dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от hp://www.neva.ru/journal Теория обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Е.В.Кукушкина Россия, , Екатеринбург, пр.ленина, д.51, Уральский государственный университет им.а.м.горького, Кафедра теоретической механики, Аннотация. В работе для линейных нестационарных систем функциональноразностных уравнений установлены условия существования и единственности решений начальной задачи Коши в пространстве непрерывных функций. Получена формула, дающая аналитическое представление общего решения изучаемой системы функционально-разностных уравнений. Рассмотрены методы нахождения указанного представления. Полученные результаты иллюстрируются примерами.

2 1 Введение Рассматривается линейная неоднородная система функциональноразностных уравнений x () = d ϑ η (, ϑ) x ( + ϑ) + h (), (1) где x : R R n ; h C (R, R n ); матричная функция η (, ) при каждом фиксированном R имеет ограниченную вариацию на отрезке [, 0], η (, 0) = 0. Для указанной системы изучается начальная задача Коши в пространстве непрерывных функций. Пусть начальный момент R и начальная функция ϕ C ([ r, ], R n ). Функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши, если x () = ϕ () при [ r, ] и для нее равенство (1) выполняется тождественно на полуоси (, + ). Для существования непрерывного решения начальной задачи Коши необходимо, чтобы выполнялось условие согласования ϕ ( ) = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) + h ( ). (2) Условие (2) при заданной функции h накладывает ограничения на выбор начальной функции ϕ. Функционально-разностное уравнение обобщает понятие разностного уравнения с непрерывным временем также как функциональнодифференциальное уравнение обобщает понятие дифференциальноразностного уравнения. В работе для линейных нестационарных систем функционально-разностных уравнений установлены условия существования и единственности решений начальной задачи Коши в пространстве непрерывных функций. Получена формула, дающая аналитическое представление общего решения изучаемой системы функционально-разностных уравнений. Рассмотрены методы нахождения указанного представления. Полученные результаты иллюстрируются примерами. Указанный круг вопросов исследовался для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений [1]-[4]. Для линейных систем разностных уравнений с непрерывным временем рассматриваемые проблемы изучались в работах [5]-[7]. Специальные решения линейных разностных уравнений с непрерывным временем построены в работе [8]. Для Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 2

3 линейных систем разностных уравнений с дискретным временем решения рассматриваемых проблем изложены в работах [9],[10]. Для линейных стационарных систем функционально-разностных уравнений указанный круг вопросов исследовался в работе [11]. 2 Существование и единственность решения начальной задачи Коши Пусть функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши для начального момента R и начальной функции ϕ C ([ r, ], R n ) системы функционально-разностных уравнений (1) с функцией h C ([, + ), R n ). Введем следующие обозначения: x () = x () ϕ ( ),, ϕ (s) = ϕ (s) ϕ ( ), s [ r, ], h () = h () h ( ),. Тогда x C 0 ([, + ), R n ) = { x : x C ([, + ), R n ), x ( ) = 0}, ϕ C 0 ([ r, ], R n ) = { ϕ : ϕ C ([ r, ], R n ), ϕ ( ) = 0}, } h C0 ([, + ), R n ) = { h : h C ([0, + ), R n ), h (0 ) = 0. Утверждение 2.1. Для заданного начального момента R, начальной функции ϕ C ([ r, ], R n ) и функции h C ([, + ), R n ) функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши системы функционально-разностных уравнений (1) тогда и только тогда, когда функция x C 0 ([, + ), R n ) является решением уравнения x () = (D x) () + (H ϕ) () + (H 0 ϕ ( )) () + h (),. (1) Здесь оператор D определяется формулами: { (D x) () = 0 d s η (, s ) x (s), + r, d sη (, s ) x (s), > + r, оператор H определяется формулами: (2) { (H ϕ) () = d sη (, s ) ϕ (s) d sη (, s ) ϕ (s), + r, d sη (, s ) ϕ (s), > + r, (3) оператор H 0 определяется формулой: (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ),. (4) Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 3

4 Доказательство. После преобразования системы уравнений (1) и условия согласования (2) при + r находим x () = h () при > + r x () = d s η (, s ) ϕ (s) + (η (, ) η (, )) ϕ ( ) + d s η (, s ) x (s) + d ϑ η (, s ) x (s) d s η (, s ) ϕ (s), d s η (, s ) ϕ (s) + + (η (, ) η (, )) ϕ ( ) + h (). Следовательно, системе (1) можно поставить в соответствие уравнение (1), где оператор D определяется формулами (2), оператор H определяется формулами (3), а оператор H 0 формулой (4). Утверждение доказано. Для любого > 0 рассмотрим сужение уравнения (1) на отрезок [, + ]. Имеем x () = (D x) () + (H ϕ) () + (H 0 ϕ ( )) () + h (), [, + ]. (5) Для сужения функций x и h на отрезок [, + ] оставляем те же обозначения, полагая что h C 0 ([, + ], R n ), x C 0 ([, + ], R n ). Здесь при r (H ϕ) () = (D x) () = d s η (, s ) ϕ (s) d s η (, s ) x (s), +, (6) d s η (, s ) ϕ (s), +, (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +, а при > r { (D x) () = 0 d s η (, s ) x (s), + r, d sη (, s ) x (s), + r < +, { (H ϕ) () = d sη (, s ) ϕ (s) d sη (, s ) ϕ (s), + r, d sη (, s ) ϕ (s), + r < +, (H 0 ϕ 0 ) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 4

5 Продолжим функцию η по второму аргументу на всю числовую ось, полагая: η (, s) = 0 при s 0 и η (, s) = η (, ) при s, R. Тогда значения операторов D, H и H 0 при любом > 0 можно определить формулами: (H ϕ) () = (D x) () = d s η (, s ) ϕ (s) d s η (, s ) x (s), +, d s η (, s ) ϕ (s), +, (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия: 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси. Тогда D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Доказательство. Рассмотрим функции x AC 0 ([, + ], R n ), где AC 0 ([, + ], R n ) = { x : x AC ([, + ], R n ), x ( ) = 0}. Преобразуем формулы, определяющие значения оператора D : (D x) () = d s η (, s ) x (s) = + + d s η (, s ) x (s) = = η (, s ) x (s) + η (, s ) x (s) ds = = η (, s ) x (s) ds, +. Определим значения оператора D следующими формулами: ( +r D y) () = η (, s ) y (s) ds, [, + ], y L 1 ([, + ], R n ). Для произвольной функции x AC 0 ([, + ], R n ) функция D x C 0 ([, + ], R n ) тогда и только тогда, когда функция D y C 0 ([, + ], R n ) для функции y L 1 ([, + ], R n ), y (s) = x (s), s [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 5

6 Докажем, что оператор D : L 1 ([, + ], R n ) C ([, + ], R n ) и является непрерывным. Для оператора D выполнены условия: А) vrai sup η (, s ) <, s, [, + ] В) функция η (, s ) ds непрерывна при любом τ [, + ] на отрезке [, + ]. Действительно, по определению вариации var η (, z) z [,0] η (, ) η (, z) + η (, z) η (, 0) 2 η (, z) η (, ). Тогда, η (, z) 1 2 var η (, z) + 1 z [,0] 2 η (, ). Функции var η (, z) z [,0] и η (, ) ограничены по условию 1) леммы 2.1 на [, + ]. Тогда sup [, + ],z [,0] vrai sup [, + ],s [, +r] η (, z) <. Имеем vrai sup,s [, + ] η (, z) η (, s ) = vrai sup [, + ],z [, +r] η (, s ) vrai sup η (, z) <. Справедливость условия А) доказана. Для [, + ],z [,0] любого τ R имеем η (, s ) ds = η (, s ) ds η (, s ) ds при [, + ]. Следовательно, в силу условия 2) леммы 2.1 условие В) для оператора D выполняется. Условия А) и В) гарантируют, что оператор D : L 1 ([, + ], R n ) C ([, + ], R n ) и является непрерывным ([12], с.100). Докажем теперь, что оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Для произвольного [, + ] введем оператор D : C 0 ([, + ], R n ) R n с помощью формулы D x = (D x) (). Однопараметрическое семейство операторов D, [, + ], удовлетворяет условиям: C) для любого элемента x AC 0 ([, + ], R n ) функция D x аргумента непрерывна на [, + ], D) для любого элемента x C 0 ([, + ], R n ) функция D x аргумента ограничена на [, + ]. ( Действительно, имеет место равенство D x = D y) () при [, + ], y () = x (), x AC 0 ([, + ( ], R n ). Справедливость условия C) следует из непрерывности функции D y) () на отрезке [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 6

7 Справедливость условия D) следует из неправенств sup D x sup [, + ] sup var [, + ] s [,] var [, + ] z [,0] η (, z) max η (, s ) max s [, + ] s [, + ] x (s). x (s) Условия C) и D) гарантируют, что оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) ([13], с. 73). Лемма доказана. Следствие 2.1. При выполнении условий леммы 2.1 оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) непрерывен. Доказательство. Имеем D sup var [, + ] s [,] Следствие доказано. sup [, + ] z [,0] sup η (, s ) = sup var var [, + ] z [,0] Лемма 2.2. Пусть выполнены условия: var [, + ] z [,0] η (, z), 0 < r, η (, z), > r. η (, z) 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, 3) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси. Тогда H : C 0 ([ r, ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) и H 0 : R n C 0 ([, + ], R n ). Доказательство. Справедливость утверждения леммы для оператора H 0 следует из условия 2). Для доказательства утверждения леммы об операторе H достаточно показать, что оператор ( H ϕ) () = d s η (, s ) ϕ (s) = d s η (, s ) ϕ (s), +, удовлетворяет условию H : C 0 ([ r, ], R n ) C ([, + ], R n ). Доказательство последнего утверждения проводится по схеме, используемой при доказательстве леммы 2.1. Для произвольной функции ϕ AC 0 ([ r, ], R n ), где AC 0 ([ r, ], R n ) = Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 7

8 { ϕ : ϕ AC ([ r, ], R n ), ϕ ( ) = 0}, имеем ( H ϕ) () = η (, ) ϕ ( r) η (, s ) ϕ (s) ds, +. Учитывая условия 2) и 3) леммы устанавливаем, что H : AC 0 ([ r, ], R n ) C ([, + ], R n ). Можно показать, что для однопараметрического семейства операторов H : C 0 ([ r, ], R n ) R n, [, + ], определяемых формулами: H ϕ = (H ϕ) (), [, + ], ϕ C 0 ([ r, ], R n ), выполняются условия теоремы [13]. Следовательно, утверждение леммы доказано. Следствие 2.2. При выполнении условий леммы 2.2 операторы H : C 0 ([ r, ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) и H 0 : R n C 0 ([, + ], R n ) непрерывны. Действительно, для нормы оператора H справедлива оценка: H = sup sup [, + ] z [, ] var [, + ] s [, ] var η (, z) + var η (, s ) + var z [,0] η (, z) 2 sup η (, s ) = s [, ] var [, + ] z [,0] Для нормы оператора H 0 справедлива оценка H 0 2 max [, + ] η (, z). На основании утверждения, лемм и следствий доказана теорема. η (, ). Теорема 2.1. Пусть h C ([, + ), R n ), ϕ C ([ r, ], R n ), выполнено условие согласования (2) и 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, 3) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси, 4) var η (, z) 0 при 0 равномерно по на любом конечном z [,0] отрезке числовой оси. Тогда начальная задача Коши для уравнения (1) имеет единственное непрерывное решение. Следствие 2.3. При выполнении условий теоремы 2.1. для любого > 0 существует линейный непрерывный вольтерровый по Тихонову оператор (I D ) 1 : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Пример 2.1. Рассмотрим скалярное разностное уравнение с непрерывным временем Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 8

9 x () = sign (sin (π)) x ( 1), где sign (a) = 1, a > 0; sign (a) = 0, a = 0, sign (a) = 1, a < 0. { 0, 1 < ϑ 0, Здесь r = 1, η (, ϑ) = Функция η (, 1) = sign (sin (π)), ϑ = 1. sign sin (π) имеет разрывы первого рода для целых значений. Поэтому условие 2) теоремы 2.1 нарушено. Построим решение начальной задачи Коши для начального момента = 0 и произвольной непрерывной начальной функции ϕ на отрезке [ 1, 0], удовлетворяющей условию ϕ (0) = 0. Используя метод шагов, имеем при (0, 1] x 1 () = sign (sin (π)) ϕ ( 1) = ϕ ( 1); при (1, 2] x 2 () = sign (sin (π)) x 1 ( 1) = ϕ ( 2); при (n 1, n], n > 2, x n () = sign (sin (π)) x n 1 ( 1) = ( 1) n 1 ϕ ( n). Построенное решение имеет разрывы первого рода в точках N 0 (N множество натуральных чисел), если ϕ ( 1) 0. Пример 2.2. Рассмотрим систему функционально-разностных уравнений x () = Ax ([ 1]), где A постоянная матрица размерности n n, de A 0, [a] целая часть числа a. { 0, ϑ ( 1 {}, 0], Здесь r = 2, η (, ϑ) = R, {} A1 ( ϑ), ϑ [ 2, 1 {}], дробная часть числа, 1 ( ) функция Хевисайда. Покажем, что условие 3) теоремы 2.1 не выполняется на отрезке [0, 2] при τ = 0, т.е. отображение 2 η (, s ) ds не является непрерывным на отрезке [0, 2]. Находим 2 Таким образом, при = 1 функция рода. η (, s ) ds = A ({} 1), [0, 2]. 2 η (, s ) ds имеет разрыв первого Запишем решение начальной задачи Коши для начального момента = 0 и начальной функции ϕ C ([ 2, 0], R n ), удовлетворяющей условию согласования ϕ (0) = Aϕ ( 1). Имеем x () = A []+1 ϕ ( 1), > 0. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 9

10 Построенное решение имеет разрывы первого рода в точках N (N множество натуральных чисел), если Aϕ ( 1) ϕ ( 1). 3 Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений При выполнении условий теоремы 2.1 решение уравнения (5) определяется формулой x () = x ϕ () + x h () + x 0 (), [, + ], где x ϕ = (I D ) 1 H ϕ, x h = (I D ) 1 h, x 0 = (I D ) 1 H 0 ϕ ( ). Здесь функция x h является непрерывным решением системы (1) на отрезке [, + ] с начальной функцией ϕ = 0 и непрерывной неоднородностью h = h, удовлетворяющей условию h (0 ) = 0, т.е. h C 0 ([, + ], R n ); функция x ϕ является непрерывным решением системы (1) на отрезке [, + ] с непрерывной начальной функцией ϕ = ϕ, удовлетворяющей условию ϕ ( ) = 0, т.е. ϕ C 0 ([ r, ], R n ) и неоднородностью h, определяемой формулой h () = h ( ) = d ϑη (, ϑ ) ϕ (ϑ), [, + ]; функция x 0 является непрерывны решением системы (1) на отрезке [, + ] с начальной функцией ϕ (ϑ) = ϕ ( ), ϑ [ r, ], и неоднородностью, определяемой формулой h () = h ( ) = (I n + η (, )) ϕ ( ), [, + ], где I n единичная матрица размерности n n. Используя формулу представления линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций ([13], с.556) и конечномерность области определения оператора H 0, запишем x ϕ () = x h () = + dt (, s,, ) ϕ (s), [, + ], (1) ds (, s,, ) h (s), [, + ], (2) x 0 () = V (,, ) ϕ ( ), [, + ]. Здесь T (, r,, ) = 0, S (, +,, ) = 0 при + ; sup var T (, s,, ) <, sup var S (, s,, ) < ; s s + [, + ] [, + ] при любых 0 r < r, 0 < функции T (, s,, ) ds, + S (, s,, ) ds, V (,, ) непрерывны по на отрезке [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 10

11 Так как x ϕ, x h, x 0 C 0 ([, + ], R n ) при любых ϕ C 0 ([ r, ], R n ), h C 0 ([, + ], R n ) и ϕ ( ) R n, то T (, s,, ) = 0 при s [ r, ], S (, s,, ) = 0 при s [, + ] и V (,, ) = 0. Из вольтерровости оператора (I D ) 1 и формулы (2) следует, что x h () = ds (, s,, ) h (s), [, + ]. (3) При использовании формулы (3) считаем, что S (, s,, ) = 0 при s [, + ]. Лемма 3.1. Функции T, S и V не зависят от. Доказательство. Для > имеем x ϕ () = x ϕ (), x h () = x h () и x 0 () = x 0 () при [, + ], если h () = h () при [, + ]. Следовательно, справедливы равенства d (T (, s,, ) T (, s,, )) ϕ (s) = 0, d (S (, s,, ) S (, s,, )) h (s) = 0, (V (,, ) V (,, )) ϕ ( ) = 0 при любых ϕ C 0 ([ r, ], R n ), h C 0 ([, + ], R n ), ϕ ( ) R n. Тогда T (, s,, ) = T (, s,, ) = T (, s, ) при s [ r, ], [, + ]; S (, s,, ) = S (, s,, ) = S (, s, ) при s [, ], [, + ]; V (,, ) = V (,, ) = V (, ) при [, + ]. Лемма доказана. Так как функции T и S не зависят от выбора длины отрезка [, + ], то можно определить решения x ϕ, x h и x 0 системы (1) на полуоси [, ). Решение x ϕ системы (1) с начальной функцией ϕ = ϕ, удовлетворяющей условию ϕ ( ) = 0, и неоднородностью h, определяемой формулой h () = h ( ) = d ϑη (, ϑ ) ϕ (ϑ), [, ), задается формулой x ϕ () = dt (, s, ) ϕ (s),, (4) где T (, r, ) = 0,, T (, s, ) = 0 при s [ r, ], при любом τ > выполняется неравенство sup var T (, s, ) < и при любом s [,τ) 0 r < r функция T (, s, ) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 11

12 Решение x h системы (1) с начальной функцией ϕ = 0 и неоднородностью h = h C 0 ([, + ], R n ) задается формулой x h () = ds (, s, ) h (s),, (5) где S (, s, ) = 0 при s <, S (, s, ) = 0 при s ; при любом τ > выполняется неравенство sup var S (, s, ) < и функция s [,τ] S (, s, ) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Решение x 0 системы (1) с начальной функцией ϕ (ϑ) = ϕ ( ), ϑ [ r, ], и неоднородностью, определяемой формулой h () = h ( ) = (I n + η (, )) ϕ ( ),, задается формулой x 0 () = V (, ) ϕ ( ),, где V (, ) = 0 и функция V (, ) непрерывна по аргументу на полуоси [, ). Лемма 3.2. Функция S не зависит от. Доказательство. Пусть x решение (5), отвечающее начальному h моменту. Для 1 > имеем x () = x 1 () при [ 1, ), если h () = 0 h h при [, 1 ]. Следовательно, x () x 1 () = h h = ds (, s, ) h (s) 1 d (S (, s, ) S (, s, 1 )) h (s) = 0 1 ds (, s, 1 ) h (s) = при любых h C 1 ([ 1, ), R n ). Тогда S (, s, 1 ) = S (, s, ) = S (, s) при s [ 1, ], [ 1, ). Лемма доказана. Согласно доказанной лемме имеем x h () = ds (, s) h (s),, где S (, s) = 0 при s; при любом τ > выполняется неравенство sup var S (, s) < и функция [,τ] s S (, s) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 12

13 Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда непрерывное решение начальной задачи Коши допускает представление x () = dt (, s, ) ϕ (s)+ ds (, s) h (s)+(v (, ) + I n ) ϕ ( ),, где ϕ (s) = ϕ (s) ϕ ( ), s [ r, ]; h () = h () h (0 ), ; T (, r, ) = 0 при ; T (, s, ) = 0 при s [ r, ]; S (, s) = 0 при s; при любом τ > выполняются неравенства sup var T (, s, ) <, sup var S (, s) <, при любом s s [,τ) [,τ] τ > и любом 0 r < r функции S (, s) ds и T (, s, ) ds непрерывны по на полуинтервале [, ). 4 Уравнение для функции S Представление решения x h системы (1) связано с нахождением функции S. Теорема 4.1. При выполнении условий теоремы 2.1 функция S является решением уравнения S (, τ) = τ d ϑ η (, ϑ) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ. S ( + ϑ, s) ds I n, > τ, (1) Доказательство. Рассмотрим решения уравнения (1) с нулевыми начальными функциями и неоднородностями h C 2 ([, + ), R n ), h ( ) = h ( ) = 0. Имеем x h () = S (, s) ds h (τ) dτ, >, Тогда x h ( + ϑ) = = +ϑ +ϑ h () = ( τ) h (τ) dτ, >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ = +ϑ S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ, ϑ [, 0], >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 13

14 Следовательно, после подстановки в систему (1) получим: S (, s) ds h (τ) dτ = + d ϑ η (, ϑ) ( τ) h (τ) dτ, >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ+ Так как интеграл S ( + ϑ, s) ds, ϑ [, 0], τ [, ], >, непрерывно зависит от ϑ на отрезке [, 0], то S (, s) ds h (τ) dτ = + d ϑ η (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ+ ( τ) h (τ) dτ, >. (2) Равенство (2) должно выполняться для любой функции h C ([, + ), R n ). Это условие выполняется, если имеет место равенство S (, s) ds = d ϑ η (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds+( τ) I n, τ [, ], >. Правая часть полученного равенства является абсолютно непрерывной функцией аргумента τ на отрезке [, ] при фиксированном. Следовательно, интеграл d ϑη (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds задает абсолютно непрерывную функцию аргумента τ на отрезке [, ]. Продифференцировав это равенство по τ, получим искомое уравнение. Теорема доказана. Утверждение 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Функция η абсолютно непрерывна по второму аргументу на отрезке [, 0] и для любого T > τ выполнено условие vrai sup η ϑ (, ϑ) <. Тогда функция S [τ,t ], ϑ [,0] при фиксированном τ R является единственным решением уравнения S (, τ) = η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n, > τ, (3) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ, в пространстве матричных функций, ограниченных в существенном на любом конечном интервале полуоси (τ, + ). Доказательство. Преобразуем уравнение (1) для функции S, меняя Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 14

15 порядок интегрирования и дифференцируя по τ: + τ = S (, τ) = τ d ϑ η (, ϑ) η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, s) dϑds = η ϑ (, z ) S (z, τ) dz I n = τ S ( + ϑ, s) ds I n = I n + η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n = η ϑ (, z ) S (z, τ) dz I n, > τ. При каждом фиксированном τ R на любом конечном интервале полуоси (τ, + ) уравнение (3) является матричным интегральным уравнением Вольтерра второго рода в пространстве функций, ограниченных в существенном на этом интервале. Поэтому оно имеет единственное решение [14, с.153]. Утверждение доказано. Пример 4.1. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией η (, ϑ) = ϑ, ϑ [ 1, 0], R, и r = 1. Уравнение (3) имеет вид S (, τ) = 1 При τ τ + 1 получаем уравнение S (, τ) = 1 S ( + ϑ, τ) dϑ 1, > τ. S (y, τ) dy 1 = τ S (y, τ) dy 1. Функция α (, τ) = τ S (y, τ) dy, τ τ + 1, является решением дифференциального уравнения α (, τ) = α (, τ) 1 с начальным условием α (τ + 0, τ) = 0. Находим α (, τ) = τ e 2( 1 2 y 2 ) dy. Тогда S (, τ) = 1 τ e 2( 1 2 y 2 ) dy. Пусть η является матричной функцией скачков с конечным числом точек разрыва, определяемой формулой η (, ϑ) = A m () 1 (ϑ m ϑ), ϑ [, 0], ϑ N <... < ϑ 1 < 0, (4) { 0, < 0, где 1 () = 1, 0, на числовой оси. A m заданные непрерывные матричные функции Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 15

16 Проверим выполнение условий теоремы 2.1: 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, т.к. z [,0] A m непрерывные матричные функции на числовой оси, 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, т.к. A m непрерывные матричные функции на числовой оси, 3) для любого фиксированного τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на [τ, τ + r]. Действительно, ϑm +r η (, s ) ds = A m () 1 (ϑ m ϑ) dϑ = A m () 1 (ξ) dξ ϑ m τ+ = A m () [(τ ϑ m ) 1 (ϑ m τ + ) + (ϑ m + r)]. Полученная функция непрерывно зависит от на отрезке [τ, τ + r]. 4) отображение (, s) η (, s) непрерывно при s = 0 равномерно относительно на любом конечном отрезке, т.к. η (, s) = 0 при s (ϑ 1, 0]. Утверждение 4.2. Если η матричная функция скачков с конечным числом точек разрыва, определяемая формулой (4), то матричная функция S является единственным решением матричного разностного уравнения с непрерывным временем S (, τ) = A m () S ( + ϑ m, τ) I n, > τ, (5) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ. Это решение матричная функция, на произвольном интервале полуоси (τ, ) ограниченная в существенном и имеющая конечное число точек разрыва. Доказательство. Подставим выражение (4) для функции η в уравнение (1) и преобразуем входящий в него интеграл: = = S (, τ) = τ A m () τ A m () τ d ϑ η (, ϑ) d ϑ 1 (ϑ m ϑ) S ( + ϑ, s) ds I n = S ( + ϑ m, s) ds I n = S ( + ϑ, s) ds I n = A m () S ( + ϑ m, τ) I n. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 16

17 При каждом фиксированном τ уравнение (5) является матричным разностным уравнением с непрерывным временем. Поэтому при заданной нулевой начальной функции оно имеет единственное решение. Требуемое решение можно найти методом шагов [2]. Из этого метода следует справедливость второй части утверждения. Пример 4.2. Рассмотрим разностное уравнение с непрерывным временем x () = A () x ( 1) + h (), где A непрерывная матричная функция на числовой оси. Это уравнение можно записать в форме (1) с функцией η, определяемой формулой { 0, 1 < ϑ 0, η (, ϑ) = A (), ϑ 1, и r = 1. Уравнение (3) имеет вид S (, τ) = A () S ( 1, τ) I n, > τ. При каждом фиксированном τ это уравнение решается методом шагов: при (τ, τ + 1] S (, τ) = I n, при (τ + 1, τ + 2] при (τ + 2, τ + 3] S (, τ) = A () I n, S (, τ) = A () [ A ( 1) I n ] I n = A () A ( 1) A () I n, при (τ + m 1, τ + m] S (, τ) = A () A ( 1)...A ( m + 2) A () A ( 1)...A ( m + 3) A () I n. Пусть теперь матричная функция η имеет вид η (, ϑ) = A m () 1 (ϑ m ϑ) + η 1 (, ϑ), ϑ [, 0], (6) где ϑ N <... < ϑ 1 < 0, η 1 абсолютно непрерывная функция аргумента ϑ на отрезке [, 0], удовлетворяющая условиям теоремы 2.1. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 17

18 Утверждение 4.3. В случае функции η, заданной при помощи формулы (6), функция S является единственным решением уравнения S (, τ) = A m () S ( + ϑ m, τ) + η 1 ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n, > τ, (7) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ, в пространстве матричных функций, ограниченных в существенном на любом конечном интервале полуоси (τ, + ). Доказательство. Подставим выражение (6) для функции η в уравнение (1) и преобразуем входящий в него интеграл: ( 0 N ) d ϑ A m () 1 (ϑ m ϑ) + η 1 (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds = τ = A m () d ϑ 1 (ϑ m ϑ) S ( + ϑ, s) ds+ τ + η 1 τ ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, s) dsdϑ = A m () S ( + ϑ m, s) ds+ τ + η 1 ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ. Таким образом, уравнение (1) преобразуется к виду (7). При каждом фиксированном τ R ищем решение в пространстве функций ограниченных в существенном на любом интервале полуоси (τ, ). Применяем метод шагов с шагом ϑ 1. В результате, задача сводится к нахождению решения уравнения Вольтерра 2 рода в пространстве функций, ограниченных в существенном. Полученное уравнение имеет единственное решение в этом пространстве. Утверждение доказано. Пример 4.3. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией { 0, ϑ ( π, 0], η (, ϑ) = cos ( + ϑ), ϑ [ 2π, π], R и r = 2π. Функция η допускает представление (6) η (, ϑ) = cos () 1 ( π ϑ) + η 1 (, ϑ), ϑ [ 2π, 0], Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 18

19 где η 1 (, ϑ) = вид { 0, ϑ ( π, 0], cos ( + ϑ) cos (), ϑ [ 2π, π]. Уравнение (7) имеет S (, τ) = cos () S ( π, τ) π 2π sin ( + ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ 1, > τ. (8) Решение уравнения (8) имеет вид: при τ < π + τ S (, τ) = 1, при π + τ < 2π + τ S (, τ) = cos () + π τ sin (z) dz 1 = 2 cos () + cos (τ) 1. 5 Связь функций S и V. Для нахождения функции V можно воспользоваться утверждением. Утверждение 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда функция V определяется формулой V (, ) = S (, ) η (, ) ds (, s) η (s, ), >. Доказательство. Решение x 0 совпадает с решением x h, где h определяется формулой: Преобразуем последнее решение h () = (η (0, ) η (, )) ϕ ( ), >. x h () = ds (, s) (η (, ) η (s, )) ϕ ( ) = ( 0 ) = ds (, s) η (, ) ds (, s) η (s, ) ϕ ( ) = ( 0 ) = S (, ) η (, ) ds (, s) η (s, ) ϕ ( ). Утверждение доказано. 6 Связь функций S и T. Для нахождения функции T можно воспользоваться теоремой. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 19

20 Теорема 6.1. Функция T определяется формулой T (, s, ) = d ds >, s [ r, ]. ds (, ξ) s ξ [η (ξ, ϑ) η (ξ, )] dϑ, (1) Доказательство. Рассмотрим решение x ϕ с начальной функцией ϕ C 2 ([ r, ], R n ). Это решение при > совпадает с решением x h, где h определяется формулами: { h () = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) d ϑη (, ϑ) ϕ ( + ϑ), [, + r], d ϑη (, ϑ) ϕ ( + ϑ), > + r. (2) Преобразуем интеграл в формуле (2): Находим d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) = η (, ) ϕ ( r) = [η (, ) η (, ϑ)] ϕ ( ) dϑ+ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) dϑ = s + [η (, ) η (, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds, [, + r]. h () = [η (, ) η (, ϑ)] ϕ ( ) dϑ + s d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) + [η (, ) η (, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds, [, + r], h () = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ), > + r. Преобразуем выражение для решения x h: +r x h () = = ds (, ξ) 0 0 ds (, ξ) ξ +r s ξ ds (, ξ) h (ξ) = [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ ϕ ( ) [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 20

21 Теперь преобразуем выражение для решения x ϕ : x ϕ () = = T (, τ, ) dτ ϕ ( ) + T (, τ, ) ϕ (τ) dτ = s T (, τ, ) dτ ϕ (s) ds. Запишем условия совпадения решений x h и x ϕ для произвольных функций ϕ C 2 ([ r, ], R n ): +r ds (, ξ) ds (, ξ) ξ s ξ [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ = [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ = >, s [ r, ]. s T (, τ, ) dτ, T (, τ, ) dτ, При выполнении второго условия первое условие выполняется. Дифференцируемость по s левой части второго условия следует из дифференцируемости правой части этого условия. Дифференцируя второе равенство по s и сделав замену переменной, получаем искомую формулу (1). Теорема доказана. Утверждение 6.1. В случае дискретной меры η, заданной формулой (4) с абсолютно непрерывными A m ( m = 1, N), функция T определяется формулой T (, s, ) = S (, ) A m ( ) (1 (ϑ m s + ) 1) S (, ξ) A m (ξ) (1 (ϑ m s + ξ) 1) dξ+ + d S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ ds S (, s + r) A m (s + r), >, s [ r, ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 21

22 Доказательство. Преобразуем формулу (1) T (, s, ) = d ds = d ds ds (, ξ) ds (, ξ) d ds s ξ A m (ξ) ds (, ξ) [η (ξ, ϑ) η (ξ, )] dϑ = s ξ 1 (ϑ m ϑ) dϑ A m (ξ) (s ξ + r). Введем обозначания и проинтегрируем по частям: F 2 (, s, ) = S (, ) F 1 (, s, ) = = S (, ) S (, ξ) + ds (, ξ) A m ( ) S (, ξ) s ξ A m (ξ) 1 (ϑ m ϑ) dϑ = s 0 1 (ϑ m ϑ) dϑ s ξ A m (ξ) 1 (ϑ m ϑ) dϑdξ+ A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ; ds (, ξ) A m (ξ) (s ξ + r) = S (, ξ) A m (ξ) dξ A m ( ) (s + r) S (, ξ) A m (ξ) (s ξ + r) dξ. Продифференцируем F 1 (, s, ) и F 2 (, s, ) по s: d ds (F 1(, s, )) = d S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ ds S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ S (, ) A m ( ) 1 (ϑ m s + ) ; Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 22

23 d ds (F 2(, s, )) = S (, ) В результате получаем S (, s + r) + S (, s + r) T (, s, ) = S (, ) A m ( ) A m (s + r) + d ds Утверждение доказано. A m (s + r). S (, ξ) A m (ξ) dξ+ A m ( ) (1 (ϑ m s + ) 1) S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ S (, ξ) A m (ξ) (1 (ϑ m s + ξ) 1) dξ Пример 6.1. Рассмотрим разностное уравнение с непрерывным временем x () = A () x ( 1) + h (), > 0, где A абсолютно непрерывная матричная функция на числовой оси. Это уравнение можно записать в форме (1) с функцией η: { 0, 1 < ϑ 0, η (, ϑ) = A (), ϑ = 1, R, и r = 1. Используя утверждение 6.1, имеем T (, s, 0) = S (, 0) A (0) (1 ( 1 s) 1) +S (, s + 1) A (s + 1) = s+1 0 s+1 0 S (, ξ) A (ξ) dξ+ ds (, ξ) A (ξ) + S (, 0) A (0) 1 ( 1 s), > 0, s [ 1, 0]. 1) Пусть (0, 1]. Если 1 s < 1, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = I n при ξ [0, s + 1]. Находим, Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 23

24 T (, s, 0) = A (0) 1 ( 1 s) = { A (0), s = 1, 0, s ( 1, 0]. { Если 1 s 0, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = 0, ξ s + 1, Находим, I n, 0 ξ <. { A () A (0), s = 1, T (, s, 0) = A () A (0) 1 ( 1 s) = A (), s ( 1, 0]. 2) Пусть (1, 2]. Если 1 s < 2, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = A () I n при ξ [0, s + 1]. Находим, { (A () + I n ) A (0), s = 1, T (, s, 0) = (A () + I n ) A (0) 1 ( 1 s) = 0, s ( 1, 0]. Если { 2 s 0, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = I n, 1 ξ s + 1, A () I n, 0 ξ < 1. Находим, T (, s, 0) = A () A ( 1) (A () + I n ) A (0) 1 ( 1 s) = { = A () A ( 1) (A () + I n ) A (0), s = 1, A () A ( 1), s ( 1, 0]. Пример 6.2. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией η (, ϑ) = ϑ, r = 1. Находим s ξ 1 [η (ξ, ϑ) η (ξ, 1)] dϑ = s ξ 1 ξ [, s + 1], s [ 1, ]. Следовательно, формула (1) имеет вид T (, s, ) = d ds s+1 ξ (ϑ + 1) dϑ = ξ 2 (s ξ + 1)2, ds (, ξ) ξ 2 (s ξ + 1)2, >, s [ 1, ]. Пусть (, + 1]. Если 1 s 1, то из примера 4.1 следует, что Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 24

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ УДК 517.95 В. И. Кузоватов, А. М. Кытманов ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В работе рассмотрен принцип симметрии для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. М. Ильин, М. А. Меленцов, Асимптотика решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при больших значениях времени, Тр. ИММ УрО РАН, 25,

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Ю. Ф. Долгий, П. Г.

АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Ю. Ф. Долгий, П. Г. Асимптотика регуляризованных решений 1 АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1 Ю. Ф. Долгий, П. Г. Сурков 1. Постановка задачи Рассматривается

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.

ТЕМА 5. Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(, ) y( ) d+ f( ),, [,, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

ω n =, а коэффициенты a n и

ω n =, а коэффициенты a n и Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев, К.И. Усманов Об одном подходе к исследованию линейной... 42 Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев,

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВАЖЕВСКОГО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Н. В. Перцев

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВАЖЕВСКОГО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Н. В. Перцев Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 2013. Том 54, 6 УДК 517.929 ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВАЖЕВСКОГО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Н. В. Перцев

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Примеры изображения некоторых функций. Теоремы о дифференцировании и интегрировании

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

dx dt РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

dx dt РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 4, 5 Электронный журнал, рег. N П375 от 7.3.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

7. Преобразование Фурье.

7. Преобразование Фурье. 7. Преобразование Фурье. Преобразование Фурье занимает важнейшее место в теории распределений, теории дифференциальных уравнений и математике вообще. Хорошо известно, что преобразование Фурье интегрируемой

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее