнее

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5.

Повторение Алгебра 7 8. Вопросы. 1. Раскрытие скобок 2. Умножение многочленов. 3. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Повторение Алгебра 7 8. Вопросы.. Раскрытие скобок. Умножение многочленов.. График линейной функции. 4. Разложение многочлена на множители. 5. Свойство степени с натуральным показателем. 6. Формулы сокращенного

Подробнее

Потопахин Виталий Валерьевич

Потопахин Виталий Валерьевич Потопахин Виталий Валерьевич Двоичная арифметика Дорогие читатели. В данной статье излагается материал по информатике. Вам необходимо внимательно изучить этот материал, решить задачи, предложенные для

Подробнее

Арифметические действия над натуральными числами. Для иностранных слушателей подготовительного отделения. АВТОР: Старовойтова

Арифметические действия над натуральными числами. Для иностранных слушателей подготовительного отделения. АВТОР: Старовойтова Арифметические действия над натуральными числами Для иностранных слушателей подготовительного отделения АВТОР: Старовойтова Наталья Александровна кафедра довузовской подготовки и профориентации Мы пользуемся

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 00 Корянов А.Г. Задания С г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ (от учебных задач до олимпиадных задач) Линейные

Подробнее

Занятие 3 Сравнение чисел. Делимость

Занятие 3 Сравнение чисел. Делимость Занятие 3 Сравнение чисел. Делимость Два числа а и b можно сравнить: а = b или а > b или а < b. Запомните! глагол сравнить -аю, -аешь; Знаки: = "равно"; "не равно"; > "больше"; < "меньше". a b это равенство

Подробнее

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур года

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур года Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур 2012 13 года 7 класс 1. Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком (чашки одинаковые), причем Катя выпила 1/4 всего молока

Подробнее

Делимость. Общие свойства

Делимость. Общие свойства И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Делимость. Общие свойства 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................

Подробнее

B8 (повышенный уровень, время 2 мин)

B8 (повышенный уровень, время 2 мин) К. Поляков, 009-011 B8 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Министерство образования Российской Федерации Елабужский государственный педагогический институт Попырин А.В., Савина Л.Н. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Елабуга 2002 1 Печатается по решению Ученого совета Елабужского

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ Необходимые сведения из теории Арифметическая прогрессия Числовая последовательность a, a d,, a d,, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему,

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Домашняя работа по алгебре за 10 класс Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов ША и др, М: «Просвещение», 00 г учебно-практическое пособие Содержание Глава I Действительные числа Глава II

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

Error! Reference source not found. 1

Error! Reference source not found. 1 Error! Reference source not found. 1 2 Электронная физико-техническая школа Решебник для 8-9 класса 1 Первая часть задания Задача 1 Камень весит 6 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

6 класс, цифры. 6 класс, цифры.

6 класс, цифры. 6 класс, цифры. 6 класс, цифры. 1. Найдите хотя бы одно натуральное число, которое при умножении на 111 дает на конце 2012. 2. Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

. Возведя в квадрат обе части неравенства. 2, получим требуемое неравенство. Рис. 1

. Возведя в квадрат обе части неравенства. 2, получим требуемое неравенство. Рис. 1 9 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Прямые у = k + b, у = k + b и у = b + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты? Ответ: (1; 0). Из уравнения первой

Подробнее

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ осенний тур 2013 г. ВТОРОЙ КЛАСС

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ осенний тур 2013 г. ВТОРОЙ КЛАСС МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 -осенний тур 2013 г. ВТОРОЙ КЛАСС Задача 1. Какое число пропущено? 10+?=12+9 А) 10 Б) 11 В) 12 Задача 2. Отрезок длины 30 см равен: А) 3 мм Б) 3 м В) 3 дм Задача 3. Какое неравенство

Подробнее

Календарно-тематическое планирование 4 класс

Календарно-тематическое планирование 4 класс Календарно-тематическое планирование 4 класс п/ п 1. Наименование разделов Тема урока Кол-во часов Повторение изученного в 3 классе Повторение изученного в 3 классе Характеристика основной деятельности

Подробнее

Особенности решения уравнений в целых числах

Особенности решения уравнений в целых числах Краевой конкурс творческих работ учащихся «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Особенности решения уравнений в целых числах Селькова Мария Александровна,

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ ВСТУПЛЕНИЕ... 3

СОДЕРЖАНИЕ ВСТУПЛЕНИЕ... 3 СОДЕРЖАНИЕ ВСТУПЛЕНИЕ... 3 I. ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Множества и числа Таблица 1 МНОЖЕСТВА И НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ...5 Таблица 2 ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА...6 Таблица 3 ОБОЗНАЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ

Подробнее

Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R

Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R 1. Множества. Операции над множествами. 2. Множество натуральных чисел N. 3. Множество целых чисел Z. Делимость целых чисел. Признаки делимости. 4. Рациональные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Практическая часть. 1.Продолжите ряд чисел: 2; 4; 6;. а) -2; -4; -6 б) 8;10;.. в) 8; 12; г)1; 2; 3

Практическая часть. 1.Продолжите ряд чисел: 2; 4; 6;. а) -2; -4; -6 б) 8;10;.. в) 8; 12; г)1; 2; 3 Практическая часть Уровень 1 1.Продолжите ряд чисел: 2; 4; 6;. а) -2; -4; -6 б) 8;10;.. в) 8; 12; г)1; 2; 3 2.Последовательность задана формулой n ого члена a n = 2n +1, пятый член этой последовательности

Подробнее