а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6. По условию Шпаргалка ЕГЭ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6. По условию Шпаргалка ЕГЭ"

Транскрипт

1 C6 На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Пусть среди написанных чисел k полож ительных, l отрицательных и m нулей Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6 По условию, поэтому Таким образом, написано 42 числа б) Приведём равенство к виду Так как, получаем, что, откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных в) (оценка) Подставим в правую часть равенства откуда Так как, получаем: то есть положительных чисел не более 15,,, ; в) (пример) Приведём пример, когда полож ительных чисел ровно 15 Пусть на доске 15 раз написано число 6, 25 раз написано число 12 и два раза написан 0 Тогда указанный набор удовлетворяет веем условиям задачи Ответ: а) 42; б) отрицательных; в) 15 C6 Моток веревки реж ут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см (назовем такие куски стандартными) а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков мож но было бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число, что любой моток веревки, длина которого больше см, мож но разрезать на стандартные куски,

2 Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример Рассмотрим моток веревки длиной см Условие того, что его мож но разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные) Пусть э ту веревку мож но разрезать на При получаем те этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 33 стандартных куска стандартных кусков, тогда При получаем Значит, э ту веревку мож но разрезать на 33 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски Докаж ем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем 3267 Ответ: а) 33; б) 3267 что противоречит условию Таким образом, искомое число равно C6 Ученик долж ен перемнож ить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное Однако он не заметил знака умнож ения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное Поэ тому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного Найдите все три числа Обозначим эти числа за a, b и c Имеем а значит Так как правая часть полученного равенства делится на a, значит, левая часть тоже делится на a и Получаем что равносильно Обратим внимание, что k не превосходит 9, так как a и b трехзначные числа, а делится на 3 Значит, возможны только варианты Если то, а или (других пятизначных делителей у ab нет) Если, то, что противоречит условию,,

3 Если, то, что противоречит условию Ответ: 167, 334 и или 167, 334 и C6 Найдите все простые числа p, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число k, что число p является общ им делителем чисел и Если число p является делителем числа, то оно является также и делителем числа Но если число p является общим делителем чисел и, то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа Аналогично получаем: 1) число p является общ им делителем чисел и, значит, p является делителем числа 2) число p является общим делителем чисел и, значит, p является делителем числа Число 105 имеет ровно три различных простых делителя 3, 5 и 7 Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел и Если, то число 3 является общим делителем данных чисел Если число k кратно 5, то число 5 является общ им делителем данных чисел Если число k кратно 7, то число 7 является общ им делителем данных чисел Замечание Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел Ответ: 3, 5, 7 C6 Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9 а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов? б) Докажите, что число её членов меньше 100 в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72 г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами а) Да, например 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 б) Мож но считать, что разность прогрессии полож ительна Пусть разность имеет цифр Тогда при переходе от какого-либо члена последовательности к следующ ему -й разряд либо не меняется, либо увеличивается на 1 Так как цифра 9 запрещ ена, возмож но не больше 8 переходов со сменой этого разряда Может случиться несколько членов подряд с одной и той же цифрой в -м разряде Назовём такие члены группой Всего таких групп не более 9 Обозначим длину группы Найти наибольшую возмож ную длину группы Так как -- -значное число, каж дый переход, не меняющий -й разряд, увеличивает -й разряд И так ка цифра 9 запрещена в то числе в - м разряде, то таких переходов подряд мож ет быть не более 8 Следовательно, ; ;, а в

4 прогрессии не более членов в) Если в прогрессии нет переходов со сменой -го разряда, то членов прогрессии не больше 9 Пусть такие переходы есть Рассмотрим член прогрессии, стоящ ий перед таким переходом Так как он не содержит 9, то его -значный "хвост" ( имеет остаток от деления на ) не больше Но при прибавлении d долж ен произойти переход через десяток в -м разряде Следовательно, Рассмотрим такую группу членов прогрессии что -й разряд не меняется Тогда разностью: следовательно -значные хвосты сами образуют арифметическую прогрессию с той ж е г) Пример нужно прогрессии дает прогрессия с первым членом 1 и разностью 125: О т в е т : а) да; г) например, 1, 126, 8876 Но C6 В стране Дельфиния установлена следующ ая система подоходного налога (денеж ная единица Дельфинии золотые): Заработок (в золотых) Налог (в %) Более а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых Как им выгоднее всего распределить э ти деньги меж ду собой, чтобы в семье осталось как мож но больше денег после налогооблож ения? При дележе каждый получает целое число золотых б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых? а) 1 Если один из братьев получит не более 100 золотых, то второй получит не менее 900, но меньше 1000 золотых В э том случае первый брат заплатит налог 1%, а второй 50% Следовательно, общ ая сумма, которая останется у братьев после налогооблож ения, не превосходит золотых 2 Если каждый из них получит более 400 золотых, значит, они оба заплатят налог 50%, и тогда в сумме у них останется 500 золотых 3 Пусть один из них получит золотых, где Тогда его брат получит

5 золотых, причем э то число будет больше 400 Значит, первый брат заплатит налог 20%, а второй 50% Таким образом, после налогообложения у них останется золотых Очевидно, что чем больше x, тем больше данная сумма Значит, следует выбрать наибольшее возмож ное значение x, то есть 400 В э том случае в семье останется 620 золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях Ответ: 400 и 600 б) Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется Таким образом, мож но решать равносильную задачу: распределить деньги меж ду братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше 1 Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых В э том случае каж дый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых 2 Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых Тогда он долж ен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых В э том случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее 3 Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых В э том случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых Этот случай разобран в п2 Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каж дый из них получит от 101 до 400 золотых При э том верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каж дое из которых леж ит в указанном промеж утке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268) Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268) C6 За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каж дый что-то ел, и мож ет быть так, что кто-то ел и то и другое Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего числа детей, евших конфеты а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общ его числа детей без дополнительного условия пунктов а и б? а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каж дая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков б) Предполож им, что мальчиков было 14 или больше Тогда девочек было 11 или меньше Пусть число мальчиков, евших бутерброды равно m 1 Тогда число не больше, чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем откуда и, следовательно, Пусть m 2 число мальчиков, евших конфеты Аналогично, откуда, учитывая, что m 2 число целое, находим: Но тогда общ ее число мальчиков, евших хот что-то не больше, чем = 12 Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию В предыдущ ем пункте было показано, что в группе из 20 учащ ихся могло быть 13 мальчиков Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 13 в) Предполож им, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы преж ними, а общ ая доля девочек стала бы меньше Значит, для оценки наименьшей доли девочек мож но считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды Пусть, как прежде, m 1 мальчиков ели бутерброды, m 2 ели конфеты, и всего было d девочек Оценим долю девочек Будем считать, что каж дая девочка ели и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от э того не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди

6 евших бутерброды не станут меньше По условию значит Тогда поэтому доля девочек равна Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и ещ е было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек в точности равна О т в е т : а) да; б) 13; в) C6 Моток веревки реж ут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше 120 см (назовем такие куски стандартными) а) Некоторый моток веревки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков мож но было бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число, что любой моток веревки, длина которого больше см, мож но разрезать на стандартные куски Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример Рассмотрим моток веревки длиной см Условие того, что его мож но разрезать на стандартных кусков, записывается в виде или а) В данном случае имеем (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные) Пусть э ту веревку мож но разрезать на При получаем те этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 23 стандартных куска стандартных кусков, тогда При получаем Значит, э ту веревку мож но разрезать на 23 одинаковых стандартных куска, но нельзя разрезать на большее количество стандартных кусков б) Отрезки и являющиеся решениями неравенств и имеют общие точки для всех при которых то есть при Значит, любую веревку длиной см или более можно разрезать на стандартные куски Докаж ем, что веревку, длина которой больше см, но меньше см, нельзя разрезать на стандартных кусков ни для какого При получаем что противоречит условию При получаем 2645 Ответ: а) 23; б) 2645 что противоречит условию Таким образом, искомое число равно

7 C6 Найдите несократимую дробь такую, что Пусть,, а наибольший общий делитель чисел Тогда Заметим, что, значит а: Поэтому Кроме того, Ответ:, C6 Длины сторон прямоугольника натуральные числа, а его периметр равен 4000 Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n такж е натуральное число а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника? б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника? в) Найдите все возмож ные значения, которые мож ет принимать площ адь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100 а) Так как периметр равен 4000, то сумма смеж ных сторон прямоугольника равна 2000 Известно, что наибольшее значение площ ади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом Таким образом, его стороны долж ны быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой) Значит, наибольшее значение площ ади прямоугольника равно б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В э том случае площ адь прямоугольника равна вниз, а число Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены не превосходит абсциссы вершины параболы Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площ адь равна 1999 В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно % от числа 1

8 в) Пусть это сторона, n% от которой равны другой стороне Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем: Так как и целые числа, то число кратно числу Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа , меньшие 200, но большие 100 Так как то искомый делитель мож ет содерж ать в своем разлож ении на простые множ ители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5 Возможны три случая: 1) Число не делится на 5 Тогда оно мож ет быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100 2) Число делится на 5, но не делится на 25 Из чисел вида в искомый промежуток попадает только число В этом случае а площадь равна ) Число делится на 25 В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175 Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа Если же n = 125, то a = 1600, а площадь равна Ответ: а) ; б) 1999; в) или C6 Каж дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каж дое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8) О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4 C6 Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел a и b на 32 где k число цифр в числе b, Тогда, иначе, Непосредственно проверяем Соответственно: Ответ: 12 и 8; 23 и 9

9 C6 Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каж дой из которых есть по крайней мере два числа Для каждой группы находят сумму чисел этой группы Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Каково наименьшее возмож ное значение полученного результата? Обозначим суммы чисел в группах,,, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каж дая из разностей равнялась 0, то есть Сумма всех двенадцати чисел С другой стороны, она равна, но 78 не делится на 4 Значит, б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0 Значит,, но в этом случае каждая из сумм, не равна хотя бы одной из сумм, поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3 Значит, в) Выразим число явно через,,, : В предыдущих пунктах было показано, что Если, то или В э том случае сумма всех двенадцати чисел равна или, то есть нечётна, что неверно Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; число равно 4 Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 C6 Имеется 8 карточек На них записывают по одному каждое из чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному из чисел: 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 117? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число мож ет в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке на равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться 0 б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 117 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому все произведение делится на 4 Наименьшее целое полож ительное число, делящ ееся на 4, э то 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: ( 11; 12), (12; 11), (13; 14), ( 14; 13), ( 15; 17), (17; 15), ( 18; 19), (19; 18), О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4

10 C6 В возрастающ ей последовательности натуральных чисел каж дые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию Первый член последовательности равен 1, а последний 2076 а) может ли в последовательности быть три члена? б) может ли в последовательности быть четыре члена? в) мож ет ли в последовательности быть меньше 2076 членов? а) Нет, поскольку не делится на 2, а не является квадратом натурального числа б) Последовательность не мож ет быть арифметической прогрессией, поскольку не делится на 3 Последовательность не мож ет быть геометрической прогрессией, поскольку кубом натурального числа не является Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три арифметическую, то э ти числа: но уравнение не имеет целых корней Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три геометрическую, то э ти числа: и где натуральное число Тогда последнее число должно равняться но это не натуральное число в) Да, например, C6 Имеется 8 карточек На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8) О т в е т : а) нет; б) нет; в) 4 C6 Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящ ие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3 а) Может ли в этой прогрессии быть три числа? б) Какое наибольшее количество членов мож ет быть в э той прогрессии? а) В такой прогрессии может быть три члена: например, 2, 4, 6 б) В такой прогрессии может быть четыре члена: например, 1, 2, 3, 4 Предполож им, что сущ ествует такая арифметическая прогрессия, состоящ ая не менее чем из пяти членов Рассмотрим любые пять её последовательных членов Разделим каж дый член на наибольший общ ий делитель всех пяти членов Поскольку разности соседних членов уменьшатся в одинаковое число раз, полученные числа,,,, такж е образуют арифметическую прогрессию, удовлетворяющ ую условию задачи Заметим, что числа,,,, не могут все быть четными или все делиться на 3 Если разность э той прогрессии делится на 3, то в ней не мож ет быть члена, делящ егося на 3

11 (иначе все члены прогрессии делятся на 3), поэ тому все члены прогрессии являются степенями двойки Поскольку все члены не могут быть четными, получаем, что среди них присутствует 1 Но в э том случае разность прогрессии нечётна, поэ тому чётные и нечётные члены прогрессии чередуются, а нечётных степеней двойки, отличных от 1, не существует Пусть теперь разность прогрессии не делится на 3 Тогда если делится на 3, то члены, и не делятся на 3, а делится на 3 Аналогично, если делится на 3, то из чисел,,, на 3 будет делиться только Наконец, если делится на 3, то ни одно из чисел,,, не делится на 3 Значит, найдутся два последовательных члена прогрессии, являющиеся степенями двойки Если оба эти члена четны, то и все члены прогрессии чётны, чего не может быть Поэтому одно из этих чисел - единица Единица может стоять в прогрессии только на первом или пятом месте, в э том случае на 3 делится только, поскольку единица один из двух последовательных членов прогрессии, являющ ихся степенями двойки Тогда,,, являются степенями двойки Разность прогрессии, значит, она чётна и все члены прогрессии чётны, чего не может быть Ответ: а) да; б) 4 C6 Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каж дой из которых есть по крайней мере два числа Для каждой группы находят сумму чисел этой группы Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Каково наименьшее возмож ное значение полученного результата? Обозначим суммы чисел в группах,,, а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каж дая из разностей равнялась 0, то есть Сумма всех двадцати чисел С другой стороны, она равна, но 210 не делится на 4 Значит, б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0 Значит,, но в этом случае каждая из сумм, не равна хотя бы одной из сумм, поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3 Значит, в) Выразим число явно через,,, : В предыдущих пунктах было показано, что Если, то или В этом случае сумма всех двадцати чисел равна или, то есть нечётна, что неверно Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 число равно 4 C6 На доске написано число 7 Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две третье и тд) а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784? а) Заметим, что каж дое число на доске будет делиться на 7 Действительно, исходное число делится на 7, в случае удвоения числа делящегося на 7, получится число, делящееся на 7 А при слож ении чисел, делящ ихся на 7, такж е получится число, делящ ееся на 7 Таким образом, все числа на доске будут делиться на 7, а 2012 на 7 не делится, следовательно, оно не мож ет

12 появиться на доске б) Да, может Пример: 7, 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7), 14 (удвоенное число 7) Сумма полученных 5 чисел равна 63 Замечание В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 7 Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 7 и то число, которое нуж но получить, те 784, на 7 От э того количество операций не изменится Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 112, начав с числа 1 Заметим, что наибольшее число, которое мож ет получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж дый раз будет удваивать текущ ее наибольшее число) Следовательно, если в первые 6 минут Вася каж дый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 112 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 112 не получится В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно слож ение вместо удвоения, то при первом использовании слож ения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в э том случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай слож ения, то есть до э того были только удвоения) Таким образом, даж е если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно слож ение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно, что меньше 112 Итак, за 7 минут число 112 получить невозможно Приведем пример, как его получить за 8 минут: 1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 1,2,4,8,16 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32,64 1,2,4,8,16,32,64,96 (96 = ) 1,2,4,8,16,32,64,96,112 (112 = ) О т в е т : а) нет; б) да; в) 8 минут C6 Мож но ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Пусть количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит 1008 Следовательно, О т в е т : а) нет; б) нет; в) да C6 Перед каждым из чисел 14, 15,, 20 и 4, 5,, 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каж дого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каж дое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают Какую наименьшую по модулю и какую нибольшую сумму мож но получить в итоге? 1 Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго с минусами, то сумма максимальна и равна 2 Так как предыдущ ая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из полученны сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел: Ответ: 1 и 805 C6 Найдите все целые значения m и k такие, что

13 Заметим, что из условия следует, что Далее имеем: 1 Если, то каждое из слагаемых равно 1, и при равенство будет верно 2 Если, левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем: Таким образом, в этом случае уравнение решений не имеет; 3 Если, то, откуда получаем: Числа 670 и на три нацело не делятся, следовательно,, откуда и Последнее уравнение натуральных решений не имеет Ответ:, C6 Длины сторон прямоугольника натуральные числа, а его периметр равен 200 Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n такж е натуральное число а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника? б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника? в) Найдите все возмож ные значения, которые мож ет принимать площ адь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100 а) Так как периметр равен 200, то сумма смеж ных сторон прямоугольника равна 100 Известно, что наибольшее значение площ ади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом Таким образом, его стороны долж ны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой) Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500 б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В э том случае площ адь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площ адь равна 99 В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1 в) Пусть a это сторона, n% от которой равны другой стороне Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем: Так как a и n целые числа, то число кратно a Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа, меньшие 50 Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем каждый из этих сомножителей может быть в степени, не превосходящей 4

14 Возможны три случая: 1) Число a не делится на 5 Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, те a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или ) Число a делится на 5, но не делится на 25 Тогда оно мож ет быть равно 5, 10, 20 или 40 Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или ) Число a делится на 25 В этом случае оно может быть равно только 25 Тогда площадь равна 1875 Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400 C6 Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр Известно, что в театре мальчиков было не более числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более учащихся группы, посетивших кино от общ его от общего числа а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общ его числа учащ ихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б? а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков б) Предполож им, что мальчиков было 10 или больше Тогда девочек было 10 или меньше Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше, что больше Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку кино, что противоречит условию но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни В предыдущ ем пункте было показано, что в группе из 20 учащ ихся могло быть 9 мальчиков Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 9 в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы преж ней, а общ ая доля девочек стала бы меньше Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе мож но считать, что каж дый мальчик сходил или только в театр, или только в кино Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек Оценим долю девочек в этой группе Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится По условию значит, Тогда, поэтому доля девочек в группе: Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в

15 группе равна Ответ: а) да: б) 9; в) C6 Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 по одному записывают на 8 карточках Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каж дое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; 2); ( 2;1); ( 3;4); (4; 3); ( 5;7); (7; 5); ( 8;9); (9; 8) Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 C6 Дана последовательность натуральных чисел, причём каж дый следующ ий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз Сумма всех членов последовательности равна 257 а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности? б)какое наибольшее количество членов мож ет быть в э той последовательности? а) Последовательность не мож ет состоять из двух членов, так как уравнения x+(x+10)=257, x+6x=257 неразрешимы в целых числах Последовательность мож ет состоять из трёх членов, например, так: =257 б) Сумма двух соседних чисел равна минимум 7; поскольку 257=36\cdot 7+5, будет самое большее 36 пар и ещ е одно число Но сумма мож ет быть равна 7 только для пары 1+6, а если все пары такие, то добавить к ним число 5 нельзя А для остальных пар сумма равна минимум 12 Поэтому на самом деле 73 числа обеспечить нельзя, а 72 числа мож но в ситуации 1,6,1,6,1,6,,1,6,1,11 ( пара 1,6 повторяется 35 раз) О т в е т : а)3; б) 72 C6 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8 а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество полож ительных чисел мож ет быть среди них? Пусть среди написанных чисел полож ительных, отрицательных и нулей Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому а) Заметим, что в лувой части приведенного выше равенства каж дое слагаемое делится на 4, поэтому количество целых чисел делится на 4 По условию поэтому Таким образом, написано 44 числа б) Приведем неравенство к виду Так как получаем, что откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных в оценка ) Подставим в правую часть равенства откуда Так как получаем: то есть положительных чисел не более 17 в пример ) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 17 Пусть на доске 17 раз написано

16 число 4, 25 раз написано число 8 и два раза написан 0 Тогда указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи О т в е т : а) 44; б) отрицательных; в) 17 C6 Каждое из чисел 2, 3,, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14,, 21 и перед каждым из полученных произведении произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 1 Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна 2 Так как сумма оказалась нечетной, то чисто нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок: Ответ: 1 и 4131 C6 Перед каждым из чисел 3, 4, 5, 11 и 14, 15, 18 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каж дому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каж дое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму мож но получить в итоге? 1 Если все числа обоих наборов взяты с плюсами, то сумма максимальна и равна 2 Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из получены сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел: Ответ: 1 и 1035 C6 Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей На сколько нулей мож ет оканчиваться число N? Разложим N на простые множители: где p наибольший простой множ итель и нулями, то или или, наоборот, Оценим количество делителей k числа N:, Если запись числа N оканчивается n, при этом k делится на

17 1 случай Если k четное, то все делители разбиваются на пар вида так, что произведение делителей в каждой паре равно N Поэтому произведение всех делителей равно 2 случай Если k нечетное, то делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще один делитель И в этом случае тоже произведение всех делителей: Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается 798, и нулями, следовательно, При э том, откуда следует, что n делитель числа Выпишем все такие n: 1,2,3,6,7 Из равенства такж е следует, что 798 делится на Поэ тому возмож но только и Для каж дого из э тих n подберем настоящ ее N Ограничимся простыми множителями 2 и 5 Значит, нужно подобрать только и 1 2 3, ; ; Таким образом, для найдены ( и даж е не все) N, оканчивающ иеся n нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями Ответ: 1, 2, 6 C6 Найдите все простые числа b, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число а, что дробь мож но сократить на b Если целые числа и делятся на b, то целое число также делится на b Тогда число тоже делится на b Тогда число также делится на b Таким образом, искомое b простой делитель числа 56, то есть 2 или 7 Осталось проверить, для каких из найденных чисел мож но подобрать а Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби четные числа, поэ тому дробь мож но сократить на 2 Если а кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 7, поэтому дробь можно сократить на 7 Ответ: 2, 7

18 C6 Мож но ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Пусть количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит Заметим, что О т в е т : а) нет; б) нет; в) да C6 Бесконечная десятичная дробь устроена следующ им образом Перед десятичной запятой стоит нуль После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа p В результате получается рациональное число Найдите э то число Покажем, что p = 0,111 Действительно, пусть Предполож им, что наименьший период полученного рационального числа равен T Тогда Tk тож е период при любом натуральном k Пусть первый период начинается с некоторой по счету цифры, принадлеж ащ ей десятичной записи степени Возьмем период такой длины Tk, чтобы эта длина была больше, чем длина записи В записи числа цифр столько же, сколько в или на одну больше Аналогично, число длиннее, чем Цифры числа, что не более, чем на две цифры и так далее Значит, можно найти такую степень занимают весь период группу длиной Tk Тогда в записи следующего числа первые с Tk цифры тоже образуют период и должны повторять цифры числа Получается, что либо, либо, где какое-то однозначное число Последнее равенство невозможно, так как Следовательно, верно, откуда Десятичная дробь имеет вид Ответ: C6 В ряд выписаны числа:,,,, Меж ду ними произвольным образом расставляют знаки «+» и и находят получившуюся сумму Может ли такая сумма равняться: а) 12, если? б) 0, если? в) 0, если? г) 5, если? а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:

19 б) Среди выписанных 50 чисел 25 чётных и 25 нечётных Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0 в) Заметим, что Значит, между 8 квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться 0: При можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0 г) Как и в предыдущ ем пункте, расставим знаки меж ду 88 числами,,,, таким образом, чтобы их сумма равнялась 0 Перед сумма равна Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да поставим знак «+» При такой расстановке знаков C6 Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр Известно, что в театре мальчиков было не более числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более учащихся группы, посетивших кино от общ его от общего числа а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общ его числа учащ ихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б? а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков б) Предполож им, что мальчиков было 11 или больше Тогда девочек было 9 или меньше Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше, что больше Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку кино, что противоречит условию но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни В предыдущ ем пункте было показано, что в группе из 20 учащ ихся могло быть 10 мальчиков Значит, наибольшее количество мальчиков в группе 10 в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы преж ней, а общ ая доля девочек стала бы меньше Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе мож но считать, что каж дый мальчик сходил или только в театр, или только в кино Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и девочек Оценим долю девочек в этой группе Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится По условию значит, Тогда, поэтому доля девочек в группе:

20 Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна Ответ: а) да: б) 10; в) C6 Число таково, что для любого представления в виде суммы полож ительных слагаемых, каж дое из которых не превосходит 1, э ти слагаемые мож но разделить на две группы так, что каж дое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каж дой группе не превосходит 17 а) Может ли число быть равным 34? б) Может ли число быть больше? в) Найдите максимально возмож ное значение a) Рассмотрим разбиение числа 34 на 35 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 18 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть равным 34 б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 17, получаем Пусть Рассмотрим разбиение числа на 35 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окаж ется не менее 18 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть больше в) Докаж ем, что число удовлетворяет условию задачи Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: оставшихся слагаемых Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию: Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы Вторую группу составим из Пусть В этом случае и Поэтому, и Тогда Полученное противоречие доказывает, что Поэ тому сумма слагаемых во второй группе Таким образом, число удовлетворяет условию задачи В предыдущ ем пункте было

21 показано, что ни одно из чисел не удовлетворяет условию задачи, значит, максимально возможное значение это Ответ: а) нет; б) нет; в) C6 Найдите все простые числа p, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число k, что число p является общ им делителем чисел и Если число p является делителем числа, то оно является также и делителем числа Но если число p является общим делителем чисел и, то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа Аналогично получаем: 1) число p является общ им делителем чисел и, значит, p является делителем числа 2) число p является общим делителем чисел и, значит, p является делителем числа Число 60 имеет ровно три различных простых делителя 2, 3 и 5 Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых одно из чисел 2, 3 и 5 является общим делителем чисел и Если число k четное, то число 2 является общим делителем данных чисел Если число k кратно 3, то число 3 является общ им делителем данных чисел Если число, то число 5 является общим делителем данных чисел Ответ: 2, 3, 5 C6 Найдите все простые числа b, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число а, что дробь мож но сократить на b Если целые числа и делятся на b, то целое число также делится на b Тогда число ; ; тоже делится на b Тогда число

22 также делится на b Таким образом, искомое b простой делитель числа 80, то есть 2 или 5 Осталось проверить, для каких из найденных чисел мож но подобрать а Если а нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби четные числа, поэ тому дробь мож но сократить на 2 Если а кратно 5, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 5, поэтому дробь можно сократить на 5 Ответ: 2, 5 C6 Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 по одному записывают на 8 карточках Карточки переворачивают и перемешивают На их чистых сторонах заново пишут по одному каж дое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? а) Среди восьми данных чисел нет противополож ных Значит, сумма чисел на каж дой карточке не равна 0 Поэтому всё произведение не может равняться нулю б) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1 в) Среди восьми данных чисел пять нечётных Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каж дой из э тих карточек чётная Поэ тому всё произведение делится на 4 Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4 Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; 2); ( 2;1); ( 3;4); (4; 3); ( 5;7); (7; 5); ( 8;9); (9; 8) Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 C6 Бесконечная десятичная дробь устроена следующ им образом Перед десятичной запятой стоит нуль После запятой подряд выписаны члены возрастающ ей последовательности натуральных чисел В результате получилось рациональное число, которое выраж ается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100 Найдите наименьшее возмож ное значение Очевидно,, причем, только если и, то есть если десятичная дробь начинается: (четвертая цифра не 0) Заметим, что таким образом начинается, например, число Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи Для э того запишем сумму подробнее Получаем: В каждой строчке сумма геометрической прогрессии со знаменателем

23 Получается, что m рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа Ответ: 3 C6 Все члены геометрической прогрессии различные натуральные числа, заключенные меж ду числами 210 и 350 а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов? а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв и получим б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует Предполож им, такая последовательность есть Без ограничения общ ности она возрастает; пусть её знаменатель есть где и взаимно простые натуральные числа Тогда: Так как и взаимно просты, делится на а значит, откуда Так как, Поэтому Но целое, поэтому Отсюда что противоречит требованию задачи Ответ: а) да б) нет C6 Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общ его делителя Найдите э ти числа Сумма чисел кратна их наибольшему общ ему делителю, поэ тому их наибольший общ ий делитель является делителем числа 43, откуда следует, что он равен 1 Тогда наименьшее общ ее кратное этих чисел равно их произведению Обозначив искомые числа х и у, получаем систему решая которую, получаем числа 40 и 3 Ответ: 40 и 3 C6 На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел мож ет быть среди них? Пусть среди написанных чисел k полож ительных, l отрицательных и m нулей Сумма набора чисел

24 равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 7, поэ тому количество целых чисел делится на 7 По условию, поэ тому Таким образом, написано 49 чисел б) Приведём равенство к виду Так как, получаем, что, откуда Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных в) (оценка) Подставим в правую часть равенства, откуда Так как, получаем:,,, ; то есть отрицательных чисел не более 22 в) (пример) Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22 Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число и два раза написан 0 Тогда Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22, удовлетворяет всем условиям задачи C6 Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9? Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11 Запишем все цифры подряд: В написанном числе указанная ра зность сумм равна 5 Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3 Значит, разность меж ду суммами его цифр, стоящ их на нечетных и на четных местах, становится равной 11 Меняя местами, например, 1 и 4 или 3 и 6, получаем требуемые примеры Примечание: в задаче не требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством Ответ: найдутся C6 В ряд выписаны числа:,,,, Меж ду ними произвольным образом расставляют знаки «+» и и находят получившуюся сумму Может ли такая сумма равняться: а) -4, если? б) 0, если? в) 0, если? г) -3, если? а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма: б) Среди выписанных 49 чисел 24 чётных и 25 нечётных Поэтому любая сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться 0 в) Заметим, что Значит, между 8 квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться 0: При можно разбить все данные числа на группы по 8 чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна 0, а значит, и сумма всех чисел равна 0

25 г) Как и в предыдущ ем пункте, расставим знаки меж ду 88 числами,,,, таким образом, чтобы их сумма равнялась 0 Перед поставим знак «-» При такой расстановке знаков сумма равна Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да C6 Каждое из чисел 5, 6,, 9 умножают на каждое из чисел 12, 13,, 17 и перед каждым произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму мож но получить в итоге? 1 Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма наибольшая и она равна 2 Так как сумма нечетная, число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем э то свойство суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого Поэ тому любая из получающ ихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0 3 Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведения, которая получится при раскрытии следующих скобок Ответ: 1 и 3045 C6 На доске написано число 8 Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две третье и т д) а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 72? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832? а) Заметим, что каж дое число на доске будет делиться на 8 Действительно, исходное число делится на 8, в случае удвоения числа делящегося на 8, получится число, делящееся на 8 А при слож ении чисел, делящ ихся на 8, такж е получится число, делящ ееся на 8 Таким образом, все числа на доске будут делиться на 8, а 2012 на 8 не делится, следовательно, оно не мож ет появиться на доске б) Может Пример: 8, 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8), 16 (удвоенное число 8) Сумма полученных 5 чисел равна 72 Замечание В условии не сказано, что одно число нельзя удваивать несколько раз в) Как было замечено в пункте а, все числа на доске будут делиться на 8 Рассмотрим аналогичную задачу, разделив исходное число 8 и то число, которое нуж но получить, те 832, на 8 От э того количество операций не изменится Таким образом, достаточно за наименьшее количество операций получить число 104, начав с числа 1 Заметим, что наибольшее число, которое мож ет получиться на доске через 6 минут, равно 64 (если Вася каж дый раз будет удваивать текущ ее наибольшее число) Следовательно, если в первые 6 минут Вася каж дый раз удваивал наибольшее число на доске, то число 104 нельзя получить за 7 минут: если число 64 удвоить, то получится 128, а если прибавить к нему число, не превосходящее 32, то 104 не получится В том случае, если в течение первых 6 минут Вася использовал хотя бы одно слож ение вместо удвоения, то при первом использовании слож ения наибольшее число, записанное на доске увеличилось не более, чем в полтора раза: действительно, в э том случае самый большой результат получится тогда, когда мы к максимальному на данный момент числу прибавим второе по величине, то есть, его половину (напомним, что мы рассматриваем первый случай слож ения, то есть до э того были только удвоения) Таким образом, даж е если в течение первых 7 минут сделано 6 удвоений и одно слож ение (в некотором порядке), то наибольшее число, которое может получиться, равно, что меньше 104 Итак, за 7 минут число 104 получить невозможно Приведем пример, как его получить за 8 минут: 1 1, 2 1, 2, 4 1, 2, 4, 8 1,2, 4, 8, 16 1, 2, 4, 8, 16, 32 1,2,4,8,16,32,64 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 96, 104

26 О т в е т : а) нет; б) да; в) 8 минут C6 Среди обыкновенных дробей с полож ительными знаменателями, располож енных меж ду числами и, найдите такую, знаменатель которой минимален Так как и, то достаточно найти правильную дробь с наименьшим знаменателем, леж ащ ую меж ду числами а затем прибавить к ней число 2 и, Среди дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как,,,,,,, Для знаменателя 7 получаем, т е Ответ: C6 Число таково, что для любого представления в виде суммы полож ительных слагаемых, каж дое из которых не превосходит 1, э ти слагаемые мож но разделить на две группы так, что каж дое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каж дой группе не превосходит 19 а) Может ли число быть равным 38? б) Может ли число быть больше? в) Найдите максимально возмож ное значение a) Рассмотрим разбиение числа 38 на 39 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть равным 38 б) Поскольку является суммой двух чисел, не больших 19, получаем Пусть Рассмотрим разбиение числа на 39 слагаемых, равных При разделении э тих слагаемых на две группы в одной из них окаж ется не менее 20 чисел, сумма которых равна Значит, не может быть больше в) Докаж ем, что число удовлетворяет условию задачи Рассмотрим произвольное представление в виде суммы положительных слагаемых, не превосходящих 1: Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию:

27 Первую группу составим из небольших слагаемых так, чтобы Вторую группу составим из оставшихся слагаемых Пусть В этом случае и Тогда Полученное противоречие доказывает, что группе Таким образом, число показано, что ни одно из чисел максимально возможное значение это 37,05 Ответ: а) нет; б) нет; в) 37,05 Поэ тому, и Поэ тому сумма слагаемых во второй удовлетворяет условию задачи В предыдущ ем пункте было не удовлетворяет условию задачи, значит, C6 Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению, где 1 Так как, то и 2 Пусть, тогда, откуда и 3 Пусть, тогда, откуда и 4 Далее конечным перебором значений, находим все решения: n k нет решений 3 1 нет решений 2 3 нет решений 2 2 нет решений нет решений нет решений Ответ: C6 Найдите все простые числа b, для каж дого из которых сущ ествует такое целое число a, что дробь сократима на b Если целые числа и делятся на b, то целое число также делится на b Тогда число m тоже делится на b Тогда число

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Задача 21 на ЕГЭ по математике

Задача 21 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задача 21 на ЕГЭ по математике Здесь приведены задачи 21 (в прошлом С6), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО

Подробнее

сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013

сайт Шпаргалка ЕГЭ Подготовка к ЕГЭ 2013 24.05.2013 B1 Исполнитель КАЛЬКУЛЯТОР имеет только две команды, которым присвоены номера: 1. Прибавь 1 2. Выполняя команду номер 1, КАЛЬКУЛЯТОР прибавляет к числу на экране 1, а выполняя команду номер 2, умнож ает

Подробнее

Простые и составные числа

Простые и составные числа А. Шень Простые и составные числа 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170 225 184 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 169 224 185 134 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 121 168 223

Подробнее

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Математический факультет Кафедра алгебры

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Делимость. 1

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Делимость. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Делимость. 1 Говоря о делимости, мы имеем в виду целые числа. Определение. Число a делится на число b, если существует такое число c, что a = bc. При этом

Подробнее

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства:

Оформление решения рационального неравенства следующее: xx x x x x. Итак: план решения рационального неравенства: РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ. I) х - 5> линейное неравенство. Решаем методом переноса: х>5, т.е. х>5, и т.д. II) х > можно решить перебором чисел. III) Более сложные неравенства (квадратные, дробные,

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 С6.

Решения и критерии оценивания выполнения заданий С1 С6. Решения и критерии оценивания выполнения заданий С С6. Вариант С. Дано уравнение os + sin=. а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку ;. os sin + = os sin

Подробнее

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 - ЗИМНИЙ ТУР 2014 г. ВТОРОЙ КЛАСС

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 - ЗИМНИЙ ТУР 2014 г. ВТОРОЙ КЛАСС МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 - ЗИМНИЙ ТУР 2014 г. ВТОРОЙ КЛАСС Задача 1. Какое число пропущено? 40 +? = 30 + 10 А) 0 Б) 10 В) 20 Задача 2. Отрезок длины 7 м: А) длиннее отрезка 70 дм Б) короче отрезка 10

Подробнее

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА ЛЕКЦИЯ 15 ПОЛЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА 1 ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ Пример 1. Числовые поля Q, R, C являются основными примерами полей для нас. Пример

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

делится, не делится остатка на число 12. Значит, число 12

делится, не делится остатка на число 12. Значит, число 12 1. Делители 3 1. ДЕЛИТЕЛИ Задания Напиши, является ли число: 1. а) 12 делителем числа 60; б) 13 делителем числа 60; в) 15 делителем числа 60. 2. а) 1,2 делителем числа 48; б) 2 делителем числа 4,8; в)

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Каждая задача оценивается из 7 баллов. Далее, по степени решённости

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

A в системе счисления с основанием p вычисляется

A в системе счисления с основанием p вычисляется Сомножитель Год 20 Задача. Младший разряд некоторого числа в системе счисления с основанием 2 равен. Младший разряд этого же числа в системе счисления с основанием 3 равен 2. Перечислить через пробел в

Подробнее

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Допуск Выполнение Отчет

Допуск Выполнение Отчет Л. Р. «Разветвляющиеся вычислительные процессы» Студент Иванов И. И. Группа ХХ-999 Дата дд.мм.гг Допуск Выполнение Отчет Условие задачи 1 Ввести число x, выяснить что больше: целая часть числа x, или его

Подробнее

24. p-адические числа

24. p-адические числа 24. p-адические числа На этой лекции мы разберем важные примеры пространств, свойства которых в некотором отношении противоположны свойствам R и прочих связных пространств. Определение 24.1. Топологическое

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

25 апреля 2015г. 2) Упростить выражение:

25 апреля 2015г. 2) Упростить выражение: 25 апреля 2015г. Решения 1) На двух взаимно перпендикулярных диаметрах окружности, радиус которой равен 2 см, построен прямоугольник ABCD, причем AD = 1,5 см. Определить диагональ BD. Решение: Т.к. ABCD

Подробнее

УЧИМСЯ СЧИТАТЬ БЫСТРО:

УЧИМСЯ СЧИТАТЬ БЫСТРО: Г. И. Просветов УЧИМСЯ СЧИТАТЬ БЫСТРО: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Учебно-практическое пособие Москва Альфа-Пресс 2008 УДК 51(07) ББК 22.1 П 82 ПРЕДИСЛОВИЕ Нетрудно свести лошадь к воде. Но если Вы заставите плавать

Подробнее

Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.)

Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.) Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.) п/п Тема урока Кол-во часов Характеристика деятельности учащихся Дата проведения Числа от до 0.(5ч) 5 Действия сложения

Подробнее

= 22 1 2 2 +1 2 4 +1 2 8 +1 2 16 +1 2 32 +1

= 22 1 2 2 +1 2 4 +1 2 8 +1 2 16 +1 2 32 +1 0 класс 6. Дана функция F x = x + + 5. Вычислить значение этой функции в точке x = + + 4 + 8 + 6 + 3 + Преобразуем выражение для x: + + 4 + 8 + 6 + 3 + = + 4 + 8 + 6 + 3 + 4 4 + 8 + 6 + 3 + = = 64. = 6

Подробнее

Заключительный этап Олимпиады 69 из Перечня на 2013 2014 учебный год Конкурс по математике лист 1 из 6

Заключительный этап Олимпиады 69 из Перечня на 2013 2014 учебный год Конкурс по математике лист 1 из 6 Конкурс по математике лист 1 из 6 Задача 1. Лена записала на доске два двузначных числа без общих делителей, больших единицы, а Юра выписал в тетрадку все числа, на которые делится хотя бы одно из лениных

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры и геометрии НОРМАЛЬНАЯ ЖОРДАНОВА ФОРМА Методические указания для практических занятий

Подробнее

Работа с калькулятором

Работа с калькулятором 2010 год Работа с калькулятором Самоучитель Учебник позволяет освоить работу с простым калькулятором Windows самостоятельно. В нём изложена методика и упражнения, выполняя которые приобретается твёрдый

Подробнее

Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/2014 год

Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/2014 год Задачи 1 тура, 5 класс все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры? 2. На круглом торте стоит 6 свечей. Тремя разрезами

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209),

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209), 7 КЛАСС 1. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение HOK(x, y) = HOK(201, 209), где HOK - наименьшее общее кратное двух чисел? Ответ: 81. 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6,

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 Задача 1 4 1 = 9 2 а) 1 18 б) 3 в) 3 7 7 г) 1 18 Задача 2 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 до десятых? 7 а) 1, 6 б) 1, 7 в) 1, 8 г) 1, 9 Задача 3 10

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Задача 1. Семизначное число

Задача 1. Семизначное число Всероссийская олимпиада школьников по информатике, 2014-15 уч. год Первый (школьный) этап, г. Москва Разбор заданий для 7-8 классов Каждая задача оценивается в 10 баллов. Итоговый балл выставляется как

Подробнее

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

Лекция 7: Прямая на плоскости

Лекция 7: Прямая на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта и следующие две лекции посвящены изучению прямых и плоскостей.

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Error! Reference source not found. 1

Error! Reference source not found. 1 Error! Reference source not found. 1 2 Электронная физико-техническая школа Решебник для 6-7 класса 1 Первая часть задания Задача 1: Автобус 43 имеет круговой маршрут. На некоторой остановке эти автобусы

Подробнее

Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения Звездочкой помечены задачи повышенного уровня сложности. Команда пересылки 1. Даны две переменных а (тип integer) и b (тип byte). Присвоить b значение а. Вывести на

Подробнее

a = p 1p 2, b = p 1p 3

a = p 1p 2, b = p 1p 3 9.1. Известно, что ни одно из чисел a, b, c не является целым. Может ли случиться так, что каждое из чисел ab, bc, ca, abc целое? Ответ. Может. Решение. Например, выберем три различных простых числа p

Подробнее

Ответ: 2. Возможны и другие правильные результаты, с точностью до поворота кубика.

Ответ: 2. Возможны и другие правильные результаты, с точностью до поворота кубика. Ответы и решения (сокращенные) задач II математической олимпиады Уникум (г.липецк, 29 мая 2011г.) (во многих задачах возможны и другие способы решения, решения должны сопровождаться необходимыми пояснениями)

Подробнее

Ввести двумерный массив 3 4. Определить среднее геометрическое положительных чётных элементов, считая, что они в нём есть.

Ввести двумерный массив 3 4. Определить среднее геометрическое положительных чётных элементов, считая, что они в нём есть. Л. Р. «Двумерные массивы» Студент Иванов И. И. Группа ХХ-999 Дата дд.мм.гг Допуск Выполнение Отчет Условие задачи 1 A Ввести двумерный массив 3 4. Определить среднее геометрическое положительных чётных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОБЩЕГО ПОТОКА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ЛЕКТОР ПРОФ ЧИРСКИЙ

Подробнее

1. а-г (3 балла 2 балла 1 балл) д-е (4 балла 2 балла 1 балл) ж (2 балла 1 балл 0 баллов) Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным

1. а-г (3 балла 2 балла 1 балл) д-е (4 балла 2 балла 1 балл) ж (2 балла 1 балл 0 баллов) Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным Весенний тур XX Турнира Архимеда. г. класс.. а-г ( балла балла балл) д-е (4 балла балла балл) ж ( балла балл баллов) Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным а) б) Переложите две спички

Подробнее

2 Решение. Проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ-2015 по математике. Базовый уровень. Решение. Ответ: 2, 6 5. или. Ответ: 3, 2. или.

2 Решение. Проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ-2015 по математике. Базовый уровень. Решение. Ответ: 2, 6 5. или. Ответ: 3, 2. или. 1 Проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ-2015 по математике. Базовый уровень. 2, 6 5 3, 2 1, 1 2 4 0 5 4 1 3 1 7 4 0 0 0 Если 25 выпускников это треть от всего числа выпускников, то всех выпускников

Подробнее

Представление числовой информации в ЭВМ. Лекция 3

Представление числовой информации в ЭВМ. Лекция 3 Представление числовой информации в ЭВМ Лекция 3 Представление числовой информации в ЭВМ Память компьютера, отводимую для хранения числа или другого элемента данных в числовом коде, удобно описать моделью

Подробнее

ЗАДАЧИ О БАНКОВСКИХ ВКЛАДАХ И КРЕДИТАХ

ЗАДАЧИ О БАНКОВСКИХ ВКЛАДАХ И КРЕДИТАХ ЗАДАЧИ О БАНКОВСКИХ ВКЛАДАХ И КРЕДИТАХ Гилемханов Р Г, Москва Среди задач с экономическим содержанием о банковских вкладах и кредитах часто встречаются задачи следующих двух типов Задача 1 Клиент в банке

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. А. Ю. Эвнин

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. А. Ю. Эвнин 2008 Математика в высшем образовании 6 УДК 511(07 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ А Ю Эвнин Южно-Уральский государственный университет,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

Лекция 9: Прямая в пространстве

Лекция 9: Прямая в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению прямой в пространстве. Излагаемый

Подробнее

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЛАВА II АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 4. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ Общепринятая система записи чисел позволяет любое число представить с помощью десяти различных цифр: 0, 1, 2, 3,

Подробнее

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2014/15 г. Решения задач 1 тура

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2014/15 г. Решения задач 1 тура Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2014/15 г. Решения задач 1 тура 5 класс 1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений.

Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 146 Системы логических уравнений. Путилов Виктор Васильевич МАОУ СОШ 46 Системы логических уравнений. Оглавление Замечание о замене переменных.... Задачи содержащие импликацию или ее эквивалентную запись....2 Наличие дополнительного условия...6

Подробнее

Математика. 10 класс. Демонстрационный вариант 1. Итоговая работа. 10 класс. базовый уровень. Демонстрационный вариант

Математика. 10 класс. Демонстрационный вариант 1. Итоговая работа. 10 класс. базовый уровень. Демонстрационный вариант Математика. 0 класс. Демонстрационный вариант Итоговая работа по МАТЕМАТИКЕ 0 класс базовый уровень Демонстрационный вариант Инструкция по выполнению работы На выполнение итоговой работы по математике

Подробнее

Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа Топология, лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа Миша Вербицкий 6 апреля, 2008 матфак ВШЭ 1 Метрические пространства Определение: Пусть M - множество. Метрикой на M называется функция d : M

Подробнее

Представление чисел в ЭВМ

Представление чисел в ЭВМ А. А. Вылиток Представление чисел в ЭВМ 1. Информация и данные Информация (от лат. information разъяснение, изложение) содержание (смысл) сообщения или сигнала, сведения, рассматриваемые в процессе их

Подробнее

приращений 30, т.е. 11, 13(11+2), 17(13+4), 19(17+2), 23(19+4), 29(23+6), 31(29+2), 37(31+6), 41(37+4), 43(41=2), 47(43=4), 49(47=2), 53(49=4) и т. д.

приращений 30, т.е. 11, 13(11+2), 17(13+4), 19(17+2), 23(19+4), 29(23+6), 31(29+2), 37(31+6), 41(37+4), 43(41=2), 47(43=4), 49(47=2), 53(49=4) и т. д. Ритмика простых чисел. Один из способов поиска простых чисел Распопов В.З., ВНИИЭФ, г. Саров Анализируя последовательный возрастающий ряд целых чисел можно заметить, что начиная с простого числа 11 все

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равна 011. Сколько корней имеет уравнение ax + bx + 4c = 0? Ответ:

Подробнее

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 00 года по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 00 года разработан по заданию Федеральной службы по

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса: Решить транспортную задачу методом потенциалов поставщик потребитель B B2 B B запасы груза A 8 A2 6 6 A 6 2 потребность 7 7 Сведём данные задачи в стандартную таблицу: A\B 7 7 8 6 6 6 2 Решение транспортной

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Одномерные и двумерные массивы

Одномерные и двумерные массивы Одномерные и двумерные массивы Вариант 1 1. Дан массив целых чисел (n = 15), заполненный случайным образом числами из [-20, 50]. Удалить из него все элементы, в которых есть цифра 5. Вставить число k после

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Переполнение разрядной сетки

1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Переполнение разрядной сетки Конспекты лекций по курсу «Введение в информатику и системы программирования», 1 семестр С.А. Немнюгин, направление «Прикладные математика и физика») 1 Лекция 9 Архитектура ЭВМ Форматы хранения данных.

Подробнее

Системы тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Решение уравнения с одним неизвестным

Решение уравнения с одним неизвестным 1 Решение уравнения с одним неизвестным Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x * называется корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x=x * в уравнение

Подробнее

Тема: Системы счисления Алгоритм перевода целой части из десятичной системы счисления в другую целой части числа 18 202 2619 121

Тема: Системы счисления Алгоритм перевода целой части из десятичной системы счисления в другую целой части числа 18 202 2619 121 Лабораторная работа Тема: Системы счисления Алгоритм перевода целой части из десятичной системы счисления в другую Для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение.

7 класс 7.1. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.2. Ответ: Решение. Критерии проверки: 7.3. Ответ: Решение. 7 класс 7.1. Запишите несколько раз подряд число 013 так, чтобы получившееся число делилось на 9. Ответ объясните. Ответ: например, 013013013. Решение. Приведем несколько способов обоснования. Первый способ.

Подробнее

Умеете ли Вы правильно округлять?

Умеете ли Вы правильно округлять? Умеете ли Вы правильно округлять? Митин И.В. При проведении экспериментальных исследований результат измерения физической величины х обычно принято записывать в виде: x xˆ x, (1) где xˆ - оценка истинного

Подробнее

7.3. Разносторонний треугольник поделѐн на две части некоторой прямой. Докажите, что эти части не могут быть равными фигурами.

7.3. Разносторонний треугольник поделѐн на две части некоторой прямой. Докажите, что эти части не могут быть равными фигурами. Всесибирская открытая олимпиада школьников по математике 014-15 г.г. Второй этап 15 декабря 014 г. - 5 января 015 г. 7 класс 7.1. В булочной есть пирожки с двумя начинками (яблочной и вишнѐвой) и двух

Подробнее

. Выполняем проверку: 2 3 2 + 2 3 1 + 1 3 0 = 18 + 6 + 1 = 25.

. Выполняем проверку: 2 3 2 + 2 3 1 + 1 3 0 = 18 + 6 + 1 = 25. Системы счисления и их использование Известно, что: Существует теорема о том, что любое натуральное число можно записать в любой системе счисления единственным образом. 1 Преобразование десятичного числа

Подробнее

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ

КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 20 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- СТАВЛЕНИЙ СУММА КВАДРАТОВ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕРЫ 1 КОЛИЧЕСТВО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Лемма 1. Пусть Γ центральная функция на конечной группе G, φ : G GL (V ) неприводимое

Подробнее

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР

ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР ЛЕКЦИЯ 2 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУП- ПЫ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА И СЛЕДСТВИЯ ЦЕНТР И ЦЕНТРАЛИЗАТОР 1 ПОРЯДОК ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ

Подробнее