dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от hp://www.neva.ru/journal Теория обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Е.В.Кукушкина Россия, , Екатеринбург, пр.ленина, д.51, Уральский государственный университет им.а.м.горького, Кафедра теоретической механики, Аннотация. В работе для линейных нестационарных систем функциональноразностных уравнений установлены условия существования и единственности решений начальной задачи Коши в пространстве непрерывных функций. Получена формула, дающая аналитическое представление общего решения изучаемой системы функционально-разностных уравнений. Рассмотрены методы нахождения указанного представления. Полученные результаты иллюстрируются примерами.

2 1 Введение Рассматривается линейная неоднородная система функциональноразностных уравнений x () = d ϑ η (, ϑ) x ( + ϑ) + h (), (1) где x : R R n ; h C (R, R n ); матричная функция η (, ) при каждом фиксированном R имеет ограниченную вариацию на отрезке [, 0], η (, 0) = 0. Для указанной системы изучается начальная задача Коши в пространстве непрерывных функций. Пусть начальный момент R и начальная функция ϕ C ([ r, ], R n ). Функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши, если x () = ϕ () при [ r, ] и для нее равенство (1) выполняется тождественно на полуоси (, + ). Для существования непрерывного решения начальной задачи Коши необходимо, чтобы выполнялось условие согласования ϕ ( ) = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) + h ( ). (2) Условие (2) при заданной функции h накладывает ограничения на выбор начальной функции ϕ. Функционально-разностное уравнение обобщает понятие разностного уравнения с непрерывным временем также как функциональнодифференциальное уравнение обобщает понятие дифференциальноразностного уравнения. В работе для линейных нестационарных систем функционально-разностных уравнений установлены условия существования и единственности решений начальной задачи Коши в пространстве непрерывных функций. Получена формула, дающая аналитическое представление общего решения изучаемой системы функционально-разностных уравнений. Рассмотрены методы нахождения указанного представления. Полученные результаты иллюстрируются примерами. Указанный круг вопросов исследовался для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений [1]-[4]. Для линейных систем разностных уравнений с непрерывным временем рассматриваемые проблемы изучались в работах [5]-[7]. Специальные решения линейных разностных уравнений с непрерывным временем построены в работе [8]. Для Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 2

3 линейных систем разностных уравнений с дискретным временем решения рассматриваемых проблем изложены в работах [9],[10]. Для линейных стационарных систем функционально-разностных уравнений указанный круг вопросов исследовался в работе [11]. 2 Существование и единственность решения начальной задачи Коши Пусть функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши для начального момента R и начальной функции ϕ C ([ r, ], R n ) системы функционально-разностных уравнений (1) с функцией h C ([, + ), R n ). Введем следующие обозначения: x () = x () ϕ ( ),, ϕ (s) = ϕ (s) ϕ ( ), s [ r, ], h () = h () h ( ),. Тогда x C 0 ([, + ), R n ) = { x : x C ([, + ), R n ), x ( ) = 0}, ϕ C 0 ([ r, ], R n ) = { ϕ : ϕ C ([ r, ], R n ), ϕ ( ) = 0}, } h C0 ([, + ), R n ) = { h : h C ([0, + ), R n ), h (0 ) = 0. Утверждение 2.1. Для заданного начального момента R, начальной функции ϕ C ([ r, ], R n ) и функции h C ([, + ), R n ) функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши системы функционально-разностных уравнений (1) тогда и только тогда, когда функция x C 0 ([, + ), R n ) является решением уравнения x () = (D x) () + (H ϕ) () + (H 0 ϕ ( )) () + h (),. (1) Здесь оператор D определяется формулами: { (D x) () = 0 d s η (, s ) x (s), + r, d sη (, s ) x (s), > + r, оператор H определяется формулами: (2) { (H ϕ) () = d sη (, s ) ϕ (s) d sη (, s ) ϕ (s), + r, d sη (, s ) ϕ (s), > + r, (3) оператор H 0 определяется формулой: (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ),. (4) Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 3

4 Доказательство. После преобразования системы уравнений (1) и условия согласования (2) при + r находим x () = h () при > + r x () = d s η (, s ) ϕ (s) + (η (, ) η (, )) ϕ ( ) + d s η (, s ) x (s) + d ϑ η (, s ) x (s) d s η (, s ) ϕ (s), d s η (, s ) ϕ (s) + + (η (, ) η (, )) ϕ ( ) + h (). Следовательно, системе (1) можно поставить в соответствие уравнение (1), где оператор D определяется формулами (2), оператор H определяется формулами (3), а оператор H 0 формулой (4). Утверждение доказано. Для любого > 0 рассмотрим сужение уравнения (1) на отрезок [, + ]. Имеем x () = (D x) () + (H ϕ) () + (H 0 ϕ ( )) () + h (), [, + ]. (5) Для сужения функций x и h на отрезок [, + ] оставляем те же обозначения, полагая что h C 0 ([, + ], R n ), x C 0 ([, + ], R n ). Здесь при r (H ϕ) () = (D x) () = d s η (, s ) ϕ (s) d s η (, s ) x (s), +, (6) d s η (, s ) ϕ (s), +, (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +, а при > r { (D x) () = 0 d s η (, s ) x (s), + r, d sη (, s ) x (s), + r < +, { (H ϕ) () = d sη (, s ) ϕ (s) d sη (, s ) ϕ (s), + r, d sη (, s ) ϕ (s), + r < +, (H 0 ϕ 0 ) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 4

5 Продолжим функцию η по второму аргументу на всю числовую ось, полагая: η (, s) = 0 при s 0 и η (, s) = η (, ) при s, R. Тогда значения операторов D, H и H 0 при любом > 0 можно определить формулами: (H ϕ) () = (D x) () = d s η (, s ) ϕ (s) d s η (, s ) x (s), +, d s η (, s ) ϕ (s), +, (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия: 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси. Тогда D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Доказательство. Рассмотрим функции x AC 0 ([, + ], R n ), где AC 0 ([, + ], R n ) = { x : x AC ([, + ], R n ), x ( ) = 0}. Преобразуем формулы, определяющие значения оператора D : (D x) () = d s η (, s ) x (s) = + + d s η (, s ) x (s) = = η (, s ) x (s) + η (, s ) x (s) ds = = η (, s ) x (s) ds, +. Определим значения оператора D следующими формулами: ( +r D y) () = η (, s ) y (s) ds, [, + ], y L 1 ([, + ], R n ). Для произвольной функции x AC 0 ([, + ], R n ) функция D x C 0 ([, + ], R n ) тогда и только тогда, когда функция D y C 0 ([, + ], R n ) для функции y L 1 ([, + ], R n ), y (s) = x (s), s [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 5

6 Докажем, что оператор D : L 1 ([, + ], R n ) C ([, + ], R n ) и является непрерывным. Для оператора D выполнены условия: А) vrai sup η (, s ) <, s, [, + ] В) функция η (, s ) ds непрерывна при любом τ [, + ] на отрезке [, + ]. Действительно, по определению вариации var η (, z) z [,0] η (, ) η (, z) + η (, z) η (, 0) 2 η (, z) η (, ). Тогда, η (, z) 1 2 var η (, z) + 1 z [,0] 2 η (, ). Функции var η (, z) z [,0] и η (, ) ограничены по условию 1) леммы 2.1 на [, + ]. Тогда sup [, + ],z [,0] vrai sup [, + ],s [, +r] η (, z) <. Имеем vrai sup,s [, + ] η (, z) η (, s ) = vrai sup [, + ],z [, +r] η (, s ) vrai sup η (, z) <. Справедливость условия А) доказана. Для [, + ],z [,0] любого τ R имеем η (, s ) ds = η (, s ) ds η (, s ) ds при [, + ]. Следовательно, в силу условия 2) леммы 2.1 условие В) для оператора D выполняется. Условия А) и В) гарантируют, что оператор D : L 1 ([, + ], R n ) C ([, + ], R n ) и является непрерывным ([12], с.100). Докажем теперь, что оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Для произвольного [, + ] введем оператор D : C 0 ([, + ], R n ) R n с помощью формулы D x = (D x) (). Однопараметрическое семейство операторов D, [, + ], удовлетворяет условиям: C) для любого элемента x AC 0 ([, + ], R n ) функция D x аргумента непрерывна на [, + ], D) для любого элемента x C 0 ([, + ], R n ) функция D x аргумента ограничена на [, + ]. ( Действительно, имеет место равенство D x = D y) () при [, + ], y () = x (), x AC 0 ([, + ( ], R n ). Справедливость условия C) следует из непрерывности функции D y) () на отрезке [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 6

7 Справедливость условия D) следует из неправенств sup D x sup [, + ] sup var [, + ] s [,] var [, + ] z [,0] η (, z) max η (, s ) max s [, + ] s [, + ] x (s). x (s) Условия C) и D) гарантируют, что оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) ([13], с. 73). Лемма доказана. Следствие 2.1. При выполнении условий леммы 2.1 оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) непрерывен. Доказательство. Имеем D sup var [, + ] s [,] Следствие доказано. sup [, + ] z [,0] sup η (, s ) = sup var var [, + ] z [,0] Лемма 2.2. Пусть выполнены условия: var [, + ] z [,0] η (, z), 0 < r, η (, z), > r. η (, z) 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, 3) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси. Тогда H : C 0 ([ r, ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) и H 0 : R n C 0 ([, + ], R n ). Доказательство. Справедливость утверждения леммы для оператора H 0 следует из условия 2). Для доказательства утверждения леммы об операторе H достаточно показать, что оператор ( H ϕ) () = d s η (, s ) ϕ (s) = d s η (, s ) ϕ (s), +, удовлетворяет условию H : C 0 ([ r, ], R n ) C ([, + ], R n ). Доказательство последнего утверждения проводится по схеме, используемой при доказательстве леммы 2.1. Для произвольной функции ϕ AC 0 ([ r, ], R n ), где AC 0 ([ r, ], R n ) = Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 7

8 { ϕ : ϕ AC ([ r, ], R n ), ϕ ( ) = 0}, имеем ( H ϕ) () = η (, ) ϕ ( r) η (, s ) ϕ (s) ds, +. Учитывая условия 2) и 3) леммы устанавливаем, что H : AC 0 ([ r, ], R n ) C ([, + ], R n ). Можно показать, что для однопараметрического семейства операторов H : C 0 ([ r, ], R n ) R n, [, + ], определяемых формулами: H ϕ = (H ϕ) (), [, + ], ϕ C 0 ([ r, ], R n ), выполняются условия теоремы [13]. Следовательно, утверждение леммы доказано. Следствие 2.2. При выполнении условий леммы 2.2 операторы H : C 0 ([ r, ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) и H 0 : R n C 0 ([, + ], R n ) непрерывны. Действительно, для нормы оператора H справедлива оценка: H = sup sup [, + ] z [, ] var [, + ] s [, ] var η (, z) + var η (, s ) + var z [,0] η (, z) 2 sup η (, s ) = s [, ] var [, + ] z [,0] Для нормы оператора H 0 справедлива оценка H 0 2 max [, + ] η (, z). На основании утверждения, лемм и следствий доказана теорема. η (, ). Теорема 2.1. Пусть h C ([, + ), R n ), ϕ C ([ r, ], R n ), выполнено условие согласования (2) и 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, 3) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси, 4) var η (, z) 0 при 0 равномерно по на любом конечном z [,0] отрезке числовой оси. Тогда начальная задача Коши для уравнения (1) имеет единственное непрерывное решение. Следствие 2.3. При выполнении условий теоремы 2.1. для любого > 0 существует линейный непрерывный вольтерровый по Тихонову оператор (I D ) 1 : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Пример 2.1. Рассмотрим скалярное разностное уравнение с непрерывным временем Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 8

9 x () = sign (sin (π)) x ( 1), где sign (a) = 1, a > 0; sign (a) = 0, a = 0, sign (a) = 1, a < 0. { 0, 1 < ϑ 0, Здесь r = 1, η (, ϑ) = Функция η (, 1) = sign (sin (π)), ϑ = 1. sign sin (π) имеет разрывы первого рода для целых значений. Поэтому условие 2) теоремы 2.1 нарушено. Построим решение начальной задачи Коши для начального момента = 0 и произвольной непрерывной начальной функции ϕ на отрезке [ 1, 0], удовлетворяющей условию ϕ (0) = 0. Используя метод шагов, имеем при (0, 1] x 1 () = sign (sin (π)) ϕ ( 1) = ϕ ( 1); при (1, 2] x 2 () = sign (sin (π)) x 1 ( 1) = ϕ ( 2); при (n 1, n], n > 2, x n () = sign (sin (π)) x n 1 ( 1) = ( 1) n 1 ϕ ( n). Построенное решение имеет разрывы первого рода в точках N 0 (N множество натуральных чисел), если ϕ ( 1) 0. Пример 2.2. Рассмотрим систему функционально-разностных уравнений x () = Ax ([ 1]), где A постоянная матрица размерности n n, de A 0, [a] целая часть числа a. { 0, ϑ ( 1 {}, 0], Здесь r = 2, η (, ϑ) = R, {} A1 ( ϑ), ϑ [ 2, 1 {}], дробная часть числа, 1 ( ) функция Хевисайда. Покажем, что условие 3) теоремы 2.1 не выполняется на отрезке [0, 2] при τ = 0, т.е. отображение 2 η (, s ) ds не является непрерывным на отрезке [0, 2]. Находим 2 Таким образом, при = 1 функция рода. η (, s ) ds = A ({} 1), [0, 2]. 2 η (, s ) ds имеет разрыв первого Запишем решение начальной задачи Коши для начального момента = 0 и начальной функции ϕ C ([ 2, 0], R n ), удовлетворяющей условию согласования ϕ (0) = Aϕ ( 1). Имеем x () = A []+1 ϕ ( 1), > 0. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 9

10 Построенное решение имеет разрывы первого рода в точках N (N множество натуральных чисел), если Aϕ ( 1) ϕ ( 1). 3 Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений При выполнении условий теоремы 2.1 решение уравнения (5) определяется формулой x () = x ϕ () + x h () + x 0 (), [, + ], где x ϕ = (I D ) 1 H ϕ, x h = (I D ) 1 h, x 0 = (I D ) 1 H 0 ϕ ( ). Здесь функция x h является непрерывным решением системы (1) на отрезке [, + ] с начальной функцией ϕ = 0 и непрерывной неоднородностью h = h, удовлетворяющей условию h (0 ) = 0, т.е. h C 0 ([, + ], R n ); функция x ϕ является непрерывным решением системы (1) на отрезке [, + ] с непрерывной начальной функцией ϕ = ϕ, удовлетворяющей условию ϕ ( ) = 0, т.е. ϕ C 0 ([ r, ], R n ) и неоднородностью h, определяемой формулой h () = h ( ) = d ϑη (, ϑ ) ϕ (ϑ), [, + ]; функция x 0 является непрерывны решением системы (1) на отрезке [, + ] с начальной функцией ϕ (ϑ) = ϕ ( ), ϑ [ r, ], и неоднородностью, определяемой формулой h () = h ( ) = (I n + η (, )) ϕ ( ), [, + ], где I n единичная матрица размерности n n. Используя формулу представления линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций ([13], с.556) и конечномерность области определения оператора H 0, запишем x ϕ () = x h () = + dt (, s,, ) ϕ (s), [, + ], (1) ds (, s,, ) h (s), [, + ], (2) x 0 () = V (,, ) ϕ ( ), [, + ]. Здесь T (, r,, ) = 0, S (, +,, ) = 0 при + ; sup var T (, s,, ) <, sup var S (, s,, ) < ; s s + [, + ] [, + ] при любых 0 r < r, 0 < функции T (, s,, ) ds, + S (, s,, ) ds, V (,, ) непрерывны по на отрезке [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 10

11 Так как x ϕ, x h, x 0 C 0 ([, + ], R n ) при любых ϕ C 0 ([ r, ], R n ), h C 0 ([, + ], R n ) и ϕ ( ) R n, то T (, s,, ) = 0 при s [ r, ], S (, s,, ) = 0 при s [, + ] и V (,, ) = 0. Из вольтерровости оператора (I D ) 1 и формулы (2) следует, что x h () = ds (, s,, ) h (s), [, + ]. (3) При использовании формулы (3) считаем, что S (, s,, ) = 0 при s [, + ]. Лемма 3.1. Функции T, S и V не зависят от. Доказательство. Для > имеем x ϕ () = x ϕ (), x h () = x h () и x 0 () = x 0 () при [, + ], если h () = h () при [, + ]. Следовательно, справедливы равенства d (T (, s,, ) T (, s,, )) ϕ (s) = 0, d (S (, s,, ) S (, s,, )) h (s) = 0, (V (,, ) V (,, )) ϕ ( ) = 0 при любых ϕ C 0 ([ r, ], R n ), h C 0 ([, + ], R n ), ϕ ( ) R n. Тогда T (, s,, ) = T (, s,, ) = T (, s, ) при s [ r, ], [, + ]; S (, s,, ) = S (, s,, ) = S (, s, ) при s [, ], [, + ]; V (,, ) = V (,, ) = V (, ) при [, + ]. Лемма доказана. Так как функции T и S не зависят от выбора длины отрезка [, + ], то можно определить решения x ϕ, x h и x 0 системы (1) на полуоси [, ). Решение x ϕ системы (1) с начальной функцией ϕ = ϕ, удовлетворяющей условию ϕ ( ) = 0, и неоднородностью h, определяемой формулой h () = h ( ) = d ϑη (, ϑ ) ϕ (ϑ), [, ), задается формулой x ϕ () = dt (, s, ) ϕ (s),, (4) где T (, r, ) = 0,, T (, s, ) = 0 при s [ r, ], при любом τ > выполняется неравенство sup var T (, s, ) < и при любом s [,τ) 0 r < r функция T (, s, ) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 11

12 Решение x h системы (1) с начальной функцией ϕ = 0 и неоднородностью h = h C 0 ([, + ], R n ) задается формулой x h () = ds (, s, ) h (s),, (5) где S (, s, ) = 0 при s <, S (, s, ) = 0 при s ; при любом τ > выполняется неравенство sup var S (, s, ) < и функция s [,τ] S (, s, ) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Решение x 0 системы (1) с начальной функцией ϕ (ϑ) = ϕ ( ), ϑ [ r, ], и неоднородностью, определяемой формулой h () = h ( ) = (I n + η (, )) ϕ ( ),, задается формулой x 0 () = V (, ) ϕ ( ),, где V (, ) = 0 и функция V (, ) непрерывна по аргументу на полуоси [, ). Лемма 3.2. Функция S не зависит от. Доказательство. Пусть x решение (5), отвечающее начальному h моменту. Для 1 > имеем x () = x 1 () при [ 1, ), если h () = 0 h h при [, 1 ]. Следовательно, x () x 1 () = h h = ds (, s, ) h (s) 1 d (S (, s, ) S (, s, 1 )) h (s) = 0 1 ds (, s, 1 ) h (s) = при любых h C 1 ([ 1, ), R n ). Тогда S (, s, 1 ) = S (, s, ) = S (, s) при s [ 1, ], [ 1, ). Лемма доказана. Согласно доказанной лемме имеем x h () = ds (, s) h (s),, где S (, s) = 0 при s; при любом τ > выполняется неравенство sup var S (, s) < и функция [,τ] s S (, s) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 12

13 Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда непрерывное решение начальной задачи Коши допускает представление x () = dt (, s, ) ϕ (s)+ ds (, s) h (s)+(v (, ) + I n ) ϕ ( ),, где ϕ (s) = ϕ (s) ϕ ( ), s [ r, ]; h () = h () h (0 ), ; T (, r, ) = 0 при ; T (, s, ) = 0 при s [ r, ]; S (, s) = 0 при s; при любом τ > выполняются неравенства sup var T (, s, ) <, sup var S (, s) <, при любом s s [,τ) [,τ] τ > и любом 0 r < r функции S (, s) ds и T (, s, ) ds непрерывны по на полуинтервале [, ). 4 Уравнение для функции S Представление решения x h системы (1) связано с нахождением функции S. Теорема 4.1. При выполнении условий теоремы 2.1 функция S является решением уравнения S (, τ) = τ d ϑ η (, ϑ) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ. S ( + ϑ, s) ds I n, > τ, (1) Доказательство. Рассмотрим решения уравнения (1) с нулевыми начальными функциями и неоднородностями h C 2 ([, + ), R n ), h ( ) = h ( ) = 0. Имеем x h () = S (, s) ds h (τ) dτ, >, Тогда x h ( + ϑ) = = +ϑ +ϑ h () = ( τ) h (τ) dτ, >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ = +ϑ S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ, ϑ [, 0], >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 13

14 Следовательно, после подстановки в систему (1) получим: S (, s) ds h (τ) dτ = + d ϑ η (, ϑ) ( τ) h (τ) dτ, >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ+ Так как интеграл S ( + ϑ, s) ds, ϑ [, 0], τ [, ], >, непрерывно зависит от ϑ на отрезке [, 0], то S (, s) ds h (τ) dτ = + d ϑ η (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ+ ( τ) h (τ) dτ, >. (2) Равенство (2) должно выполняться для любой функции h C ([, + ), R n ). Это условие выполняется, если имеет место равенство S (, s) ds = d ϑ η (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds+( τ) I n, τ [, ], >. Правая часть полученного равенства является абсолютно непрерывной функцией аргумента τ на отрезке [, ] при фиксированном. Следовательно, интеграл d ϑη (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds задает абсолютно непрерывную функцию аргумента τ на отрезке [, ]. Продифференцировав это равенство по τ, получим искомое уравнение. Теорема доказана. Утверждение 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Функция η абсолютно непрерывна по второму аргументу на отрезке [, 0] и для любого T > τ выполнено условие vrai sup η ϑ (, ϑ) <. Тогда функция S [τ,t ], ϑ [,0] при фиксированном τ R является единственным решением уравнения S (, τ) = η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n, > τ, (3) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ, в пространстве матричных функций, ограниченных в существенном на любом конечном интервале полуоси (τ, + ). Доказательство. Преобразуем уравнение (1) для функции S, меняя Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 14

15 порядок интегрирования и дифференцируя по τ: + τ = S (, τ) = τ d ϑ η (, ϑ) η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, s) dϑds = η ϑ (, z ) S (z, τ) dz I n = τ S ( + ϑ, s) ds I n = I n + η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n = η ϑ (, z ) S (z, τ) dz I n, > τ. При каждом фиксированном τ R на любом конечном интервале полуоси (τ, + ) уравнение (3) является матричным интегральным уравнением Вольтерра второго рода в пространстве функций, ограниченных в существенном на этом интервале. Поэтому оно имеет единственное решение [14, с.153]. Утверждение доказано. Пример 4.1. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией η (, ϑ) = ϑ, ϑ [ 1, 0], R, и r = 1. Уравнение (3) имеет вид S (, τ) = 1 При τ τ + 1 получаем уравнение S (, τ) = 1 S ( + ϑ, τ) dϑ 1, > τ. S (y, τ) dy 1 = τ S (y, τ) dy 1. Функция α (, τ) = τ S (y, τ) dy, τ τ + 1, является решением дифференциального уравнения α (, τ) = α (, τ) 1 с начальным условием α (τ + 0, τ) = 0. Находим α (, τ) = τ e 2( 1 2 y 2 ) dy. Тогда S (, τ) = 1 τ e 2( 1 2 y 2 ) dy. Пусть η является матричной функцией скачков с конечным числом точек разрыва, определяемой формулой η (, ϑ) = A m () 1 (ϑ m ϑ), ϑ [, 0], ϑ N <... < ϑ 1 < 0, (4) { 0, < 0, где 1 () = 1, 0, на числовой оси. A m заданные непрерывные матричные функции Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 15

16 Проверим выполнение условий теоремы 2.1: 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, т.к. z [,0] A m непрерывные матричные функции на числовой оси, 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, т.к. A m непрерывные матричные функции на числовой оси, 3) для любого фиксированного τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на [τ, τ + r]. Действительно, ϑm +r η (, s ) ds = A m () 1 (ϑ m ϑ) dϑ = A m () 1 (ξ) dξ ϑ m τ+ = A m () [(τ ϑ m ) 1 (ϑ m τ + ) + (ϑ m + r)]. Полученная функция непрерывно зависит от на отрезке [τ, τ + r]. 4) отображение (, s) η (, s) непрерывно при s = 0 равномерно относительно на любом конечном отрезке, т.к. η (, s) = 0 при s (ϑ 1, 0]. Утверждение 4.2. Если η матричная функция скачков с конечным числом точек разрыва, определяемая формулой (4), то матричная функция S является единственным решением матричного разностного уравнения с непрерывным временем S (, τ) = A m () S ( + ϑ m, τ) I n, > τ, (5) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ. Это решение матричная функция, на произвольном интервале полуоси (τ, ) ограниченная в существенном и имеющая конечное число точек разрыва. Доказательство. Подставим выражение (4) для функции η в уравнение (1) и преобразуем входящий в него интеграл: = = S (, τ) = τ A m () τ A m () τ d ϑ η (, ϑ) d ϑ 1 (ϑ m ϑ) S ( + ϑ, s) ds I n = S ( + ϑ m, s) ds I n = S ( + ϑ, s) ds I n = A m () S ( + ϑ m, τ) I n. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 16

17 При каждом фиксированном τ уравнение (5) является матричным разностным уравнением с непрерывным временем. Поэтому при заданной нулевой начальной функции оно имеет единственное решение. Требуемое решение можно найти методом шагов [2]. Из этого метода следует справедливость второй части утверждения. Пример 4.2. Рассмотрим разностное уравнение с непрерывным временем x () = A () x ( 1) + h (), где A непрерывная матричная функция на числовой оси. Это уравнение можно записать в форме (1) с функцией η, определяемой формулой { 0, 1 < ϑ 0, η (, ϑ) = A (), ϑ 1, и r = 1. Уравнение (3) имеет вид S (, τ) = A () S ( 1, τ) I n, > τ. При каждом фиксированном τ это уравнение решается методом шагов: при (τ, τ + 1] S (, τ) = I n, при (τ + 1, τ + 2] при (τ + 2, τ + 3] S (, τ) = A () I n, S (, τ) = A () [ A ( 1) I n ] I n = A () A ( 1) A () I n, при (τ + m 1, τ + m] S (, τ) = A () A ( 1)...A ( m + 2) A () A ( 1)...A ( m + 3) A () I n. Пусть теперь матричная функция η имеет вид η (, ϑ) = A m () 1 (ϑ m ϑ) + η 1 (, ϑ), ϑ [, 0], (6) где ϑ N <... < ϑ 1 < 0, η 1 абсолютно непрерывная функция аргумента ϑ на отрезке [, 0], удовлетворяющая условиям теоремы 2.1. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 17

18 Утверждение 4.3. В случае функции η, заданной при помощи формулы (6), функция S является единственным решением уравнения S (, τ) = A m () S ( + ϑ m, τ) + η 1 ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n, > τ, (7) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ, в пространстве матричных функций, ограниченных в существенном на любом конечном интервале полуоси (τ, + ). Доказательство. Подставим выражение (6) для функции η в уравнение (1) и преобразуем входящий в него интеграл: ( 0 N ) d ϑ A m () 1 (ϑ m ϑ) + η 1 (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds = τ = A m () d ϑ 1 (ϑ m ϑ) S ( + ϑ, s) ds+ τ + η 1 τ ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, s) dsdϑ = A m () S ( + ϑ m, s) ds+ τ + η 1 ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ. Таким образом, уравнение (1) преобразуется к виду (7). При каждом фиксированном τ R ищем решение в пространстве функций ограниченных в существенном на любом интервале полуоси (τ, ). Применяем метод шагов с шагом ϑ 1. В результате, задача сводится к нахождению решения уравнения Вольтерра 2 рода в пространстве функций, ограниченных в существенном. Полученное уравнение имеет единственное решение в этом пространстве. Утверждение доказано. Пример 4.3. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией { 0, ϑ ( π, 0], η (, ϑ) = cos ( + ϑ), ϑ [ 2π, π], R и r = 2π. Функция η допускает представление (6) η (, ϑ) = cos () 1 ( π ϑ) + η 1 (, ϑ), ϑ [ 2π, 0], Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 18

19 где η 1 (, ϑ) = вид { 0, ϑ ( π, 0], cos ( + ϑ) cos (), ϑ [ 2π, π]. Уравнение (7) имеет S (, τ) = cos () S ( π, τ) π 2π sin ( + ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ 1, > τ. (8) Решение уравнения (8) имеет вид: при τ < π + τ S (, τ) = 1, при π + τ < 2π + τ S (, τ) = cos () + π τ sin (z) dz 1 = 2 cos () + cos (τ) 1. 5 Связь функций S и V. Для нахождения функции V можно воспользоваться утверждением. Утверждение 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда функция V определяется формулой V (, ) = S (, ) η (, ) ds (, s) η (s, ), >. Доказательство. Решение x 0 совпадает с решением x h, где h определяется формулой: Преобразуем последнее решение h () = (η (0, ) η (, )) ϕ ( ), >. x h () = ds (, s) (η (, ) η (s, )) ϕ ( ) = ( 0 ) = ds (, s) η (, ) ds (, s) η (s, ) ϕ ( ) = ( 0 ) = S (, ) η (, ) ds (, s) η (s, ) ϕ ( ). Утверждение доказано. 6 Связь функций S и T. Для нахождения функции T можно воспользоваться теоремой. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 19

20 Теорема 6.1. Функция T определяется формулой T (, s, ) = d ds >, s [ r, ]. ds (, ξ) s ξ [η (ξ, ϑ) η (ξ, )] dϑ, (1) Доказательство. Рассмотрим решение x ϕ с начальной функцией ϕ C 2 ([ r, ], R n ). Это решение при > совпадает с решением x h, где h определяется формулами: { h () = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) d ϑη (, ϑ) ϕ ( + ϑ), [, + r], d ϑη (, ϑ) ϕ ( + ϑ), > + r. (2) Преобразуем интеграл в формуле (2): Находим d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) = η (, ) ϕ ( r) = [η (, ) η (, ϑ)] ϕ ( ) dϑ+ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) dϑ = s + [η (, ) η (, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds, [, + r]. h () = [η (, ) η (, ϑ)] ϕ ( ) dϑ + s d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) + [η (, ) η (, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds, [, + r], h () = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ), > + r. Преобразуем выражение для решения x h: +r x h () = = ds (, ξ) 0 0 ds (, ξ) ξ +r s ξ ds (, ξ) h (ξ) = [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ ϕ ( ) [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 20

21 Теперь преобразуем выражение для решения x ϕ : x ϕ () = = T (, τ, ) dτ ϕ ( ) + T (, τ, ) ϕ (τ) dτ = s T (, τ, ) dτ ϕ (s) ds. Запишем условия совпадения решений x h и x ϕ для произвольных функций ϕ C 2 ([ r, ], R n ): +r ds (, ξ) ds (, ξ) ξ s ξ [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ = [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ = >, s [ r, ]. s T (, τ, ) dτ, T (, τ, ) dτ, При выполнении второго условия первое условие выполняется. Дифференцируемость по s левой части второго условия следует из дифференцируемости правой части этого условия. Дифференцируя второе равенство по s и сделав замену переменной, получаем искомую формулу (1). Теорема доказана. Утверждение 6.1. В случае дискретной меры η, заданной формулой (4) с абсолютно непрерывными A m ( m = 1, N), функция T определяется формулой T (, s, ) = S (, ) A m ( ) (1 (ϑ m s + ) 1) S (, ξ) A m (ξ) (1 (ϑ m s + ξ) 1) dξ+ + d S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ ds S (, s + r) A m (s + r), >, s [ r, ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 21

22 Доказательство. Преобразуем формулу (1) T (, s, ) = d ds = d ds ds (, ξ) ds (, ξ) d ds s ξ A m (ξ) ds (, ξ) [η (ξ, ϑ) η (ξ, )] dϑ = s ξ 1 (ϑ m ϑ) dϑ A m (ξ) (s ξ + r). Введем обозначания и проинтегрируем по частям: F 2 (, s, ) = S (, ) F 1 (, s, ) = = S (, ) S (, ξ) + ds (, ξ) A m ( ) S (, ξ) s ξ A m (ξ) 1 (ϑ m ϑ) dϑ = s 0 1 (ϑ m ϑ) dϑ s ξ A m (ξ) 1 (ϑ m ϑ) dϑdξ+ A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ; ds (, ξ) A m (ξ) (s ξ + r) = S (, ξ) A m (ξ) dξ A m ( ) (s + r) S (, ξ) A m (ξ) (s ξ + r) dξ. Продифференцируем F 1 (, s, ) и F 2 (, s, ) по s: d ds (F 1(, s, )) = d S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ ds S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ S (, ) A m ( ) 1 (ϑ m s + ) ; Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 22

23 d ds (F 2(, s, )) = S (, ) В результате получаем S (, s + r) + S (, s + r) T (, s, ) = S (, ) A m ( ) A m (s + r) + d ds Утверждение доказано. A m (s + r). S (, ξ) A m (ξ) dξ+ A m ( ) (1 (ϑ m s + ) 1) S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ S (, ξ) A m (ξ) (1 (ϑ m s + ξ) 1) dξ Пример 6.1. Рассмотрим разностное уравнение с непрерывным временем x () = A () x ( 1) + h (), > 0, где A абсолютно непрерывная матричная функция на числовой оси. Это уравнение можно записать в форме (1) с функцией η: { 0, 1 < ϑ 0, η (, ϑ) = A (), ϑ = 1, R, и r = 1. Используя утверждение 6.1, имеем T (, s, 0) = S (, 0) A (0) (1 ( 1 s) 1) +S (, s + 1) A (s + 1) = s+1 0 s+1 0 S (, ξ) A (ξ) dξ+ ds (, ξ) A (ξ) + S (, 0) A (0) 1 ( 1 s), > 0, s [ 1, 0]. 1) Пусть (0, 1]. Если 1 s < 1, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = I n при ξ [0, s + 1]. Находим, Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 23

24 T (, s, 0) = A (0) 1 ( 1 s) = { A (0), s = 1, 0, s ( 1, 0]. { Если 1 s 0, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = 0, ξ s + 1, Находим, I n, 0 ξ <. { A () A (0), s = 1, T (, s, 0) = A () A (0) 1 ( 1 s) = A (), s ( 1, 0]. 2) Пусть (1, 2]. Если 1 s < 2, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = A () I n при ξ [0, s + 1]. Находим, { (A () + I n ) A (0), s = 1, T (, s, 0) = (A () + I n ) A (0) 1 ( 1 s) = 0, s ( 1, 0]. Если { 2 s 0, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = I n, 1 ξ s + 1, A () I n, 0 ξ < 1. Находим, T (, s, 0) = A () A ( 1) (A () + I n ) A (0) 1 ( 1 s) = { = A () A ( 1) (A () + I n ) A (0), s = 1, A () A ( 1), s ( 1, 0]. Пример 6.2. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией η (, ϑ) = ϑ, r = 1. Находим s ξ 1 [η (ξ, ϑ) η (ξ, 1)] dϑ = s ξ 1 ξ [, s + 1], s [ 1, ]. Следовательно, формула (1) имеет вид T (, s, ) = d ds s+1 ξ (ϑ + 1) dϑ = ξ 2 (s ξ + 1)2, ds (, ξ) ξ 2 (s ξ + 1)2, >, s [ 1, ]. Пусть (, + 1]. Если 1 s 1, то из примера 4.1 следует, что Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 24

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Ю. Ф. Долгий, П. Г.

АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Ю. Ф. Долгий, П. Г. Асимптотика регуляризованных решений 1 АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1 Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков 1. Постановка задачи Рассматривается

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Интегральные уравнения Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Элементы гармонического анализа

Элементы гармонического анализа Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» Н. П. Чуев Элементы гармонического анализа Методические

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

И. И. Матвеева, А. М. Попов О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСТАДИЙНОГО СИНТЕЗА ВЕЩЕСТВА

И. И. Матвеева, А. М. Попов О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСТАДИЙНОГО СИНТЕЗА ВЕЩЕСТВА УДК 517.925.54 + 517.929 И. И. Матвеева, А. М. Попов О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОСТАДИЙНОГО СИНТЕЗА ВЕЩЕСТВА Рассматривается задача Коши для системы дифференциальных

Подробнее

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных

Аннотация: Установлены связи между решениями широкого класса систем обыкновенных Сибирский математический журнал Январь февраль, 26. Том 47, УДК 57.9+57.929 ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ Г. В. Демиденко, В. А. Лихошвай,

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx

С. С. Платонов. Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье. c n e inx С. С. Платонов Элементы гармонического анализа Часть I. Ряды Фурье f(x) = n= c n e inx Петрозаводск 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть вторая

ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Часть вторая Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЧИСТО КОМПТОНОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЧИСТО КОМПТОНОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова Сибирский математический журнал Январь февраль, 25. Том 46, 1 УДК 517.958 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЧИСТО КОМПТОНОВСКИМ РАССЕЯНИЕМ Д. С. Аниконов, Д. С. Коновалова Аннотация: Исследуется

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк

О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Сибирский математический журнал Май июнь, 23. Том 54, 3 УДК 57.53 О ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ю. Г. Решетняк Аннотация. В элементарных курсах математического анализа обычно приводится

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА

ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА ПРЕДЕЛ ДИСКРЕТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КУНСА Н. В. Чашников nik239@list.ru 5 декабря 29 г. В [1] было показано, как строить дискретную поверхность Кунса, натянутую на сеть из остовных кривых. Остовные кривые при

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории. 0. Аналитичность. Равносильные условия

ЛЕКЦИЯ 10А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории. 0. Аналитичность. Равносильные условия ЛЕКЦИЯ А Банаховы пространства 3. Банаховы алгебры. Элементы спектральной теории Всюду речь будет идти о банаховой алгебре A. В некоторых случаях мы потребуем, чтобы она представляла собой алгебру ограниченных

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ФУНКЦИОНАЛ С ФИКСИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Групповой анализ дифференциальных

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона

ВВЕДЕНИЕ. Классический и регуляризованный операторы Пуассона ВВЕДЕНИЕ При изучении стационарных процессов различной физической природы (колебания теплопроводность диффузия и др обычно приходят к уравнениям эллиптического типа Наиболее распространенным уравнением

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) 1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики

Экзаменационный билет 2 Кафедра высшей математики Экзаменационный билет Факультет: ПО и ВП, гр.04, 07 и 7.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.. Признак Лейбница. 3 Вычислить интеграл: dx 0 x 6x + Экзаменационный билет Факультет: : ЭМФ.

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 007 Управление, вычислительная техника и информатика 1 УДК 519.865 В.В. Поддубный, О.В. Романович МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА С УРАВНИВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Государственный университет связи, информатизации и телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан Нукусский филиал ташкентского университета информационных технологий САМОМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО

Подробнее

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА УДК 58:575:536 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА Докт физ-мат наук МЕЛЕШКО И Н Белорусский национальный технический университет

Подробнее

О разрешимости одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения. уравнений второго порядка с суммарно-разностным.

О разрешимости одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения. уравнений второго порядка с суммарно-разностным. Український математичний вiсник Том 8 (211), 3, 44 42 О разрешимости одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения второго порядка с суммарно-разностным ядром на полуоси Хачатур А. Хачатрян, Микаел

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Асташова И.В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Конспект лекций для студентов 2 курса механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (2-й поток) 1 семестр 2012-2013 уч.год Москва 2012 Содержание 1

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

1. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА СПЕКТР ОПЕРАТОРА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть : ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве над полем. C. Определение. Точка C называется регулярной

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Лекция ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРЕДЕЛ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Н. В. Чашников nik239@list.ru 13 марта 21 г. Пусть натуральное число, отличное от единицы. Определим периодический B-сплайн первого

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть Х и Y банаховы пространства, F отображение, определенное в окрестности

Подробнее

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u

Уравнение типа турбулентной фильтрации, записанное для плоской симметрии, имеет вид u t = q. u, (1) x + f (u), q = u УДК 51.7+532.517 А. С. Р о м а н о в, А. В. С е м и к о л е н о в, А. П. Ш а х о р и н О РОЛИ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ТУРБУЛЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Лекция 4. Потенциальные векторные поля

Лекция 4. Потенциальные векторные поля С А Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Потенциальные векторные поля Понятие потенциальности Пусть f скалярная функция двух переменных Вспомним с лекции 5 (модуль «Функции нескольких переменных»), что

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее