dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений"

Транскрипт

1 dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от hp://www.neva.ru/journal Теория обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Е.В.Кукушкина Россия, , Екатеринбург, пр.ленина, д.51, Уральский государственный университет им.а.м.горького, Кафедра теоретической механики, Аннотация. В работе для линейных нестационарных систем функциональноразностных уравнений установлены условия существования и единственности решений начальной задачи Коши в пространстве непрерывных функций. Получена формула, дающая аналитическое представление общего решения изучаемой системы функционально-разностных уравнений. Рассмотрены методы нахождения указанного представления. Полученные результаты иллюстрируются примерами.

2 1 Введение Рассматривается линейная неоднородная система функциональноразностных уравнений x () = d ϑ η (, ϑ) x ( + ϑ) + h (), (1) где x : R R n ; h C (R, R n ); матричная функция η (, ) при каждом фиксированном R имеет ограниченную вариацию на отрезке [, 0], η (, 0) = 0. Для указанной системы изучается начальная задача Коши в пространстве непрерывных функций. Пусть начальный момент R и начальная функция ϕ C ([ r, ], R n ). Функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши, если x () = ϕ () при [ r, ] и для нее равенство (1) выполняется тождественно на полуоси (, + ). Для существования непрерывного решения начальной задачи Коши необходимо, чтобы выполнялось условие согласования ϕ ( ) = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) + h ( ). (2) Условие (2) при заданной функции h накладывает ограничения на выбор начальной функции ϕ. Функционально-разностное уравнение обобщает понятие разностного уравнения с непрерывным временем также как функциональнодифференциальное уравнение обобщает понятие дифференциальноразностного уравнения. В работе для линейных нестационарных систем функционально-разностных уравнений установлены условия существования и единственности решений начальной задачи Коши в пространстве непрерывных функций. Получена формула, дающая аналитическое представление общего решения изучаемой системы функционально-разностных уравнений. Рассмотрены методы нахождения указанного представления. Полученные результаты иллюстрируются примерами. Указанный круг вопросов исследовался для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений [1]-[4]. Для линейных систем разностных уравнений с непрерывным временем рассматриваемые проблемы изучались в работах [5]-[7]. Специальные решения линейных разностных уравнений с непрерывным временем построены в работе [8]. Для Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 2

3 линейных систем разностных уравнений с дискретным временем решения рассматриваемых проблем изложены в работах [9],[10]. Для линейных стационарных систем функционально-разностных уравнений указанный круг вопросов исследовался в работе [11]. 2 Существование и единственность решения начальной задачи Коши Пусть функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши для начального момента R и начальной функции ϕ C ([ r, ], R n ) системы функционально-разностных уравнений (1) с функцией h C ([, + ), R n ). Введем следующие обозначения: x () = x () ϕ ( ),, ϕ (s) = ϕ (s) ϕ ( ), s [ r, ], h () = h () h ( ),. Тогда x C 0 ([, + ), R n ) = { x : x C ([, + ), R n ), x ( ) = 0}, ϕ C 0 ([ r, ], R n ) = { ϕ : ϕ C ([ r, ], R n ), ϕ ( ) = 0}, } h C0 ([, + ), R n ) = { h : h C ([0, + ), R n ), h (0 ) = 0. Утверждение 2.1. Для заданного начального момента R, начальной функции ϕ C ([ r, ], R n ) и функции h C ([, + ), R n ) функция x C ([ r, + ), R n ) является решением начальной задачи Коши системы функционально-разностных уравнений (1) тогда и только тогда, когда функция x C 0 ([, + ), R n ) является решением уравнения x () = (D x) () + (H ϕ) () + (H 0 ϕ ( )) () + h (),. (1) Здесь оператор D определяется формулами: { (D x) () = 0 d s η (, s ) x (s), + r, d sη (, s ) x (s), > + r, оператор H определяется формулами: (2) { (H ϕ) () = d sη (, s ) ϕ (s) d sη (, s ) ϕ (s), + r, d sη (, s ) ϕ (s), > + r, (3) оператор H 0 определяется формулой: (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ),. (4) Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 3

4 Доказательство. После преобразования системы уравнений (1) и условия согласования (2) при + r находим x () = h () при > + r x () = d s η (, s ) ϕ (s) + (η (, ) η (, )) ϕ ( ) + d s η (, s ) x (s) + d ϑ η (, s ) x (s) d s η (, s ) ϕ (s), d s η (, s ) ϕ (s) + + (η (, ) η (, )) ϕ ( ) + h (). Следовательно, системе (1) можно поставить в соответствие уравнение (1), где оператор D определяется формулами (2), оператор H определяется формулами (3), а оператор H 0 формулой (4). Утверждение доказано. Для любого > 0 рассмотрим сужение уравнения (1) на отрезок [, + ]. Имеем x () = (D x) () + (H ϕ) () + (H 0 ϕ ( )) () + h (), [, + ]. (5) Для сужения функций x и h на отрезок [, + ] оставляем те же обозначения, полагая что h C 0 ([, + ], R n ), x C 0 ([, + ], R n ). Здесь при r (H ϕ) () = (D x) () = d s η (, s ) ϕ (s) d s η (, s ) x (s), +, (6) d s η (, s ) ϕ (s), +, (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +, а при > r { (D x) () = 0 d s η (, s ) x (s), + r, d sη (, s ) x (s), + r < +, { (H ϕ) () = d sη (, s ) ϕ (s) d sη (, s ) ϕ (s), + r, d sη (, s ) ϕ (s), + r < +, (H 0 ϕ 0 ) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 4

5 Продолжим функцию η по второму аргументу на всю числовую ось, полагая: η (, s) = 0 при s 0 и η (, s) = η (, ) при s, R. Тогда значения операторов D, H и H 0 при любом > 0 можно определить формулами: (H ϕ) () = (D x) () = d s η (, s ) ϕ (s) d s η (, s ) x (s), +, d s η (, s ) ϕ (s), +, (H 0 ϕ ( )) () = (η (, ) η (, )) ϕ ( ), +. Лемма 2.1. Пусть выполнены условия: 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси. Тогда D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Доказательство. Рассмотрим функции x AC 0 ([, + ], R n ), где AC 0 ([, + ], R n ) = { x : x AC ([, + ], R n ), x ( ) = 0}. Преобразуем формулы, определяющие значения оператора D : (D x) () = d s η (, s ) x (s) = + + d s η (, s ) x (s) = = η (, s ) x (s) + η (, s ) x (s) ds = = η (, s ) x (s) ds, +. Определим значения оператора D следующими формулами: ( +r D y) () = η (, s ) y (s) ds, [, + ], y L 1 ([, + ], R n ). Для произвольной функции x AC 0 ([, + ], R n ) функция D x C 0 ([, + ], R n ) тогда и только тогда, когда функция D y C 0 ([, + ], R n ) для функции y L 1 ([, + ], R n ), y (s) = x (s), s [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 5

6 Докажем, что оператор D : L 1 ([, + ], R n ) C ([, + ], R n ) и является непрерывным. Для оператора D выполнены условия: А) vrai sup η (, s ) <, s, [, + ] В) функция η (, s ) ds непрерывна при любом τ [, + ] на отрезке [, + ]. Действительно, по определению вариации var η (, z) z [,0] η (, ) η (, z) + η (, z) η (, 0) 2 η (, z) η (, ). Тогда, η (, z) 1 2 var η (, z) + 1 z [,0] 2 η (, ). Функции var η (, z) z [,0] и η (, ) ограничены по условию 1) леммы 2.1 на [, + ]. Тогда sup [, + ],z [,0] vrai sup [, + ],s [, +r] η (, z) <. Имеем vrai sup,s [, + ] η (, z) η (, s ) = vrai sup [, + ],z [, +r] η (, s ) vrai sup η (, z) <. Справедливость условия А) доказана. Для [, + ],z [,0] любого τ R имеем η (, s ) ds = η (, s ) ds η (, s ) ds при [, + ]. Следовательно, в силу условия 2) леммы 2.1 условие В) для оператора D выполняется. Условия А) и В) гарантируют, что оператор D : L 1 ([, + ], R n ) C ([, + ], R n ) и является непрерывным ([12], с.100). Докажем теперь, что оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Для произвольного [, + ] введем оператор D : C 0 ([, + ], R n ) R n с помощью формулы D x = (D x) (). Однопараметрическое семейство операторов D, [, + ], удовлетворяет условиям: C) для любого элемента x AC 0 ([, + ], R n ) функция D x аргумента непрерывна на [, + ], D) для любого элемента x C 0 ([, + ], R n ) функция D x аргумента ограничена на [, + ]. ( Действительно, имеет место равенство D x = D y) () при [, + ], y () = x (), x AC 0 ([, + ( ], R n ). Справедливость условия C) следует из непрерывности функции D y) () на отрезке [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 6

7 Справедливость условия D) следует из неправенств sup D x sup [, + ] sup var [, + ] s [,] var [, + ] z [,0] η (, z) max η (, s ) max s [, + ] s [, + ] x (s). x (s) Условия C) и D) гарантируют, что оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) ([13], с. 73). Лемма доказана. Следствие 2.1. При выполнении условий леммы 2.1 оператор D : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) непрерывен. Доказательство. Имеем D sup var [, + ] s [,] Следствие доказано. sup [, + ] z [,0] sup η (, s ) = sup var var [, + ] z [,0] Лемма 2.2. Пусть выполнены условия: var [, + ] z [,0] η (, z), 0 < r, η (, z), > r. η (, z) 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, 3) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси. Тогда H : C 0 ([ r, ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) и H 0 : R n C 0 ([, + ], R n ). Доказательство. Справедливость утверждения леммы для оператора H 0 следует из условия 2). Для доказательства утверждения леммы об операторе H достаточно показать, что оператор ( H ϕ) () = d s η (, s ) ϕ (s) = d s η (, s ) ϕ (s), +, удовлетворяет условию H : C 0 ([ r, ], R n ) C ([, + ], R n ). Доказательство последнего утверждения проводится по схеме, используемой при доказательстве леммы 2.1. Для произвольной функции ϕ AC 0 ([ r, ], R n ), где AC 0 ([ r, ], R n ) = Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 7

8 { ϕ : ϕ AC ([ r, ], R n ), ϕ ( ) = 0}, имеем ( H ϕ) () = η (, ) ϕ ( r) η (, s ) ϕ (s) ds, +. Учитывая условия 2) и 3) леммы устанавливаем, что H : AC 0 ([ r, ], R n ) C ([, + ], R n ). Можно показать, что для однопараметрического семейства операторов H : C 0 ([ r, ], R n ) R n, [, + ], определяемых формулами: H ϕ = (H ϕ) (), [, + ], ϕ C 0 ([ r, ], R n ), выполняются условия теоремы [13]. Следовательно, утверждение леммы доказано. Следствие 2.2. При выполнении условий леммы 2.2 операторы H : C 0 ([ r, ], R n ) C 0 ([, + ], R n ) и H 0 : R n C 0 ([, + ], R n ) непрерывны. Действительно, для нормы оператора H справедлива оценка: H = sup sup [, + ] z [, ] var [, + ] s [, ] var η (, z) + var η (, s ) + var z [,0] η (, z) 2 sup η (, s ) = s [, ] var [, + ] z [,0] Для нормы оператора H 0 справедлива оценка H 0 2 max [, + ] η (, z). На основании утверждения, лемм и следствий доказана теорема. η (, ). Теорема 2.1. Пусть h C ([, + ), R n ), ϕ C ([ r, ], R n ), выполнено условие согласования (2) и 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, z [,0] 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, 3) для любого τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на любом отрезке числовой оси, 4) var η (, z) 0 при 0 равномерно по на любом конечном z [,0] отрезке числовой оси. Тогда начальная задача Коши для уравнения (1) имеет единственное непрерывное решение. Следствие 2.3. При выполнении условий теоремы 2.1. для любого > 0 существует линейный непрерывный вольтерровый по Тихонову оператор (I D ) 1 : C 0 ([, + ], R n ) C 0 ([, + ], R n ). Пример 2.1. Рассмотрим скалярное разностное уравнение с непрерывным временем Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 8

9 x () = sign (sin (π)) x ( 1), где sign (a) = 1, a > 0; sign (a) = 0, a = 0, sign (a) = 1, a < 0. { 0, 1 < ϑ 0, Здесь r = 1, η (, ϑ) = Функция η (, 1) = sign (sin (π)), ϑ = 1. sign sin (π) имеет разрывы первого рода для целых значений. Поэтому условие 2) теоремы 2.1 нарушено. Построим решение начальной задачи Коши для начального момента = 0 и произвольной непрерывной начальной функции ϕ на отрезке [ 1, 0], удовлетворяющей условию ϕ (0) = 0. Используя метод шагов, имеем при (0, 1] x 1 () = sign (sin (π)) ϕ ( 1) = ϕ ( 1); при (1, 2] x 2 () = sign (sin (π)) x 1 ( 1) = ϕ ( 2); при (n 1, n], n > 2, x n () = sign (sin (π)) x n 1 ( 1) = ( 1) n 1 ϕ ( n). Построенное решение имеет разрывы первого рода в точках N 0 (N множество натуральных чисел), если ϕ ( 1) 0. Пример 2.2. Рассмотрим систему функционально-разностных уравнений x () = Ax ([ 1]), где A постоянная матрица размерности n n, de A 0, [a] целая часть числа a. { 0, ϑ ( 1 {}, 0], Здесь r = 2, η (, ϑ) = R, {} A1 ( ϑ), ϑ [ 2, 1 {}], дробная часть числа, 1 ( ) функция Хевисайда. Покажем, что условие 3) теоремы 2.1 не выполняется на отрезке [0, 2] при τ = 0, т.е. отображение 2 η (, s ) ds не является непрерывным на отрезке [0, 2]. Находим 2 Таким образом, при = 1 функция рода. η (, s ) ds = A ({} 1), [0, 2]. 2 η (, s ) ds имеет разрыв первого Запишем решение начальной задачи Коши для начального момента = 0 и начальной функции ϕ C ([ 2, 0], R n ), удовлетворяющей условию согласования ϕ (0) = Aϕ ( 1). Имеем x () = A []+1 ϕ ( 1), > 0. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 9

10 Построенное решение имеет разрывы первого рода в точках N (N множество натуральных чисел), если Aϕ ( 1) ϕ ( 1). 3 Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений При выполнении условий теоремы 2.1 решение уравнения (5) определяется формулой x () = x ϕ () + x h () + x 0 (), [, + ], где x ϕ = (I D ) 1 H ϕ, x h = (I D ) 1 h, x 0 = (I D ) 1 H 0 ϕ ( ). Здесь функция x h является непрерывным решением системы (1) на отрезке [, + ] с начальной функцией ϕ = 0 и непрерывной неоднородностью h = h, удовлетворяющей условию h (0 ) = 0, т.е. h C 0 ([, + ], R n ); функция x ϕ является непрерывным решением системы (1) на отрезке [, + ] с непрерывной начальной функцией ϕ = ϕ, удовлетворяющей условию ϕ ( ) = 0, т.е. ϕ C 0 ([ r, ], R n ) и неоднородностью h, определяемой формулой h () = h ( ) = d ϑη (, ϑ ) ϕ (ϑ), [, + ]; функция x 0 является непрерывны решением системы (1) на отрезке [, + ] с начальной функцией ϕ (ϑ) = ϕ ( ), ϑ [ r, ], и неоднородностью, определяемой формулой h () = h ( ) = (I n + η (, )) ϕ ( ), [, + ], где I n единичная матрица размерности n n. Используя формулу представления линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций ([13], с.556) и конечномерность области определения оператора H 0, запишем x ϕ () = x h () = + dt (, s,, ) ϕ (s), [, + ], (1) ds (, s,, ) h (s), [, + ], (2) x 0 () = V (,, ) ϕ ( ), [, + ]. Здесь T (, r,, ) = 0, S (, +,, ) = 0 при + ; sup var T (, s,, ) <, sup var S (, s,, ) < ; s s + [, + ] [, + ] при любых 0 r < r, 0 < функции T (, s,, ) ds, + S (, s,, ) ds, V (,, ) непрерывны по на отрезке [, + ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 10

11 Так как x ϕ, x h, x 0 C 0 ([, + ], R n ) при любых ϕ C 0 ([ r, ], R n ), h C 0 ([, + ], R n ) и ϕ ( ) R n, то T (, s,, ) = 0 при s [ r, ], S (, s,, ) = 0 при s [, + ] и V (,, ) = 0. Из вольтерровости оператора (I D ) 1 и формулы (2) следует, что x h () = ds (, s,, ) h (s), [, + ]. (3) При использовании формулы (3) считаем, что S (, s,, ) = 0 при s [, + ]. Лемма 3.1. Функции T, S и V не зависят от. Доказательство. Для > имеем x ϕ () = x ϕ (), x h () = x h () и x 0 () = x 0 () при [, + ], если h () = h () при [, + ]. Следовательно, справедливы равенства d (T (, s,, ) T (, s,, )) ϕ (s) = 0, d (S (, s,, ) S (, s,, )) h (s) = 0, (V (,, ) V (,, )) ϕ ( ) = 0 при любых ϕ C 0 ([ r, ], R n ), h C 0 ([, + ], R n ), ϕ ( ) R n. Тогда T (, s,, ) = T (, s,, ) = T (, s, ) при s [ r, ], [, + ]; S (, s,, ) = S (, s,, ) = S (, s, ) при s [, ], [, + ]; V (,, ) = V (,, ) = V (, ) при [, + ]. Лемма доказана. Так как функции T и S не зависят от выбора длины отрезка [, + ], то можно определить решения x ϕ, x h и x 0 системы (1) на полуоси [, ). Решение x ϕ системы (1) с начальной функцией ϕ = ϕ, удовлетворяющей условию ϕ ( ) = 0, и неоднородностью h, определяемой формулой h () = h ( ) = d ϑη (, ϑ ) ϕ (ϑ), [, ), задается формулой x ϕ () = dt (, s, ) ϕ (s),, (4) где T (, r, ) = 0,, T (, s, ) = 0 при s [ r, ], при любом τ > выполняется неравенство sup var T (, s, ) < и при любом s [,τ) 0 r < r функция T (, s, ) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 11

12 Решение x h системы (1) с начальной функцией ϕ = 0 и неоднородностью h = h C 0 ([, + ], R n ) задается формулой x h () = ds (, s, ) h (s),, (5) где S (, s, ) = 0 при s <, S (, s, ) = 0 при s ; при любом τ > выполняется неравенство sup var S (, s, ) < и функция s [,τ] S (, s, ) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Решение x 0 системы (1) с начальной функцией ϕ (ϑ) = ϕ ( ), ϑ [ r, ], и неоднородностью, определяемой формулой h () = h ( ) = (I n + η (, )) ϕ ( ),, задается формулой x 0 () = V (, ) ϕ ( ),, где V (, ) = 0 и функция V (, ) непрерывна по аргументу на полуоси [, ). Лемма 3.2. Функция S не зависит от. Доказательство. Пусть x решение (5), отвечающее начальному h моменту. Для 1 > имеем x () = x 1 () при [ 1, ), если h () = 0 h h при [, 1 ]. Следовательно, x () x 1 () = h h = ds (, s, ) h (s) 1 d (S (, s, ) S (, s, 1 )) h (s) = 0 1 ds (, s, 1 ) h (s) = при любых h C 1 ([ 1, ), R n ). Тогда S (, s, 1 ) = S (, s, ) = S (, s) при s [ 1, ], [ 1, ). Лемма доказана. Согласно доказанной лемме имеем x h () = ds (, s) h (s),, где S (, s) = 0 при s; при любом τ > выполняется неравенство sup var S (, s) < и функция [,τ] s S (, s) ds непрерывна по на полуинтервале [, ). Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 12

13 Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда непрерывное решение начальной задачи Коши допускает представление x () = dt (, s, ) ϕ (s)+ ds (, s) h (s)+(v (, ) + I n ) ϕ ( ),, где ϕ (s) = ϕ (s) ϕ ( ), s [ r, ]; h () = h () h (0 ), ; T (, r, ) = 0 при ; T (, s, ) = 0 при s [ r, ]; S (, s) = 0 при s; при любом τ > выполняются неравенства sup var T (, s, ) <, sup var S (, s) <, при любом s s [,τ) [,τ] τ > и любом 0 r < r функции S (, s) ds и T (, s, ) ds непрерывны по на полуинтервале [, ). 4 Уравнение для функции S Представление решения x h системы (1) связано с нахождением функции S. Теорема 4.1. При выполнении условий теоремы 2.1 функция S является решением уравнения S (, τ) = τ d ϑ η (, ϑ) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ. S ( + ϑ, s) ds I n, > τ, (1) Доказательство. Рассмотрим решения уравнения (1) с нулевыми начальными функциями и неоднородностями h C 2 ([, + ), R n ), h ( ) = h ( ) = 0. Имеем x h () = S (, s) ds h (τ) dτ, >, Тогда x h ( + ϑ) = = +ϑ +ϑ h () = ( τ) h (τ) dτ, >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ = +ϑ S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ, ϑ [, 0], >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 13

14 Следовательно, после подстановки в систему (1) получим: S (, s) ds h (τ) dτ = + d ϑ η (, ϑ) ( τ) h (τ) dτ, >. S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ+ Так как интеграл S ( + ϑ, s) ds, ϑ [, 0], τ [, ], >, непрерывно зависит от ϑ на отрезке [, 0], то S (, s) ds h (τ) dτ = + d ϑ η (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds h (τ) dτ+ ( τ) h (τ) dτ, >. (2) Равенство (2) должно выполняться для любой функции h C ([, + ), R n ). Это условие выполняется, если имеет место равенство S (, s) ds = d ϑ η (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds+( τ) I n, τ [, ], >. Правая часть полученного равенства является абсолютно непрерывной функцией аргумента τ на отрезке [, ] при фиксированном. Следовательно, интеграл d ϑη (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds задает абсолютно непрерывную функцию аргумента τ на отрезке [, ]. Продифференцировав это равенство по τ, получим искомое уравнение. Теорема доказана. Утверждение 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Функция η абсолютно непрерывна по второму аргументу на отрезке [, 0] и для любого T > τ выполнено условие vrai sup η ϑ (, ϑ) <. Тогда функция S [τ,t ], ϑ [,0] при фиксированном τ R является единственным решением уравнения S (, τ) = η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n, > τ, (3) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ, в пространстве матричных функций, ограниченных в существенном на любом конечном интервале полуоси (τ, + ). Доказательство. Преобразуем уравнение (1) для функции S, меняя Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 14

15 порядок интегрирования и дифференцируя по τ: + τ = S (, τ) = τ d ϑ η (, ϑ) η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, s) dϑds = η ϑ (, z ) S (z, τ) dz I n = τ S ( + ϑ, s) ds I n = I n + η ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n = η ϑ (, z ) S (z, τ) dz I n, > τ. При каждом фиксированном τ R на любом конечном интервале полуоси (τ, + ) уравнение (3) является матричным интегральным уравнением Вольтерра второго рода в пространстве функций, ограниченных в существенном на этом интервале. Поэтому оно имеет единственное решение [14, с.153]. Утверждение доказано. Пример 4.1. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией η (, ϑ) = ϑ, ϑ [ 1, 0], R, и r = 1. Уравнение (3) имеет вид S (, τ) = 1 При τ τ + 1 получаем уравнение S (, τ) = 1 S ( + ϑ, τ) dϑ 1, > τ. S (y, τ) dy 1 = τ S (y, τ) dy 1. Функция α (, τ) = τ S (y, τ) dy, τ τ + 1, является решением дифференциального уравнения α (, τ) = α (, τ) 1 с начальным условием α (τ + 0, τ) = 0. Находим α (, τ) = τ e 2( 1 2 y 2 ) dy. Тогда S (, τ) = 1 τ e 2( 1 2 y 2 ) dy. Пусть η является матричной функцией скачков с конечным числом точек разрыва, определяемой формулой η (, ϑ) = A m () 1 (ϑ m ϑ), ϑ [, 0], ϑ N <... < ϑ 1 < 0, (4) { 0, < 0, где 1 () = 1, 0, на числовой оси. A m заданные непрерывные матричные функции Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 15

16 Проверим выполнение условий теоремы 2.1: 1) функция var η (, z) ограничена на любом отрезке числовой оси, т.к. z [,0] A m непрерывные матричные функции на числовой оси, 2) отображение η (, ) непрерывно на числовой оси, т.к. A m непрерывные матричные функции на числовой оси, 3) для любого фиксированного τ R отображение η (, s ) ds непрерывено на [τ, τ + r]. Действительно, ϑm +r η (, s ) ds = A m () 1 (ϑ m ϑ) dϑ = A m () 1 (ξ) dξ ϑ m τ+ = A m () [(τ ϑ m ) 1 (ϑ m τ + ) + (ϑ m + r)]. Полученная функция непрерывно зависит от на отрезке [τ, τ + r]. 4) отображение (, s) η (, s) непрерывно при s = 0 равномерно относительно на любом конечном отрезке, т.к. η (, s) = 0 при s (ϑ 1, 0]. Утверждение 4.2. Если η матричная функция скачков с конечным числом точек разрыва, определяемая формулой (4), то матричная функция S является единственным решением матричного разностного уравнения с непрерывным временем S (, τ) = A m () S ( + ϑ m, τ) I n, > τ, (5) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ. Это решение матричная функция, на произвольном интервале полуоси (τ, ) ограниченная в существенном и имеющая конечное число точек разрыва. Доказательство. Подставим выражение (4) для функции η в уравнение (1) и преобразуем входящий в него интеграл: = = S (, τ) = τ A m () τ A m () τ d ϑ η (, ϑ) d ϑ 1 (ϑ m ϑ) S ( + ϑ, s) ds I n = S ( + ϑ m, s) ds I n = S ( + ϑ, s) ds I n = A m () S ( + ϑ m, τ) I n. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 16

17 При каждом фиксированном τ уравнение (5) является матричным разностным уравнением с непрерывным временем. Поэтому при заданной нулевой начальной функции оно имеет единственное решение. Требуемое решение можно найти методом шагов [2]. Из этого метода следует справедливость второй части утверждения. Пример 4.2. Рассмотрим разностное уравнение с непрерывным временем x () = A () x ( 1) + h (), где A непрерывная матричная функция на числовой оси. Это уравнение можно записать в форме (1) с функцией η, определяемой формулой { 0, 1 < ϑ 0, η (, ϑ) = A (), ϑ 1, и r = 1. Уравнение (3) имеет вид S (, τ) = A () S ( 1, τ) I n, > τ. При каждом фиксированном τ это уравнение решается методом шагов: при (τ, τ + 1] S (, τ) = I n, при (τ + 1, τ + 2] при (τ + 2, τ + 3] S (, τ) = A () I n, S (, τ) = A () [ A ( 1) I n ] I n = A () A ( 1) A () I n, при (τ + m 1, τ + m] S (, τ) = A () A ( 1)...A ( m + 2) A () A ( 1)...A ( m + 3) A () I n. Пусть теперь матричная функция η имеет вид η (, ϑ) = A m () 1 (ϑ m ϑ) + η 1 (, ϑ), ϑ [, 0], (6) где ϑ N <... < ϑ 1 < 0, η 1 абсолютно непрерывная функция аргумента ϑ на отрезке [, 0], удовлетворяющая условиям теоремы 2.1. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 17

18 Утверждение 4.3. В случае функции η, заданной при помощи формулы (6), функция S является единственным решением уравнения S (, τ) = A m () S ( + ϑ m, τ) + η 1 ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ I n, > τ, (7) с начальным условием S (, τ) = 0 при τ, в пространстве матричных функций, ограниченных в существенном на любом конечном интервале полуоси (τ, + ). Доказательство. Подставим выражение (6) для функции η в уравнение (1) и преобразуем входящий в него интеграл: ( 0 N ) d ϑ A m () 1 (ϑ m ϑ) + η 1 (, ϑ) S ( + ϑ, s) ds = τ = A m () d ϑ 1 (ϑ m ϑ) S ( + ϑ, s) ds+ τ + η 1 τ ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, s) dsdϑ = A m () S ( + ϑ m, s) ds+ τ + η 1 ϑ (, ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ. Таким образом, уравнение (1) преобразуется к виду (7). При каждом фиксированном τ R ищем решение в пространстве функций ограниченных в существенном на любом интервале полуоси (τ, ). Применяем метод шагов с шагом ϑ 1. В результате, задача сводится к нахождению решения уравнения Вольтерра 2 рода в пространстве функций, ограниченных в существенном. Полученное уравнение имеет единственное решение в этом пространстве. Утверждение доказано. Пример 4.3. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией { 0, ϑ ( π, 0], η (, ϑ) = cos ( + ϑ), ϑ [ 2π, π], R и r = 2π. Функция η допускает представление (6) η (, ϑ) = cos () 1 ( π ϑ) + η 1 (, ϑ), ϑ [ 2π, 0], Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 18

19 где η 1 (, ϑ) = вид { 0, ϑ ( π, 0], cos ( + ϑ) cos (), ϑ [ 2π, π]. Уравнение (7) имеет S (, τ) = cos () S ( π, τ) π 2π sin ( + ϑ) S ( + ϑ, τ) dϑ 1, > τ. (8) Решение уравнения (8) имеет вид: при τ < π + τ S (, τ) = 1, при π + τ < 2π + τ S (, τ) = cos () + π τ sin (z) dz 1 = 2 cos () + cos (τ) 1. 5 Связь функций S и V. Для нахождения функции V можно воспользоваться утверждением. Утверждение 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда функция V определяется формулой V (, ) = S (, ) η (, ) ds (, s) η (s, ), >. Доказательство. Решение x 0 совпадает с решением x h, где h определяется формулой: Преобразуем последнее решение h () = (η (0, ) η (, )) ϕ ( ), >. x h () = ds (, s) (η (, ) η (s, )) ϕ ( ) = ( 0 ) = ds (, s) η (, ) ds (, s) η (s, ) ϕ ( ) = ( 0 ) = S (, ) η (, ) ds (, s) η (s, ) ϕ ( ). Утверждение доказано. 6 Связь функций S и T. Для нахождения функции T можно воспользоваться теоремой. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 19

20 Теорема 6.1. Функция T определяется формулой T (, s, ) = d ds >, s [ r, ]. ds (, ξ) s ξ [η (ξ, ϑ) η (ξ, )] dϑ, (1) Доказательство. Рассмотрим решение x ϕ с начальной функцией ϕ C 2 ([ r, ], R n ). Это решение при > совпадает с решением x h, где h определяется формулами: { h () = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) d ϑη (, ϑ) ϕ ( + ϑ), [, + r], d ϑη (, ϑ) ϕ ( + ϑ), > + r. (2) Преобразуем интеграл в формуле (2): Находим d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) = η (, ) ϕ ( r) = [η (, ) η (, ϑ)] ϕ ( ) dϑ+ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) dϑ = s + [η (, ) η (, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds, [, + r]. h () = [η (, ) η (, ϑ)] ϕ ( ) dϑ + s d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ) + [η (, ) η (, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds, [, + r], h () = d ϑ η (, ϑ) ϕ ( + ϑ), > + r. Преобразуем выражение для решения x h: +r x h () = = ds (, ξ) 0 0 ds (, ξ) ξ +r s ξ ds (, ξ) h (ξ) = [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ ϕ ( ) [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ ϕ (s) ds. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 20

21 Теперь преобразуем выражение для решения x ϕ : x ϕ () = = T (, τ, ) dτ ϕ ( ) + T (, τ, ) ϕ (τ) dτ = s T (, τ, ) dτ ϕ (s) ds. Запишем условия совпадения решений x h и x ϕ для произвольных функций ϕ C 2 ([ r, ], R n ): +r ds (, ξ) ds (, ξ) ξ s ξ [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ = [η (ξ, ) η (ξ, ϑ)] dϑ = >, s [ r, ]. s T (, τ, ) dτ, T (, τ, ) dτ, При выполнении второго условия первое условие выполняется. Дифференцируемость по s левой части второго условия следует из дифференцируемости правой части этого условия. Дифференцируя второе равенство по s и сделав замену переменной, получаем искомую формулу (1). Теорема доказана. Утверждение 6.1. В случае дискретной меры η, заданной формулой (4) с абсолютно непрерывными A m ( m = 1, N), функция T определяется формулой T (, s, ) = S (, ) A m ( ) (1 (ϑ m s + ) 1) S (, ξ) A m (ξ) (1 (ϑ m s + ξ) 1) dξ+ + d S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ ds S (, s + r) A m (s + r), >, s [ r, ]. Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 21

22 Доказательство. Преобразуем формулу (1) T (, s, ) = d ds = d ds ds (, ξ) ds (, ξ) d ds s ξ A m (ξ) ds (, ξ) [η (ξ, ϑ) η (ξ, )] dϑ = s ξ 1 (ϑ m ϑ) dϑ A m (ξ) (s ξ + r). Введем обозначания и проинтегрируем по частям: F 2 (, s, ) = S (, ) F 1 (, s, ) = = S (, ) S (, ξ) + ds (, ξ) A m ( ) S (, ξ) s ξ A m (ξ) 1 (ϑ m ϑ) dϑ = s 0 1 (ϑ m ϑ) dϑ s ξ A m (ξ) 1 (ϑ m ϑ) dϑdξ+ A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ; ds (, ξ) A m (ξ) (s ξ + r) = S (, ξ) A m (ξ) dξ A m ( ) (s + r) S (, ξ) A m (ξ) (s ξ + r) dξ. Продифференцируем F 1 (, s, ) и F 2 (, s, ) по s: d ds (F 1(, s, )) = d S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ ds S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ S (, ) A m ( ) 1 (ϑ m s + ) ; Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 22

23 d ds (F 2(, s, )) = S (, ) В результате получаем S (, s + r) + S (, s + r) T (, s, ) = S (, ) A m ( ) A m (s + r) + d ds Утверждение доказано. A m (s + r). S (, ξ) A m (ξ) dξ+ A m ( ) (1 (ϑ m s + ) 1) S (, ξ) A m (ξ) 1 (ϑ m s + ξ) dξ S (, ξ) A m (ξ) (1 (ϑ m s + ξ) 1) dξ Пример 6.1. Рассмотрим разностное уравнение с непрерывным временем x () = A () x ( 1) + h (), > 0, где A абсолютно непрерывная матричная функция на числовой оси. Это уравнение можно записать в форме (1) с функцией η: { 0, 1 < ϑ 0, η (, ϑ) = A (), ϑ = 1, R, и r = 1. Используя утверждение 6.1, имеем T (, s, 0) = S (, 0) A (0) (1 ( 1 s) 1) +S (, s + 1) A (s + 1) = s+1 0 s+1 0 S (, ξ) A (ξ) dξ+ ds (, ξ) A (ξ) + S (, 0) A (0) 1 ( 1 s), > 0, s [ 1, 0]. 1) Пусть (0, 1]. Если 1 s < 1, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = I n при ξ [0, s + 1]. Находим, Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 23

24 T (, s, 0) = A (0) 1 ( 1 s) = { A (0), s = 1, 0, s ( 1, 0]. { Если 1 s 0, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = 0, ξ s + 1, Находим, I n, 0 ξ <. { A () A (0), s = 1, T (, s, 0) = A () A (0) 1 ( 1 s) = A (), s ( 1, 0]. 2) Пусть (1, 2]. Если 1 s < 2, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = A () I n при ξ [0, s + 1]. Находим, { (A () + I n ) A (0), s = 1, T (, s, 0) = (A () + I n ) A (0) 1 ( 1 s) = 0, s ( 1, 0]. Если { 2 s 0, то из примера 4.2 следует, что S (, ξ) = I n, 1 ξ s + 1, A () I n, 0 ξ < 1. Находим, T (, s, 0) = A () A ( 1) (A () + I n ) A (0) 1 ( 1 s) = { = A () A ( 1) (A () + I n ) A (0), s = 1, A () A ( 1), s ( 1, 0]. Пример 6.2. Дано однородное скалярное уравнение (1) с функцией η (, ϑ) = ϑ, r = 1. Находим s ξ 1 [η (ξ, ϑ) η (ξ, 1)] dϑ = s ξ 1 ξ [, s + 1], s [ 1, ]. Следовательно, формула (1) имеет вид T (, s, ) = d ds s+1 ξ (ϑ + 1) dϑ = ξ 2 (s ξ + 1)2, ds (, ξ) ξ 2 (s ξ + 1)2, >, s [ 1, ]. Пусть (, + 1]. Если 1 s 1, то из примера 4.1 следует, что Электронный журнал. hp://www.neva.ru/journal 24

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев, К.И. Усманов Об одном подходе к исследованию линейной... 42 Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2000 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipeno.stu.neva.ru Дифференциально-разностные уравнения

Подробнее

dx dt РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

dx dt РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 4, 5 Электронный журнал, рег. N П375 от 7.3.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Основы операционного исчисления

Основы операционного исчисления 357 Основы операционного исчисления Начальная функция и ее изображение Пусть задана функция действительного переменного, определенная при Функция предполагается кусочно - непрерывная, те такая, что в любом

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

В.Г. Прокофьев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА

В.Г. Прокофьев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА Министерство образования и науки Российской федерации Национальный исследовательский Томский государственный университет Физико-технический факультет В.Г. Прокофьев МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Лекция 3. Математическое описание систем управления

Лекция 3. Математическое описание систем управления Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Подробнее

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Лектор д.ф.-м.н. В.В.Чепыжов * Факультет математики ВШЭ, 2017 г. 2 семестр Лекция 15 (21 марта 2017) 1. Интеграл Фурье. Основная теорема На прошлых лекциях были установлены условия,

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ УДК 57.9 И. В. Бойков ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ Аннотация. Получены критерии устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

В. В. Шубин КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

В. В. Шубин КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УДК 517.95 В. В. Шубин КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ В работе рассматриваются краевые задачи для уравнений третьего порядка со сменой направления эволюции sign

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 5 УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА Основным динамическим уравнением квантовой механики описывающим эволюцию состояния микрочастицы во времени является уравнение Шрѐдингера: () Ĥ оператор Гамильтона в общем случае

Подробнее

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Лекция 5 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ В этой лекции мы рассмотрим некоторые результаты об операторах со слабой особенностью и теорию поверхностей Ляпунова. 0. План лекции. Свойства a), b) и c). 2. Теорема

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Устойчивость решений дифференциальных уравнений при наличии импульсных воздействий

Устойчивость решений дифференциальных уравнений при наличии импульсных воздействий Динамические системы, вып. 28 (2010), 3 10 УДК 517.925.51 Устойчивость решений дифференциальных уравнений при наличии импульсных воздействий О. В. Анашкин, Т. В. Довжик, О. В. Митько Таврический национальный

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

dx dt ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 1 Введение Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 1 Введение Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

РАДИУС НАКРЫТИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ И КРАТНОСТЬ НАКРЫТИЯ В. И. Cеменов

РАДИУС НАКРЫТИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ И КРАТНОСТЬ НАКРЫТИЯ В. И. Cеменов Сибирский математический журнал Январь февраль, 21. Том 42, 1 УДК 513.77 РАДИУС НАКРЫТИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ И КРАТНОСТЬ НАКРЫТИЯ В. И. Cеменов Аннотация: Радиус накрытия отображения рассматривается как инструмент,

Подробнее

УДК c О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ

УДК c О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2009. Вып. 39 УДК 531.38 c 2009. О.С. Волкова, И.Н. Гашененко МАЯТНИКОВЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ Получены необходимые

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее